Soient A, B, C, D M n ()K avec A inversible et AC = CA. On considère M = M C D 2n ()K. Montrer que det M = det(ad CB).

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1 #53 Déterminants Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice 1 det(i AB) = det(i BA) Soient A M p,q ()K et B M q,p ()K Montrer que det(i p AB) = det(i q BA) (Commencer par le cas où A est la matrice canonique de rang r) Exercice 2 Changements de signe Soit A = (a ij ) M n ()K et A = (( 1) i+j a ij ) Comparer det A et det A Exercice 3 Somme des colonnes, Matexo Soit M une matrice carrée d'ordre n, et M la matrice déduite de M en remplaçant, pour tout j, la j-ième colonne par la somme des colonnes de M d'indices diérents de j Comparer les déterminants de M et M Exercice 4 det(a 2 + B 2 ) 1) Soient A, B M n (R) telles que AB = BA Montrer que det(a 2 + B 2 ) 0 2) Chercher A, B ne commutant pas telles que det(a 2 + B 2 ) < 0 Exercice 5 Déterminant par blocs ( ) A B Soient A, B M n ()K et M = Démontrer que det M = det(a + B) det(a B) B A Exercice 6 Déterminant par blocs ( ) A B Soient A, B, C, D M n ()K avec A inversible et AC = CA On considère M = M C D 2n ()K Montrer que det M = det(ad CB) Exercice 7 Comatrice Soit A M n ()K triangulaire Montrer que com A est aussi triangulaire Exercice 8 Comatrice, Ensi P 91 Soit A M n (R) Étudier le rang de com(a) en fonction du rang de A Exercice 9 Comatrice Soit n 2 et A M n ()K 1) Calculer com (com A) dans le cas où A est inversible 2) Si rg A n 2, démontrer que com A = 0 3) Si rg A = n 1, démontrer que rg(com A) = 1 4) Dans le cas général, démontrer que com (com A) = (det A) n 2 A Exercice 10 Comatrice Soit n 2 et A M n ()K 1) Si A et B sont inversibles, démontrer que com (AB) = (com A)(com B) 2) Démontrer le même résultat dans le cas général, en considérant les scalaires λ tels que A λi et B λi soient inversibles 3) En déduire que si A et B sont semblables, alors com A et com B le sont Exercice 11 Système linéaire homogène 14 septembre Thierry Sageaux

2 On considère un système linéaire homogène : (S) AX = 0, avec A M n,p ()K, n < p et rg A = n ( ) A 1) Montrer qu'on peut compléter A en une matrice B = A inversible 2) Montrer que les{ colonnes n + 1 à p de t com B constituent une base des solutions de (S) x + 2y + 3z + 4t = 0 3) AN : (S) 2x + 3y + 4z + 5t = 0 Exercice 12 Inégalité Soit A = (a ij ) M n (R) Démontrer que : det A n Quand y a-t-il égalité? Exercice 13 Déterminants 2 2 imposés i=1 j=1 n a ij Soient a, b, c, d quatre vecteurs d'un ev E de dimension 2 On note det le déterminant dans une base xée de E 1) Démontrer que : det ( ) ( a, b det c ) (, d + det a, ) ( ) ( c det d, b + det a ) (, d det b, ) c = 0 (Commencer par le cas où ( a, b ) est libre) 2) On donne six scalaires : d ab, d ac, d ad, d cd, d db, d bc tels que d ab d cd + d ac d db + d ad d bc = 0 Montrer qu'il existe des vecteurs a, b, c, d tels que : x, y, d xy = det ( x, y ) Exercice 14 Décomposition d'un vecteur en dimension 3 Soient a, b, c, d quatre vecteurs d'un ev E de dimension 3 On note : det le déterminant dans une base xée de E Démontrer que : det( a, b, c ) d = det( a, b, d ) c + det( a, d, c ) b + det( d, b, c ) a Exercice 15 Trace d'un endomorphisme Soit E un ev de dimension n, f L(E), et u 1,, u n, n vecteurs de E On note det le déterminant dans une base xée de E Démontrer que : det(f( u 1 ), u 2,, u n )+det( u 1, f( u 2 ), u 3,, u n )+ +det( u 1, u 2,, f( u n )) = det( u 1, u 2,, u n ) tr(f) Exercice 16 det(u + n) Soient u, n L(E) deux endomorphismes d'un C-ev de dimension nie, u inversible, n nilpotent, avec u n = n u 1) Démontrer que det n = 0 2) Chercher le polynôme caractéristique de n En déduire que det(id E + n) = 1 3) Démontrer que det(u + n) = det u Exercice 17 Sev stables Soit f L(E) tel qu'il existe deux sev F, G supplémentaires et stables par f Démontrer que det f = (det f F )(det f G ) Exercice 18 Groupe SL n (K) On note SL n (K) = {M M n ()K tq det M = 1} 1) a) Démontrer que SL n (K) est un groupe pour le produit matriciel b) Démontrer que SL n (K) est engendré par les matrices : I + λe ij, (j i) où (E ij ) est la base canonique de M n ()K, et λ K (transformer une matrice M SL n (K) en I par opérations élémentaires) 2 Thierry Sageaux

3 2) a) Soit M M n (Z) Démontrer que M a une inverse dans M n (Z) si et seulement si det M = ±1 b) Démontrer que le groupe SL n (Z) est engendré par les matrices I + E ij, (j i) Exercice 19 Déterminant de X AX f Soit A M n ()K A : M n ()K M n ()K et X AX Calculer det f A Exercice 20 Résultant Soient P = a 0 + a 1 X + + a p X p, et Q = b 0 + b 1 X + + b q X q, avec a p 0, b q 0 a 0 b 0 a 1 b0 Le résultant de P et Q est : Res(P, Q) = a p a0 b q 1 a1 b q bq 1 a p b q q p En considérant l'application Φ : K q 1[X] K p 1 [X] K p+q 1 [X] (U, V ) UP + V Q, montrer que : Res(P, Q) 0 P Q = 1 Application : CNS pour que le polynôme P = X 4 + ax + b ait une racine multiple? les positions non remplies correspondent à des zéros Exercice 21 Système unisolvent Soient E un ensemble quelconque et f 1,, f n : E K des fonctions Montrer par récurrence sur n que la famille (f 1,, f n ) est libre dans K E si et seulement s'il existe des éléments x 1,, x n de E tels que det ( f i (x j ) ) 0 Exercice 22 a iσ(i) = cste Soit A = (a ij ) M n ()K telle qu'il existe a 0 tel que : σ S n, rg(a) = 1 n a iσ(i) = a Montrer que i=1 Exercice 23 Combinaison linéaire des solutions Soit (S) AX = B un système linéaire de n équations à n inconnues de Cramer Montrer que pour tous scalaires c 1,, c n, on a : c 1 x c n x n = 1 det A b 1 A b n c 1 c n 0 Exercice 24 Problème d'interpolation de Lagrange Soit A un anneau commutatif, x 1,, x n A Démontrer l'équivalence entre les propositions suivantes : a Le déterminant de Vandermonde de x 1,, x n est un élément inversible de A ; 3 Thierry Sageaux

4 b Pour tous y 1,, y n A, il existe un unique polynôme P A n 1 [X] tel que P (x i ) = y i pour i = 1,, n Donner un exemple d'anneau A et un problème d'interpolation dans A (en des points x i distincts) n'ayant pas de solution Exercice 25 Polytechnique MP 2002 Soit p un nombre premier et a 0,, a p 1 Z Montrer que le déterminant de la matrice A = (a j i mod p ) M p (Z) vérie : det(a) a a p 1 mod p Indication : écrire A = p 1 a k J k et calculer A p k=0 Exercice 26 Centrale MP 2002 Soit un déterminant symétrique réel d'ordre impair dont les coecients sont entiers, les diagonaux étant de plus pairs Montrer que ce déterminant est pair Exercice 27 Formule de Cauchy-Binet Soit M = (a ij ) M np ()K et q [[1, min(n, p)]] Pour X = {x 1,, x q } et Y = {y 1,, y q } avec 1 x 1 < x 2 < < x q n et 1 y 1 < y 2 < < y q p on note X,Y (M) le déterminant de la matrice q q de terme général a xi,y j 1) Soient M M np ()K et N M pn ()K avec n p Montrer que det(mn) = card X=n X [1,p ] [[1,n]],X (M) X,[[1,n]] (N) (considérer les deux membres comme des fonctions des colonnes de N) 2) Donner une formule pour det(mn) quand n > p 3) Soient M M np ()K, N M pq ()K et r [[1, min(n, q)]] Montrer, pour X [[1, n]] et Y [[1, q]] avec card(x) = card(y ) = r : X,Y (MN) = X,Z (M) Z,Y (N) card(z)=r Z [[1,p]] 4 Thierry Sageaux

5 Solutions des exercices Exercice 2 Ils sont égaux Exercice 3 det M = ( 1) n 1 (n 1) det M Exercice 4 ( ) 1 λ 2) A =, B = λ 1 ( ) 0 λ, λ > λ Exercice 8 Si rg(a) = n, rg(com(a)) = n Si rg(a) = n 1, rg(com(a)) = 1 Si rg(a) n 2, rg(com(a)) = 0 Exercice 11 3) On complète par ( ) base = , Exercice 12 Développer le produit Un seul coe non nul par ligne et colonne, ou une ligne nulle Exercice 13 d bc c = d ac a + b 2) Si d ab 0, prendre d ab d ab d db d = d ad a + b d ab d ab Exercice 14 Si ( a, b, c ) est une base, décomposer d Si a = λ b + µ c, on obtient 0 = 0 Exercice 15 Les deux membres sont n-linéaires alternés On le vérie sur la base du déterminant Exercice 18 2) b) (I + E ij ) k = I + ke ij Calculer le pgcd d'une ligne par opérations élémentaires à l'aide de Bézout Ce pgcd vaut 1 sinon M / SL n (Z) Exercice 19 (det A) n Exercice 20 27a 4 = 256b 3 Exercice 24 ctrex : A = Z, P (0) = 0 et P (2) = 1 Exercice 25 On se place dans Z/pZ et on considère J = (δ i,i+1 mod p ) On a J p = I et A = a 0 J 0 + a p 1 J p 1 donc A p = (a p ap p 1 )I (car on est en caractéristique p) 5 Thierry Sageaux

6 On en déduit det(a) = det(a) p = (a p ap p 1 )p = a a p 1 Autre méthode en restant dans Z : det(a) = ε(σ)a 1,σ(1) a p,σ(p) = ε(σ)a σ(1) 1 mod p a σ(p) p mod p σ S p σ S p Notons x(σ) = ε(σ)a σ(1) 1 mod p a σ(p) p mod p et c le cycle (1, 2,, p) Alors x(σ) = x(c k σ c k ) pour tout k Z Le nombre de permutations distinctes que l'on obtient à σ xé en faisant varier k est égal à 1 si σ et c commutent, et à p sinon, d'après la relation : card(orbite) card(stabilisateur) = card(< c >) = p De plus, c et σ commutent si et seulement si σ < c > (facile), d'où det(a) p 1 ε(c k )a p k a a p 1 mod p Exercice 26 det(m) = ε(σ)a 1σ(1) a nσ(n) Soit σ S n telle que σ σ 1 Alors les termes associés à σ et σ S n σ 1 sont égaux car M est symétrique, donc la somme de ces deux termes est paire Soit σ S n telle que σ = σ 1 Alors comme n est impair, il existe i [[1, n]] tel que σ(i) = i donc le terme associé à σ est pair k=0 6 Thierry Sageaux