Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris a 0 a 1...,a n V (a 0,...

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1 Vincent Pilaud Kholles de mathématiques 8 novembre 2005 MP* - Lycée Charlemagne - Paris Algèbre linéaire 1 Déterminants Exercice [Van Der Monde] 1 Soient a 0,,a n K Calculer a 0 a 1,a n V (a 0,,a n ) = det a n 0 a n 1 a n n 2 Soient a 1,,a n K et p {0,,n} Calculer W p (a 1,,a n ) = det a 1 a 2 a n 1 a p 1 2 an p 1 1 a p+1 2 a p+1 n a n 1 a n 2 a n n a p 1 a p+1 3 Soient a 0 < < a n R et k 0 < < k n N Montrer que le déterminant de la matrice A = [a k j i ] i,j {0,,n} est strictement positif Exercice [Polynôme et déterminant] Calculer le déterminant de la matrice 1 X X 2 X n n n 1 3 n 1 (n + 1) n 1 Exercice [Inégalité sur le déterminant] Soit A = [a ij ] i,j {1,,n} M n (C) Montrer que det A n n a ij i=1 j=1 Discuter les cas d égalité Algèbre linéaire 1

2 Exercice [Tchébytchev] 1 Montrer que pour tout entier n, il existe un unique polynôme T n R[X] tel que pour tout réel θ, T n (cosθ) = cos(nθ) Montrer que ces polynômes vérifient la relation de récurrence T n+2 (X) = 2XT n+1 (X) T n (X) et en déduire le degré et le coefficient dominant de T n, puis que (T n ) n N forme une base de R[X] Montrer que T n est solution de l équation différentielle (1 x 2 )y xy + n 2 y = 0 2 Soient n N et θ 0,, θ n R Calculer le déterminant de la matrice cosθ 0 cosθ 1 cosθ n cos(nθ 0 ) cos(nθ 1 ) cos(nθ n ) Exercice [Calculs de déterminants] 1 Soient α, β, γ 1,,γ n R Calculer le déterminant de la matrice γ 1 α α β γ 2 α β β γ n 2 Soient (α i ) i {1,,n} et (β i ) i {1,,n} deux familles telles que α i + β i 0 pour tout i {1,,n} Calculer le déterminant de la matrice 1 [ ] i,j {1,,n} α i + β j 3 Calculer le déterminant de la matrice N N Soient a, b, c R Calculer le déterminant de la matrice a b 0 0 c 0 0 b 0 0 c a Exercice [Diagonale dominante] 1 Soit A = [a ij ] i,j {1,,n} M n (C) telle que i {1,, n}, a ii > j i a ij Montrer que A est inversible et que deta ( n a ii ) a ij j i i=1 2 Algèbre linéaire

3 2 Soit A = [a ij ] i,j {1,,n} M n (R) telle que i {1,, n}, n a ij > 0 et i j {1,,n}, a ij 0 i=1 Montrer que A est inversible et que deta n a ij i=1 j i Exercice [Déterminant et pgcd (resp ppcm)] 1 On pose D n = [i j] i,j {1,,n} Déterminer det D n 2 On définit deux matrices L n = [l ij ] i,j {1,,n} et U n = [u ij ] i,j {1,,n} par l ij = { 1 si j i et u ij = { ϕ(i) si i j, où ϕ désigne l indicatrice d Euler Montrer que D n = L n U n est la décomposition LU de D n et retrouver ainsi la question précédente 3 On définit la fonction de Möbius µ : N {0, 1, 1} par µ(1) = 1, µ(n) = 0 si n possède un facteur carré, et µ(p 1 p r ) = ( 1) r si p 1,,p r sont des nombres premiers distincts a Montrer que µ(d) = δ 1,n, d n où δ i,j est le symbole de Kronecker (ie δ i,j = 1 si i = j et ) On pourra montrer aussi que cette égalité caractérise la fonction de Möbius b Soit (G, +) un groupe abélien et f : N A On pose g(n) = d n f(d) En utilisant la première question, montrer que f(n) = d n µ( n d )g(d) c On pose D n (f) = [f(i j)] i,j {1,,n} et on définit deux matrices L n = [l ij ] i,j {1,,n} et U n = [u ij ] i,j {1,,n} par l ij = { 1 si j i et u ij = { d i µ(d)f ( i d) si i j Montrer que D n (f) = L n U n est la décomposition LU de D n (f) et en déduire le déterminant de D n (f) d En déduire le déterminant de [i j] i,j {1,,n} Exercice [Déterminant et matrices nilpotentes] Soient A et B deux matrices carrées de taille n sur un corps K On suppose que A et B commutent et que B est nilpotente Montrer que det(a + B) = det(a) Algèbre linéaire 3

4 Exercice [Déterminant et matrices par bloc] 1 Soient A, B M n (K) Montrer que [ ] A B det = det(a B) det(a + B) B A et det 2 Soient A, B, C, D M n (K) avec AC = CA Montrer que [ ] A B det = det(ad CB) C D [ ] A B 0 B A Montrer que le résultat est faux quand on ne suppose plus que A et C commutent Exercice [Résultant] Soient P = p i=0 p ix i et Q = q i=0 q ix i deux polynômes à coefficients dans un corps algébriquement clos K On appelle résultant de P et Q le déterminant Res(P, Q) de la matrice p 0 q 0 p 1 q1 q0 P,Q = p p p0 q1, p1 q q où les places libres sont remplies par des 0 1 En considérant l application p p q q Ψ : K q 1 [X] K p 1 [X] K p+q 1 [X] (U, V ) UP + V Q montrer que Res(P, Q) 0 P Q = 1 2 On note P = p p p i=1 (X λ i) et Q = q q q i=1 (X µ i) On considère la matrice de Van Der Monde W P,Q = V (µ 1,,µ q, λ 1,,λ p ) t En calculant de deux manières différentes le déterminant du produit W P,Q P,Q, montrer que Res(P, Q) = p q pq p q Retrouver ainsi le résultat précédent i {1,,p} j {1,,q} (λ i µ j ) Exercice [Polygones] Soient a 1,,a n C Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu il existe un polygone à n sommets dont les a k sont les affixes des milieux des côtés 4 Algèbre linéaire

5 2 Réduction des endomorphismes Exercice [Polynômes caractéristiques de l inverse et de la comatrice] Soit A M n (K) Déterminer le polynôme caractéristique de A 1 et de com(a) en fonction de celui de A Exercice [Puissance d une matrice diagonalisable] 1 Soit A GL n (C) et B = A p Montrer que A est diagonalisable si et seulement si B est diagonalisable 2 On ne suppose plus A inversible Donner une condition nécessaire et suffisante sur A pour que la propriété reste vraie Exercice [Restriction des scalaires] Soient A, B M n (R) semblables en tant que matrices de M n (C) Sont-elles semblables en tant que matrices de M n (R)? Quelles hypothèses doit-on faire sur une extension k K pour généraliser telle quel cette démonstration Noter que ce résultat se généralise à toute extension de corps par l étude des invariants de similitude Exercice [A 3 + A = 0] Soit A une matrice carrée de taille 3 non nulle telle que A 3 + A = 0 Montrer qu elle est semblable à la matrice Exercice [Matrice nilpotente et trace nulle] 1 Montrer qu une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle 2 Soit A M n (R) Montrer que k N, Trace(A k ) = 0 A nilpotente Exercice [Diagonalisation d une matrice par blocs] Donner une condition nécessaire et suffisante sur A M n (R) pour que la matrice [ ] A 0 B = A A soit diagonalisable Exercice [Trace modulo p] Soit A M n (Z) et p un nombre premier Montrer que Tr(A p ) = Tr(A) [p] 3 Exercices de synthèse Exercice [Matrices élémentaires] On note δ ij le symbole de Kronecker du couple (i, j) N 2 qui vaut 1 si i = j et On appelle matrices élémentaires les matrices (i) base canonique : pour (k, l) {1,, r} {1,,s}, E kl = [δ ik δ jl ] i,j M rs (C), (ii) transvection : pour k l {1,, r} et λ K, T kl (λ) = I r + λe kl GL r (C), (iii) dilatation : pour k {1,,r} et λ K, D k (λ) = I r + (λ 1)E kk GL r (C), (iv) permutation : pour σ S r, P σ = [δ iσ(j) ] i,j GL r (C) Algèbre linéaire 5

6 Donner le déterminant, les polynômes caractéristiques et minimaux, les valeurs propres, les espaces propres et caractéristiques des matrices élémentaires Sont-elles diagonalisables? Donner une condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices de transvection (resp dilatation, resp permutation) soient semblables Exercice [Un produit étrange] Soient A = [a ij ] M n,m (K) et B = [b ij ] M p,q (K) On définit A B = [a ij B] M np mq (K) 1 Montrer que l application Ψ : M n (K) M n (K) M A M admet A I n pour matrice dans la base canonique ordonnée judicieusement Exprimer de même M M A 2 Montrer que si A et à sont carrées de même dimension n et B et B sont carrées de même dimension p, alors (A B) (à B) = (A Ã) (B B) 3 Montrer que pour toutes matrices A et B, rg(a B) = rg(a) rg(b) 4 Montrer que pour toutes matrices carrées A et B de tailles respectives n et p, det(a B) = (det A) p (det B) n 5 Soient A et B deux matrices diagonalisables Montrer que A B est diagonalisable et préciser ses éléments propres et fonction de ceux de A et de B Exercice [Matrice antidiagonale] Soient a 1,,a n C et 0 0 a n 0 A(a 1,,a n ) = 0 a Quel est le déterminant de A(a 1,,a n )? 2 Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A(a 1,,a n ) soit diagonalisable 3 Que peut-on dire si on se place sur R? 4 Étudier l endomorphisme de R n[x] défini par P X n P( 1 X ) Exercice [Matrice circulante] Soient a 1,,a n C et a 1 a 2 a n a n a 1 a n 1 C(a 1,,a n ) = a 2 a 3 a 1 1 Montrer que C(a 1,,a n ) est diagonalisable et expliciter ses éléments propres 2 Calculer le déterminant de C(a 1,,a n ) 6 Algèbre linéaire