UVHC - ENSIAME CP1 - Probabilités - Interrogation Enseignante : Madame BOURLARD-JOSPIN Calculatrice autorisée

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1 UVHC - ENSIAME CP1 - Probabilités - Interrogation Enseignante : Madame BOURLARD-JOSPIN Calculatrice autorisée 1. On tire successivement et sans remise deux cartes d un jeu de 52 cartes. Soit A l événement la première carte est un trèfle, soit B l événement la deuxième carte n est pas une dame, soit C l événement la première carte est un roi ou une dame. Calculer la probabilité de chacun de ces événements. Sont-ils indépendants deux à deux? Sont-ils mutuellement indépendants? 2. Pour ouvrir une porte, un homme essaie les clés de son trousseau les unes après les autres jusqu à ce qu il trouve la bonne clé. Soit X le nombre de clés qu il essaie avant d ouvrir la porte. S il a 7 clés à son trousseau, quelle est l espérance de X? 3. Le 1er septembre 2015, 35 élèves passent un examen de mathématiques. Quelle est la probabilité que l un au moins des élèves ait son anniversaire ce jour-là? (Supposez que 1/365 des naissances ont lieu le 1er septembre.) 4. L étudiant G. Letemps arrive souvent en retard : une fois sur trois lorsqu il n est pas arrivé en retard la veille; lorsqu il est arrivé en retard la veille, les remontrances du professeur parviennent à réduire cette probabilité à 1/5. a) Aujourd hui, lundi, G. Letemps est arrivé à l heure. Calculer la probabilité pour qu il arrive à l heure mercredi. b) Quelle aurait été cette probabilité si aujourd hui, lundi, G. Letemps était arrivé en retard? 5. Dans une usine, on fabrique des ampoules électriques au moyen de 4 procédés différents. 30% des ampoules sont produites suivant le premier procédé, 35% suivant le deuxième, 20% suivant le troisième et le reste suivant le quatrième. On observe que 4% des ampoules produites suivant le premier procédé sont défectueuses, 6% pour le deuxième, 3% pour le troisième et 8% pour le quatrième. Si on choisit une ampoule au hasard et que celle-ci est défectueuse, quelle est la probabilité que cette ampoule ait été produite suivant le deuxième procédé? 6. Dans un jeu de foire, on présente au joueur 20 ficelles. Le joueur gagne le lot qui se trouve au bout de la ficelle qu il choisit au hasard. Au bout des ficelles se trouvent les lots suivants : le gros lot (valeur 50 EUR), 5 lots d une valeur de 2 EUR chacun, et les autres lots de consolation d une valeur de 0,50 EUR chacun. Combien le joueur doit-il payer pour jouer si le forain espère un bénéfice moyen de 1,65 EUR par joueur? T.S.V.P. 1

2 7. Le compactage d un sol de remblai doit avoir une certaine densité. Il sera considéré comme acceptable si au moins 9 prélèvements sur 10 ont la densité requise. a) Si chaque prélèvement a une probabilité de 0,90 de respecter la densité requise, quelle est la probabilité que ce sol soit acceptable? b) Quelle doit être la probabilité qu un prélèvement quelconque respecte la densité requise pour que le compactage du sol soit considéré comme acceptable dans au moins 90% des cas avec le critère précisé au début? (Donner la réponse avec 2 décimales.) 8. On jette une paire de dés (un rouge et un vert) ayant leurs six faces numérotées de 1 à 6. En les jetant 4 fois de suite, quelle est la probabilité d obtenir au moins deux fois une somme de 7? 9. Pour attirer la clientèle, un magasin décide que tout client ayant fait un minimum d achats pourra tirer, successivement et sans remise, trois jetons dans une urne. Cette urne contient dix jetons indiscernables au toucher : six portent le nombre 0, trois portent le nombre 5, et un porte le nombre 10. Le client reçoit, en euros, la somme des nombres indiqués sur les trois jetons. On considère comme variable aléatoire X la somme d argent reçue par le client. a) Déterminer la distribution de X. b) Calculer l espérance de gain du client. c) Sachant que le magasin compte en moyenne 500 clients par jour, combien coûtera approximativement cette opération publicitaire si elle dure 5 jours? 10. Dans des expériences de psychologie animale, un rat est enfermé dans une cage à 5 portes dont une seule s ouvre. Quelle est la probabilité que le rat sorte au troisième essai a) si le rat n a pas la mémoire des essais précédents? b) si le rat a la mémoire des essais précédents? 11. Deux usines u et v produisent des ampoules électriques; on sait que 10 pour cent (resp. 30 pour cent) de la production de u (resp. de v) est défectueuse. Après avoir choisi au hasard une des deux usines, on prélève dans la production de cette usine, deux ampoules a et b, au hasard et indépendamment l une de l autre (tirage avec remise). On note U, V, A et B les événements suivants. U : l usine u est choisie; V : l usine v est choisie; A : l ampoule a est défectueuse; B : l ampoule b est défectueuse. a) Calculer les probabilités des événements A, B, A B et en déduire que les événements A et B ne sont pas indépendants. b) Calculer P (B A) et P (U A B). 12. Problème posé par le chevalier de Méré à Pascal. Qu est-ce qui est le plus probable : sortir au moins un 6 en lançant 4 fois un dé ou au moins un double 6 en lançant 24 fois deux dés? FIN 2

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