ETUDE DES DEFORMATIONS M G. M t M G 1. Dans (G,x,y,z ): 0 M t. N = 0, Ty = 0, Tz = 0 avec. [T coh ] = donc = M t 0, M fy = 0, M fz = 0 REMARQUE:

Transcription

1 TSN Solie iéal: matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne, e section constante et circulaire. Les actions etérieures ans les sections etrêmes sont moélisables par eu moments opposés, portés par la ligne moenne. La poutre est onc soumise à eu torseurs couples: (S ) Ligne moenne (S ) B B. EFNTN Une poutre est sollicitée à la torsion simple si le torseur associé au forces e cohésion e la partie roite () sur la partie gauche () e la poutre peut se réuire en, barcentre e la section roite à un moment perpeniculaire à, tel que: f 3 (S f ans (,,, ): f 2 EQUE: [T coh ] = t N =, T =, T = avec onc = t, f =, f = [T coh ] = -T(ctions et. ) = +T(ctions et. ) t onc = et t = -. ETUE ES EFTNS n eerce un moment ans la section roite (S ) et on mesure l'angle e rotation es sections (S ) et par rapport à. n constate que: = l =... = Cte. énératrice avant (S ) (S ) ' ' énératrice après l Section S parfaitement encastrée ans - TSN /

2 avec: = angle unitaire e torsion (ra/mm). n peut écrire: = = angle e rotation (S )/(S ) (en ra). l l = istance séparant (S ) à la section e référence (S ) (mm) La courbe onnant l'angle en fonction u moment fait apparaître eu ones : La one e éformation élastique, ou omaine élastique: où l'angle e rotation est proportionnel au moment appliqué. La one B e éformation permanente, ou omaine plastique; n'est pas proportionnel à éformation permanente éformation élastique B. EPTTN ES CNTNTES NS UNE SECTN TE En un point, la contrainte e torsion est proportionnelle à la istance moenne. Section roite t F ma e ce point à la ligne ma ] =... [ans (,, ) > si > et > : contrainte tangentielle ue à la torsion (Pa). : moule 'élasticité transversale (e Coulomb) (Pa). : angle e torsion unitaire (ra/mm). : istance e au centre e la section (mm). La contrainte e torsion est nulle si est sur la ligne moenne ( = ). La fibre neutre est confonue avec la ligne moenne. La contrainte e torsion est maimale si est sur la surface u solie ( = = istance ma.): ma. =... V. ENT QUTQUE PLE Le moment quaratique polaire e la surface par rapport à l'ae (, ) perpeniculaire en au plan e cette ernière est: =.( ². s) : moment quaratique e par rapport a (,) (mm 4 ). : istance u point au point (mm). S: surface élémentaire entourant le point (mm2). S S Surface Point istance e - TSN 2/

3 ENTS QUTQUES PTCULES = = 32.( 4-4 ) V. ETUE ES EFTNS - Equation e éformation ans le omaine élastique, le moment e torsion t est proportionnel à l'angle unitaire e torsion : t =.. si > t > Sens positif pour l'angle e rotation t: moment e torsion (Nmm). : moule 'élasticité transversal (e Coulomb) (Pa). : angle e torsion unitaire (ra/mm). : moment quaratique e par rapport a (, ) (mm 4 ). * Voir valeurs e pour ifférents matériau ans cours cisaillement. (S ) 2- Conition e rigiité Pour les arbres e grane longueur (arbres e forage e puits e pétrole, arbres e navires importants) on évite e trop granes éformations e torsion qui risqueraient 'engenrer es vibrations trop importantes pour un fonctionnement correct. cet effet, on impose un angle unitaire limite e torsion: lim. à ne pas épasser ( lim:,2 /m, par eemple). ' t = l lim ou t.o lim. t: moment e torsion (Nmm). : moule 'élasticité transversale (e Coulomb) (Pa). : moment quaratique e par rapport à (,) (mm 4 ). V. ETUE E L ESSTNCE 3- Contraintes e torsion Contrainte e torsion en fonction e t: Valeur e en un point La contrainte en un point 'une section roite est: = = t o. : contrainte tangentielle ue a la torsion (Pa)*. t: moment e torsion (Nmm). : moment quaratique polaire e la section roite consiérée (mm 4 ). : istance u point à la fibre neutre (mm). t =2 - TSN 3/

4 4- Contrainte maimale e torsion l faut rechercher la section ans laquelle le moment e torsion est maimal. ans celle-ci la contrainte est maimale au point le plus éloigné e l'ae ( = ). EQUE: ma. = t ma o. ou ma. = t ma ( T ma. : contrainte maimale tangentielle (Pa)*. t ma.: moment e torsion maimale (Nmm). : moment quaratique polaire e la section (mm 4 ). : istance u point le plus éloigne e la fibre neutre à cette ernière (mm). ( ): moule e torsion (mm 3 ). * Pa = N/mm2 - Conition e résistance Ces relations sont valables uniquement pour les sections circulaires! Pour es raisons e sécurité, la contrainte e torsion oit rester inférieure à la résistance pratique au glissement pg est le quotient e résistance élastique au glissement pg par le coefficient e sécurité s. (Voir la relation entre e et eg ans le cours sur le cisaillement) pg = eg s pg: résistance pratique au glissement (Pa). eg: résistance élastique au glissement (Pa). s: coefficient e sécurité (sans unité) (voir valeurs ans le cours sur le cisaillement). La conition e résistance est: ma. pg ou ) t ma ( ) pg V. SLE EEL les arbres présentent généralement e brusques variations e sections (gorges, épaulements, rainures e clavettes...). u voisinage e ces variations e section, la répartition es contraintes n'est pas linéaire. l a concentration e contrainte. théorique eff. ma.: contrainte maimale effective (Pa). théorique contrainte théorique sans concentration (Pa). Kt: coefficient e concentration e contrainte relatif a la torsion. Kt est éterminé par es tableau ou abaques (voir les valeurs epérimentales ans tableau). eff. ma. = Kt. aon u c Kt pour rainures e clavettes aon congé = r Profoneur rainure c Coefficient Kt ' = ' eff ma = Kt. - TSN 4/

5 / Kt pour épaulement et congé r/ r / r/. Kt pour gorge r Kt pour arbre avec trou e goupille /. Kt.3 /V ² ÉTHE E CLCUL. Calculer m ou ma. 2. nalser la nature ou la géométrie (épaulement, gorge...) et choisir la courbe ou le tableau corresponant 3. Calculer r r,,. c 4. éterminer la valeur e Kt corresponante. Calculer eff. ma. = Kt. théorique 6. Ecrire la conition e résistance eff. ma. pg EXEPLE E CLCUL: éterminer Kt pour une rainure e clavette aant un congé ans l'angle inférieur r=,3 (fig. 3) et pour un arbre e iamètre - TSN /