Analyse en Composantes Principales

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1 Analyse en Composantes Principales Maxime CHAMBREUIL mars Table des matières Explication. Préparation des données Application de la fonction ACP Signature Déroulement de la fonction ACP Interprétation 6 Conclusion 7 Explication. Préparation des données Nous avons généré un échantillon de 6 individus à partir de lois normales, d espérance différentes : µ = (, ) µ = (, ) µ = (, ) et de variance la matrice identité, pour obtenir :

2 6 6 6 Nous avons ensuite multiplié notre échantillon par la matrice : M = [ 7 pour obtenir un échantillon de 6 individus mais sur variables. Nous avons aussi rajouter un bruit durant la transformation. ]. Application de la fonction ACP.. Signature A cette nouvelle matrice, nous appliquons la fonction acp : [epsilon,u] = acp(x,nbcompo) En entrée : X : Matrice des individus nbcompo : Nombre de composantes principales souhaitées En sortie : epsilon : X selon les nbcompo composantes principales U : Matrice des nbcompo vecteurs propres, triés dans l ordre

3 .. Déroulement de la fonction ACP La fonction acp commence par afficher les boîtes à moustaches de la matrice selon chaque variable. Boites a moustaches des variables de X Values Variables de X On applique ensuite la fonction multiplot qui va afficher chaque variable selon les autres et nous permettre de deviner quelques corrélations entre les variables.

4 On a ensuite centré et réduit nos variables pour les ramener à la même échelle, avant de calculer les vecteurs et les valeurs propres : ν =,, 8, 6,, 7,,,,,, 86,,, 6,,,, 7,, 7,,,, λ =,, 87 7, 76, On extrait ensuite les composantes principales souhaitées, ainsi que les premières pour les afficher en D : X selon ses composantes principales eme Composante ere Composante

5 et les premières pour la D : X selon ses composantes principales 6 eme Composante 6 ere Composante eme Composante Avant de retourner les variables demandées, on affiche les contributions de chacune de ces variables selon composantes : Contribution des variables de X dans les composantes principales.8 eme composante ere composante

6 ou : Contribution des variables de X dans les composantes principales.8.6. eme composante eme composante ere composante Interprétation Grâce à notre fonction multiplot, on peut noter des corrélations positives entre les couples de variables (, ) et (, ), ainsi que des corrélations négatives : (, ), (, ). Ses corrélations sont vérifiées par l affichage des contributions : les variables, et sont proches et en même temps éloignés de la ème. Concernant les implications des variables dans les composantes principales, on peut noter que et jouent un rôle important dans la première composante, et sont prépondérants dans la ème et, et dans la ème. Donc apparait dans composantes et dans. Cela vérifie bien nos résultats sur les valeurs propres : λ > λ On remarque sur les courbes selon les composantes principales qu on retrouve nuages de points, correspondants à nos lois normales d origine. 6

7 Conclusion Ce TP m a permis de mieux comprendre l utilité de savoir calculer les valeurs propres d une matrice. On peut ainsi retirer intelligemment les variables qui n ont p grande influence sur les individus. Ceci doit être très utile lorsqu on traite un gros volume de données. De plus, l ACP est sez efficace : Voici la courbe du temps d exécution de la fonction acp en fonction de nbindividu/, avec variables.. Temps d execution de la fonction acp.. Temps d execution en sec nbindividu/ Je n ai p eu le temps de tester son efficacité par rapport à l augmentation du nombre de variables. Mais je pense que cela ne doit p plus le déranger que celle des individus. 7