Analyse des structures sousjacentes

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1 Analyse des structures sousjacentes des données Analyse factorielle Analyse de correspondance LISREL M. Dramaix Laboratoire de Statistique Médicale 14/11/2003

2 Analyse factorielle OBJECTIFS Réduire la dimension des données Regrouper les variables «redondantes» COMMENT? Recherche de la structure «cachée» : construction de «facteurs» réduction des données d un grand nombre de variables corrélées un plus petit nombre de facteurs non corrélés

3 Analyse factorielle Facteurs «regroupent» les variables originales en fonction de leurs «affinités»

4 Analyse factorielle Deux étapes A. Extraction des facteurs. Méthode usuelle : décomposition en composantes principales B. Rotation des axes

5 Analyse factorielle Communauté variance d une variable : une partie partagée avec les autres (variance commune) + une partie spécifique (variance unique) + erreur (variance aléatoire) proportion variance commune = communauté

6 Analyse factorielle Communauté analyse factorielle variance commune Comment la déterminer? On suppose : communauté de chaque variable = 1 ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES on estime la communauté de chaque variable (R²) ANALYSE FACTORIELLE

7 Analyse factorielle Composantes principales / analyse factorielle Composantes principales : données ensemble de combili s des var. originales Analyse factorielle estimation de facteurs Solutions similaires si nb. var 30 et communautés > 0.7 si nb. var. < 20 et communauté < 0.4

8 Décomposition en composantes principales Bases Matrice des données : n x p n = nb. sujets p = nb. variables Décomposition de la matrice de données en r matrices (r p) d importance décroissante combien de matrices pour reconstituer la matrice originale?

9 Décomposition en composantes principales Bases Variables centrées réduites on travaille avec la matrice de corrélation Les éléments des vecteurs propres de la matrice de corrélation sont les pondérations des variables dans les combili s Les valeurs propres reflètent l importance des composantes

10 Décomposition en composantes principales Communautés initiales = 1 après extraction reflète la contribution des facteurs à la reconstruction de chaque variable = Σ carré des pondérations de la variable dans chacun des facteurs extraits

11 Décomposition en composantes principales Valeurs propres Σ carrés écarts entre la matrice X de données et les matrices de reconstitution Ex. : 3 matrices = valeurs propres : λ1, λ2, λ3 matrice la + importante = X1 λ2+λ3 = Σ carrés écarts entre X et X1 Σ carrés écarts entre X et X1 minimum λ j j λj = % de reconstitution de X

12 Décomposition en composantes principales Composantes - facteurs Nb. composantes = nb. variables originales Composantes non corrélées entre elles L objectif est de pouvoir décrire les données avec un nombre limité de facteurs : Réduction de la dimension des données

13 Décomposition en composantes principales Facteurs A chaque facteur correspond une valeur propre Les facteurs sont classés en fonction de leur valeur propre Ces valeurs propres correspondent à une partie de variabilité expliquée

14 Décomposition en composantes principales Composantes - facteurs Combien? Critère de Kaiser : facteurs avec valeur propre > 1 Scree plot (seuil nb. composantes = pt. inflexion) à utiliser si n > 200 Jolliffe : valeurs propres > 0.7 Critère de Kaiser recommandé si nb. var. < 30 et communauté moy. > 0.7 ou 0.6 et n > 250

15 Décomposition en composantes principales Composantes - facteurs Rotation des axes Pourquoi : maximiser les pondérations de certains items Types rotation orthogonale = varimax facteurs indépendants rotation oblique

16 Décomposition en composantes principales Composantes - facteurs Rotation des axes choix : oblique si on suppose facteurs non indépendants à priori; dépend position des pts avant rotation; orthogonale raisonnable si corr. entre fact. après oblique faible

17 Décomposition en composantes principales Composantes - facteurs Les variables avec les pondérations les + importantes donnent le «sens», le «nom» du facteur Quelles variables? pondération > 0.3 ou > 0.4 signification pondération dépend de n table pondération = corrélation Pearson entre la variable et le facteur

18 Décomposition en composantes principales Représentation graphique constituent les axes d une représentation graphique où les variables peuvent être représentées les coordonnées d une variable sur un axe sont les pondérations

19 Décomposition en composantes principales Facteurs - score factoriel Pour chaque facteur sélectionné et pour chaque sujet, on peut calculer un score factoriel On utilise le score factoriel comme une nouvelle variable

20 Analyse factorielle Facteurs - score factoriel Calcul des scores moyenne pondérée : on multiplie les valeurs des variables par les pondérations respectives. si les variables n ont pas les mêmes unités régression : tient compte des corrélations initiales entre les variables les scores à deux facteurs orthogonaux peuvent être corrélés Bartlett et Anderson-Rubin (à utiliser si on veut scores non corrélés)

21 Analyse factorielle Facteurs - score factoriel Utilité nouvelle variable nombre de variables réduit peut résoudre les problèmes de colinéarité en analyse multivariable

22 Analyse factorielle Conditions d applications Type de variables : quantitatives - ± normales Nombre de sujets : pas de consensus 5 x nb. variables et pas moins de 100 sujets sujets / var. n = 300 OK facteur fiable si au moins 4 pondérations > 0.6 facteur fiable si au moins 10 pondérations > 0. 4 et n > 150 Si toutes les communautés > 0.6 : n < 100 OK

23 Analyse factorielle Problèmes variables non corrélées à aucune autre les ôter éviter les corrélations quasiment parfaites adéquation échant KMO (Kaiser=Meyer-Olkin) - mesure. Ok si > 0.5 Matrice anti-image : OK si diagonale > 0.5

24 Analyse factorielle Problèmes Test de sphéricité Bartlett (test : matrice corr. = matrice identité) doit être significatif Résidus = diff. entre corrélations obs. et prédites par modèle

25 Analyse de Correspondance Même principe que l analyse factorielle pour des variables en catégories Décomposition de la matrice formée par les fréquences Utilisation du χ²

26 LISREL LISREL = Linear Structural Relation Modèle général à partir de variables observées, définir des variables latentes (modèles de mesure) établir des relations entre les variables latentes = relations structurelles

27 LISREL Type de variables quantitatives ordinales LISREL Analyse factorielle Analyse factorielle = méthode exploratoire LISREL = analyse factorielle confirmatoire = test de modèles

28 Programme LISREL Analyse factorielle exploratoire Modèles de régression Multi-level Mesures répétées