Modèles Mathématiques pour l'image Méthodes de Classication (II)

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1 1/1 Modèles Mathématiques pour l'image Méthodes de Classication (II) Julie Digne LIRIS - Équipe GeoMod - CNRS 10 Décembre 2015

2 2/1 Previously in Modèles Mathématiques pour l'image On a vu: Comment et pourquoi passer de l'image à un espace des caractéristiques (potentiellement de plus grande dimension). Comment classier des points selon leurs caractéristiques à travers diérents algorithmes: les K-moyennes et mean-shift.

3 3/1 Et aujourd'hui... l'analyse en Composantes Principales Le modèle probabiliste et l'estimation a posteriori (MAP) Les mélanges de gaussiennes Un algorithme très connu (et très utile): l'algorithme EM

4 Plan 4/1

5 Plan L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 5/1

6 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 6/1 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) Parfois les données sont exprimées dans un espace qui ne leur est pas favorable. Il peut être intéressant de changer d'espace pour mieux capturer la variabilité des données. Par exemple: On veut visualiser des éléments de R d, on va trouver un sous-espace E de R d tel que la plupart des variations des données se passent dans E.

7 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 7/1 Quelques outils de base: les variables aléatoires Espace de probabilité Soit Ω l'univers, A un ensemble de sous-parties de Ω (tous les évènements possibles de Ω). Une application P dénie sur A à valeurs dans [0, 1] est une mesure de probabilité (loi de probabilité) si: P(Ω) = 1 pour un ensemble A i d'éléments disjoints de A, P( i A i ) = i P(A i).

8 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 7/1 Quelques outils de base: les variables aléatoires Espace de probabilité Soit Ω l'univers, A un ensemble de sous-parties de Ω (tous les évènements possibles de Ω). Une application P dénie sur A à valeurs dans [0, 1] est une mesure de probabilité (loi de probabilité) si: P(Ω) = 1 pour un ensemble A i d'éléments disjoints de A, P( i A i ) = i P(A i). Variable aléatoire On appelle variable aléatoire toute application X dénie sur Ω et à valeurs dans un espace mesurable E.

9 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 8/1 Quelques outils pour caractériser les variables aléatoires Chaque point x i de R d est une variable aléatoire distribuée selon une certaine loi de probabilité. Moyenne (espérance - expectation): E[x] = 1 n n i=1 x i Obtenir des variables aléatoires centrées: X = X E[X ] Variance d'une variable aléatoire: Var(X ) = E[(X E[X ]) 2 ] = E[X 2 ] E[X ] 2

10 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 9/1 Analyse de couples de variables aléatoires Deux variables aléatoires X et Y Covariance de deux variables aléatoires X et Y : Cov(X, Y ) = E[(X E[X ]) (Y E[Y ])] Écart-type (standard deviation): σ X = Var(X ) Corrélation de deux variables aléatoires: Cor(X, Y ) = Cov(X,Y ) σ X σ Y

11 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 10/1 Variables aléatoires multivariées Les variables aléatoires sont à valeurs dans R d Les formules de moyenne et de variance se généralisent en prenant en compte les composantes deux à deux.

12 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 11/1 l'analyse en Composante Principale A priori les composantes de x i pourraient être corrélées: si c'est le cas, l'espace dans lequel elles sont exprimées n'est pas adapté à ces variables.

13 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 11/1 l'analyse en Composante Principale A priori les composantes de x i pourraient être corrélées: si c'est le cas, l'espace dans lequel elles sont exprimées n'est pas adapté à ces variables. Idée On va chercher un espace où ces variables ne sont plus correlées.

14 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 12/1 On calcule la moyenne des x i µ = 1 n n i=1 On calcule la matrice de covariance C : n C = (x i µ) (x i µ) i=1 On cherche la direction qui explique le mieux les données x i

15 Idée On va chercher la direction u 1 telle que les échantillons x i projetés sur u 1 ait une variance maximale. Soit X R d n la matrice des échantillons X = ( x 1 x 2 x n ) La projection de X sur u 1 s'écrit X T u 1 La variance de ces variables réelles est: u T 1 C u 1 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 13/1

16 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 14/1 Quelques rappels sur la diagonalisation de matrice Extraction des vecteurs propres et valeurs propres de la matrice C Hypothèse (dans notre cas): C est une matrice symétrique à coecients réels Par le théorème spectral, C est diagonalisable dans une base orthogonale i.e. C = UDU T où: Les lignes de U, les colonnes de V sont les vecteurs propres de C. U est orthogonale: U U T = U T U = 1 D est une matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres λ i

17 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 15/1 Et donc: La direction qui maximise la variance est le vecteur propre qui correspond à la plus grande valeur propre: u 1, λ 1 Itérativement les colonnes de U sont les directions successives sur lesquelles il faut projeter les données pour maximiser les variances résiduelles.

18 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 16/1 Application: réduction de dimension On a parfois des données en dimension élevée (ex: ltres de Gabor) on ne peut pas les visualiser facilement! Représentation de données en grande dimension On capture les 2 ou 3 premières directions principales, on projette les données dessus et c'est ce qu'on va représenter.

19 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 17/1 Application: réduction de dimension Considérons l'espace des patchs de taille 5 5 de l'image. On a une matrice de points dans R 2 5

20 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 18/1 Application: réduction de dimension Projection sur la première direction: 77% des variations sont capturées.

21 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 18/1 Application: réduction de dimension Projection sur la première direction: 77% des variations sont capturées.

22 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 19/1 Application: réduction de dimension Projection sur les deux premières directions: 86% des variations sont capturées.

23 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 20/1 Application: réduction de dimension Projection sur les trois premières directions: 92% des variations sont capturées.

24 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 21/1 Une remarque sur la réduction de dimension PCA fait l'hypothèse que l'ensemble des données peuvent être expliquée par un modèle linéaire Pour aller plus loin sur la réduction de dimension Locally Linear Embedding, Multi-dimensionnal Scaling, NonLinear PCA...

25 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 22/1 Application: réduction de dimension Les dernières dimensions capturent des variances très faibles: assimilables à du bruit. Robustesse Quand on calcule la distance entre deux vecteurs de description, on ne va regarder que la diérence selon ces premières variations. Principe qui peut s'appliquer à K-means, meanshift et l'algorithme EM que nous allons voir aujourd'hui.

26 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 23/1 Lien avec la régression de droite ou de plan Si on veut trouver la droite de régression d'un ensemble de points p i, on cherche à résoudre: p i proj(p i, π) 2 min πunplan i

27 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 23/1 Lien avec la régression de droite ou de plan Si on veut trouver la droite de régression d'un ensemble de points p i, on cherche à résoudre: p i proj(p i, π) 2 min πunplan i Le plan π peut s'écrire par un point o et une direction normale n

28 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 23/1 Lien avec la régression de droite ou de plan Si on veut trouver la droite de régression d'un ensemble de points p i, on cherche à résoudre: p i proj(p i, π) 2 min πunplan i Le plan π peut s'écrire par un point o et une direction normale n Pouvez-vous montrer le lien entre la direction qui minimise la variance du nuage de points centrés et la normale au plan de régression?

29 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 23/1 Lien avec la régression de droite ou de plan Si on veut trouver la droite de régression d'un ensemble de points p i, on cherche à résoudre: p i proj(p i, π) 2 min πunplan i Le plan π peut s'écrire par un point o et une direction normale n Pouvez-vous montrer le lien entre la direction qui minimise la variance du nuage de points centrés et la normale au plan de régression? PCA - régression Finalement pour trouver le plan de régression, il sut de chercher le barycentre des points et la direction propre associée à la plus petite valeur propre de la plus petite matrice de covariance.

30 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 24/1 Lien avec la régression Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur la régression au prochain cours!

31 L'Analyse en Composantes Principales (ACP - PCA) 25/1 Un algorithme de segmentation basée sur PCA Un algorithme de segmentation TODOexpliciter Bouman et Orchard

32 Plan Gaussiennes et Mélanges de Gaussiennes 26/1

33 Gaussiennes et Mélanges de Gaussiennes 27/1 Loi Gaussienne Distribution Gaussienne dans R d La distribution gaussienne est une distribution qui dépend de plusieurs paramètres, une matrice de variance Σ R d d et une moyenne µ R d, une variable aléatoire X à valeurs dans R d suit une loi gaussienne si sa densite de probabilité s'écrit: f µ,σ (x) = 1 2π d det(σ) exp 1 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) On se restreint au cas non dégénéré où Σ est dénie positive.

34 Gaussiennes et Mélanges de Gaussiennes 28/1 Mélanges de Gaussiennes Dénition d'un mélange de Gaussiennes Un mélange de Gaussienne (Gaussian Mixture Model - GMM) permet de modéliser une distribution comme une somme pondérée de K gaussiennes. Sa densité s'écrit: g Λ (x) = K π i f µi,σ i (x) = i=1 K i=1 π i 1 2π d det(σ) exp 1 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) Λ = {(µ i ) i=1 K, (Σ i ) i=1 K, (π i ) i=1 K } π i est la proportion de la ième gaussienne dans le mélange: π i [0, 1] et K i=1 π i = 1. µ i R d et Σ i R d d sont la moyenne et la covariance de la i eme gaussienne

35 Mélanges de Gaussiennes Gaussiennes et Mélanges de Gaussiennes 29/1

36 Mélanges de Gaussiennes Gaussiennes et Mélanges de Gaussiennes 30/1

37 Plan Algorithme Expectation Maximization 31/1

38 Algorithme Expectation Maximization 32/1 Idée derrière l'algorithme EM (Dempster et al. 77) But: estimer les paramètres Λ du mélange de gaussiennes qui représenta au mieux les données Etant donné les paramètres Λ on peut quantier la probabilité que l'échantillon suive cette loi.

39 Algorithme Expectation Maximization 32/1 Idée derrière l'algorithme EM (Dempster et al. 77) But: estimer les paramètres Λ du mélange de gaussiennes qui représenta au mieux les données Etant donné les paramètres Λ on peut quantier la probabilité que l'échantillon suive cette loi. Principe On va estimer les paramètres Λ du mélange qui maximisent la probabilité de réalisation de l'observation.

40 Algorithme Expectation Maximization 33/1 Log-vraisemblance Dénition La vraisemblance (likelihood) est une probabilité conditionnelle mesurant la probabilité de l'échantillon sachant les paramètres: L(x 1 x n Λ) = n g Λ (x i ) i=1 Plus la vraisemblance est forte plus le modèle avec ces paramètres ont de chance d'avoir généré l'échantillon. On parle souvent en log-vraisemblance (plus pratique)

41 Algorithme Expectation Maximization 34/1 Estimateur du maximum de vraisemblance Pour estimer les paramètres optimaux Λ, on va résoudre: ˆΛ = argmin L(x 1 x n, Λ) Λ

42 Algorithme Expectation Maximization 34/1 Estimateur du maximum de vraisemblance Pour estimer les paramètres optimaux Λ, on va résoudre: ˆΛ = argmin L(x 1 x n, Λ) Λ L'estimation des paramètres se réduit à un problème d'optimisation

43 Algorithme Expectation Maximization 34/1 Estimateur du maximum de vraisemblance Pour estimer les paramètres optimaux Λ, on va résoudre: ˆΛ = argmin L(x 1 x n, Λ) Λ L'estimation des paramètres se réduit à un problème d'optimisation Si la vraisemblance est dérivable, il faut résoudre L Λ = 0

44 Algorithme Expectation Maximization 35/1 La vraisemblance dans le cas des mélanges de Gaussiennes Rappel: g Λ (x) = K π i f µi,σ i (x) = i=1 K i=1 π i 1 2π d det(σ) exp 1 2 (x µ)t Σ 1 (x µ) Et donc: n ln L(Λ) = ln g Λ (x i ) i=1 Maximiser directement ln L(Λ) est impossible! Il y a des données cachées qui sont l'appartenance à l'une ou l'autre des classes.

45 Algorithme Expectation Maximization 36/1 Simplication: appartenance des classes connues Hypothèse supplémentaire On observe les variables (x i, z i ) i=1 n où z i est un vecteurs à K dimensions à valeurs dans {0, 1} et telle que la somme de ses composantes vaut 1. La log-vraisemblance s'écrit: h Λ (x, z) = K π i z i f µi,σ i (x) i=1 L X,Z (Λ) = ln n h Λ (x i, z i ) i=1 La maximisation de la log-vraisemblance donne: π i = card C j n 1 ; µ i = card C i 1 x j ; Σ i = card C i x j C i x j C i (x j µ i ) T (x j µ i )

46 Problème réel On reprend le problème de maximisation de ln L(Λ) = n i=1 ln g Λ(x i ) Impossible à maximiser à cause des variables cachées z i Proba conditionnelle f (z x, Λ) L(x, z; Λ) = n ln f (z i x i, Λ) + ln f (x i, Λ) i=1 L(x; Λ) = L(x, z, Λ) n ln f (z i x i, Λ) En passant par des espérances conditionnelles, cela peut se réécrire: i=1 L(x; Λ) = Q(Λ, Λ k ) H(Λ, Λ k ) Algorithme Expectation Maximization 37/1

47 Algorithme Expectation Maximization 38/1 On traduit ceci en algorithme: La suite Λ k+1 = argmax Q(Λ, Λ k ) fait tendre la log-vraisemblance vers un maximum local On va se servir ce principe pour construire un algorithme itératif. Etape E (expectation): on évalue l'espérance de l'échantillon sachant Λ k Etape M (maximization): on calcule Λ k+1

48 Algorithme Expectation Maximization 39/1 Algorithme Algorithm 1: Algorithme EM 1 Initialiser Λ 0 ; 2 do 3 Étape E Calculer H t ij = π t j f Λ t (z j x i ) K j=1 πt j f Λ t (z j x i ) ; 4 Étape M Calculer π t+1 j = 1 n n i=1 H t ij Σ t+1 j = µ t+1 j = n i=1 x i H t ij n i=1 H t ij n i=1 (x i µ t+1 j ) T (x i µ t+1 j n i=1 H t ij )H t ij 5 Until Convergence;

49 Algorithme Expectation Maximization 40/1 Pourquoi ça marche? La log-vraisemblance croît au long de l'algorithme, elle est bornée, l'algorithme converge La convergence peut être vers un maximum local Pour sortir du maximum local, on peut lancer l'algorithme avec diérentes initialisations

50 Application à la segmentation Algorithme Expectation Maximization 41/1

51 Application à la segmentation Algorithme Expectation Maximization 42/1

52 Application à la segmentation Algorithme Expectation Maximization 43/1

53 Algorithme Expectation Maximization 44/1 Conclusion Les données images peuvent être expliquées par des modèles génératifs diérents Gaussiennes et Mélanges de Gaussiennes très utiles pour transférer de la couleur: voir le cours 4 en Janvier Segmentation d'histogramme EM plus intéressante qu'avec K-means et plus ecace que meanshift. Mais il faut connaitre le nombre de classes.

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