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1 Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E= { 1, 2 } b) Obtenir deux côtés identiques lors du lancer de deux pièces de monnaie. U= { ( pile, pile ), ( pile, face ), ( face, pile ), ( face, face ) } E= { ( pile, pile ), ( face, face ) } 2. Dire si les expériences suivantes sont dépendantes ou indépendantes. a) Trois lancers consécutifs.. indépendante b) Le tirage, sans remise, de deux boules d une urne..dépendante c) Le tirage, avec remise, de deux jetons dans un sac.. indépendante d) Le lancer de deux pièces de monnaie..indépendant 3. Lors du lancer de deux dés numérotés de 1 à 6 et non truqués, quelle est la probabilité d obtenir trois nombres pairs? U= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } E= { 2, 4, 6 } P(E)= ( 3/6 ) ( 3/6 ) ( 3/6 ) = 1/8

2 4. Dans une boîte contenant 3 jetons verts et 2 jetons bleus, quelle est la probabilité : a) d obtenir un jeton bleu puis un jeton vert si le tirage se fait sans remise P(E)= ( 2/5 ) ( ¾ ) = 3/10 b) d obtenir un jeton vert puis un jeton bleu si le tirage se fait avec remise P(E)= ( 3/5 ) ( 2/5 ) = 6/25 c) d obtenir un jeton bleu, puis un jeton vert, puis un autre jeton bleu, si le tirage se fait sans remise. P(E)= ( 2/5 ) ( 3/4 ) ( 1/3 ) = 1/10 5. L expérience consiste à piger une carte dans un jeu de 52 cartes. Déterminer la probabilité : a) de choisir l as de cœur P(E)= 1/52 b) de choisir un 2 P(E)= 4/52 = 1/13 c) de choisir du trèfle P(E)= 13/52 = 1/4 d) de choisir une carte dont la valeur est un 3, un 5 ou un 7. P(E)= 12/52 = 3/13

3 6. L expérience consiste à lancer un dé non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Dire si les ensembles suivants sont des événements complémentaires. Répondre par oui ou non. a) {2,3,4} et {1,2,5,6} non b) {1,2} et {1,2,3,4} non c) {1} et {1,2,3,4,5,6} non d) {3,4} et {5,6} non e) {1,3,5} et {2,4,6} oui 7. L expérience consiste à lancer trois dés sur la table, un à la suite de l autre. Déterminer la probabilité d obtenir : 5 sur le premier dé 3 sur le deuxième dé 2 sur le troisième dé P(E)= ( 1/6 ) ( 1/6 ) ( 1/6 ) = 1/216 = 0,005 Déterminer la probabilité d obtenir trois nombres identiques P(E)= ( 6/6 ) ( 1/6 ) ( 1/6 ) = 6/216 = 1/36 = 0,027

4 8. On demande à Sophie de piger une carte dans un jeu de 52 cartes. Parmi les énoncés suivants, lesquels sont vrais? a) P(Piger un valet) = P(Piger une dame) Vrai b) P(Piger une figure) = 1 Faux c) P(Piger un 5 rouge) = 0,38 Faux d) P(Piger une carte noire) = 1 P(Piger une carte rouge) Vrai 9. Un dé à six faces a été pipé. Les probabilités d obtenir 5 des 6 faces ont été attribuées ainsi après de nombreux essais. P(face 1) = 0,2 P(face 2) = 0,15 P(face 3) = 0,4 P(face 4) = 0,1 P(face 5) = 0,08 a) Quelle est la probabilité d obtenir la sixième face? P( face 6 ) = 0,07 1- ( P( face 1 ) + P( face 2 ) + P( face 3) + P( face 4 ) + P( face 5 )) b) Quelle est la probabilité d obtenir un nombre inférieur à 3? P( x < 3 ) = 0,35 P( face 1 ) + P ( face 2 ) c) Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? P( multiple de 3 ) = 0,47 P( face 3 ) + P( face 6 )

5 d) Quelle est la probabilité d obtenir une face supérieure ou égale à 3? P( x 3 ) = 0,65 P( face 3 ) + P( face 4 ) + P( face 5 ) + P( face 6 ) 10. Une boîte contient 12 boules : 3 noires, 5 rouges et 4 blanches. On tire simultanément 2 boules au hasard. Quelle est la probabilité pour que a) les 2 boules soient rouges? P( rouge, rouge ) = ( 5/12 ) ( 4/11 ) = 5/33 b) les 2 boules soient de la même couleur? P( noire, noire ) + P( rouge, rouge ) + P( blanche, blanche ) = ( 3/12 ) ( 2/11 ) + ( 5/12 ) ( 4/11 ) + ( 4/12 ) ( 3/11 ) = 19/66 c) aucune des 2 boules ne soit blanche? P( N, N ) + P( N, R ) + P( R, N ) + P( R, R ) = ( 3/12 ) ( 2/11 ) + 2 ( 3/12 ) ( 5/11 ) + ( 5/12 ) ( 4/11 ) =14/33 d) au moins une des 2 boules soit noire? P( N, N ) + P( N, R ) + P( R, N ) + P( N, B ) + P( B, N ) = ( 3/12 ) ( 2/11 ) + 2 ( 3/12 ) ( 5/11 ) + 2 ( 3/12 ) ( 4/11 ) = 5/11 e) au plus une des 2 boules soit rouge? 1 P( rouge, rouge ) = 1 ( 5/12 ) ( 4/11 ) = 28/33

6 11. Louise et son conjoint désirent fonder une famille de 4 enfants. Selon les statistiques, la probabilité qu un enfant soit une fille est de 0,52 tandis que celle d un garçon est de 0,48. En construisant l arbre des probabilités, calcule la probabilité que ce couple ait au moins 3 filles. P( avoir au moins 3 filles dans une famille de 4 enfants ) = P( ( F, F, F, F ), ( F, F, F, G ), ( F, F, G, F ), ( F, G, F, F ), ( G, F, F, F ) ) = ( 0,52 ) ( 0,48 x 0,52 3 ) = 0, Une histoire de chasse Une boîte contient quatre billets identifiés : chasseur renard lièvre carotte On tire successivement et sans remise, trois billets de la boîte. On note le triplet obtenu. Malheureusement, si le lièvre se retrouve dans le même triplet que le renard et que le chasseur n y est pas, il se retrouvera dans l estomac de son prédateur. Calcule la probabilité qu a le lièvre de survivre à cette expérience. Légende : ch : chasseur re : renard li : lièvre ca : carotte

7 Les 24 cas possibles : U = ( ch, li, ca ), ( ch, li, re ), ( ch, ca, re ), ( ch, ca, li ), ( ch, re, li ), ( ch, re, ca ), ( li, ch, re ), ( li, ch, ca ), ( li, ca, ch ), ( li, ca, re ), ( li, re, ch ), ( li, re, ca ), ( ca, ch, re ), ( ca, ch, li ), ( ca, li, ch ), ( ca, li, re ), ( ca, re, ch ), ( ca, re, li ), ( re, ch,li ), ( re, ch, ca ),( re, li, ch ), ( re, li, ca ), ( re, ca, ch ), ( re, ca, li ) La probabilité pour chacun des éléments de l Univers des possibles est ( ¼ ) ( 1/3 ) ( ½ ) = 1/24 La probabilité qu a le lièvre de survivre se calcule : P( lièvre, renard, chasseur : dans tous les ordres ) + P( lièvre sans le renard ) + P( pas le lièvre) = 6 x ( 1/24 ) + 6 x ( ¼ ) ( 1/3 ) ( ½ ) + 6 x ( ¼ ) ( 1/3 ) ( ½ ) = ¾ OU 1 P( le lièvre se retrouve dans l estomac du renard ) = 1-6 x ( 1/24 ) = 3/4

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