XII - GAZ PARFAIT DE BOSONS A- particules matérielles
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- Coralie Clermont
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1 XII - GAZ PARFAI DE BOSONS A- particules matérielles 74 Das ce qui suit, ous allos étudier les systèmes de bosos dééérés (satisfaisat à la statistique de Bose-Eistei formés de particules matérielles de masse m, o relativistes. Nous supposeros que ces particules ot u spi ul. Nous avos obteu précédemmet les relatios suivates pour u az idéal de bosos de spi ul: P k LoL - N i i Lo ( z exp( βε i i i i z exp( βεi où z exp( βμ est la fuacité du az. Nous costatos que la fuacité z est comprise etre zéro et (autremet certais ombres d occupatio seraiet éatifs. Nous cosidéros des volumes macroscopiques. Les iveaux sot très serrés ; o peut remplacer la sommatio par ue itératio, e preat u état par volume de l espace des pases permis. Le ombre d états d impulsio comprise etre p et p + dp est : 4πp ( p dp Sacat que les particules sot o relativistes, leur éerie ciétique est : p ε m Le ombre d états d éerie comprise etre ε et ε + dε est : π dp / ( ε dε ( p dp ( m / ε dε Quad ous utilisos cette expressio, ous attribuos u poids statistique zéro à l éerie ε du iveau fodametal. eci est pas acceptable car ous devos avoir u poids statistique pour tout état o déééré du système. Il est doc judicieux de traiter ce terme séparémet das l itératio et d écrire : P π / ( m Lo( z ( d Lo( z k ε / exp βε ε et : / N π / ε dε z ( m + ( z exp βε z Pour z, ce qui correspod à la limite classique, cacu des deux deriers z termes de ces équatios est de l ordre de et est doc élieable. Quad z aumete i et pred ue valeur proce de l uité, le terme z z N deviet ue fractio siificative de N ; par cotre, le terme :
2 Lo reste élieable. Faisos le caemet de variable : βε x O aura alors : où : P k π ( z Lo ( N + / ( mk / x Lo( z exp( x dx N N π / x dx ( mk z exp / ( πmk défiies par : est la loueur d ode termique moyee. Itroduisos les foctios où Γ( Γ est la foctio Gamma d Euler. / x ( x dx ( z exp( x L expressio fiale de k P a été obteue après ue itératio par parties. Les équatios : P k 5 / N N / sot os résultats de base. L éerie itere du système est doée par : LoL U k 5 / β ette expressio ous coduit à : P U relatio que ous avos déjà démotrée et qui est valable quelle que soit la statistique. Pour de faibles valeurs de z z <<, ous pouvos utiliser le développemet limité suivat : ( l z z z z z l l Das le même temps, ous pouvos élier N devat N. Ue élimiatio de z das les relatios de P et de N coduit au développemet du iriel : P l a l ( l Les coefficiets a l sot tels que : / 5 / 75
3 a a a La caleur spécifique du az est alors doée par l expressio: v ( + + ( + 5 l l al l Notos qu à température fiie élevée, la capacité calorifique du az est plus rade que la valeur classique. Quad la température est basse, ous devos utiliser les relatios exactes de P et de N N. La valeur précise de z peut être obteue à partir de cette expressio, qui peut être réécrite sous la forme: / ( πmk Ne / Ne où est le ombre de particules das les états excités. La valeur maximale que peut predre la fuacité z est (autremet le ombre d occupatio : z serait éatif. eci implique que le potetiel cimique est éatif. ela siifie que l éerie du système dimiue lorsqu o lui rajoute ue particule. Bie que les particules soiet sas iteractio, l effet de symétrie de la foctio d ode est équivalet à celui d ue iteractio. Les fermios semblet se repousser : u fermio das u état fait que cet état est iterdit aux autres. Les bosos semblet s attirer puisque l éerie dimiue quad o rajoute des particules. D autre part, la foctio maximale est : / 76 / est ue foctio croissate de z ; sa valeur / / 4 ( ξ ( /, 6 / La foctio ξ est la foctio Zéta de Riema. Par coséquet, pour des valeurs doées de et de, le ombre de particules qui peuvet se placer das les états excités est aussi limité : / ( πmk N e ξ ( / Nemax Nemax at que le ombre de particules N du az est iférieur à, les particules sot distribuées sur les états excités et le ombre de particules das le fodametal est microscopique doc élieable devat N. Quad le ombre de particules N est supérieur à Nemax, les états excités vot recevoir Nemax ; le reste des particules, soit N Nemax sera placé das le fodametal dot l occupatio est alors macroscopique. La valeur de la fuacité z est das ce cas : N z N + e péomèe est la codesatio de Bose-Eistei. Il a été découvert téoriquemet e 94 ; il a été réalisé expérimetalemet e 995. L apparitio de cette codesatio se fait à la coditio que :
4 N / ( πmk / ξ ( / Pour u volume fixé et u ombre de particules N, elle se produit pour ue température telle que : / N πmk ( / ξ Applicatio umérique : alculer la température de codesatio de Bose-Eistei pour l élium liquide dot la masse volumique est. ρ.4 / cm 77 Pour le système peut être vu comme u mélae de deux pases : i ue pase azeuse costituée de ii iveaux excités ue pase codesée cosistat e / N e N particules distribuées sur les N / N particules accumulées das le iveau fodametal. La caleur spécifique à volume costat du az peut être détermiée e utilisat la relatio : U P. Pour : v 5 5 ξ 4 N / qui est proportioel à. A la valeur Pour, ous avos : E utilisat les relatios suivates : et : ous avos : ce qui coduit à : Das la limite v 5 ξ 4 ξ, ous avos : ( 5/ ( / v v / z z z z, la foctio ( 5 / /.95 N N, / ( πmk z / N, / 5 5 / 9 / 4 / 4 / / z divere ; o a doc :
5 v 5 ξ 4 ξ ( 5/ ( /.95 La caleur spécifique à volume costat est doc cotiue e toutefois discotiue, la discotiuité valat : v + v 7 ξ 6π ( / c. Sa dérivée est /,5, / apacité calorifique d'u az parfait de bosos Pedat ue ciquataie d aées, o a pesé que la réalisatio de la codesatio de Bose Eistei était pas possible. Mais e même temps, des prorès das le refroidissemet d atomes et das l obtetio des basses températures sot réulièremet ereistrés. E 995, les pysicies ot pu réaliser pour la première fois ue codesatio qui est assez proce de celle étudiée par Eistei sur des atomes de R b. L importace de cette réalisatio expérimetale a été recoue rapidemet par la commuauté scietifique iteratioale car le prix Nobel de pysique a été attribué à ses réalisateurs e.
6 79 INEGRALES DE BOSE EINSEIN Das l étude des systèmes parfaits de bosos, ous recotros des itérales du type : x dx Γ( avec z z exp( x et où Γ( est la foctio amma d Euler. Pour z petit devat, l itérat peut être développé e puissace de z : l l z ( ( x ( z exp x dx Γ l l l O voit que pour z, pour toute valeur de, se comporte comme z. La foctio z est ue foctio mootoe croissate de z. Quad z pred sa valeur ( z ξ ( ( maximale, la foctio deviet éale à la foctio Zéta de Riema est sa valeur maximale : ( ξ (, la foctio ( (o remarque que pour ξ divere. Les valeurs umériques de quelques foctios Zéta sot les suivates : ( π 4 ξ. 645 ( 4 π ξ ( 8 π ξ (. ( 5. 7 ξ ξ ( 7. 7, qui ξ ξ ( 6. 7 ξ ( /. 6 ξ ( 5 /. 4 ξ ( 7 /. 7 E différetiat, o obtiet la relatio suivate etre et z z : 6 π 945
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