IREM Martine Quinio. 5 février 2013

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2 IREM 2013 Martie Quiio 5 février La loi de Gauss, ou loi ormale Itroductio : Lire court article C.Villai das Le Mode du 14-15/12 : il compare le traitemet médiatique boso de Higgs et rats OGM ; les probabilités et la otio de seuil de cofiace...article grad public sur le rôle des probas, les statistiques e sot pas que des mesoges ; allusio Historique de la Courbe de Gauss Laplace ( ), e Frace : Il étudie les aissaces e posat la probabilité d avoir ue fille p=0,49 ; le ombre k de filles parmi efats est ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale de paramètres et p : Il gééralise le problème de De Moivre (1733) Il trace u diagramme, avec, e abscisse, les différetes valeurs de k, et, e ordoée, les probabilités associées ; Laplace cherche la courbe qui lisse les observatios. Laplace obtiet les seules foctios du type : e 1 2k (x m)2 Esuite, Laplace, physicie et astroome s itéresse au problème des erreurs, erreurs de mesure faites sur ue série d observatios de pressio doées par u baromètre à divers momets de la jourée. Problème : Commet obteir l estimatio d ue mesure compte teu des erreurs dues aux istrumets, des erreurs de lecture et de multiples petites causes perturbatrices ; Laplace a l idée de faire u grad ombre de mesures, ce qui costitue ue approche statistique du problème. Supposos que l o effectue ue série d observatios et désigos par Ei l erreur associée à l observatio uméro i, erreur évidemmet icoue : la suite des erreurs est ue suite de variables aléatoires idépedates dot la somme S est l erreur totale, variable aléatoire aussi ; Laplace examie le comportemet de S quad deviet grad et motre commet ce problème gééralise le précédet. Gauss ( ) e Allemage : Gauss se demade commet estimer la valeur d u paramètre à partir de résultats observés ; il développe alors la théorie de l estimatio par la méthode des moidres carrés, pose ue foctio dite foctio de vraisemblace, qui est ue probabilité ; posat quelques hypothèses de régularité, Gauss démotre qu alors, les seules foctios possibles sot les foctios du type e 1 2 x2 2

3 Et retrouve les foctios de Laplace dot la courbe représetative a l allure de la courbe e cloche... 2 Pourquoi la loi ormale s appelle-t-elle loi ormale? 2.1 Covergece vers la loi ormale Le poit suivat justifie l appellatio «loi ormale» Théorème 2.1 (dit : «cetral limite» ou de la limite cetrale) : Si (X i ) i, sot des variables aléatoires idépedates et de même loi, quelle que soit cette loi, m leur espérace commue et σ 2 la variace commue, alors la suite des variables aléatoires ( X σ m ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N(0, 1), e otat X la variable aléatoire : i=1 X = X i Cela sigifie que la loi de probabilité de la moyee ("moyee d échatillo") de variables aléatoires idépedates et de même loi, quelle que soit cette loi, se comporte, σ pour assez grad, comme ue loi ormalen(m, ) : Défiitio 2.1 Ue suite de variables aléatoires idépedates et de même loi est u - échatillo de cette loi. Remarque 2.1 La démostratio est évidemmet impossible e termiale, mais o peut leur faire calculer l espérace et la variace de la moyee d échatillo... Remarque 2.2 Motros à préset la puissace du théorème : So itérêt est que l o peut évaluer des probabilités du type : i=1 P [ X i a], ou ecore, P [ i=1 X i a], même si l o e coaît pas la loi des X i, ou même si cette loi est compliquée, pourvu que ces variables aléatoires soiet idépedates, de même loi et que soit assez grad : c est u résultat très puissat! Exemple 2.1 O suppose que la température moyee du mois de mai à Marseille est ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale de moyee : 19 et d écart-type : 2 ; o suppose que ces températures moyees sot idépedates d ue aée sur l autre. Quelle est la loi suivie par la moyee des températures moyees e mai, à Marseille, sur trois aées cosécutives? Quelle est la probabilité pour que, durat trois aées cosécutives, la température moyee dépasse 20? 3

4 Solutio : Notos X i, i 3, la variable aléatoire : «température moyee du mois de mai, aée i, à Marseille» La moyee sur 3 as est la variable aléatoire : X = X 1 + X 2 + X 3 : l espérace de X 3 est 19, la variace de X est : V arx = 1 9 (V ar X 1 + V ar X 2 + V ar X 3 ) = = 4 3. La loi suivie par la moyee des températures moyees e mai, à Marseille, sur trois 4 aées cosécutives est ue loi ormale de moyee : 19 et d écart-type : 3 La probabilité pour que, durat trois aées cosécutives, la température moyee dépasse 20 peut se calculer comme la probabilité de trois évéemets idépedats : C est doc (P [X i 20]) 3 : Or, P [X i 20] = P [ X i ] = 1 Π( ). Doc : P [X i 20]) : eviro 3 pour 100 est la probabilité cherchée. Exemple 2.2 O suppose que la température moyee du mois de mai à Marseille est ue variable aléatoire qui suit ue loi icoue de moyee : 19 et d écart-type : 2 ; o suppose seulemet que ces températures moyees sot idépedates d ue aée sur l autre. Quelle est la loi suivie par la moyee des températures moyees e mai, à Marseille, sur 50 aées cosécutives? 50 i=1 La loi suivie par la moyee X = X i des températures moyees e mai, à Marseille, sur ciquate aées cosécutives, est ue loi ormale de moyee : E(X) = 19 = 50 E(X i ), et d écart-type : σ(x) = 1 50.V arxi = σ(x i) = Loi des erreurs La puissace du TCL... Supposos qu ue usie fabrique des pièces dot l ue des dimesios est ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale ; l erreur est ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale N(0 ; σ) : Doc pour chaque pièce, l erreur Ei est telle que : Alors si l erreur moyee est : X = σ(x) = σ : P [ 1.96σ < Ei 1.96σ] = 0.95 i=1 Ei : Doc sur pièces la précisio est fois meilleure puisque : P [ 1.96 σ < i=1 Ei 1.96 σ ] = 0.95 Applicatio : Soit ue série de mesures xi d ue distace (exemple : Terre Soleil à t doé) : E 2006, des mesures ot été effectuées das de ombreux lycées e Frace utilisat la durée de l eclipse de Véus... Xi : la variable aléatoire "mesure i" 4

5 Posos : Ei=d-Xi : L espérace de Xi est d. Le résultat précédet doe : P [d 1.96 σ i=1 < Xi d σ ] = 0.95 : i=1 xi Doc la moyee des mesures, m= état ue réalisatio de la variable aléatoire i=1 Xi : La moyee m doe la distace d avec ue précisio fois meilleure que ue seule mesure! Exemple : 400 mesures doe ue précisio 20 fois meilleure qu ue seule mesure : Remarque 2.3 La multiplicatio des observatios augmete la précisio, puisque l écarttype dimiue! Exercice 2.1 Sur u trajet e trai (heure doée, jour doé) Paris-Marseille, le retard moye est de 10m ; o cosidère que le retard est ue variable aléatoire R d espérace (e m) 10 et decart-type : 3. 1) O cosidère que la loi de R est ue loi ormale : Calculez P [5 < R < 15]. 2) Le trajet durat 3h, doer u itervalle de cofiace à 95% du retard et doc du temps du trajet. 3) La loi de R est icoue ; o étudie plusieurs trajets, o ote R i la variable aléatoire "retard" sur le trajet uméro i. O suppose les variables aléatoires R i idépedates, de m{eme loi, de paramètres doés das la questio 1. Soit X la variable aléatoire "retard moye sur trajets", 100. Quelle est la loi de X? 4) Doer u itervalle de cofiace à 95% du retard moye sur 100 trajets. Solutio 2.1 Trais 1) La variable aléatoire (R 10)/3 suit ue loi ormale cetrée Y réduite : P [5 < R < 15] = P [(5 10)/3 < (R 10)/3 < (15 10)/3] = 2F (5/3) 1 = 90.4% 2) Comme Y est cetrée réduite, P [ 1.96 < Y < 1.96] = 0.95 u itervalle de fluctuatio à 95% du retard est e m, [ ; ] = [4m; 16m] 3) La loi de X est ue loi ormale dspérace 10, decart-type 3/. 4) U itervalle de fluctuatio à 95% du retard moye sur 100 trajets est doc : [ / ; / ] = [9m24; 10m36] La précisio est bie meilleure, et c est aisi que a posteriori, o peut estimer le retard moye : le retard est ue variable aléatoire R d espérace (e m)

6 3 Théorème de Moivre Laplace Le TCL a cou plusieurs expressios, jusqu à sa démostratio sous la forme actuelle (Russie, XIX ème siècle, Chebychev) ; el Théorème de Moivre Laplace e est ue première versio... Théorème 3.1 Ue variable aléatoire X qui suit ue loi biomiale de paramètres et p, coverge e loi vers ue variable aléatoire qui suit ue loi ormale N(m, σ), ce qui sigifie que la foctio de répartitio de X, qui déped de, peut être approchée par la foctio de répartitio d ue loi ormale de même espérace et de même variace. C est bie ue cosèquece du Théorème cetral limite : Si (X i ) i, sot des variables aléatoires idépedates et de même loi de Beroulli, m leur espérace commue et σ 2 la variace commue, alors la suite des variables aléatoires ( X σ m ) coverge e loi vers la loi ormale cetrée réduite N(0, 1), e otat X la variable aléatoire : X = X Si X B(, p) o peut approcher la loi de X par ue loi ormale : P [ b X m σ +b 1 b] e 1 2 x2 dx b 2π Pour b = 1.96 : P [ b X m σ b] = 0.95, soit, P [ 1.96 σ X m 1.96 σ ] = 0.95 Aisi l écart, e valeur absolue, etre la moyee d échatillo X et so espérace m est "cotrôlé" : P [ X m 1.96 σ ] = 0.05 Exercice 3.1 O estime que (voir ci dessous) le taux moye de persoes à soiger pour u problème de cholestérol élevé est de 7.5% das ue populatio : Das u échatillo de persoes, doer u itervalle de fluctuatio das lequel o soit sûr, à 95%, de trouver le ombre exact de persoes à soiger sur les Solutio 3.1 Le ombre de persoes malades parmi les persoes suit ue loi biomiale de param ètres p = et = 10000, qu o approche par ue loi ormale N (p, p(1 p). O obtiet doc l itervalle de fluctuatio à 95% [p p(1 p), p 1.96 p(1 p)] [698; 802]. 6

7 4 Iitiatio aux tests sur ue moyee Exemple 4.1 Des laboratoires affirmet que le taux moye de cholestérol d ue certaie populatio doée est de 190 cg ; sur u échatillo de 100 patiets, o a observé ue moyee de 200 cg, avec u écart-type de 40 cg. Peut-o se fier aux affirmatios de ces laboratoires ou bie doit-o mettre leurs doées e doute? Cela reviet à chercher u itervalle de cofiace... 5 Des exemples de problèmes faisables e termiale Exercice 5.1 Sur ue lige de bus, o estime que le retard e miutes sur l horaire est ue variable aléatoire R qui suit ue loi ormale N(m ; σ) O admet que la probabilité que le retard soit iférieur à 7 miutes est p=84,1% et que le retard moye est 5 miutes : 1) Calculer σ 2) Quelle est la probabilité pour que le retard dépasse 9 miutes? 3) Sachat que le retard est supérieur à 3 miutes, quelle est la probabilité d attedre ecore mois de 4 miutes? 4) U étudiat pred ce bus tous les matis pedat 100 jours ; o suppose les retards jouraliers idépedats Soit X la variable aléatoire «ombre de matis parmi 100 où il atted mois de 7 miutes» Quelle est la loi de probabilité de X, so espérace, sa variace 5) Lassé des retards de bus, il décide de predre le bus ou le tram selo le protocole : Le premier jour, il pred le bus Si le jour il a attedu plus de 7 miutes, le jour suivat il pred le tram ; sio, il pred le bus le jour suivat Si le jour il pred le tram, le jour suivat il pred bus ou tram de faço équiprobable. O ote P() la probabilité de l évéemet «L étudiat pred le bus le jour» a) Motrer que : b) Etudier la suite (P ()) P ( + 1) = (p 1 2 )P () Exercice 5.2 Das cet exercice, o cosidère des courses cyclistes avec plus ou mois de participats et d étapes... Les parties A, B, C sot idépedates. Partie A U groupe de 200 coureurs, portat des dossards umérotés de 1 à 200, participe à ue course cycliste qui compred 20 étapes ; aucu abado est costaté. À la fi de chaque étape, u groupe de 10 coureurs est choisi au hasard pour subir u cotrôle atidopage. Ces désigatios de 10 coureurs à l issue de chacue des étapes sot idépedates. U même coureur peut doc être cotrôlé à l issue de plusieurs étapes. 7

8 1. À l issue de chaque étape, combie peut-o former de groupes différets de 10 coureurs? 2) À l issue d ue étape, o choisit au hasard u coureur parmi les 200 participats. Motrer que la probabilité pour qu il subisse le cotrôle prévu pour cette étape est p=0,05. 3) O ote X la variable aléatoire qui comptabilise le ombre de cotrôles subis par u coureur sur l esemble des 20 étapes de la course. a). Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X? Préciser ses paramètres. b). O choisit au hasard u coureur à l arrivée de la course. Calculer les probabilités des évèemets suivats : A : il a été cotrôlé 2 fois exactemet B : il a pas été cotrôlé ; C : il a été cotrôlé au mois ue fois. c) Par quelle loi de probabilité peut-o approcher la loi de X? Repredre alors les questios 3a et 3b et comparer les résultats. Partie B Cette fois la course cycliste compred 40 étapes et comporte 40 coureurs ; A la fi de chaque étape, u groupe de 10 coureurs est choisi au hasard pour subir le cotrôle atidopage. À l issue d ue étape, o choisit au hasard u coureur parmi les 40 participats. 1) Quelle est la probabilité pour qu il subisse le cotrôle prévu pour cette étape? 2) O ote Y la variable aléatoire qui comptabilise le ombre de cotrôles subis par u coureur sur l esemble des 40 étapes de la course. a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y? Préciser ses paramètres. b) Par quelle loi de probabilité peut-o approcher la loi de Y? 8

9 6 Solutios exercices Solutio 6.1 Bus 1) Calcul de σ : A l aide de la table de Gauss, o obtiet facilemet : σ 2 2) La probabilité pour que le retard dépasse 9 miutes est P [R > 9] = 1 Π( 2 )) σ 3) Sachat que le retard est supérieur à 3 miutes, la probabilité d attedre ecore mois de 4 miutes est : P ([R 7] [R 3]) P ([3 R 7]) P [R 3] [R 7] = = = 2Π( 2 ) 1 σ P [R 3] P [R 3] Π( 2 ) σ 4) Soit X la variable aléatoire «ombre de matis parmi 100 où il atted mois de 7 miutes» La loi de probabilité de X est ue loi biomiale de paramètres = 100, p = ( ) 100 P [X = k] = (0.841) k (0.159) 100 k k So espérace est p = 84.1, sa variace p(1 p) = ) O ote P() la probabilité de l évéemet «L étudiat pred le bus le jour» O peut faire u arbre des possibilités et o obtiet : P ( + 1) = pp () + 1 (1 P ()) 2 D où : P ( + 1) = (p 1 2 )P () b) Etude de la suite (P ()) : Si elle coverge la limite vérifie : l = (p 1)l + 1 : 2 2 Doc l = : O pose l = Puis, o a :(P ( + 1) l) = (p 1 )(P () l) 2 Ce qui motre que la suite géométrique (P () l) coverge vers 0, et doc : c) La suite (P ()) est covergete et sa limite est l = Solutio 6.2 Course vélo Partie A 1) O peut former ( ) groupes différets de 10 coureurs, soit eviro ) La probabilité pour qu il subisse le cotrôle prévu pour cette étape est p = 10 = 0, ) O ote X la variable aléatoire qui comptabilise le ombre de cotrôles subis par u coureur sur l esemble des 20 étapes de la course. a). la loi de probabilité de la variable aléatoire X est la loi biomiale de paramètres =20, p=0.05 L espérace est E(X)=p=1, VarX=p(1-p)=0.95 b). O choisit au hasard u coureur à l arrivée de la course. Calculer les probabilités des évèemets suivats : A : il a été cotrôlé 2 fois exactemet : 9

10 P (A) = ( 20 2 ) B : il a pas été cotrôlé ; P (B) = ( 20 0 ) C : il a été cotrôlé au mois ue fois. P (C) = 1 P (B) Partie B 1) La probabilité pour qu il subisse le cotrôle prévu pour cette étape est p = ) a) la loi de probabilité de la variable aléatoire Y est la loi biomiale de paramètres = 40, p = 0.25 L espérace est E(X) = p = 10, V arx = p(1 p) = 7.5 b) o paut approcher la loi de Y par la loi ormale de paramètre m=10, σ =