Calcul de la taille d un échantillon

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1 Calcul de la taille d un échantillon Pr. A. ILIADIS LaboratoiredePharmacocinétique U.F.R. de Pharmacie, Univerité de la Méditerranée Réumé du cour dipené dan le cadre du Diplôme d Univerité intitulé Expérimentation Animale. Principale référence: Saporta, G. (1990). Probabilité, Analye de Donnée et Statitique. Pari, Technip. 1 Introduction En calcul de probabilité, deux quetion e poent: Pr [x 1 X<x 2 ]=?dan le en de la préviion et Pr [x 1 X<?] = 1 α dan le en de l etimation, x 1 et x 2 étant deux niveaux (x 1 <x 2 ) de la variable aléatoire appelée X et α une probabilité (0 <α<1). On peut répondre à ce deux quetion par le même outil mathématique qui prend deux forme différente elon que la variable aléatoire et dicrète ou continue: Variable aléatoire dicrète (p.ex. nombre d animaux retant malade aprè traitement): Pr [x 1 X<x 2 ]= X f (x i )=F (x 2 ) F (x 1 ) x 1 x i <x 2 f (x) et la fonction de ditribution de probabilité et F (x) et la fonction cumulative de probabilité (CDF). Variable aléatoire continue (p.ex. taille tumorale aprè traitement): Z x2 Pr [x 1 X<x 2 ]= f (x) dx = F (x 2 ) F (x 1 ) x 1 f (x) et la fonction de denité de probabilité (PDF) et F (x) et la fonction cumulative de probabilité (CDF). Pour une variable aléatoire continue, ce deux fonction ont liée par la relation: df (x) = f (x) dx Parmi toute le fonction mathématique poible, celle qui peuvent être utiliée comme modèle de ditribution et de denité de probabilité doivent être non-négative et vérifier le condition: X Z f (x i )=1 et f (x) dx =1 Ce modèle ont caractérié par: i 1 x

2 l epérance E [X] qui exprime la tendance centrale, la variance V [X] qui exprime la diperion, l aymétrie Γ 1 [X] et l aplatiement Γ 2 [X] qui expriment la forme du modèle. 2 Statitique exploratoire - échantillon Comment obtenir ce outil-modèle mathématique f (x)? San doute, aprè avoir analyé la population (enemble de réultat poible iu d une expérience aléatoire) de la variable aléatoire X. Deuxcadefigure e préentent: Population dénombrable: analyer l expérience aléatoire et appliquer l approche théorique. Population de taille infinie: utilier l approche expérimentale qui conite à: Echantillonner (procédure aléatoire). Analyer le propriété de l échantillon et le réumer par de: graphique, le hitogramme, indice numérique qui caractérient: la tendance centrale, t.q. x, lamoyenne arithmétique, la diperion, t.q. 2,lavariance de l échantillon, la forme, t.q. γ 1 et γ 2, coefficient d aymétrie et d aplatiement, repectivement. Extrapoler ce propriété pour définir une fonction mathématique f (x) qui le vérifie. On e place dan le cadre d une population de taille infinie, inon le problème e réduit à un problème d analye combinatoire ou de recenement. 3 Statitique inférentielle - population Parmi le modèle diponible f (x), nou devon choiir celui qui et compatible avec le caractéritique de l échantillon. Ce choix e fait en deux étape: Choix tructurel: Fixer la forme mathématique en fonction du contexte expérimental, de la forme de l hitogramme et urtout en fonction de indice de forme γ 1 et γ 2. Par exemple, i γ 1 0 et γ 2 3 on choiit la PDF normale: " f N (x) = 1 exp 1 µ # x m 2 ou X N m, σ 2 2πσ 2 σ car ou l hypothèe de normalité, nou avon Γ 1 [X] =0et Γ 2 [X] =3. m et σ 2 ont le deux paramètre de la PDF dont le valeur numérique doivent être calculée à partir de obervation ur l échantillon. Ce paramètre expriment le caractéritique de la PDF, car E [X] =m et V [X] =σ 2. 2

3 Choix paramétrique: Aigner de valeur numérique aux paramètre de la tructure fixée. Par exemple, pour la PDF normale, trouver le valeur de e paramètre m et σ 2. Dan ce ca, la théorie de l etimation nou permet d affecter x à m (tou le deux exprimant la tendance centrale) et 2 à σ 2 (tou le deux exprimant la diperion). Alafin, on dipoe d un modèle complet f N (x) qui peut être utilié comme il a été indiqué en introduction. 4 Intervalle de confiance Soit α la probabilité pour que X e réalie à l extérieur de l intervalle [L g,l d ]: ou Pr [X <L g ou X L d ]=α Pr [L g X<L d ]=1 α L g et L d ont appelé le limite de confiance et [L g,l d ], l intervalle de confiance aocié au niveau α. En général, on partitionne α en α/2 à gauche de L g et en α/2 àdroitedel d. La relation précédente peut être alor écrite: et et par inverion de la fonction CDF: 5 Echantillonnage Pr [L g X<L d ]=F (L d ) F (L g )=1 α F (L g )=α/2 et F (L d )=1 α/2 L g = F 1 (α/2) et L d = F 1 (1 α/2) (1) Cette théorie revient ur la contitution d un échantillon repréentatif de la population à partir de laquelle il a été tiré. En effet, on pourrait imaginer pluieur échantillon E 1,E 2,... iu de la même population. L analye de chacun donnera de réultat différent: x 1, x 2,...pui 2 1,2 2,... etc. C et aini que x, 2 et le autre indice numérique deviennent de véritable variable aléatoire. Le quetion que nou allon nou poer ont: Quelle ont le caractéritique ditributionnelle de indice numérique de l échantillon? Si E 1,E 2,... peuvent être enviagée de taille différente, n 1,n 2,..., quelle et la taille critique qui garantit une certaine performance? La econde quetion contitue l objet de ce cour. La performance era exprimée par la largeur de l intervalle de confiance L d L g. Pour une taille donnée d un échantillon, l étude ditributionnelle de ce indice permet le calcul de intervalle de confiance oit pour de variable aléatoire continue, oit dicrète. 3

4 5.1 Variable aléatoire continue Dan le ca d un modèle général f (x), un certain nombre de réultat exitent, mai nou ne feron pa mention dan ce cour. Ici, nou allon préenter le réultat obtenu ou l hypothèe d un modèle PDF normal. En fait, elon le théorème central-limite de tatitique, le ca d un modèle normal et trè attendu quand l expérience aléatoire et compoé de pluieur proceu aléatoire mélangé, c et le ca en biologie. Nou allon donc fixer la tructure normale et établir de intervalle de confiance ur e paramètre m et σ Diperion exprimée par σ 2 : Ayant à notre dipoition x, 2 etc., l objectif et d obtenir un intervalle de confiance pour σ 2.Onétablitque: n 2 χ 2 (n 1) (2) σ 2 En d autre terme, l intervalle de confiance pour σ 2 peut être calculé à l aide de χ 2 à n 1 degré de liberté et en utiliant 2 calculé à partir de l échantillon de taille n. SoitF χ 2 (n 1) la CDF de χ 2 (n 1). 2. Tendance centrale exprimée par m: Ayant à notre dipoition x, 2 etc., l objectif et d obtenir un intervalle de confiance pour m. Onétablitque: x m n N (0, 1) σ On e rend compte dan cette relation que la répone dépend de σ. Si σ et connu, il uffit tout implement d utilier a valeur; le ca le plu intéreant et quand σ et inconnu. Il doit alor être remplacé par on etimation, mai la relation précédente doit être modifiée en conéquence. Ceci peut e faire à l aide de la ditribution de Student t. Onobtient: x m n 1 t (n 1) (3) C etainiquel intervalledeconfiance pour m peut être calculé à l aide de la ditribution t de Student à n 1 degré de liberté et en utiliant x et 2 calculé à partir de l échantillon de taille n. SoitF t (n 1) la CDF de t (n 1). 5.2 Variable aléatoire dicrète Soit E la variable aléatoire qui exprime le nombre d événement (aocié a priori à une probabilité p) réaliéaucourden répétition. C et le contexte d une ditribution binomiale, E B (p, n). Soit maintenant la fréquence w = E/n d apparition de E au cour de n répétition. w et maintenant une variable aléatoire continue. Quand n À 1, w devient pratiquement une variable aléatoire continue avec une ditribution w N [p, p (1 p) /n]. Lecalculdel intervalledeconfiance de p poe un problème du fait que p influence à la foi l epérance et la variance du modèle: il faut tabilier la variance. Soit la tranformation arcin w.lapdfdearcin w et maintenant: arcin µ w N arcin 1 p, 4n A l aide de cette tranformation, p n influence maintenant que l epérance. 4

5 1 0.8 F χ 2 (n 2 /σ 2 ) n 2 /σ 2 Figure 1: CDF de χ 2 pour n =10, 20, n 1) F t ( x m n=5 n=30 x m n Figure 2: CDF de Student pour n =5, 30. 5

6 Ayant à notre dipoition w, la fréquence obervé ur l échantillon, l objectif et d obtenir un intervalle de confiance ur p. D aprè la relation précédente, on établit que: 2 n arcin w arcin p N (0, 1) (4) L intervalle de confiance ur p peut être calculé en utiliant w et n, et faiant valoir la propriété 4. Soit F U la CDF de N (0, 1). 6 Application 6.1 Intervalle de confiance ur σ D aprè la ditribution 2, pour un α fixé et elon la définition 1, le limite de confiance L g et L d de la variable aléatoire 2 /σ 2 ont: L d = 1 n F 1 χ 2 (n 1) (1 α/2) et L g = 1 n F 1 (α/2) (5) χ 2 (n 1) L influencedelatailledel échantillonurl intervalledeconfiance de 2 /σ 2 peut être étudiée en traçant L d L g en fonction de n. La Figure 4 préente cette fonction pour α =0.10, 0.05, Exercie 1 Intervalle ur la diperion Analye Pour α =0.05, 2 =4et n =30, calculer le limite de confiance de σ. D aprè le table de ditribution χ 2 et compte tenu de 5, le limite de confiance de 2 /σ 2 ont: L d = 1 30 F (0.975) = = χ 2 (29) 30 L g = 1 30 F (0.025) = = χ 2 (29) 30 ce qui et bien vérifié ur la Figure 4. Ceci e traduit par: Pr σ 2 < =Pr <σ2 4 =Pr[ <σ ] = Synthèe On demande la taille néceaire de l échantillon pour "contrôler le rapport /σ dan l intervalle 0.75 /σ 1.12". Ceci amène à concevoir un intervalle de confiance: µ 2 µ 2 L d L g = =(1.12) 2 (0.75) σ g qui, pour de rique a =0.10, 0.05, 0.01, conduit repectivement à n =40, 60, Intervalle de confiance ur m σ d D aprè la ditribution 3, pour un α fixé et elon la définition 1, le limite de confiance L g et L d de la variable aléatoire x m ont: L d = 1 n 1 F 1 t(n 1) (1 α/2) et L g = L d (6) Il et aini évident que la largeur de l intervalle dépend de n. L influence de la taille de l échantillon ur l intervalle de confiance peut être étudiée en traçant L d L g en fonction de n. La Figure 5 préente cette fonction pour α =0.10, 0.05,

7 1 F U (2 n(arcin w arcin p)) n(arcin w arcin p) Figure 3: CDF de la ditribution normale centrée, réduite. Figure 4: Intervalle de confiance de 2 /σ 2.Pourα =0.10, 0.05, 0.01, L d L g en fonction de n. 1 7

8 Exercie 2 Intervalle ur la tendance centrale Analye Pour α =0.05, x =25, 2 =4et n =30, calculer le limite de confiance de m. D aprè le table de ditribution t et compte tenu de 6, le limite de confiance de x m ont: L d = 1 F t(29) (0.975) = = et L g = ce qui et bien vérifié ur la Figure 5. Ceci e traduit par: Pr x m < =Pr[ <m ] = 0.95 Synthèe On demande la taille néceaire de l échantillon pour "aurer un intervalle de confiance ur m du même ordre de grandeur que ". En d autre terme: L d L g = x m d x m g = m g m d Pour de rique a =0.10, 0.05, 0.01, ceci conduit repectivement à n =12, 20, Intervalle de confiance ur p D aprè la ditribution 4, pour un α fixé et elon la définition 1, le limite de confiance L g et L d pour la variable aléatoire arcin w arcin p ont: L d = 1 2 n F 1 U (1 α/2) et L g = L d (7) Il et aini évident que la largeur de l intervalle dépend de n. L influence de la taille de l échantillon ur l intervalle de confiance de arcin w arcin p peut être étudiée en traçant L d L g en fonction de n. La Figure 6 préente cette fonction pour α =0.10, 0.05, Exercie 3 Intervalle ur la fréquence Analye Pour α =0.05, w =0.9, 0.5, 0.1 et n =30, calculer le limite de confiance de p. D aprè le table de ditribution U et compte tenu de 7, le limite de confiance de arcin w arcin p ont: L d = F U (0.975) = = et L g = ce qui et bien vérifié ur la Figure 6. Ceci e traduit par: Pr arcin w arcin p< = Pr in 2 arcin w <p in 2 arcin w et A Pr [ p<0.9797] = 0.95 pour w =0.9, B Pr [ p<0.6751] = 0.95 pour w =0.5, et C Pr [ p<0.2304] = 0.95 pour w =0.1. =1 8

9 Figure 5: Intervalle de confiance de x m.pourα =0.10, 0.05, 0.01, L d L g en fonction de n. Figure 6: Intervalle de confiance de arcin w arcin p. Pour α =0.10, 0.05, 0.01, L d L g en fonction de n. 9

10 Synthèe On demande la taille néceaire de l échantillon pour "aurer une probabilité a priori dan un intervalle de 0.1 avec un rique α =0.05". On aura: L d L g = arcin w arcin p g arcin w arcin pd = arcin p d arcin p g La répone dépend du niveau de probabilité a priori p. Ainii: A p 0.9, L d L g =arcin 0.95 arcin et n =12, B p 0.5, L d L g =arcin 0.55 arcin et n =75,et C p 0.1, L d L g =arcin 0.15 arcin et n = Concluion Nou avon préenté que la partie "analye" du problème poé. La partie "ynthèe" poe toujour la quetion comment choiir n. D une manière pratique, il faut fixer la largeur d un intervalle ur l axe de ordonnée de Figure 4, 5 et 6, pui définir approximativement ur l axe de abcie une plage de valeur poible pour n. Ayant fixé n, une première expérience peut être planifiée uite à laquelle un premier échantillon être obtenu. Le obervation récoltée ur cet échantillon peuvent être utiliée: pour vérifier le intervalle de confiance preenti, mai aui, pour affiner davantage le choix de n au cour d une nouvelle expérience. 10

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