.., signal (X(t),t R), ex: sinusoïde. .., tout signal est une somme de sinusoïdes. .., filtre passe-bas idéal et filtre à moyenne mobile

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1 Information, Calcul t Communication Lçon 2.2: Echantillonnag d signaux (2èm parti) Information, Calcul t Communication O. Lévêqu Faculté Informatiqu t Communications Modul 2 : Information t Communication 1 2 Echantillonnag d signaux: rappl Echantillonnag d signaux: rappl Plan détaillé d cs dux lçons: La smain drnièr:.., signaux, fréquncs t band passant.., filtrag.., échantillonnag Aujourd hui:.., brf rappl.., rconstruction.., théorèm d échantillonnag.., sous-échantillonnag.., signal (X(t),t R), x: sinusoïd.., tout signal st un somm d sinusoïds.., fréqunc(s) présnt(s) dans un signal, band passant t spctr.., filtr pass-bas idéal t filtr à moynn mobil.., signal échantillonné (X(n ),n Z): périod t fréqunc f.., condition nécssair pour pouvoir rconstruir l signal: f > 2f 3 4

2 Rconstruction d un signal Rconstruction d un signal Commnt rconstruir un signal (X(t),t R) à partir d sa vrsion échantillonné (X(n ),n Z)?.., Dans crtains cas, c st assz clair... Commnt rconstruir un signal (X(t),t R) à partir d sa vrsion échantillonné (X(n ),n Z)?.., Dans crtains cas, c st assz clair....., Dans d autrs, ça l st un pu moins!??? 5 6 Rconstruction d un signal Rconstruction d un signal On dispos d plusiurs tchniqus pour intrpolr un signal: 2. rouvr un polynôm qui pass par tous ls points. 1. Rlir ls points : dans l xmpl précédnt, ça donn cci: Un défaut principal: la courb obtnu n st pas régulièr. Dux défauts principaux:.., Avc points, il faut trouvr un polynôm d dgré 1: la procédur st complx! 7 8

3 Rconstruction d un signal Rconstruction d un signal 2. rouvr un polynôm qui pass par tous ls points. 3. D manièr général, un formul d intrpolation pour X(t) s écrit: n XI() t X( n) F( ) où F :R R st un fonction tll qu F(0) = 1 t F(k) = 0 pour tout k Z Dux défauts principaux:.., Avc points, il faut trouvr un polynôm d dgré 1: la procédur st complx!.., Ell st égalmnt instabl: si on déplac légèrmnt ou on ajout un point, l polynôm put changr du tout au tout. Ctt condition impliqu n particulir qu Qull fonction F choisir? X I (n )= X(n ) pour tout n Z 9 10 Rconstruction d un signal Rconstruction d un signal: intrpolation La fonction F qui prmt d rlir ls points st donné par On put fair miux n choisissant F(t) = 1 t si t 1 0 si t 1 1 F(t) = (1 t) (1+t) (1 t )(1+ t )(1 t )(1+ t ) Ctt fonction st régulièr, pour tout k Z on vérifi qu F(0) = 1 t F(k) = F(t) = sinc(t) = sin(π t), t R π t 11 12

4 Rconstruction d un signal: intrpolation Rôl ds élémnts d sinc( ) n XI() t X( n)sinc( ) F(t) = sinc(t) = t R sin(πt) πt L trm -n introduit un déphasag tmporl qui cntr la fonction normalisé sinc(t/ ) sur chaqu instant échantillonné n On obtint X(n ) quand t = n car sinc((n -n )/ ) vaut 1. C qui donn dans notr xmpl: La normalisation du tmps t par prmt d'annulr l'influnc ds autrs échantillons m ¹ n n XI() t X( n)sinc( ) On obtint 0 quand t = m car sinc(m-n) vaut 0 pour tout (m-n) ntir rlatif différnt d zéro Rôl d la somm ds sinc() n XI() t X( n)sinc( ) Exrcic: X(t)= sin(4π t)+ 1/2 sin(8π t) Exrcic d'échantillonnag t rconstruction dans ls slids Echantillonnag t rconstruction d'un fonction périodiqu d fréqunc 2 Hz 15 16

5 Echantillonnag avc f = 10 Hz valurs échantillonnés avc f = 10 Hz Rconstruction : l'outil Fonction sinc : sinus cardinal normalisé Rconstruction la fonction sinc st 1) décalé sur chaqu instant échantillonné, 2) mis à l'échll tmporll d la périod d'échantillonnag 3) mis à l'échll d la valur échantillonné 19 20

6 Rconstruction: l'échantillon n t=0 vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 1* Rconstruction: l'échantillon n t=0 vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 1* + contribution n t = 2* Rconstruction: l'échantillon n t=0 vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 1* + contribution n t = 2* + contribution n t = 3* Rconstruction: l'échantillon n t=0 vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 1* + contribution n t = 2* + contribution n t = 3* + contribution n t = 4* 23 24

7 Rconstruction: l'échantillon n t=0 vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 1* + contribution n t = 2* + contribution n t = 3* + contribution n t = 4* l'échantillon n t= 5* vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 6* Rconstruction: l'échantillon n t=0 vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 1* + contribution n t = 2* + contribution n t = 3* + contribution n t = 4* l'échantillon n t= 5* vaut 0, donc aucun contribution + contribution n t = 6* + contribution n t = 1* Rconstruction: approximation d la somm ds courbs Rconstruction d un signal: intrpolation Pour rtrouvr un signal à partir d sa vrsion échantillonné, on a donc maintnant un formul d intrpolation: n XI() t X( n)sinc( ) Il nous rst un qustion crucial à résoudr: quand st-c qu X I (t) = X(t) pour tout t R? 27 28

8 L théorèm d échantillonnag La patrnité d c théorèm st attribué à plusiurs prsonns, qui l ont succssivmnt rdécouvrt / amélioré au cours ds ans... L théorèm d échantillonnag Soit (X(t),t R) un signal dont la plus grand fréqunc st égal f max. 1. Edmund aylor Whittakr ( ), mathématicin anglais, qui publi n 1915 la formul d intrpolation qu on vint d voir. 3. Vladimir Alksandrovich Kotlnikov ( ), pionnir d la radioastronomi, qui découvr c résultat indépndammnt n 1933 n URSS. 4. Hrbrt Raab ( ), qui publi sa thès sur l sujt n 1939 n Allmagn Claud Edwood Shannon ( ), égalmnt ingéniur aux Laboratoirs Bll, qui publi n 1949 un articl sur la communication n présnc d bruit, t qu nous allons rvoir la smain prochain Harry yquist ( ), ingéniur aux Laboratoirs Bll, qui publi n 1928 un articl sur la théori d la transmission par l télégraph. Soit (X(n ),n Z) l mêm signal échantillonné avc un périod t un fréqunc corrspondant f = 1. n Soit (X I (t),t R) tl qu XI() t X( n)sinc( ) Alors: Si f > 2f max alors X I (t) =X(t) pour tout t R Si X I (t) =X(t) pour tout t R alors f 2f max L théorèm d échantillonnag: illustration L théorèm d échantillonnag: illustration Voyons graphiqumnt c qu donn la rconstruction d un sinusoïd pur: X() t sin(2 ft) n XI( t) sin(2 fn)sinc( ) La vrsion échantillonné d c signal st: X(n ) = sin(2πfn ) t la formul d intrpolation dvint: n XI( t) sin(2 fn)sinc( ) Voici c qu donn ctt formul d intrpolation pour f = 2 Hz t f = 5 Hz (donc =0.2 sc): D manièr pratiqu, on s limit pour la rconstruction à qulqus trms d la somm: n XI( t) sin(2 fn)sinc( ) avc =5, = 10, = 50. Si f > 2f, la rconstruction st bonn

9 L théorèm d échantillonnag: illustration L théorèm d échantillonnag: illustration n XI( t) sin(2 fn)sinc( ) n XI( t) sin(2 fn)sinc( ) Voici c qu donn ctt formul d intrpolation pour f = 3 Hz t f = 5 Hz (donc =0.2 sc): Et si f =2f? Voici c qu donn ctt formul d intrpolation pour f =2.5 Hzt f =5Hz: avc =5, = 10, = 50. Si f < 2f, on a un problèm... pour tout valur d... Ici aussi, on a un problèm L théorèm d échantillonnag: cas limit Essayons d miux comprndr ct xmpl Et si f =2f? Examinons la rconstruction pour f =1Hzt f =2Hz avc différnts déphasags: d /12 à /2 Rappl: la fréqunc d échantillonnag f =5Hz..., Quand f = 2Hz, la rconstruction st bonn. Signal échantillonné Signal rconstruit.., Quand f = 3 Hz, la rconstruction st mauvais. Dans l cas limit, l déphasag a aussi un infllunc 35 36

10 Essayons d miux comprndr ct xmpl Exmpl: conclusion Rappl: la fréqunc d échantillonnag f =5Hz..., Quand f = 2 Hz, la rconstruction st bonn..., Quand f = 3 Hz, la rconstruction st mauvais. Rappl: la fréqunc d échantillonnag f =5Hz..., A partir ds suls valurs échantillonés d la sinusoïd, il n st pas possibl d dir si cll-ci a un fréqunc d f =2Hzou d f =3Hz..., Par construction notr formul d intrpolation produit la fréqunc infériur à f / 2, c'st à dir f =2Hz..., Donc si on sait dès l départ qu la fréqunc f d la sinusoïd d origin st plus ptit qu f / 2= 2.5 Hz, alors on sait aussi qu la formul d intrpolation rconstruit la bonn sinusoïd..., Multiplions l graph d droit par -1.., Ls valurs échantillonnés sont ls mêms à gauch t à droit!.., La courb rconstruit avc la formul d intrpolation st donc aussi la mêm à gauch t à droit! (mais pas l signal d origin).., Si par contr la fréqunc f st plus grand qu f / 2= 2.5 Hz, alors la formul d intrpolation produit un fréqunc infériur: c st l fft stroboscopiqu. La fréqunc apparnt f a st donné par: f / 2-(f-f / 2) = f -f Exmpls Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz Exmpl1: f = 0.9 Hz Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz Exmpl2: f = 1.1 Hz Qustion: détrminr la fréqunc du signal apparnt Qustion: détrminr la fréqunc du signal apparnt

11 Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz f = 0.9Hz t 1.1 Hz Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz f = 0.9Hz t 1.1 Hz Qustion: détrminr la fréqunc du signal apparnt Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz Exmpl3: f = 0.6 Hz Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz Exmpl4: f = 1.6 Hz Qustion: détrminr la fréqunc du signal apparnt Qustion: détrminr la fréqunc du signal apparnt

12 Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz f = 0.6Hz t 1.6 Hz Exmpls Efft du sous échantillonnag à 1 Hz d fonctions sinus d fréqunc > 0.5 Hz f = 0.6Hz t 1.6 Hz Qustion: détrminr la fréqunc du signal apparnt L théorèm d échantillonnag (rappl) Préambul: pourquoi f > 2f max? Soit (X(t),t R) un signal dont la plus grand fréqunc st égal f max. Soit (X(n ),n Z) l mêm signal échantillonné avc un périod t un fréqunc corrspondant f = 1. n Soit (X I (t),t R) tl qu XI() t X( n)sinc( ) Alors: Si f > 2f max alors X I (t) =X(t) pour tout t R Dans tous ls xmpls vus précédmmnt, on avait à fair à un signal X(t) avc un sul fréqunc f. On a vu dans c cas qu f > 2f st un condition suffisant pour un bonn rconstruction du signal. Et si maintnant l signal X(t) contint dux fréquncs f 1 t f 2? Dans c cas, il suffira qu f > 2f 1 t f > 2f 2 pour qu l signal soit bin rconstruit, i.. qu f > 2 max{f 1, f 2 } En généralisant à un signal qulconqu, on arriv donc intuitivmnt à la condition f > 2f max Si X I (t) =X(t) pour tout t R alors f 2f max 47 48

13 Démonstration: 1) assrtion intrmédiair (Lmm) Démonstration: 1) assrtion intrmédiair (suit) Lmm: la band passant du signal sinc(t / ) st B = f / 2 Outil: La fonction sinc st la somm d sinusoïds, pour tndant vrs : sin( t) 1 sinc( t) sin(2 f jt / 2) t j1 Justification: Un tll somm st lié à l approximation d un intégral d Rimann qui additionn la surfac d rctangls d largur 1/2, pour f compris ntr 0 t 1/2. j1 j 1 1/2 avc f j j 2 1 ( cos( ) ( cos( ))) 1/2 t 2 2 sin( t) sin(2 ft j ) 2 sin(2 ft ) df t t sin(2 f / 2) sin(2 ft / 2) df j Ilustrons l approximation d la fonction sinc avc différnt valurs d : 1 sinc( t) sin(2 f jt / 2) j1 avc f j = j/ ( 2). =5, = 10, =50. On voit n fft ci-dssus (n roug) c qu vaut ctt approximation démonstration: assrtion intrmédiair (suit) démonstration: assrtion intrmédiair (suit) 1 sinc( t) sin(2 f j / 2) j1 Ls fréquncs f j = j/ ( 2) couvrnt [0, 1/2] quand j vari d 1 à, t tnd vrs l'infini La fonction sinc(t) contint touts ls fréquncs d l intrvall [0,1/2] La band passant du signal sinc(f t) st donc B sinc = f / 2 Cpndant la formul d'intrpolation travaill plutôt avc sinc((t -n )/ ) n XI() t X( n)sinc( ) L trm -n introduit un déphasag tmporl sans conséqunc sur l'intrvall ds fréquncs. Par contr, obsrvons la division par : Or c st la fonction sinc(f t) qu on utilis pour rconstruir l signal : La band passant B I du signal intrpolé X I (t) st donc aussi égal à f / 2 1 sinc( t/ ) sinc( f t) sin(2 f f / 2) j j1 Donc la fonction sinc(f t) contint touts ls fréquncs d l intrvall [0, f /2]

14 Idé d la démonstration: prmièr parti Prmièr parti d la démonstration: Idé d la pruv: Si f > 2f max Alors X I (t) = X(t) pour tout t R. Etant donné qu : f > 2f max c'st à dir f max <f / 2 la band passant B du signal d origin X(t) st strictmnt plus ptit qu f / 2 (rmarqu: si B < f / 2 st vrai, alors B f / 2 st aussi vrai) Lmm: B I f / 2 D plus l signal intrpolé X I (t) t l signal original X(t) prnnnt ls mêms valurs aux points d intrpolation n, n Z. Dux signaux dont la band passant st plus ptit ou égal à B= f / 2 t qui coïncidnt aux points n, n Z, coïncidnt n fait partout! Duxièm parti d la démonstration: Pruv: Si X I (t) = X(t) pour tout t R, alors f 2f max. Si X I (t) = X(t) pour tout t R alors ils ont la mêm band passant. (forcémnt : c sont ls mêms signaux). Or on a vu qu la band passant d X I (t) st infériur ou égal à f /2 Donc f max (d X(t)) st infériur ou égal à f /2. Conclusion:Si f > 2f max, on a bin X I (t) = X(t) pour tout t R Sous-échantillonnag d un signal Efft stroboscopiqu: un autr solution Lorsqu on (sous-)échantillonn un signal à un fréqunc f < 2f max apparaît l fft stroboscopiqu dont nous avons parlé la smain drnièr. Il xist ds signaux qui continnnt un nombr infini d fréquncs (comm la fonction sinc). En général, on ssai à tout prix d évitr ct fft stroboscopiqu! D mêm, crtains signaux continnnt, n théori, ds fréquncs qui vont jusqu à l infini (n pratiqu, ds fréquncs très élvés mais pas toujours utils). Un solution simpl, mais coûtus: augmntr la fréqunc d échantillonnag jusqu à satisfair la condition f > 2f max. Pour cs signaux, f max =+ : d tls signaux sont donc toujours sous-échantillonnés, qull qu soit la fréqunc d échantilonnag f. Commnt évitr l fft stroboscopiqu dans c cas? 55 56

15 Efft stroboscopiqu: un autr solution Un solution qui minimis ls dégâts consist à: Efft stroboscopiqu: un autr solution (2) filtrr l signal avant d l échantillonnr!.., on filtr l signal avc un filtr pass-bas dont la fréqunc d coupur f c < f /2..., puis on échantillonn l signal à la fréqunc f ; original 44KHz sous ch. 9KHz original 44KHz original filtré 44KHz Diagramms tmps fréqunc: absciss: tmps ordonné: fréqunc coulur = intnsité: blu >roug.., t pour rconstruir l signal, on utilis la formul d'intrpolation On prd ainsi qulqus hauts fréquncs du signal, mais après ça, la rconstruction st parfait; on n a donc pas d fft stoboscopiqu. filtré puis sous éch. KHz original filtré 44KHz sous ch. 9KHz filtré puis sous éch. 9 KHz Echantillonnag d signaux: conclusion Echantillonnag d signaux: 2 conclusion.., D façon surprnant, un signal à tmps continu (X (t ), t R) put sous crtains conditions êtr rconstruit parfaitmnt à partir d sa vrsion échantillonné (X(n ),n Z)..., L théorèm d échantillonnag nous donn l suil (2f max ) au dssus duqul la fréqunc d échantillonnag f st suffisant pour prmttr un rconstruction parfait du signal. L échantillonnag t la rconstruction d signaux a prmis un transformation profond ds télécommunications:.., En dssous d c suil, l fft stroboscopiqu apparaît..., On put évitr l apparition d un tl phénomèn n filtrant l signal avant d l échantillonnr. ds signaux analogiqus, on st passé aux signaux numériqus, qui prmttnt un transfrt bin plus fficac d l information