Estimation, vraisemblance, confiance

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1 Estmto, vrsemblce, cofce Commeços pr u eemple smple : o effectue trges successfs d ue pèce où l probblté d obter fce est p (et celle d vor ple est p). Sglos que ce problème est detque à celu-c : ds ue populto où ue proporto p des dvdus possède ue certe crctérstque ( p e l yt ps), o prélève dvdus successvemet vec remse. Ds ce cotete, o ppelle X l vrble létore u è trge, telle que X = s fce sort, et X = so. Pus o pred l X + X X vrble T =, vec. Celle-c correspod à l fréquece de sorte des fce u cours des trges. L oto d estmteur, et d estmteur coverget Notre problème est lors le suvt : o e coît ps l vleur du prmètre p, ms e rélst des epéreces de trges successfs, o v pouvor estmer quelle est l vleur de p. Que v-t-l se psser? S l o rélse ue seule epérece vec pett, le résultt obteu vec X ser plus ou mos proche de p, et e reprodust cette epérece, o e trouver ss doute ps l même vleur pour p. Toujours vec pett, s l o ft u cert ombre d epéreces e clcult à l f l moyee des T obteus, o ur ue vleur proche de p. Ef, s l o ft ue seule epérece, ms vec grd, o obtet ue vleur proche de p, e vertu de l lo des grds ombres. Résumos l stuto : e pret u échtllo de trges, l vleur de T obteue epérmetlemet costtue ue estmto du prmètre p, plus ou mos vlble certes. Comme l este ue vrble létore T pour chque vleur de, o dt plus précsémet que l sute de vrbles létores (T ) est u estmteur de ce prmètre. Cet estmteur est de boe qulté ds l mesure où pour suffsmmet grd, l est très proche de p. O dt lors que l estmteur est coverget, lorsque l rélsto d ue epérece sur u échtllo de trges ue probblté très fble de s écrter de l vleur du prmètre pour peu que sot suffsmmet grd. S l fréquece epérmetle de sorte des fces sur u échtllo de trges costtue u estmteur coverget du prmètre p, l este d utres types d epéreces où l estmteur peut être chos utremet. Preos mtet l eemple d ue lo uforme sur u tervlle [ ], le prmètre cou étt mtet ( réel >). Cel sgfe que s l o découpe cet tervlle e petts tervlles tous de même logueur, o utt de chces de tomber ds l u que ds u utre, et que l probblté de tomber lleurs est ulle. Ds ces codtos, s l o rélse u échtllo de trges X, X,, X, o peut predre comme estmteur le mmum obteu. Ce mmum est proche de, et s devet très grd, l s pproche d utt plus de. O ecore là u estmteur coverget.

2 Estmteur ss bs Cel ous mèe à précser l qulté de l estmteur. O dt que l estmteur (T ) est ss bs lorsque s vleur moyee (so espérce E(T )) est égle u prmètre, quel que sot le ombre de trges. c est-à-dre quelle que sot l tlle de l échtllo. Ds l eemple des trges à ple ou fce, o justemet E(T ) = p, et l estmteur (T ) est ss bs. Pr cotre, ds l eemple de l lo uforme sur [ ], l vleur mmle obteue e trges est toujours strctemet féreure à, et s cet estmteur est coverget, l est ps ss bs. O dspose uss d ue proprété que ous dmettros c : lorsque l estmteur est ss bs et que s vrce ted vers lorsque ted vers l f, lors l est coverget. Il sufft doc de clculer l espérce et l vrce pour svor s l estmteur est ss bs, et esute coverget. Tout ce qu précède peut être précsé pr le clcul : Cs des trges à ple ou fce, vec comme vrble létore l fréquece de X + X X sorte des fce, T =. Pour chcu des trges, l vrble X sut ue lo de Beroull, et l o E(X ) = p et V(X ) = p( p). O e dédut que : E( T ) = ( E( X) E( X )... E( X )) p p = =. T est u estmteur ss bs. E utlst le ft que les vrbles X sot dépedtes, o uss : p(_ p) V ( T ) = ( V ( X ) + V ( X ) V ( X )) = p( p) =, qu ted vers pour f. L estmteur T est coverget. Cs de l lo uforme sur [ ], vec comme desté de probblté d() = / pour ds [ ], et d() = lleurs. L focto de réprtto est lors : F() = / sur l tervlle [ ], F() = pour égtf, et F() = pour supéreur à. Pour l vrble létore X obésst à cette lo uforme, o e dédut so espérce et s vrce : + t E( X ) = td( t) dt = dt = t V ( X ) = E( X ) ( E( X )) = dt = = Preos mtet u échtllo de trges yt tous cette lo uforme de prmètre, et costrusos à prtr de là ue vrble létore T dot o v tester l qulté d estmteur. ) T = ( X + X X ). S l o pred le double de l moyee sur epéreces, c est prce que cette moyee est cesée pprocher l espérce /. O e dédut :

3 3 E( T ) = E( X ) = =. T est u estmteur ss bs. 4 4 V ( T ) = V ( X ) = = qu ted vers lorsque ted vers l f. 3 L estmteur T est coverget. ) = T m( X, X,..., X ) L focto de réprtto correspodte est : F ( ) = p( X < et X < et... et X < ) T = p( X < ) p( X < )... p( X < ) = F( ) où l o retrouve l focto de réprtto F() de l lo uforme, = sur [ ], et so pour < et pour >. O e dédut l desté d() = F T () = sur [ ] et lleurs. Alors : E( T ) = t dt =. L estmteur T est ps ss bs. + + V ( T ) = E( T ) ( E( T )) = t dt ( + ) = = ( ) + ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) Lorsque ted vers l f, l vrce ted vers. + 3) T = m( X, X,..., X ) E corrget s l estmteur trouvé u, o trouve que + E( T ) = =, cet estmteur est ss bs, et + ( + ) V ( T ) = = qu ( + ) ( + ) ( + ) ted vers pour f. L estmteur ss bs est uss coverget. Ef, dès que dépsse, l vrce obteue c est féreure à celle obteue vec l estmteur ss bs coverget du (o vt ue vrce égle à / 3), o e coclut que l estmteur du 3 est melleur que celu du. O dt qu l est plus effcce. 4) = T m( X, X,..., X ) O peut prévor que l vleur moyee de T est proche de, et que l o vrmet ps u estmteur de. Vérfos-le pr le clcul.

4 4 L focto de réprtto de T est, compte teu des résultts obteus sur l vrble X de l lo uforme, et de s focto de réprtto F() : F ( ) = p( T < ) = p( T > ) = p( X > et X >... et X > ) T = p( X > ) p( X > )... p( X > ) = ( p( X > )) = ( p( X < )) = ( F( )) = ( ) sur [ ] et F T = pour <, F T = pour >. O e dédut pr dérvto l desté d( ) ( ) = sur [ ] et lleurs, pus : t E( T ) = t( ) dt = près ue tégrto pr prtes, et + comme l dsperso des résultts est l même vec le mmum des X qu vec le mmum des X, pour des rsos de symétre, o comme u V ( T ) =. ( + ) ( + ) 5) T = X X X + X X X m(,,..., ) m(,,..., ) Grâce u clculs précédets, E( T ) = E(m( X, X,..., X )) + E(m( X, X,..., X )) = + = + + O obtet be u estmteur ss bs. D utre prt, e ott Y = m( X, X,..., X ) et Z = m( X, X,..., X ), o : V ( T ) = V ( Y ) + V ( Z) + cov( Y, Z) = V ( Y ) + cov( Y, Z ) cr les vrbles Y et Z e sot ps dépedtes et que V(Y) = V(Z). Scht que cov( Y, Z) V ( Y ) V ( Z) sot c cov( Y, Z ) V ( Y ), o e dédut V ( T ) V ( Y ) + cov( Y, Z) V ( T ) V ( Y) + V ( Y) V ( T ) 4 V ( Y) 4 V ( T ) ( + ) ( + ) L estmteur T est lu uss coverget. Comme s vrce est féreure à celle obteue vec l estmteur du (sot / 3), et même fmet plus pette pour f, o e dédut que l estmteur du 5 est plus effcce que celu du. Eercce d pplcto : l lo de Preto O dt qu ue vrble létore X obét à l lo de Preto de prmètres et (tous deu > ) lorsqu elle dmet pour desté d ( t ) = pour t t + et so (t ϵ R)

5 5 A- Quelques proprétés de l lo de Preto ) Vérfer que d est be ue desté, et détermer l espérce et l vrce de X, sous certes codtos d estece que l o précser. L focto d est cotue sur R suf u pot de dscotuté où elle dmet ue lmte à guche et ue lmte à drote, elle est prtout, et l tégrle + d ( t ) dt este et vut, e effet : + d ( t ) dt + = dt + t de t, + >, cette tégrle coverget e + pusque l epost + t = = = E ( X + ) td ( t ) dt + = = dt t. Cette tégrle este que pour >. + + t = = pour >, so X ps d espérce. + Pour l vrce, o commece pr chercher E(X ) : + + E( X ) = t d( t) dt = dt, qu 'este que pour > t + + t = = + V ( X ) = E( X ) ( E( X )) = ( ) = pour >, so X 'dmet ps de vrce ( ) ( ) ) Détermer l focto de réprtto F() de X. Pr défto F( ) p( X ) d( t) dt = < =. Pour <, vec ue desté ulle, F() =. Pour, t + t F( ) = dt = = ( ) = 3) Motrer que l probblté codtoelle p(x > + y X > ) ted vers lorsque ted vers +, y étt u ombre réel postf. Pr défto de l probblté codtoelle :

6 6 ( > + et > ) ( > + ) p X y X p X y p( X > + y X > ) = = p( X > ) p( X > ) E suppost que est >, ce qu ser le cs lorsque v tedre vers l f, p X > = p X < = F =. As : o st que ( ) ( ) ( ) p( X > + y X > ) =. Lorsque ted vers +, cette qutté v + y tedre vers. Qu est-ce que cel sgfe cocrètemet? S l lo de Preto modélse l durée de ve d u phéomèe, l est turel d ppeler p(x > ) l focto de p X > + y X > pour f? Plus le surve. Que sgfe lors ( ) phéomèe ue durée de ve logue, plus l de chces de prologer cette durée de ve logtemps. Autremet dt, plus o vellt, plus o de chces de vvre ecore logtemps. Le «phéomèe» e questo est ps l être hum! B- Détermto d estmteurs de O se doe ue sute de vrbles létores (X ), toutes dépedtes, et de même lo que X, chcue obésst doc à l lo de Preto de prmètres et, vec > (l este ue espérce et ue vrce). O suppose que est cou, et l o veut estmer l vleur de. ) Premère méthode : o utlse l moyee epérmetle : X + X X Y =. Détermer l costte K telle que l vrble létore Y = K Y sot u estmteur ss bs de. Motrer que cet estmteur (Y ) est uss coverget. E( Y ) = ( X + X X ) = =. Il sufft de predre Y ' = Y pour vor E(Y ) =. Cel sgfe que Y est u estmteur ss bs de. D utre prt, V ( Y ') = V ( Y ) = V ( ( X + X X )) V ( X ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) = ( ) Sglos que pour l lo epoetelle de prmètre k o : k( + y) e ky p ( X > + y X > ) = = e = p( X > y). Cel sgfe que quel que sot l âge que l o, k e o utt de chces de vvre ecore u cert temps.

7 7 Comme l estmteur est ss bs et que s vrce ted vers pour f, l est uss coverget. ) Deuème méthode : O pred comme vrble létore Z = m(x, X,, X ). ) Détermer s focto de réprtto pus so espérce et s vrce. Appelos G l focto de réprtto de Z. Pr défto, G() = p(z < ) = p(z > ) = p(x > et X > et et X > ) = p(x > ) p(x > ) p(x > ) = p(x > ) = ( p(x < )) où l o trodut l vrble létore X obésst à l lo de Preto de prmètres et, dot o coît l focto de réprtto F() = p(x < ) = ( ). D où G() = ( ) = ( ) O recoît ue lo de Preto de prmètres et. O e dédut : E( Z) = et V ( Z) = ( ) ( ) b) Détermer l vrble létore Z de l forme b Z telle que l sute (Z ) doe u estmteur ss bs de, vec b focto de. Motrer que cet estmteur est uss coverget. Au vu de l courbe de l desté de l lo de Preto, c est ds ue pette zoe udelà de que l o de très fortes probbltés. Il est doc turel de predre comme estmteur de le mmum des vrbles X ( de à ), à svor Z. O remrque d lleurs que pour grd, l espérce de Z ted vers, grâce à l formule précédemmet trouvée. Ms cet estmteur est bsé, ds l mesure où l doe ue vleur supéreure à. Pour vor u estmteur o bsé, l sufft de predre : Z ' = Z pusqu lors E( Z ') = E( Z) = = D utre prt V Z ( ) V ( Z ') = ( ) = ( ) ( ) = ( ) L vrce ted vers pour f. L estmteur ss bs est uss coverget. c) Motrer que l estmteur (Z ) est plus effcce que (Y ) Il s gt de comprer V ( Y ') = et V ( Z ') =. ( ) ( )

8 8 O vot usstôt que V ( Z ') V ( Y ') dès que est. L estmteur Z est plus effcce que Y, et qud ugmete, l l est de plus e plus, vec V(Z ) / V(Y ) tedt vers qud ted vers l f. Eercce : Lo de Posso et estmteur d ue epoetelle Cosdéros vrbles létores dépedtes X, X,, X obésst toutes à ue lo de Posso de prmètre λ (réel postf). L objectf est de trouver ue estmto de e λ. Pour cel o trodut les vrbles Y, Y,, Y, telles que Y = s X =, et Y = so, s que leur somme Z = Y ) Motrer que Z / est u estmteur de e λ, ss bs et coverget. Comme p(x = ) = e λ et que Z / est l proporto des vrbles X ulles prm toutes les X, l est logque que l o t là u estmteur de e λ. Vérfos-le. Les vrbles létores Y suvet ue lo de Beroull de prmètre p(y) = ) = p(x = ) = e λ. D où l espérce E(Z / ) = e λ / = e λ. D utre prt, V(Y ) = e λ ( e λ ). Comme les X, les vrbles Y sot dépedtes, et V(Z / ) = ( / ) e λ ( e λ ) = e λ ( e λ ) / qu ted vers pour f. L vrble létore Z / est be u estmteur ss bs et coverget de e λ. ) Motrer que l o p( X = X + X X = j) = pour tout j eter turel. O rppelle qu ue somme de vrbles létores vérft l même lo de Posso de prmètre λ sut ue lo de Posso de prmètre λ. p( X = X + X X = j) = p( X = et ( X + X X = j)) p( X + X X = j) p( X = et ( X X = j)) p( X = ) p( X X = j) = = p( X + X X = j) p( X + X X = j) j j λ ( ) λ ( ) λ e e j j! = = j j λ λ e j! 3) O pose S = X + X X qu pred ses vleurs ds N, et l o cosdère l ouvelle vrble létore bs et coverget de e λ. S. Motrer que celle-c est u estmteur ss j

9 9 + + S j j λ = = = j= j= λ E(( ) ) ( ) p( S j) ( ) e j! D utre prt : + j j λ ( ) λ λ ( ) λ λ = e = e e = e j! j= S + + j j j j λ λ = = = j= j=! E( ) ( ) p( S j) ( ) e j S j + ( ) λ λ ( ) λ λ λ + λ = e = e e = e j= j! λ λ+ λ λ λ V ( ) e e e ( e = = ) qu ted be vers pour f. j j 4) Motrer que quelle que sot l vleur du prmètre λ, estmteur de e - λ que Z /. S ( ) est u melleur Formos l dfférece de leurs vrces : S λ λ λ λ e e V ( ) V ( Z / ) = ( e e + ) = g( λ) O costte que l dérvée g(λ) = e λ / e λ est égtve, l focto g(λ) décroît à prtr de g() =, elle est uss égtve. D où V ( ) < V ( Z / ). S L méthode du mmum de vrsemblce, pour détermer u estmteur Repreos otre jeu de trges successfs à ple ou fce, vec ses vrbles de Beroull pret l vleur vec l probblté p qud fce (F) sort et l vleur vec l probblté p qud c est ple (P). L vleur du prmètre p ous est coue. O v lors fre ue seule epérece. Pr eemple pour =, o obtet comme résultt FPPFFPPPFP ou e bre. L probblté de cet évèemet est p 4 ( p) 6. E essyt les vleurs de p de à, o s perçot que l qutté p 4 ( p) 6 dmet u mmum u vosge de p =,4. Que coclure? Qu l est plus vrsemblble d vor ue vleur de p égle à,4 qu ue vleur égle à,7 pr eemple. As, à l ssue d ue epérece vec ses trges obteus, l est orml de predre comme estmto de p celle qu correspod à l probblté mmle pour l epérece rélsée, même s l o st qu ue deuème epérece pourrt doer ue estmto de p plus ou mos dfférete. Cel ous mèe à défr ue focto vrsemblce L(,,,, p) :

10 A prtr d u échtllo de trges dot les vrbles létores sot X, X,, X, toutes de même lo (de prmètre p) et dépedtes, l rélsto d ue epérece codut à u résultt,,, dot l probblté est : p(x = et X = et et X = ) = p(x = ) p(x = ) p(x = ), et l o pred comme focto de vrsemblce ce produt de probbltés, sot : L(,,,, p) = p(x = ) p(x = ) p(x = ). Cette défto, vlble pour des probbltés dscrètes, se géérlse u probbltés cotues, e fst terver l desté de probblté d() de l lo de probblté ssocée u vrbles létores de l échtllo, sot L(,,,, p) = d( ) d( ) d( ) O obtet lors ue estmto du prmètre p e pret comme vleur de p celle qu red mmle l vrsemblce. Il reste à chercher ce mmum e pret l dérvée pr rpport à p de l focto vrsemblce, de fço qu elle s ule e psst du postf u égtf. C est cel l méthode du mmum de vrsemblce. Plus précsémet, comme l focto L ft terver u produt, o préfère predre so logrthme, l L, de fço à obter ue somme, et de chercher le mmum de cette somme, ce qu correspod ectemet u mmum du produt ds L, pusque l focto logrthme est crosste. Repreos l eemple des trges répétés à ple ou fce, chcu obésst à l lo de Beroull de prmètre p. Or l vrble létore X de l lo de Beroull est telle que p(x = ) = p ( p), pusque cel doe p(x = ) = p et p(x = ) = p. L focto de vrsemblce s écrt : L(,,,, p) = p(x = ) p(x = ) p(x = ) = p ( ) + ( ) + + ( ) ( p) l L = ( ) l p + ( ( )) l( p) E dérvt pr rpport à p : (l L) ' = ( ) ( ( )) p p = ( ) p p( p) ( ) Cette dérvée s ule pour p = et elle psse du sge + u sge (le umérteur de (l L) étt ue focto ffe, et le déomteur restt postf). Au terme de ce clcul, o retrouve le ft que l estmteur pour p, ssu de l méthode du mmum de vrsemblce, est l fréquece de sorte des fces, sot X + X + + X Quelques eemples ) Lo géométrque

11 Rppelos qu ue vrble X sut ue lo géométrque de prmètre p lorsque p(x = k) = ( p) k - p vec k eter. Preos mtet ue sute de vrbles létores (X ) dépedtes et obésst toutes à l lo géométrque de prmètre p. L rélsto d u évèemet sur trges codut u résultt,,,. L focto vrsemblce est : L(,,,. p) = ( p) p ( p) p ( p) p = p ( p) l L = l p + (Σ ) l ( p) Dérvos pr rpport à p : ( ) p (l L)' = =. p p p( p) Elle s ule pour p = tout e psst du postf u égtf. L estmteur du mmum de vrsemblce de p est :, sot l verse de l moyee epérmetle. Cel étt prévsble pusque X l espérce de l lo géométrque est / p. ) Lo epoetelle Pr défto, ue vrble létore qu sut l lo epoetelle de prmètre k pour desté d( ) = ke k pour, et so. O e dédut otmmet so espérce E(X) = / k. Preos mtet ue sute de vrbles létores (X ) (vec ) obésst à cette même lo, et dépedtes. L focto de vrsemblce est : L(,,...,, k) = ke ke... ke = k e l L = l k k L dérvée pr rpport à k est k = létores ( k k k k k. Elle s ule pour, e psst du sge plus ou sge mos. L sute de vrbles X ), verse de l moyee epérmetle, est u estmteur du

12 prmètre, comme o pouvt s y ttedre, pusque l espérce de X est justemet / k. 3) Lo de Preto (sute) ) Détermer u estmteur du mmum de vrsemblce. L lo de Preto deu prmètres et tous deu >. O veut mtet détermer u estmteur du prmètre supposé cou. A prtr de l desté d ( t ) = pour t t + et so, o pred l focto de vrsemblce : L(,,,, ) = d( ) d( ) d( ) e suppost que tous les sot >. =... = l L = l + l ( + )(l + l + + l ) Dérvos pr rpport à : (l L)' = + l (l + l l ) L dérvée s ule pour = (l + l l ) l = l + l l, qu est u ombre postf pusque tous les sot > (>), d où l vleur de correspodte : = l Cette vleur est be u mmum pour l L, et pr sute pour L, pusque l dérvée de l L pr rpport à, de l forme / B, est décrosste, psst doc du postf u égtf. As l sute (W ), vec W =, est u estmteur du mmum de vrsemblce. X l O peut déjà prévor que pour suffsmmet grd l espérce de W v être proche de. Cel demde à être précsé. b) Détermer E(W ) pour, pus trouver u estmteur ss bs de. O rppelle u résultt vu uprvt : Lorsque X est ue vrble létore suvt ue lo de Preto de prmètres et, l vrble létore Y = l X sut ue lo epoetelle de prmètre. E procédt comme o le fer ds le prgrphe suvt vec l lo de Preto( 3 -b), o démotre que l sute de vrbles létores est u estmteur ss bs de k.

13 3 O rppelle uss qu ue somme de vrbles létores obésst toutes à l même lo epoetelle de prmètre k obét elle-même à l lo gmm de prmètres et k. X Posos Y = l. Pusque les X suvet ue lo de Preto de prmètres et, Y sut ue lo epoetelle de prmètre. Ds ces codtos X l = Y, et l o ue somme de vrbles dépedtes obésst toutes à l lo epoetelle de prmètre. O st qu lors l vrble létore t pour desté d( t) = e t pour t et so. A so tour ( )! W = = pour espérce : X l Y + + t = = E( W ) d( t) dt e t dt t ( )! Y, sous réserve que cette tégrle este. Comme, l tégrle este e, et e +, l tégrle este ecore. O costte uss que + t e t dt =. ( )! e ( )! t t e t, pour, est l desté de + t + t ( )! ( )! t ted vers et Y, d où : E( W ) = e t dt = e t dt = Pour vor u estmteur ss bs de, l sufft de predre l sute (W ) vec : W = W pusque E( W ') = E( W ) = =. 4) Lo ormle Pour ue vrble létore X suvt ue lo ormle de prmètres m et σ, l desté est : ( m) d( ) = e σ. σ π Pour le prmètre m, l focto de vrsemblce s écrt : ( m) ( m) ( m)... L(,,...,, m) = e σ σ σ σ π

14 4 l L = l( σ π ) (( m) + ( m) ( m) ) σ Cette qutté, cosdérée comme ue focto de m, est mmle lorsque l somme f(m) = ( m) + ( m) ( m) est mmle. f (m) = (m + m + + m ) pour : m = = ( m ). Cette dérvée s ule et so sge psse de à +, ce qu correspod à u mmum pour f. Preos comme vrble létore l moyee Y O vérfe que E(Y ) = m et que V(Y ) = σ / qu ted vers pour f. L sute de vrbles (Y ) costtue u estmteur ss bs et coverget de m. Pssos à l estmto du prmètre T = σ. O comme précédemmet l L = l( πt ) (( m) + ( m) ( m) ) T = l( πt ) (( m) + ( m) ( m) ) T E dérvt pr rpport à T : = ( m ) (l L) ' = ( ) = ( T ( m ) ) T T T T = ( m ) X. qu s ule pour e psst du sge + u sge. E post ( m X ) Z =, o vérfe que E(Z ) = σ V (( X m) ) et V(Z ) = qu ted vers pour f. L sute (Z ) costtue be ue sute d estmteurs ss bs et covergets de σ. L questo de cofce Jusqu à préset ous vos doé ue estmto d u prmètre, c est-à-dre ue vleur fe, ss svor le degré de précso du résultt. S l o ft lcers répétés à ple ou fce, cette seule epérece doer ue dée du prmètre p, correspodt à l fréquece de sorte des fces, ms s l o ft ue deuème epérece de lcers, o ur u résultt légèremet dfféret. Auss, à défut de chercher ue vleur poctuelle du prmètre, o v se doer u tervlle, s pett sot-l, ds lequel v se trouver le prmètre vec u veu de cofce

15 5 doé, pr eemple 95% de chces, dès que l o prtque u mos N epéreces élémetres, cette vleur de N étt à clculer. Repreos l eemple des trges répétés à ple ou fce vec le prmètre p correspodt à l probblté d vor fce, p étt celle d vor ple. O pred lors ue sute de vrbles de Beroull (X ) vec. O st que, lorsque l o ft X + X X trges, l moyee epérmetle S = costtue u estmteur de p. O st uss que plus est grd, plus S v s pprocher de p. Ms mtet, doos-ous ue mpltude d tervlle égle à / pr eemple. Il s gt de détermer u eter N tel que pour tout N, l tervlle [S /, S + /] sot u tervlle de cofce du prmètre p u veu de 95%. Autremet dt, dès que l o prtque u mos N lcers, sot lcers vec N, et que l o ue vleur epérmetle de S obteue u bout de ces lcers, o ur p comprs etre S / et S + / vec ue probblté d u mos 95%. Il s gt de trouver cette vleur de N. O veut vor p(s / p S + /),95. Commeços pr pplquer l églté de Beymé-Tchebchef : vec ε postf uss pett qu o veut, V ( S) p( S p ε ) ε p( p) p( p) pusque V ( S ) = ε V ( W ') p( W ' < p < W ' + ), p( p) p( S p < ε ) ε p( p) p( S p < ε ) ε p( p) p( ε < S p < ε ) ε p( p) p( S ε < p < S + ε ) ε p( S + ε > p > S ε ) Ds le cs préset: p( p) ε p( p) p( S < p < S + ), p( p) As, dès que,95, o ur p( S, < p < S +,),95, p( p) L cotrte,95 s écrt,

16 6 p( p) p( p), 5 sot, ou p( p),,5, Lorsque p décrt ] [, p( p) ttet so mmum pour p =,5, et ce mmum vut,5 : p( p),5. Dès que l o ur,5, o ur uss p ( p). Flemet l sufft de predre 5. Autremet dt, s l o ft N = 5 lcers, boutsst à S, o ur l vleur de p à promté de S, plus précsémet vec S, < p < S +,, vec cel vec plus de 95 chces sur. Itervlle de cofce pour l lo de Preto O veut coître le prmètre de l lo de Preto vec ue précso de ±,, vec u veu de cofce de 95%. O suppose uss que est comprs etre et. Pour cel o repred l sute (W ) qu est u estmteur ss bs de (vor cdessus). O dmettr que l vrce de W est : V ( W ') = lorsque est >. Il s gt de trouver u eter N tel que pour tout N, [W,, W +,] sot u tervlle de cofce de u veu de 95%. E pplqut l églté de Beymé-Tchebchef, et e fst le même clcul que précédemmet, o rrve à : V ( W ') p( W ' < p < W ' + ), p( W ' < p < W ' + ), ( ) E pret,95 o est ssuré que ( ) p( W ' < p < W ' + ),95. Or,95 s écrt +. Pusque l o supposé que est ( ) comprs etre et, dès que 4 +, o ur +. Flemet l covet de predre 8, et même ss vértble rsque, u vu des mjortos que ous vos ftes ds le clcul : 8. Référeces : Epreuve de mthémtque u cocours d etrée de l ESSEC, 7. Wkped, Estmteur (sttstque), vec l bblogrphe et les sources jotes.