Variables à densité.

Transcription

1 Variables à densité. Préreuis : Théorème : intégrale fonction de la borne supérieure Soit F (x) = R f (t) dt: x Si R f (t) dt converge alors F est continue sur ] ; ; a] et F est dérivable là où f est continue a avec F (x) = f (x) : Convergence : Comment prouver la convergence? cas des fonctions positives. Calcul : Pour primitiver, il faut d abord savoir dériver. Fonction continue par morceaux : Comment calcule-t-on l intégrale? 2 De la densité à la probabiltié. Dé nition de la densité : f est une densité de probabilité si - f est dé nie et continue et positive ou nulle, sauf en un nombre ni de points de R, - et si R +.f (t) dt converge et vaut si x < Exercice : Montrer ue f dé nie par f (x) = est une densité. si x > x 2 px si < x < Exercice 2 : Déterminer 2 R pour ue f dé nie par f (x) = soit une densité. sinon Dé nition d une variable à densité : Soit f une densité. X est une variable aléatoire de densité f R si la fonction de répartition F de X est donnée par : pour tout x réel F (x) = P (X x) = x f (t) dt Théorème : calcul de probabilités Si X a pour densité f et pour fonction de répartition F alors - pour tout x 2 R : P (X = x) = - pour tout x 2 R : P (X x) = P (X < x) = F (x) = R f (t) dt x - pour tout x 2 R : P (X > x) = P (X x) = F (x) = R + f (t) dt x - si a b alors P (a X b) = F (b) F (a) = R b f (t) dt et P (a X b) = si a > b (idem a pour des inégalités strictes ou mixtes) Méthode : Comment calculer ces intégrales uand f est données par di érentes formules suivant l intervalle? Exercice 3 : Soit X ayant pour densité celle de l exercice, déterminer P ( X 2) ; P ( X 2) ; la fonction de répartition de X: Exercice 4 : dans les mêmes conditions, calculer, suivant la valeur de x; P (x X x + ) ; P (x X x 2 ) Cours Variables á densité Page / 8

2 3 De la probabilité à la densité. 3. Si F est une fonction dé nie sur R Théorème : F est la fonction de répartition d une variable à densité () - F est continue sur R et de classe C sauf en un nombre ni de points (là où la densité est continue), - F est croissante sur R (comment le prouver?) - lim F = et lim + F = Une densité est alors f = F là où F est C : Exercice 5 : Soit F (x) = e t si t et F (t) = si t : Montrer ue F est la fonction de répartition d une variable à densité et en déterminer une densité. Soit X une telle variable. Déterminer P ( X < 2) : Remarue : Si X est une variable aléatoire discrète, sa fonction de répartition est alors en escalier. X peut-elle alors être à densité? 3.2 Si F est la fonction de répartition d une variable aléatoire Théorème : si F est la fonction de répartition d une variable aléatoire X, alors X est à densité () F est continue sur R et de classe C sauf en un nombre ni de points (là où la densité est continue). Une densité de X est alors f = F là où F est de classe C : Méthode : Comment montrer u une fonction est continue? N.B. Que peut-on dire de la fonction de répartition de X si X est à densité? Exercice 6 type : Soit f dé nie par f (t) = e t si t et sinon. Montrer ue f est une densité de probabilité. Soit X de densité f: Montrer ue P (X ) = et en déduire ue Y = p X est dé nie presue sûrement. Déterminer la fonction de répartition G de Y en fonction de celle F de X: En déduire ue Y est une variable à densité et en déterminer une densité. Méthode : Quand une V.A. Y est dé nie à partir d une autre Y = f (X) ; - On détermine la fonction de répartition G de Y en fonction de celle F de X (comment?) - La fonction de répartition de X véri e les critères de fonction de répartition de variable à densité.(ui sont?) - On en déduit ue les 2 critères des variable à densité (ui sont?) sont véri és. - On en déduit alors ue Y est à densité et u une densité est G là où G est de classe C : N.B. On reste formel aussi longtemps ue possible. On n a généralement pas besoin de calculer la fonction de répartition de X. N.B. Quand on calcule P (a X b) ; il faut d abord véri er l ordre des bornes. Cours Variables á densité Page 2/ 8

3 4 Espérance 4. Dé nitions Dé nition : Pour une variable X de densité f, X a une espérance si R +.tf (t) dt converge. On a alors E (X) = R +.tf (t) dt (la convergence simple éuivaut ici à l absolue convergence) Exercice 7 : Soit > et f dé nie par f (x) = si x et sinon. Montrer ue f est une x densité. Soit X de densité f: Pour uelle valeurs de ; X a-t-elle une espérance? Théorème : moment d ordre 2 X 2 a une espérance si et seulement si R +.t2 f (t) dt converge. On a alors E (X 2 ) = R +.t2 f (t) dt (appelé moment d ordre 2) Exercice 8 : Soit f dé nie par f (t) = 2 e 2t si t et f (t) = sinon. Montrer ue f est une densité. Soit X de densité f: Montrer ue X et X 2 ont une espérance et calculer les. En déduire la variance de X: Théorème : Variance X a une variance si et seulement si X et X 2 ont une espérance. On a alors V (X) = E [X E (X)] 2 = E (X 2 ) E (X) Opérations Théorème de transfert : Pour une variable X de densité f, et g une fonction continue sauf en un nombre nis de points. Y = g (X) : a une espérance si R +.g (t) f (t) dt est absolument convergente. On a alors E (g (X)) = R +.g (t) f (t) dt Linéarité : Si X a une espérance et a et b réels alors alors E (ax + b) = ae (x) + b Si X a une variance alors V (ax + b) = a 2 V (X) Exercice 8 : Pour le démontrer dans le cas où a < et ue la densité de X:est continue sur R: comment déterminer la densité g de Y? Par un changement de variable, montrer R + t g (t) dt converge et vaut ae (x) + b Linéarité : Si X et Y à densité ont une espérance alors E (X + Y ) = E (X)+E (Y ) (indémontrable) Linéarité : Si X et Y à densité ont une variance et sont indépendantes alors V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) Centrée réduite : X est centrée si E (X) = ; elle est réduite si V (X) = : Soit X ayant une espérance et une variance non nulle alors X = X p E (X) est centrée-réduite. V (X) Cours Variables á densité Page 3/ 8

4 5 Lois usuelles 5. Loi uniforme Modèle : toutes les valeurs de l intervalle réel [a; b] sont éuiprobables. Traduction : la densité est constante f (t) = k sur tout l intervalle et f (t) = nulle en dehors. Comment déterminer k? Dé nition : Pour a < b : X suit une loi uniforme sur [a; b] notée U [a;b] si sa densité est si t 2 [a; b] f (t) = b a sinon. Simulation : randomize; (une seule fois au début)... x:=random(b-a)+a; Théorème : Si X,! U [a;b] alors X a une espérance et E (X) = a + b 2 : (Hors programme : V (X) = (b a)2 2 ) Exercice 9 : Soit X n de loi uniforme sur X () = i = i 2 [[; n ]] n Déterminer la loi de X et sa fonction de répartition F n sur X () : Soit x 2 [; [ : En notant [] la partie entière, encadrer nx entre deux entiers successifs et en déduire un encadrement de x entre deux éléments de X n () En déduire la valeur de F n (x) puis sa limite uand n tend vers +: On dit ue X n converge en loi vers une loi uniforme sur [; ] 5.2 Loi exponentielle Durée de vie : Soit X la durée de vie d un appareil. Comment traduire avec X - il tombe en panne à l instant t? - il est en panne à l instant t: - il fonctionne à l instant t? Modèle : On dit ue la durée de vie est sans mémoire si le fait d avoir déjà fonctionné un certain temps n in ue pas sur le temps de (bon) fonctionnement ultérieur Formalisation : X est sans mémoire si pour tout t et h : : P X>t (X > t + h) = P (X > h) Dé nition : Soit > : X suit une loi exponentielle de paramètre notée " () si sa densité est e t si t f (t) = si t < A remaruer : Si X,! " () alors pour tout x : P (X > x) = exp ( P (X x) = e x (comment calculer cette probabilité?) x) et Théorème : Si X,! " () alors X a une espérance et une variance et E (X) = = et V (X) = = 2 Exercice : Soit I n = R + t n e t dt: Montrer ue pour tout n 2 N : t n e t=2! et en déduire ue I n converge. Exprimer I n+ en fonction de I n et en déduire la valeur de I n en fonction de n: Retrouver alors l espérance puis la variance d une loi exponentielle. Cours Variables á densité Page 4/ 8

5 Simulation : On montre ue si X,! U [;] alors Y = ln (X),! " () (comment le faire?) writeln( paramètre? );readln(alpha); randomize; (une seule fois au début)... x:=random;y:=-ln(x)/alpha; Théorème (Modèle) : Soit X variable à densité; alors X suit une loi exponentielle () X est sans mémoire et P (X ) = Exercice : Démontrer la partie directe. Réciproue : On montre ue P (X > h + t) = P (X > h) P (X > t) : On considère g (t) = P (X > t) : Pouruoi g est-elle continue sur R? Quel est son sens de variation? Que vaut g (t + h)? ) g () > : Que vaut g () si X,! " ()? Pour poser = ln [g ()] ; on montre d abord ue g () 6= : On montre d abord (par récurrence) ue g (n x) = g (x) n donc avec x = : g () = g n Et par l absurde : si g () = alors g n =! uand n! +: et par continuité g n! g () = : Soit alors = ln (g ()) : 2) g p avec p et entiers. Quelle devrait être alors la fonction ' (t) = g (t) exp (t) sur R +? a) pour les sommes : on a ' (+h) = ' (x) ' (h) pour tout x et h : b) Pour les produits par un entier p : par récurrence, 8p 2 N : ' (px) = ' (x) p c) Pour les uotients par un entier : avec x = y on a ' (y) = ' d) Pour les rationnels p on a alors ' p = ' () p= = y et ' y n n = ' (y) = 3) Pour les réels On approche les réels x par des rationnels u n : [nx] nx < [nx] + donc u n = [nx] x < u n n + et jx u n nj < n ' est continue sur R. Et comme u n! x alors = ' (u n )! ' (x) donc ' (x) = pour tout x 4) On revient à la fonction de répartition et à la densité : a) Pour tout x : g (x) = e x donc F (x) = P (X x) = e x pour x et comme la fonction de répartition est croissante, elle est nulle sur R : b) F est dérivable sur R donc une densité est F (x) = si x < et F (x) = e x si x c) Où l on reconnaît une loi exponentielle de paramètre : 5.3 Loi normale (de Laplace-Gauss) 5.3. Loi normale centrée réduite Modèle, théorème de la limite centrée (admis) : Quelue soit la loi L (discrète ou de densité) ayant une espérance et une variance ; si les variables aléatoires X i sont de même loi L et sont indépendantes alors la somme S n = P n i= X P i ou la moyenne M n = n n i= X i centrée réduite Sn (ui vaut?) converge en loi vers une loi normale centrée réduite (i.e. sa fonction de répartition tend vers ) Exercice 2 : Montrer ue S n = M n Exercice 3 : Montrer ue pour tout t : t t 2 et en déduire ue R + e t2dt converge. En déduire ue R e t2dt converge également Cours Variables á densité Page 5/ 8

6 Théorème (admis) : R + e t2 dt = p : Dé nition : X suit une loi normale centrée réduite N (; ) si sa densité est ' (t) = p 2 e t2 =2 : Densité paire et in exion en et en : Sa fonction de répartition est usuellement notée Exercice 4 : Montrer ue R + e t2 =2 dt = p 2: Exercice 5 : Montrer ue R x e t2 =2 dt = R x e t2 =2 dt et en déduire ue R ' (t) dt = 2 : Théorème : fonction de répartition La fonction de répartition d une loi normale centrée réduite véri e : - () = 2 - ( x) = (x) (symétrie de la courbe représentative par rapport au point de coordonnés ; 2 Exercice 6 : Soit X,! N (; ) : Calculer grâce à la table de la loi, P (X ) ; P (X ) ; P (X 2) ; P ( 2 X ) Théorème : Si X,! N (; ) alors X est centrée et réduite. (traduction?) Preuve : te t2 =2 = o (e t ) (le prouver) donc R + t' (t) dt converge (on peut aussi primitiver te t2 =2 ) Et par imparité R t' (t) dt = R + t' (t) dt (comment le prouver?) donc R + t' (t) dt = et Conclusion : X a une espérance E (X) =. On intègre par parties R M du contenu) et on trouve ue p 2 t 2 e t2 =2 dt avec u (t) = te t2 =2 (le t étant nécessaire comme dérivée R + t 2 ' (t) dt = R + ' (t) dt et par parité R t2 ' (t) dt = R + Donc X 2 a une espérance et E (X 2 ) = R + Conclusion : X a une variance V (X) = ' (t) dt = t 2 ' (t) dt: Simulation : On peut utiliser la limite centrée. Si X i,! U [;] on a E (X i ) = et V (X 2 i) = on a 2 S n = P n ui converge en loi vers N (; ) La valeurs de n pour avoir une bonne précision est discutable. Ici, avec n = : randomize; (une seule fois au début) n:=;... S:=; for i:= to n do S:=S+random; X:=(S-n/2)/srt(n/2); i= X i n 2 = p n 2 centrée réduite Loi normale Dé ntion : v = 2 et m 2 R: X suit une loi normale de paramètres v et m notée N (m; v) si X = X m suit une loi normale centrée réduite. h La densité de X est alors f (t) = p exp i t m 2 2 =2. La courbe représentative de la densité a un maximum en m et des points d in exion en m Théorème : X,! N (m; v) alors X a une espérance et une variance et E (X) = m et V (X) = v Cours Variables á densité Page 6/ 8

7 6 Interprétation. Pour les lois de min (ou inf) et max (ou sup) on procède par : (min > t) = ( tous > t) ui se formalise par? (max t) = ( tous 6 t) ui se formalise par? Pour une durées de fonctionnement X il faut interpréter : (ECRICOME 2) X t signi e ue la machine fonctionne (encore) à l instant t: X < t signi e u elle est en panne à l instant t: Le nombre de machine en panne à un instant donné suivra souvent une loi binomiale (revoir les conditions, l espérance et la variance) Pour la partie entière comme elle ne prend ue des valeurs entières, elle n est pas à densité. On n étudie plus la fonction de répartition mais directement la loi. On a [X] X < [X] + et ou encore ([X] = n) = (n X < n + ) 7 Approximation 7. Bienaymé & Tchebichev Théorème : si X (à densité) a une espérance m et une v variance alors P (jx mj ") v " 2 Preuve : on part de V (X) = E (X E (X)) 2 ue l on calcule par le théorème de transfert : V (X) = R + (t m)2 f (t) dt ue l on découpe suivant ue jt mj " ou pas (résolution?) V (X) = (t m) 2 f (t) dt + (t m) 2 f (t) dt + Z m+" m " Z + m+" (t m) 2 f (t) dt + (t m) 2 f (t) dt Z + m+" (t m) 2 f (t) dt Là où(t m) 2 " 2 on a : (t m) 2 f (t) dt " 2 f (t) dt = " 2 f (t) dt et on reconnaît dans cette dernière intégrale P (X m ") et de même R + (t m+" m)2 f (t) dt " 2 P (X m + ") Et en remettant tout bout à bout V (X) " 2 [P (X m + ") + P (X m ")]) " 2 P (jx mj ") Cours Variables á densité Page 7/ 8

8 Utilisation : Ce théorème resservira dans l estimation par intervalle de con ance sous la forme P (jx mj ") v " Valeur approchée Loi normale : Si les X i sont indépendantes et de même loi ayant une espérance et une variance alors une valeur approchée de la fonction de répartition de la somme (ou de la moyenne) centrée réduite est donnée par : Cas particulier : Une loi binomiale B (n; p) est somme de lois de Bernouilli B (p) indépendantes. Donc une valeur approchée de B (n; p) est donnée par N (np; np) avec = p Loi de Poisson : Une valeur approchée de B (n; p) est donnée par P (np) Loi binomiale : Une valeur approchée de H (N; n; p) est donnée par B (n; p) Morale : H (N; n; p) ' B (n; p) ' N (np; np) Cours Variables á densité Page 8/ 8