TRAITEMENT NUMÉRIQUE DU SIGNAL

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1 TRAITMT UMÉRIQU DU IGAL I- Le La4 est correctement échantillonné à khz mais il existe une raie repliée à Hz. Cette raie est paraitement audible à moins de mettre un iltre anti repliement de réquence de coupure khz. Le La4 à 88 Hz est encore bien échantillonné et la raie repliée à 88 Hz coupée par le iltre. Le La5 à 76 Hz donne une raie repliée à 76 4 Hz qui sera la seule audible puisque 76 Hz est coupé par le iltre anti repliement. Ce son est plus grave (car de réquence inérieure) que le La3 initial mais un peu plus aigu que le La ( Hz) et même que le La# (ou ib) à 33 Hz mais plus grave que le i à 47 Hz. Ce son n est pas une note de la gamme! Le La6 à 35 Hz donnera une raie repliée à Hz c est-à-dire l octave de la précédente. II-) Étude de la courbe temporelle : Avec une durée de, s et 4 points, la réquence d échantillonnage est 4/,,4 khz. Le signal observé ayant des composantes de réquence inérieure à, on vériie bien la condition de hannon. La courbe temporelle ne présente pas de périodicité nettement visible Étude du spectre : Avec une durée de s et 4 points, la réquence d échantillonnage est 4/,4 Hz et la résolution réquentielle est de, Hz. On observe des raies à, 8, 5, 5 et 94 Hz. Comme les composantes du signal ont une réquence inérieure à 6 Hz, 94 Hz correspond à une raie repliée d une composante de réquence 94 8 Hz. ntre 5 Hz et 5 Hz, on ne peut pas savoir quelle est la raie repliée. Mais sur la courbe temporelle, on peut trouver une période de, s correspondant à 5 Hz. Le signal est donc composées de usoïdes de réquences, 8 et 5 Hz. ) Une réquence de Hz correspond à une période de,5 s. Les autres périodes du signal sont /8,5 s et /5, s. Pour une bonne visualisation du signal, la durée d acquisition doit être égale à quelques périodes de la composante de plus basse réquence ce qui n est pas le cas ici. Il audrait prendre une durée au moins égale à s. Dans ce cas, on obtiendrait la courbe cidessous où l on observe bien trois périodicité diérentes dans le signal. III- Le signal d entrée ne passe pas par un iltre anti repliement donc le signal échantillonné possède une raie repliée à la réquence, khz. Cette composante n est pas éliminée par le iltre numérique et possède en sortie une amplitude proche de celle du signal d entrée. Traitement numérique du signal page /6

2 L M b g O. On linéarise k QP b g c + h + c h donc on a c k th c k th. IV--a) On peut écrire s * ( t) ( t ) + cos k t tous les produits ( t).cos k t k t k t s * t t ( ) ( ) Comme, on peut écrire k s * t t ( ) ( ) + k + t k t k c h c h. k b) i 6, les réquences des cinq premières composantes sont, 5, 7, 3 et 33. Les amplitudes de toutes ces composantes sont égales en valeur absolue (à 6 ) donc le spectre en réquence de s * est le suivant : s s * On constate qu il y a périodisation du spectre (de «période» ) et dédoublement de la raie de s(t) autour des multiples de (y compris autour de si l on prend en compte le spectre symétrique pour < ). Par rapport au spectre de s, il y a eu enrichissement : l échantillonnage est une opération non-linéaire. zt pt -a) Par déinition de la transormée de Laplace, on a B( p). e dt car b(t) si t [, T ]. On obtient donc B p p e pt T e ( ) soit B( p) pt. p T T jω jω jωt e b) n remplaçant p par jω, il vient B( jω) T jω e e e jω jω T T jω soit. B( jω) ω e ω. c) On peut écrire B(jω) sous la orme B( jω) B( ω) e j T précédente, on obtient B( ω) ω ω et Φ( ω). Avec l expression si ω T I K J >, alors Φ( ω) ω T ; si ω T I T K J <, alors Φ( ω) ω ; Pour le signal s B (t), la condition < se traduit par ω < ou encore ω T < donc T T on a toujours ω I T K J > et l on peut écrire Φ( ω) ω. Or l argument de B(jω) représente le déphasage introduit entre le signal d entrée du bloqueur, ici s * (t), et le signal de sortie s B (t). Traitement numérique du signal page /6

3 Ce déphasage peut s écrire Φ(ω ) ω τ (en posant τ T ) pour le ondamental. Le ondamental de s * (t), ( ω t), devient donc t bω ( τ ) g. Le bloqueur a introduit un retard temporel τ sur le ondamental du signal initial. TI ω T d) Avec B( ω) ω ω, on peut écrire B ( ω ) T K J et en posant T ω T X ω, on reconnaît la onction ( ) X B X T X dont le graphe est le suivant : b g Les zéros de la onctions correspondent à X n (avec n entier) soit ω n n soit encore n n. T n La onction s annule pour les réquences multiples de la réquence d échantillonnage. 3-a) L amplitude de chaque composante du signal échantillonné s * (t) est atténuée par le bloqueur d un acteur TI ω B( ω) T K J I KJ. T ω pour le ondamental, donc B( ) I K J. Pour 6, on trouve le tableau suivant : I K J est l amplitude est donc, 994. Pour toutes les composantes, on a COMPOAT RQUC AMPLITUD VALUR ondamental premier harmonique présent 5 5 I K J ( T ) T , 994, 66 Traitement numérique du signal page 3/6

4 deuxième harmonique présent troisième harmonique présent quatrième harmonique p , 584, 3, 3 D log b) Avec les valeurs précédentes, on trouve (, 66) + (, 584) + (, 3) + (, 3), 994 I KJ,dB. Le bloqueur a un eet de iltre passe-bas qui atténue l amplitude des harmoniques de rang élevées crées par l échantillonnage. Il diminue donc le taux de distorsion harmonique (qui valait D log ( ) + ( ) + ( ) + ( ) I KJ 6dB après l échantillonnage seul). V-) On remplit le tableau de valeurs suivant : k ek sk,5,5,75 ek sk,5,5,75 Une diiculté apparaît pour la valeur de e à l instant où se produit la discontinuité. Cette valeur n est pas déinie par la onction échelon. Dans le tableau ci-dessus, on a donc examiné les deux choix possible (e k en t, e k en t ). Après un transitoire, un régime établi constant, non nul apparaît : la composante de réquence nulle du signal d entrée est conservée donc le iltre est un passebas. La valeur nulle de s en t obtenue dans le cas e k,8 paraît plus correcte que celle obtenue avec e k. e k,6 Ce résultat est a priori prévisible car le calcul e k réalise une valeur moyenne qui est bien l eet d un,4 iltre passe-bas analogique., Le gain est le rapport s/e en régime établi. On trouve ici G Traitement numérique du signal page 4/6

5 -a) Pour /4, on a numériquement e(t) cos(( /4) t) en prenant V. Comme t k kt k/, il reste e k cos(k /). De même, on trouve e k cos(k /3) pour /3 etc. On peut remplir le tableau cicontre pour les expressions de e k, puis le tableau ci-dessous pour les valeurs de e k et s k dans chaque cas. /4 /3 / /3 3 /4 e k cos(k /) cos(k /3) cos(k) cos(k 4/3) cos(k 3/) cos(k ) k gain /4 cos(k /) s k /3 cos(k /3) -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 s k,5 -,3 -,3,5 -,3 -,3,5 / cos(k) s k /3 cos(k 4/3) -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 -,5 s k,5 -,3 -,3,5 -,3 -,3,5 3 /4 cos(k 3/) s k cos(k ) s k Les valeurs de s k pour k,, et 3 ne sont pas calculables par la ormules de la moyenne aute de valeurs de e k suisantes. On peut exploiter la périodicité de e k pour compléter ces valeurs. On obtient la courbe des valeurs de gain tracée ci-dessous. b) On constate que le, gain ne varie pas de açon monotone avec la réquence. Dans ce domaine de réquences du signal d entrée, le iltrage n est pas progressi. n particulier, on,8 ne peut pas déinir la pente de,6 l asymptote dans le diagramme de Bode.,4 Il y a des réquences rejetées,, pour lesquels le gain est nul : /4, /3 / et 3 /4 c est-à-dire les multiples de /n (à l exception de ) où n est le nombre,,4,6,8, d échantillons utilisés pour aire le calcul de la moyenne., Ce résultat est général. Pour un iltrage eicace, on a donc intérêt à augmenter la valeur de n. Mais cela augmente n 4,8 le temps de réponse du iltre. Par exemple, la réponse à un échelon calculée avec 6 échantillons conduit à la courbe ci-contre. La diérence avec le cas n 4 est déjà sensible c) La réquence d échantillonnage n est pas du tout coupée par le iltre. C est la conséquence du phénomène de repliement dû à l échantillonnage. La réquence donne une raie repliée à la réquence c est-à-dire une composante continue qui n est pas iltrée par le,6,4, n 6 Traitement numérique du signal page 5/6

6 passe-bas. Il aut donc placé un iltre (analogique) antirepliement de réquence de coupure inérieure à / avant l échantillonnage. 3) Avec les valeurs du tableau, on obtient la courbe ci-dessous. Les points pour [ /, ] ont été obtenus par symétrie par rapport à., G /,8,6,4, C Le gain à 3dB correspond à G /,7. ur le graphe, on obtient C légèrement supérieure à Hz. Traitement numérique du signal page 6/6

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