Traitement du Signal - Travaux Dirigés - Sujet n 3 : "Echantillonnage, Transformée de Fourier d un signal échantillonné"

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1 raitmnt du Signal - ravaux Dirigés - Sujt n 3 : "Echantillonnag, ransormé d Fourir d un signal échantillonné" Exrcic : Sur-échantillonnag L objcti d ct xrcic st d mttr n évidnc l intérêt qu il put y avoir à suréchantillonnr un signal. Pour la compréhnsion d ct intérêt, il aut savoir qu un iltr analogiqu d un ordr donné st plus coûtux à réalisr n pratiqu qu son équivalnt numériqu. Soit un signal s(t) dont l spctr st l suivant : A S() - max max On considèr qu l inormation util à l application s situ dans la band [, u [ avc u = max /4 (par xmpl, la band util d un signal audio s situ ntr Hz t khz nviron, t n téléphoni on limit ctt band à 8kHz, soit un pu plus d un tirs). On souhait échantillonnr c signal avant d l transmttr. ) Avant l échantillonnag proprmnt dit, il aut d abord iltrr l signal avc un iltr antirplimnt. Donnr la répons n réqunc H a () ("a" pour analogiqu) du iltr idéal prmttant d réalisr ctt opération. ) Un ois iltré, l signal st échantillonné. On choisit un réqunc d échantillonnag la plus aibl possibl mais rspctant la condition d Shannon. Rapplr ctt condition t précisr ctt réqunc. Rprésntr l spctr S () du signal iltré s (t) puis l spctr S, () du signal échantillonné corrspondant s, (t) n onction d la réqunc, puis nin l spctr S(ν) (avc ν=/ ) du signal s[k] présnt n sorti d l échantillonnur. 3) Indiqur ls diicultés d réalisr physiqumnt un tl systèm. 4) Pour acilitr la réalisation d c systèm, on décid d utilisr un iltr d ordr moins important qu l précédnt. Montrr qu ctt contraint impos d échantillonnr l signal à un réqunc supériur à (=sur-échantillonnr). 5) On choisit =. Rprésntr l spctr S (ν) du signal s [k] n sorti d l échantillonnur travaillant à t agissant sur s(t). 6) Détrminr la band d transition (idéal) maximal du iltr anti-rplimnt à réalisr. Rprésntr sa répons n réqunc H a (), l nouvau spctr S () du signal iltré s (t) ainsi qu ls spctrs S, () t S (ν) du signal s [k] n sorti d l échantillonnur précédé du iltr anti-rplimnt. Précisr l intérêt d c iltr par rapport au précédnt. 7) Un ois échantillonné, l signal discrt doit êtr réduit n cadnc du mêm actur qu l actur N d sur-échantillonnag pour attindr l débit d échantillons initialmnt souhaité. Rprésntr l spctr S () du signal obtnu après réduction d cadnc. Qul traitmnt préalabl doit êtr appliqué au signal s [k] pour évitr l rcouvrmnt ds spctrs? Rprésntr la répons n réqunc H n (ν ) du iltr numériqu à utilisr. 8) Rprésntr la chaîn complèt d convrsion analogiqu-numériqu réalisé sous orm d schéma-blocs. 9) Aurait-on pu s passr du iltr anti-rplimnt analogiqu?

2 Solution ) H()= pour u << u, sinon : H a () - u u ) Rappl du spctr du signal : A S()=F{s(t)} Spctr du signal iltré : - max S ()=F{s (t)} max A - u Pour rspctr la condition d échantillonnag d Shannon, il aut u. On prnd = u, la réqunc la plus bass rspctant la condition d Shannon. L spctr du signal iltré t échantillonné dvint donc : A u S, ()=F{s, (t)} - u u En réquncs réduits (ν=/ ), l spctr dvint : A S(ν)=F{s[k]} -/ / ν=/ (comm l spctr n ait plus réérnc à la réqunc d échantillonnag, on considèr ls échantillons comm un séqunc discrèt s[k]). 3) Problèm : un iltr analogiqu à pnt très raid nécssit baucoup d composants t st donc coûtux. 4) Si l on augmnt, ls duplicata du spctr principal s écartnt ls uns ds autrs. On put donc air disparaîtr l chvauchmnt ds spctrs dans la band util.

3 On put égalmnt s prmttr d utilisr un iltr analogiqu d ordr moins grand qu l précédnt (donc moins coûtux). 5) Avc = =4 u, l spctr du signal sur-échantillonné dvint : S ()=F{s (t)} - soit, n réquncs réduits : - u u S (ν)=f{s [k]} - -/4 /4 ν'=/ =ν/ 6) Pour évitr l chvauchmnt ds spctr dans la band util ]-/4,/4[, il aut utilisr un iltr anti-rplimnt dont la band d transition maximal st [ u,3 u ] (pour évitr d alourdir ls notations, on l appllra égalmnt H()) : H a () - u u 3 u L spctr du signal après iltrag dvint : S ()=F{s (t)} - u u puis après échantillonnag : S, ()=F{s, (t)} - u u ' soit, n réquncs réduits : S (ν )=F{s [k]} /4 ν' 3

4 Ainsi il n y a plus d chvauchmnt dans la band util. L ordr du iltr anti-rplimnt put êtr très inériur au précédnt, donc moins coûtux à réalisr. 7) La réduction d cadnc provoqu l apparition d nouvaux duplicata du spctr principal, tous ls /N=/ (n réquncs réduits ν ). Entr ν = t ν =, un nouvau duplicata apparaît pour ν =/. S (ν )=F{s [k]} / ν' =ν =ν L sur-échantillonnag n aurait donc aucun utilité si la réduction d cadnc intrvnait dirctmnt sur l signal échantillonné. Il aut donc préalablmnt appliqur un iltr numériqu d ordr important à c signal pour éliminr ls réquncs inutils. La onction d transrt d c iltr st : k k H()= pour < < avc k ntir rlati t N= ici, N N aillurs. H n (ν ) -/4 On rtrouv bin l prmir spctr du signal échantillonné, sans rcouvrmnt ds spctrs dans la band util : /4 S (ν)=f{s [k]} ν' / ν On rtrouv bin un onction d ν ; tout s st donc passé comm si l iltrag avait été ctué sur l signal échantillonné à. En t, si on rvint aux réquncs non réduits : S, ()=F{s, ()} 8) c cours 9) Avc =,5 =5 u, il n y aurait plus u d chvauchmnt ntr ls spctrs dans la band util (voir schéma qustion 5)), donc l iltrag anti-rplimnt analogiqu n aurait plus été nécssair. Par contr l iltrag numériqu rst indispnsabl. u 4

5 Exrcic : ransormé d Fourir (F) d un signal à tmps discrt t F discrèt (FD) On souhait réalisr la transormé d Fourir d un signal sur un ordinatur. C signal st un signal sinusoïdal, d réqunc =Hz, déini par : s(t) = cos( ωt) ) Rapplr (sans démonstration) son spctr complx (modul, ou amplitud, t phas). roncatur ) Pour pouvoir étudir physiqumnt c signal, on st obligé d l limitr dans l tmps. On réalis ici un troncatur simpl, équivalnt à un multiplication par un signal port. On choisit un troncatur sur un duré d 4 sconds. a) Donnr l xprssion du spctr du signal tronqué. b) Rprésntr (n utilisant dirctmnt ls résultats d cours) l modul d amplitud d c signal ainsi tronqué. Echantillonnag 3) On choisit d échantillonnr c signal à la réqunc =4 Hz. a) Vériir si ctt réqunc st corrct (n justiiant la répons). b) Donnr ls valurs ds N échantillons obtnus. c) Donnr l xprssion du signal non-tronqué échantillonné. d) Rprésntr son spctr sur un intrvall allant d à. ) Donnr l xprssion d la F (à tmps discrt) d c signal (la démonstration n st pas dmandé). FD On rappll qu la FD consist n un échantillonnag réquntil (dans l but d réalisr la F à l aid d un systèm numériqu, ordinatur ou autr), du spctr du signal lui-mêm échantillonné dans l tmps. L nombr N d échantillons (on parl d "points") du spctr st l mêm qu l nombr d échantillons du signal, ntr t, soit pour un pas d échantillonnag d /N. 4) Donnr ls valurs ds points d la FD du signal. Ls comparr avc clls qu l on aurait obtnus avc un signal d duré inini. 5) Mêm qustion qu la précédnt (mêms paramètrs d troncatur t d échantillonnag), mais avc un signal d réqunc,hz. Solution ) Spctr (complx) : () = Il st rél pur, donc égal à son modul. Son spctr d phas st nul. [ δ( ) + δ( )] S + ) L spctr du signal tronqué st (voir D) : S () = sin c( π( + )) + sin c( π( )) où st la duré d la onction port. [ ] 5

6 Application numériqu : S () = [ sin c(4π( + )) + sin c(4π( ))] Ctt onction complx étant réll, son modul st simplmnt sa valur absolu : () = sin c(4π( + )) + sin(4π( )) S 3) a) Ctt réqunc d échantillonnag st corrct car la réqunc d échantillonnag minimal st max = =Hz. b) Ls N=6 échantillons sont (4 périods d scond, avc 4 échantillons par périod) :,, -,,,, -,,,, -,,,, -, c) L xprssion du signal échantillonné st : s (t) = s(t) + (t n ) δ n= = + s(n ) δ(t n ) n= d) Spctr d réqunc : l signal étant tronqué, son spctr principal st composé d sinus cardinaux, t comm il st échantillonné c spctr st périodisé d périod (t son amplitud multiplié par / ). 3 =4 (Hz) ) La transormé d Fourir du signal échantillonné st déini par : S () = S( n ) + n= avc S() l spctr du signal non-échantillonné : S() = sin c( π( + )) + sin c( π( )) [ ] 4) Pour obtnir ls valurs ds N=6 points d la FD, il aut échantillonnr la F obtnu précédmmnt à la réqunc /N=/4. L sinus cardinal du spctr principal st cntré n ; il possèd un largur d /=/4=/. Ss passags à s situnt à -/4, -/, -3/4, +/4, +/, +3/4, tc. L échantillonnag n réqunc prélèv donc ls passags à, sau pour =, soit, pour l 5 point t pour son symétriqu par rapport à /=, soit pour l 3 point, comm l montr la igur suivant : 6

7 3 =4 (Hz) L résultat d la FD st donc :,,,,,,,,,,,,,,, Intrprétation : on n "voit" pas l sinus cardinal dans l résultat d la FD. 5) L échantillonnag n réqunc n étant pas synchronisé sur l échantillonnag n tmps, l résultat d la FD va donnr ds valurs intrmédiairs ntr t. 7

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