X7TU100 : Traitement du signal
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- César Nolet
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1 X7TU100 : Traitement du signal Éric Beucler Laboratoire de Planétologie et Géodynamique UFR des Sciences et Techniques eric.beucler@univ-nantes.fr M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 1 / 54
2 Introduction 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 2 / 54
3 Introduction Quelques livres J. Max & J.-L. Lacoume (1996), Méthodes et techniques de traitement du signal ( ème éd.), Dunod M. Bellanger (1995), Traitement numérique du signal ( ème éd.), Dunod F. Cottet (1997), Traitement des signaux et acquisition de données - Cours et exercices résolus, Dunod F. Coppens, J.-L. Mari & F. Glangeaud (2000), Traitement du signal pour géologues et géophysiciens, Technip M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 3 / 54
4 Introduction Introduction Électronique M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 4 / 54
5 Introduction Introduction Acoustique M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 5 / 54
6 Introduction Introduction Géologie, Géochimie M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 6 / 54
7 Introduction Introduction Sédimentologie M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 7 / 54
8 PY49 PY48 BREST PY Sep 05 12:24:03 PY46 CEA/DASE (LB+CP) RÉSoNANSS RESIF LB (A/A+) PYROPE LORIENT PY45A VANNES SAINT BRIEUC PY45 PY44 PY43 RENNES NANTES LA ROCHE/YON PY42 LA ROCHELLE PY41 SAINTES CAEN ANGERS NIORT Introduction Introduction Gravimétrie, Géomagnétisme... Sismologie 50 N 4 W 2 W N N 47 N Altitude (m) N W 2 W M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 8 / 54
9 Introduction Introduction À retenir Le signal lié à un phénomène peut être du bruit pour un autre, et réciproquement. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 9 / 54
10 Introduction Introduction À retenir Le traitement du signal sert à séparer le message du bruit (signal perturbateur), dans un signal brut qui contient les deux (pas nécessairement de façon additive). M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 10 / 54
11 Introduction Introduction À retenir Sans concept physique ou chimique a priori, le traitement du signal ne sert à rien. L espace dans lequel le signal est observé peut changer. Espace temporel Espace fréquentiel M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 11 / 54
12 Introduction Introduction Philosophie du traitement du signal Nous ne comprenons les phénomènes qui nous entourent qu à la lueur des appareils qui nous permettent de les enregistrer (observer). M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 12 / 54
13 Signaux en général 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 13 / 54
14 Signaux en général Ondes spatio-temporelles Rappels sur les ondes M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 14 / 54
15 Signaux en général Ondes spatio-temporelles Rappels sur les ondes M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 15 / 54
16 Signaux en général Caractéristiques d une onde Rappels sur les ondes M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 16 / 54
17 Signaux en général Caractéristiques d une onde Rappels sur les ondes À 1D, u(x 1, t) = A exp[i(ωt ± kx 1 )]. À 3D, u(r, t) = A exp[i(ωt ± k r)], r = (r 1, r 2, r 3 ). Fréquence : ν = 1 T ; Période : T = 1 ν ; Fréquence angulaire (pulsation) : ω = 2πν = 2π T ; Nombre d onde (ou vecteur d onde à 3D, k) : k = 2π λ ; Longueur d onde : λ = CT = C ν ; Vitesse de phase : C = λ T. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 17 / 54
18 Signaux en général Fonctions utiles Sinus et cosinus À retenir Tout signal peut se décomposer sur une base de fonctions sinusoïdales. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 18 / 54
19 Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 19 / 54
20 Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 20 / 54
21 Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 21 / 54
22 Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 22 / 54
23 Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage Tout signal réel doit être tronqué pour être étudié. Π(t) = { 0 t > t 1 2, (1) ce qui est équivalent à Π(t) = { 1 si 1 2 t sinon. (2) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 23 / 54
24 Signaux en général Fonctions utiles Porte (paire de ciseaux) ou troncature ou fenêtrage À retenir Pour qu un signal soit perçu (donc modélisable) il faut qu il puisse se répéter au moins deux fois dans la fenêtre considérée. La plus grande des périodes (ou des longueurs d onde) est égale à la moitié de la taille de la fenêtre. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 24 / 54
25 Signaux en général Distribution de Dirac (photo) Fonctions utiles Échantillonnage ponctuel δ(x) = { +, x = 0 0, x 0 et + δ(x)dx = 1. (3) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 25 / 54
26 Signaux en général Peigne de Dirac (caméra) Fonctions utiles Impulsions de Dirac se succédant à la cadence 1 T e d échantillonnage), (ou fréquence Ø(t) + n= δ(t nt e ). (4) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 26 / 54
27 Auto- et intercorrélation 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 27 / 54
28 Auto- et intercorrélation Auto- et intercorrélation À la recherche des similarités entre signaux (ou au sein d un même signal) par translation (temporelle ou spatiale). M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 28 / 54
29 Autocorrélation Auto- et intercorrélation Informations sur des événements répétés + + C uu (τ) = u(t + τ)u (t) dt = u(t)u (t τ) dt (5) f est le conjugué complexe, pour un signal réel f = f. Détection de battements dans un signal bruité M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 29 / 54
30 Auto- et intercorrélation Intercorrélation (cross-correlation) Recherche d un éventuel décalage capable de repositionner les signaux en phase ou de la similarité entre deux signaux C uv (τ) = + u(t)v (t τ) dt = + u (t)v(t + τ) dt (6) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 30 / 54
31 Auto- et intercorrélation Intercorrélation (cross-correlation) Corrélation normalisée C uv (τ) = C uv (τ) Cuu (0)C vv (0). (7) L intercorrélation n est pas commutative (C uv est ni paire, ni impaire). M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 31 / 54
32 Convolution 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 32 / 54
33 Convolution Convolution La convolution de deux fonctions u(t) et v(t) se note u(t) v(t) et est définie par + s(t) = u(t) v(t) = u(τ)v(t τ) dτ. (8) La convolution (ou produit de convolution) exprime la quantité de recouvrement d une fonction u lorsqu on la déplace sur une autre fonction v : c est un mélangeur de fonctions. Systèmes d acquistion du signal (réponse impulsionnelle, fonction de transfert) ; convolution temporelle : recherche des systèmes linéaires et invariants (e.g. exploration géophysique) ; convolution spatiale : fonction de Green M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 33 / 54
34 Convolution Propriétés de la convolution Changement de variable τ = t x : u(τ) = u(t x), v(t τ) = v(x) et dτ = dx ; τ = + x = et τ = x = +. + s(t) = u(τ)v(t τ) dτ = u(t x)v(x) dx, s(t) = s(t) = + u(t x)v(x) dx + u(t τ)v(τ) dτ. + soit u v = v u (u v) w = u (v w) u (v + w) = (u v) + (u w) (9) (10) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 34 / 54
35 Dirac et convolution Convolution Dirac (élément neutre) : δ(t) f (t) = f (t), soit par translation δ(t t 0 ) f (t) = f (t t 0 ). (11) Somme pondérée de deux Diracs : superposition de deux courbes décalées M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 35 / 54
36 Convolution Convolution discrète étape par étape s(t) = x(t) h(t) = + x(τ)h(t τ) dτ. (12) 1 Replier h(t) par rapport à l origine pour obtenir h( τ) ; 2 choisir une première valeur, t = t 1 ; 3 s(t 1 ) = aire sous la courbe définie par x(τ)h(t 1 τ). s(t 1 ) = 0 (surface verte inexistante, principe de causalité) ; 4 puis avec t = t 2, t 3... M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 36 / 54
37 Convolution Convolution discrète avec les mains M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 37 / 54
38 Convolution Corrélation et convolution C uv (τ) = C uv (τ) = + + u (t)v(t + τ) dt, u (t τ)v(t) dt, C uv (τ) = u ( t) v(t). L intercorrélation peut être interprétée comme une convolution où l on ne retourne pas l une des deux fonctions. (13) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 38 / 54
39 Transformée de Fourier 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 39 / 54
40 Temps vs fréquence Transformée de Fourier Espace temporel f (t) = A sin(ωt + φ). (14) Espace fréquentiel Ici A = 2.8, ω 0.5 rad.s 1 (ν 0.08 Hz) et φ = 0. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 40 / 54
41 Temps vs fréquence Transformée de Fourier Espace temporel Espace fréquentiel M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 41 / 54
42 Transformée de Fourier Séries de Fourier Principe fondateur Tout signal se décompose en une série de fonctions périodiques élémentaires (sinusoïdes). Objectif Quantifier le poids respectif de chaque sinusoïde cachée dans le signal total. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 42 / 54
43 Séries de Fourier Transformée de Fourier Les signaux élémentaires sur lesquels se décompose tout signal sont périodiques et complexes. s e (t) = exp(2iπνt) = cos(2πνt) + i sin(2πνt), (15) où ν est la fréquence du signal élémentaire. La somme pondérée des signaux élémentaires forme ainsi le signal résultant, s(t) = k a k sin(2iπν k t + φ k ). (16) Passage de l espace temporel à l espace fréquentiel (ou spectral), (s, t) (a k, ν k, φ k ). (17) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 43 / 54
44 Transformée de Fourier Séries de Fourier Théorème de Fourier s(t) = A 0 + [A k cos(ω k t) + B k sin(ω k t)]. (18) Principe d orthogonalité k=1 k, l 2 T 2 T T 2 T 2 T 2 T 2 sin(ω k t) cos(ω l t)dt = 0, cos(ω k t) cos(ω l t)dt = δ kl. (19) Rappel : δ kl = { 0, si k l; 1, si k = l et ω k = 2kπ T. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 44 / 54
45 Séries de Fourier Transformée de Fourier La valeur A 0 représente la moyenne du signal dans la fenêtre considérée, A 0 = T 2 T 2 s(t)dt. (20) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 45 / 54
46 Transformée de Fourier Transformée de Fourier La transformée de Fourier (TF) permet de définir le spectre complexe S(ν) du signal temporel s(t). TF directe F[s(t)] = S(ν) = + s(t) exp( 2iπνt)dt. (21) La transformée de Fourier F est une application réversible, F 1 [F(s)] = s. TF inverse F 1 [S(ν)] = s(t) = + S(ν) exp(+2iπνt)dν. (22) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 46 / 54
47 Transformée de Fourier Transformée de Fourier (propriétés) Application linéaire α, β R, F[αu(t) + βv(t)] = αf[u(t)] + βf[v(t)]. (23) Similitude (dilatation) α R, F[s(αt)] = 1 α S( ν ). (24) α Plus le support temporel d une fonction est étroit, plus le support fréquentiel de sa TF est large (dualité temps-fréquence). M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 47 / 54
48 Transformée de Fourier Transformée de Fourier (propriétés) Translation temporelle (retard) t 0, F[s(t t 0 )] = exp( 2iπνt 0 )S(ν). (25) Translation fréquentielle (modulation) ν 0, exp(2iπν 0 t)s(t) = F 1 [S(ν ν 0 )]. (26) Dérivation [ ] ds(t) F = 2iπνS(ν), (27) dt une simple multiplication en domaine spectral. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 48 / 54
49 Transformée de Fourier Transformée de Fourier, corrélation et convolution La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est le produit des transformées de Fourier (et réciproquement), F [u(t) v(t)] = F[u(t)]F[v(t)] = U(ν)V (ν), F [u(t)v(t)] = F[u(t)] F[v(t)] = U(ν) V (ν). (28) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 49 / 54
50 Échantillonnage 1 Introduction 2 Signaux en général Rappels sur les ondes Fonctions utiles 3 Auto- et intercorrélation 4 Convolution 5 Transformée de Fourier 6 Échantillonnage M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 50 / 54
51 Échantillonnage Échantillonnage Quel doit être le pas d échantillonnage pour être certain de pouvoir enregistrer un signal à une fréquence donnée? M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 51 / 54
52 Échantillonnage Théorème d échantillonnage de Nyquist-Shannon La représentation discrète d un signal par des échantillons régulièrement espacés exige une fréquence d échantillonnage supérieure au double de la fréquence maximale présente dans ce signal. Fréquence de Nyquist Soit ν e, la fréquence d échantillonnage d un signal, ν N = ν e 2. (29) La plus petite des périodes possibles d un signal enregistré est le double de la période d échantillonnage. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 52 / 54
53 Échantillonnage Rééchantillonnage (repliement spectral) Signal brut composé de 4 sinusoïdes. M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 53 / 54
54 Échantillonnage Rééchantillonnage (repliement spectral) M1 TPE (STU ) X7TU100 : Traitement du signal 19 septembre 2014(v1.3) 54 / 54
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