Chapitre 8 : Géométrie

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1 Chapitre 8 : Géométrie I. Triangles rectangles.le théorème de Pythagore Le côté le plus long dans un triangle rectangle est l hypoténuse ; c est le côté où il n y a pas d angle droit. Le théorème de Pythagore dit : «Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.» Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en A : BC = AB + AC C B A.Définition du sinus, cosinus et de la tangente dans un triangle rectangle : Dans tout triangle rectangle, le sinus d un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l angle et l hypoténuse le cosinus d un angle aigu est le rapport entre le côté adjacent à l angle et l hypoténuse la tangente d un angle aigu est le rapport entre le côté opposé à l angle et le côté adjacent à l angle. Ce qui donne dans ce triangle ABC rectangle en C les relations trigonométriques suivantes : Sin.= hypoténuse B Cos.= côté opposé à A Tan..= A A côté adjacent à A C Propriétés : Dans un triangle rectangle, si est la mesure d un angle aigu, alors : cos + sin = tan sin cos Si est l autre angle aigu du triangle, alors et sont complémentaires leur somme vaut 90, et on a : cos = sin.

2 Exercices A) Sur la figure ci-dessous, écris trois rapports égaux à sin C ˆ A D : A E B D C Précise à chaque fois dans quel triangle tu te places! B) Recopie et complète en utilisant la calculatrice (résultats arrondis au dixième) : a) x = 50, donc cos x b) x = 7, donc sin x c) cos x = 0,7, donc x d) tan x = 5, donc x e) sin x = 0,5, donc x... C) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule la longueur demandée au mm près : a) A ˆ B C = 68 ; AB = cm ; AC? b) A ˆ C B = 5 ; AB =,5 cm ; BC? c) A ˆ C B = 8 ; AC = 7, cm ; BC? d) A ˆ B C = 6 ; BC = 7 cm ; AB? D) ABC est un triangle rectangle en A. Calcule l arrondi au dixième de l angle demandé : a) AC = 5 cm ; AB =, cm ; A ˆ B C? b) BC = 8,5 cm ; AB =,5 cm ; A ˆ C B? c) BC = 0,8 cm ; AC = 7, cm ; A ˆ C B?

3 E) RST est un triangle rectangle en R tel que RS = 5 cm et ST = 8 cm. Calcule la mesure de tous ses angles au degré près. F) x est la mesure d un angle aigu dans un triangle rectangle. Sans calculatrice, calcule la valeur manquante dans chaque cas : a) sin x = 0,6 cos x = tan x = b) sin x = cos x = c) sin x = d) sin x = cos x = tan x = G) Soit x la mesure d un angle aigu d un triangle rectangle, tan x = cos x = tan x = démontre en développant le carré que : (sin x + cos x) = + sin x cos x 0 H) Des angles particuliers a) cos 5 =, déduis-en les valeurs exactes de sin 5 et de tan 5. b) sin 0 =, déduis-en les valeurs exactes de cos 0 et de tan 0. c) Sachant que sin 0 =, déduis-en les valeurs exactes de cos 60, sin 60 et de tan 60.

4 I) Calcule la longueur AH au mm près, puis l aire de ABC arrondie au cm., cm A B 7 H 7, cm C J) Pour un maximum de sécurité, une échelle doit former avec un mur un angle de 0. Avec une échelle de 9 m, jusqu à quelle hauteur de mur peut-on monter (au cm près)? H 0 P B K) Le sommet de la tour de Pise s écarte de la verticale d environ 5 m et se trouve à environ 55 m du sol. Calcule (au degré près) l angle A ˆ B C que fait la tour avec la verticale. A 5 m C 55 m B

5 L) Triangle de référence à connaître Résoudre le triangle ABC rectangle en A dans chacun des cas suivants (au dixième près) a b c 5 6 8,6 8, 7,5 5, Calculs : 5

6 II.Cercle et disque O est un point du plan et r est un réel positif Définitions: On appelle cercle de centre O et de rayon r, l ensemble des points M du plan tels que : OM = r On appelle disque de centre O et de rayon r, l ensemble des points M du plan tels que : OM r Périmètre d un cercle: Le périmètre du cercle de centre O et de rayon r est. Exemple : Le périmètre du cercle de centre O et de rayon,5 cm est : (Donner la valeur exacte avec puis un arrondi à 0,00 près) Aire d un disque : L aire du disque de centre O et de rayon r est égale à.. Exemple : L aire du disque de centre O et de rayon,5 cm est :.. (Donner la valeur exacte avec puis un arrondi à 0,00 près) III.Cercle trigonométrique radians sinus et cosinus.le cercle trigonométrique On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon muni d un sens appelé «sens direct» (le sens anti-horaire). J M + I O I A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante : si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct. si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect. J Exemple : La longueur totale du cercle est : R = = Le point J est repéré par le nombre : Le point J est repéré par le nombre : - direct) (un quart de tour dans le sens direct) (un quart de tour dans le sens indirect) ou Remarque : Tout point peut être repéré par une infinité de nombres. Par exemple A est associé aux nombres 0 (aucun tour), (un tour), (deux tours ), - (trois quarts de tour dans le sens 6

7 Exercice : Associe à un réel, x un point M du cercle trigonométrique C Nombre x Chemin parcouru Point du Cercle 0 Point immobile A Un tour de cercle dans le sens direct Un demi-tour de cercle dans le sens direct A - Un demi-tour dans le sens indirect - Un quart de tour de cercle dans le sens direct Un huitième de tour dans le sens direct Trois quarts d un tour de cercle dans le sens indirect Un quart de tour de cercle dans le sens indirect Exercice : Place sur le cercle trigonométrique C les points M associés à chacun des réels suivants ; ; 5 ; 5 ; ; Exercice Placer les points suivants sur le cercle en fonction du réel qui leur est associé : A ( ) B C J D G E H F O I 7

8 Exercice Placer les points suivants sur le cercle en fonction du réel qui leur est associé : A ( 5 ) B -5 C O J I D - E 6 F -5 Exercice 5 Associer entre eux les nombres qui correspondent au même point du cercle : Exercice 6 Retrouver autres longueurs d arcs ( positives, négatives) correspondant au même point. a. b. - c. d. - 5 Exercice 7 A l aide du tableau, retrouver la longueur de l arc associé à l angle (en degré). Degrés Longueur de l arc A l aide du tableau, retrouver l angle (en degrés) associé à l arc. Longueur de l arc Degrés 80 8

9 . Le radian Le radian est une unité de mesure angulaire, qui correspond à la longueur de l arc intercepté par un angle au centre du cercle trigonométrique. Cet angle est orienté, c'est-à-dire positif ou négatif suivant le sens dans lequel on tourne. Exemples : I ˆ O A = 5 = de tour = 8 8 = I ˆ O B = 60 = de tour = 6 I ˆ O C = 0 = de tour = I ˆ O D = 0 = IO ˆ I' = 80 = un demi-tour = rad 6 = = rad rad rad de tour (sens indirect) = - = - 6 rad Remarque : Les mesures en radians et en degrés sont proportionnelles. I C J 0 O J B A I D En règle générale : Mesure en radians Mesure en deg ré 80 Parmi toutes les mesures d un angle orienté, il en existe «une et une seule» qui appartient à ] -π ; π [ : c est la mesure principale de cet angle orienté. Exercice 8 : En complétant le tableau de proportionnalité ci-dessous : Trouve la mesure en radian d un angle de 0, d un angle de 0 et d un angle de 60. Trouve la mesure en degré d un angle de Mesures en degré Mesure en radians radians, d un angle de radians, et d un angle de 8 8 radians. Exercice 9 : Déterminez la mesure principale de chacun des angles suivants ; 080 ; 76 ; 55 ; ; ; ;. 9

10 . Le cosinus d un réel et le sinus d un réel On munit le cercle trigonométrique d un repère orthonormé (O, Soit x la mesure en radian d un angle, et M le point tel que OI, I ˆ O M = x OJ). J + B M O x A I Dans le triangle rectangle OAM, on a : cos x = OA OM De même sin x = MA OM cos x = OA (le cercle a pour rayon ) sin x = MA (le cercle a pour rayon ) cos x = OA sin x = MA = OB donc cos x est l abscisse de M. donc sin x est l ordonnée de M 0

11 Conclusion : Si M est le point associé a un réel x sur le cercle trigonométrique, alors M(cos x ; sin x). Remarques : Pour tout x, on a - cos x et - sin x Pour tout x, on a cos(x k) cos x Pour tout x cos x sin x sin(x k) sinx Quelques valeurs remarquables : x 0 6 cos x 0 sin x 0 Exercice 0 On donne les valeurs exactes du sinus et cosinus de quelques angles remarquables entre 0 et 90. Point I A B C J x ( ) x (rad) cos x 0 sin x H J C a. Retrouver le point qui correspond à chaque angle. b. En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus de tous les angles du tableau. I K D O 6 B A I E M L G F J N

12 Exercice : Calculer dans chaque cas l expression pour la valeur de x donnée f(x) = - sin x pour x = f(x) = 5cos x + sin x pour x = f(x) = cos² x pour x = f(x) = cos x sin x pour x = f(x) = sin²x pour x = f(x) = cos x pour x = - f(x) = x sin x pour x = - 6 f(x) = cos x sin x pour x = f(x) = cos²x sin x pour x =

13 J Les exercices suivants seront résolus sans utiliser la machine. Mais il est conseillé d utiliser la figure ci-contre O I Exercice : Compléter : cos 0 = sin 5 = cos 60 = sin 90 = cos 80 = sin 0 = cos 50 = sin 0 = cos 0 = sin 5 = cos 5 = sin 70 = cos = sin 6 = cos 0 = sin = cos - = sin - 6 = cos = sin - = cos = sin 5 6 = cos = sin - = cos -5 - = sin 6 = cos - = sin = Exercice : Compléter cos x = sin x = donc x = ou donc x = ou cos x = sin donc x = ou x = donc x = ou cos x = cos x = - sin x = 0 donc x = ou donc x = ou donc x = ou sin x = - donc x = ou cos x = - donc x = ou cos x = 0 donc x = ou sin x = - donc x = ou sin x = - donc x = ou Déterminer une mesure en radians de l angle dont on connaît le cosinus et le sinus cos x = et sin x = - donc x = cos x = - et sin x = - donc x = cos x = et sin x = 0 donc x = cos x = 0 et sin x = - donc x =

14 . Lignes trigonométriques des angles associés Pour tout x cos(x) cos x sin(x) sin x Pour tout x cos(x ) cos x sin(x ) sin x Pour tout x cos( x) cos x sin( x) sin x Pour tout x cos(x ) sin x sin(x ) cos x Pour tout x cos( x) sin x sin( x) cos x Exercice : Exprimer uniquement en fonction de sin x et cos x A cos x sin x cos x B cos x cos x

15 5 III. Les fonctions sinus et cosinus On appelle fonctions trigonométriques les deux fonctions définies sur R par f : x cos x g : x sin x LA FONCTION COSINUS Tout nombre réel a un cosinus (c est l abscisse du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique). On appelle fonction cosinus la fonction f : x cos x définie sur ]- ; +[. Remarques : Puisque pour tout x, cos (x + ) = cos x, on n étudiera la fonction que sur l intervalle]- ; ]. On dit que cette fonction est périodique, de période. Pour tout x, cos(-x) = cos(x), donc la fonction cosinus est paire (la courbe est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées). Sens de variation de la fonction cosinus sur l intervalle ]- ; ] La fonction est décroissante et négative. (cos x varie de 0 à -) La fonction est décroissante et positive. (cos x varie de à 0) - = 0 La fonction est croissante et négative. (cos x varie de - à 0) - La fonction est croissante et positive. (cos x varie de 0 à ) Conclusion : Représentation graphique : x cos x

16 6 LA FONCTION SINUS Tout nombre réel a un sinus (c est l ordonnée du point M associé à ce nombre sur le cercle trigonométrique). On appelle fonction sinus la fonction f : x cos x définie sur ]- ; +[. Remarque : Puisque pour tout x, sin (x + ) = sin x, on n étudiera la fonction que sur l intervalle ]- ; ]. On dit que cette fonction est périodique, de période. Pour tout x, sin(-x) = -sin(x), donc la fonction cosinus est impaire (la courbe est donc symétrique par rapport à l origine du repère). Sens de variation de la fonction sinus sur l intervalle ]- ; ] La fonction est décroissante et positive. (sin x varie de à 0) La fonction est croissante et positive. (sin x varie de 0 à ) - = 0 La fonction est décroissante et négative. Conclusion (sin x varie : de 0 à -) - La fonction est croissante et négative. (si x varie de - à 0) Conclusion : x sin x Représentation graphique :

17 7 7

18 y = y = 8 EXERCICE On a représenté sur ce graphique la fonction f : x cos x sur l intervalle [0, ] a. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 0 sur l intervalle [0, ]. b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l inéquation f(x) > 0 sur l intervalle [0, ].. On a tracé la droite d équation : y = a. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l équation f(x) = sur l intervalle [0, ]. b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l inéquation f(x) sur l intervalle [0, ]. EXERCICE On a représenté sur ce graphique la fonction g : x sin x sur l intervalle [0, ] a. Résoudre graphiquement l équation g(x) = 0 sur l intervalle [0, ]. b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l inéquation g(x) 0 sur l intervalle [0, ].. On a tracé la droite d équation : y = a. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l équation g(x) = sur l intervalle [0, ]. b. Résoudre graphiquement (valeurs exactes) l inéquation g(x) < sur l intervalle [0, ] 8

19 9 Exercices supplémentaires:. Exprimez le nombre trigonométrique de chaque angle suivant par rapport à celui de la mesure principale 80;80 ou ; sin 5 = sin 5 cos 00 = tg (- 00 )= sin(-0 )= sin 7 = cos 0 = 9 5 sin ( ) = cos( )= 8 cos( 7 5 ) = sin( )= 8. Sans l aide de la calculette, simplifiez les expressions suivantes cos(0) cos(60) cos 5 sin 5 cos(5) sin65 sin(5) sin5 sin65 cos 75.En se basant sur les angles associés, simplifiez les expressions suivantes (les dénominateurs sont supposés non nuls) a) sin( ). tg( ) cos( ) cos( )cos( ) b ) cos( )cos( ) sin()cos( ) c) cos( )sin( ) d) sin( )cot g( ) cos( )tg( ) 9

20 0.Les égalités suivantes sont-elles vraies? Sinon corrigez-les! Justifiez vos réponses! sin 60 = - sin 0 cos 5 = cos 5 sin 5 = cos 65 cos(-0 ) = cos 60 sin 5 = sin (-5 ) sin 5 = sin 65 5.En utilisant les formules des angles associés et le tableau des valeurs remarquables ; calculez tg 6 cos sin 5 sin tg tg 5 cos sin 5 cos 7 tg 5 sin50 cos0 tg95 cos 0 sin0 tg50 6. Calculez sans utiliser la calculatrice cos cos cos cos 5 sin60 sin0 sin0 sin00 sin(5) sin(5) sin5 sin5 cos cos sin sin 0

21 7. Résoudre les équations suivantes. dans [0 ; 60 ] sin x = 0,6 tg x = cos x = cos x =, cos²x = 0 sin x =0 cos x. sin x = 0 tg x. sin x. cos x = 0. dans [0 ; π] sin x = cos x = -0,5 tg x =,5 tg x = -5 sin(x + ) = 0 cos(x ) = 0 tg(x + ) = 0 sin(x 6 ). cos(x + ) = 0

22 Annexe Il existe trois unités de mesure des angles : le degré, le radian et le grade. Le degré : Certains astronomes babyloniens ont remarqué que certaines planètes se déplacent dans une zone étroite de ciel appelé «zodiaque». Ils représentent alors le zodiaque sous la forme d une bande circulaire et divisent le cercle en autant de parties que compte l année de jours (à l époque 60 jours). La notation ( ) est due à Jacques Pelletier(57-58). Par définition, un angle d une amplitude d un degré est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur vaut un 60 ème de la longueur de la circonférence. Le degré est subdivisé en minutes ; elles-mêmes subdivisées en secondes. = 60 = 60 = 600 Le radian : Ce mot vient du latin «radius» signifiant «rayon». Il fait son apparition en 87 et choisit comme unité d arc le rayon lui-même. Par définition, un angle d une amplitude d un radian est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur est égale à la longueur du rayon de la circonférence. Périmètre d un cercle = π r, on a donc π radians dans un cercle. Le grade : Cette unité apparaît en 79, en même temps que le mètre. Le quart du méridien terrestre correspond à un angle de 90, c -à- d 00 grades. Comme le méridien terrestre mesure environ km, il est aisé de calculer des trajets le long de ceux-ci ( grade correspond à 00 km). Les géodésiens utilisent le grade couramment. Par définition, un angle d une amplitude d un grade est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur vaut un 00 ème de la longueur de la circonférence. On a donc le résultat suivant : 60 = π rad = 00 gra

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