TABLE DES MATIÈRES. Introduction... 1

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1 SYNOPSIS Introduction Vocabulaire Mathématique I. Représentations des groupes nis II. Espaces de Banach III. Intégration IV. Transformée de Fourier V. Fonctions holomorphes VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) VII. Séries de Dirichlet A. Le théorème des nombres premiers B. Volume de SL n (R)/SL n (Z) C. Groupes nis et représentations : exemples D. Fonctions d'une variable p-adique E. Irrationalité d'une innité de ζ(2n + 1) F. Le problème des nombres congruents G. Introduction au programme de Langlands H. Problèmes corrigés Index

2 TABLE DES MATIÈRES Introduction Vocabulaire Mathématique Grammaire élémentaire Structures algébriques Groupes nis Polynômes Algèbre linéaire Déterminants Matrices Fragments de théorie des corps (commutatifs) Système d'équations Réduction des endomorphismes Topologie Compacité Connexité Complétude Séries numériques Convergence de fonctions Espaces vectoriels normés Espaces préhilbertiens Tératologie Construction de nombres Corrigé des exercices I. Représentations des groupes nis I.1. Représentations et caractères I.2. Décomposition des représentations I.3. Construction de représentations II. Espaces de Banach II.1. Espaces de Banach II.2. Espaces de Hilbert II.3. Exercices

3 TABLE DES MATIÈRES vii II.4. Espaces de Banach p-adiques III. Intégration III.1. Intégrale de Lebesgue III.2. Quelques espaces fonctionnels III.3. Intégrales multiples III.4. Construction de l'intégrale de Lebesgue IV. Transformée de Fourier IV.1. Intégrales dépendant d'un paramètre IV.2. Transformée de Fourier dans L IV.3. Formules d'inversion IV.4. Transformée de Fourier dans L V. Fonctions holomorphes V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes V.2. Exemples de fonctions holomorphes V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences V.5. Construction de fonctions holomorphes V.6. Inversion globale et image ouverte VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy VI.2. Indice d'un lacet par rapport à un point VI.3. La formule des résidus de Cauchy VII. Séries de Dirichlet VII.1. Séries de Dirichlet VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin VII.3. La fonction zêta de Riemann VII.4. Fonctions L de Dirichlet VII.5. Autres exemples VII.6. Formes modulaires A. Le théorème des nombres premiers A.1. Introduction A.2. Les fonctions ψ et ψ A.3. Formules explicites A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers A.5. Compléments B. Volume de SL n (R)/SL n (Z) B.1. Volume d'objets arithmétiques B.2. La mesure de Haar de SL n (R) C. Groupes nis et représentations : exemples C.1. p-groupes C.2. Représentations du groupe symétrique S n

4 viii TABLE DES MATIÈRES C.3. Représentations de GL 2 (F) D. Fonctions d'une variable p-adique D.1. Analyses fonctionnelles réelle et p-adique D.2. Fonctions k-fois uniformément dérivables D.3. Fonctions localement analytiques sur Z p D.4. La fonction zêta p-adique E. Irrationalité d'une innité de ζ(2n + 1) E.1. Indépendance linéaire de nombres réels E.2. Transcendance de π et indépendance linéaire des ζ(n) F. Le problème des nombres congruents F.1. Courbes elliptiques et nombres congruents F.2. Équations diophantiennes G. Introduction au programme de Langlands G.1. La conjecture d'artin G.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité G.3. Le programme de Langlands H. Problèmes corrigés H.1. Exercices d'examen H.2. Table des caractères de A H.3. Représentations de GL 2 (F 3 ) H.4. Table des caractères de GL 3 (F 2 ) H.5. Coecients de Fourier des fonctions continues H.6. Fonctions d'hermite et transformée de Fourier dans L H.7. Transformée de Fourier et convolution H.8. Loi d'addition sur une courbe elliptique H.9. Coecients de Fourier des fonctions analytiques H.10. Prolongement analytique d'intégrales et de séries H.11. La fonction η de Dedekind H.12. Irrationalité de ζ(3) H.13. Le critère de Borel H.14. Le théorème de Mordell-Weil Index Index terminologique Énoncés mathématiques Index des noms propres Repères chronologiques

5 TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE Introduction Bibliographie sommaire Préface de la seconde édition Notations standard Vocabulaire Mathématique Grammaire élémentaire Coecients binomiaux L'anneau Z des entiers relatifs Parallélisme entre logique élémentaire et langage ensembliste Ensembles dénombrables Structures algébriques Lois de composition Exemples de structures algébriques Sous-trucs de trucs Morphismes Noyau et image Produits et sommes Relations d'équivalence L'anneau Z/DZ des entiers relatifs modulo D Quotients d'espaces vectoriels et de A-modules Anneaux quotients, idéaux Groupes quotients Groupes nis Groupes cycliques Groupes abéliens nis Le théorème de Lagrange et ses variantes Le groupe symétrique S n Les théorèmes de Sylow Polynômes Polynômes en une variable Anneaux euclidiens et principaux Polynômes en plusieurs variables Polynômes symétriques Anneaux noethériens Algèbre linéaire

6 x TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE 5.1. Espaces vectoriels Morphismes d'espaces vectoriels Familles libres, familles génératrices, bases Espaces vectoriels de dimension nie Dualité Déterminants Formes multilinéaires alternées Déterminant de n vecteurs Déterminant d'un endomorphisme Matrices Matrices à coecients dans un corps Produit de matrices Le théorème fondamental de l'algèbre linéaire Matrice d'une application linéaire Matrices carrées Déterminant d'une matrice carrée Matrices à coecients dans un anneau Matrices par blocs Fragments de théorie des corps (commutatifs) Sous-extensions nies Algébricité, transcendance Extensions algébriques, clôture intégrale Constructions à la règle et au compas Degré de transcendance Constructions d'extensions algébriques Corps nis La clôture algébrique d'un corps Système d'équations Systèmes linéaires Systèmes d'équations polynomiales Réduction des endomorphismes Généralités Modules de torsion sur K[X] et réduction des endomorphismes Modules de torsion sur les anneaux principaux Modules sur les anneaux principaux Extension des scalaires Topologie Espaces topologiques Espaces métriques Continuité Sous-espaces, produits, quotients Espaces séparés Intérieur, adhérence, densité Suites dans un espace topologique Compacité Espaces compacts Compacité et suites Propriétés de base des compacts La droite réelle achevée L'espace topologique T = R/Z

7 TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE xi 13. Connexité Ensembles connexes Connexité par arcs Complétude Suites de Cauchy Principales propriétés des espaces complets Complétion d'un espace métrique Séries numériques Séries à termes positifs Séries standard Séries absolument convergentes Séries entières L'exponentielle complexe Sommation de séries divergentes Convergence de fonctions Convergence simple Convergence uniforme Espaces vectoriels normés Corps normés Normes et applications linéaires continues La norme d'un opérateur Normes équivalentes Norme spectrale d'un opérateur La boule unité d'un espace vectoriel normé Applications bilinéaires continues Espaces préhilbertiens Produits scalaires Orthogonalité Unitarité Opérateur autoadjoint, matrice hermitienne Tératologie Fonctions continues dérivables nulle part L'escalier du diable L'ensemble triadique de Cantor La courbe de Peano Ensembles connexes non connexes par arcs Construction de nombres Entiers naturels Entiers relatifs, nombres rationnels Nombres réels, nombres complexes Nombres p-adiques Corrigé des exercices I. Représentations des groupes nis I.1. Représentations et caractères Représentations de groupes, exemples Caractère d'une représentation, exemples Morphismes de représentations I.2. Décomposition des représentations Décomposition en somme directe de représentations irréductibles Le lemme de Schur et ses conséquences immédiates

8 xii TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE 3. Orthogonalité des caractères Applications du théorème principal Le cas des groupes commutatifs Table des caractères d'un groupe ni I.3. Construction de représentations Restriction et ination Constructions tensorielles de représentations Représentations induites Exercices II. Espaces de Banach II.1. Espaces de Banach Convergence normale, séries sommables Espaces de suites Espaces de fonctions continues Équations diérentielles linéaires Complétion d'espaces vectoriels normés Applications linéaires continues entre espaces de Banach Le dual d'un espace de Banach II.2. Espaces de Hilbert Espaces de Hilbert Le théorème de projection sur un convexe Le dual d'un espace de Hilbert II.3. Exercices Espaces de Banach Espaces de Hilbert Séries de Fourier II.4. Espaces de Banach p-adiques Dénition et exemples Bases orthonormales Le dual d'un espace de Banach p-adique III. Intégration III.1. Intégrale de Lebesgue Dallages et fonctions en escalier Ensembles de mesure nulle Fonctions mesurables, ensembles mesurables Dénition de l'intégrale de Lebesgue Les théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée Premières applications III.2. Quelques espaces fonctionnels L'espace L 1 (X) L'espace L 2 (X) Convergence dans L 1 et L Comparaison des diérents modes de convergence Espaces L p III.3. Intégrales multiples Le théorème de Fubini La formule du changement de variable L'intégrale de la gaussienne Exercices

9 TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE xiii III.4. Construction de l'intégrale de Lebesgue Le théorème de convergence dominée pour les fonctions en escalier bornées Mesure et mesure extérieure des ensembles mesurables Le théorème de convergence monotone pour les fonctions bornées à support compact Limites simples p.p. de fonctions mesurables Le théorème de convergence monotone et ses conséquences IV. Transformée de Fourier IV.1. Intégrales dépendant d'un paramètre IV.2. Transformée de Fourier dans L Caractères linéaires de R et R m Dénition et premières propriétés Le théorème de Riemann-Lebesgue Transformée de Fourier et dérivation IV.3. Formules d'inversion Séries de Fourier Séries de Fourier multidimensionnelles La formule de Poisson La formule d'inversion de Fourier dans S Formules d'inversion dans L Exercices IV.4. Transformée de Fourier dans L Transformée de Fourier des fonctions en escalier Dénition de la transformée de Fourier dans L Comparaison des transformées de Fourier dans L 1 et L Dérivation V. Fonctions holomorphes V.1. Fonctions holomorphes et fonctions analytiques complexes Séries entières Rayon de convergence d'une série entière V.2. Exemples de fonctions holomorphes Dénition Logarithme et fonctions puissances V.3. Premières propriétés des fonctions holomorphes Relations de Cauchy-Riemann Théorème des zéros isolés et unicité du prolongement analytique Principe du maximum V.4. La formule intégrale de Cauchy et ses conséquences Généralités sur les chemins Intégration le long d'un chemin La formule de Cauchy Holomorphie des fonctions dérivables au sens complexe Rayon de convergence et inégalités de Cauchy pour les dérivées V.5. Construction de fonctions holomorphes Séries de fonctions holomorphes Produits innis de fonctions holomorphes Fonctions holomorphes dénies par une intégrale V.6. Inversion globale et image ouverte Le théorème d'inversion locale holomorphe Structure locale des fonctions holomorphes

10 xiv TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy) VI.1. Homotopie de lacets et formule de Cauchy Vocabulaire de topologie algébrique Un cas particulier de la formule de Stokes Seconde démonstration de la formule de Cauchy VI.2. Indice d'un lacet par rapport à un point Primitives Nombre de tours d'un lacet autour d'un point VI.3. La formule des résidus de Cauchy Fonctions holomorphes sur une couronne Fonctions holomorphes sur un disque épointé ; résidus La formule des résidus Exercices VII. Séries de Dirichlet VII.1. Séries de Dirichlet Abscisse de convergence absolue Demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet VII.2. Séries de Dirichlet et transformée de Mellin La fonction Γ dans le plan complexe Une formule intégrale pour les séries de Dirichlet Prolongement analytique de séries de Dirichlet Croissance dans une bande verticale VII.3. La fonction zêta de Riemann Séries de Dirichlet attachées à des fonctions multiplicatives Prolongement analytique de la fonction ζ Équation fonctionnelle de la fonction zêta Les zéros de la fonction ζ VII.4. Fonctions L de Dirichlet Caractères de Dirichlet et Fonctions L de Dirichlet Conducteur et sommes de Gauss Le théorème de la progression arithmétique Équation fonctionnelle des fonctions L de Dirichlet VII.5. Autres exemples La fonction de Moebius La fonction τ de Ramanujan VII.6. Formes modulaires A. Le théorème des nombres premiers A.1. Introduction A.2. Les fonctions ψ et ψ Théorème des nombres premiers et comportement de ψ 1 en Une formule intégrale pour ψ A.3. Formules explicites Énoncé du résultat Les fonctions L et L en dehors de la bande critique L 3. La fonction L dans la bande critique La fonction L dans la bande critique L 5. Conclusion A.4. Démonstration du théorème des nombres premiers Non annulation sur la droite Re(s) =

11 TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE xv 2. Conclusion A.5. Compléments L'hypothèse de Riemann et ses conséquences L'hypothèse de Riemann et la fonction M de Mertens L'hypothèse de Lindelöf B. Volume de SL n(r)/sl n(z) B.1. Volume d'objets arithmétiques Résultats Intégration sur un quotient Un dévissage du groupe SL n(r) Intégration sur R n et sur SL n(r)/sl n(z) Apparition de ζ(n) et n du calcul Le lemme de Minkowski B.2. La mesure de Haar de SL n(r) Transvections et structure du groupe SL n(k) Invariance de dg par translation De SL n 1(R) à SL n(r) C. Groupes nis et représentations : exemples C.1. p-groupes Généralités sur les p-groupes Représentations des p-groupes C.2. Représentations du groupe symétrique S n Partitions de n et représentations de S n Diagrammes de Young et représentations de S n Caractères de S n C.3. Représentations de GL 2(F) Le groupe GL 2(F) Construction de représentations de GL 2(F) Les classes de conjugaison de GL 2(F) La table des caractères de GL 2(F) Démonstrations D. Fonctions d'une variable p-adique D.1. Analyses fonctionnelles réelle et p-adique D.2. Fonctions k-fois uniformément dérivables Fonctions de classe C k et fonctions de classe C k u Fonctions continues sur Z m p Coecients de Mahler des fonctions de classe C k u D.3. Fonctions localement analytiques sur Z p Fonctions analytiques Fonctions localement analytiques Bases orthonormales d'espaces de fonctions localement analytiques Démonstration du lemme D D.4. La fonction zêta p-adique Intégration p-adique La mesure µ a Continuité de la fonction n x n Restriction de µ a à Z p Construction de la fonction zêta p-adique

12 xvi TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE E. Irrationalité d'une innité de ζ(2n + 1) E.1. Indépendance linéaire de nombres réels Le critère de Nesterenko E.2. Transcendance de π et indépendance linéaire des ζ(n) Génération de combinaisons linéaires entre les ζ(n) Un choix judicieux de fonction rationnelle Propriétés archimédiennes et arithmétiques des α (n) k Évaluation de S n Utilisation du critère de Nesterenko F. Le problème des nombres congruents F.1. Courbes elliptiques et nombres congruents Introduction Arithmétique des courbes elliptiques L'heuristique de Birch et Swinnerton-Dyer Fonction L d'une courbe elliptique La stratégie de Tunnell Formes modulaires Courbes elliptiques et formes modulaires F.2. Équations diophantiennes Généralités La topologie des solutions complexes gouverne l'arithmétique! G. Introduction au programme de Langlands G.1. La conjecture d'artin Le groupe G Q Représentations de G Q Fonctions L d'artin Fonctions L de degré La théorie du corps de classes G.2. Le théorème de Kronecker-Weber revisité Adèles La formule de Poisson adélique Transformée de Mellin adélique et fonctions L Application aux fonctions L de Dirichlet G.3. Le programme de Langlands Représentations automorphes Des formes modulaires aux représentations automorphes Quelques autres aspects du programme de Langlands H. Problèmes corrigés H.1. Exercices d'examen Énoncés Corrigés H.2. Table des caractères de A H.3. Représentations de GL 2(F 3) H.4. Table des caractères de GL 3(F 2) H.5. Coecients de Fourier des fonctions continues H.6. Fonctions d'hermite et transformée de Fourier dans L H.7. Transformée de Fourier et convolution H.8. Loi d'addition sur une courbe elliptique