Solution Le problème à un million de dollars

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1 Solution Le problème à un million de dollars Dans le présent scénario, un homme (le «proposant») souhaite disposer d un million de dollars pour chaque personne qui atteint l âge de 100 ans. Il veut calculer le montant qu il devra percevoir dès aujourd hui pour avoir un montant suffisant pour son projet. Vous avez peut-être constaté que l on ne vit pas tous jusqu à 100 ans. Alors, dans cette pièce, seule une partie des étudiants franchira le cap des 100 ans et touchera la somme promise. Si tous les étudiants ont 15 ans, la probabilité qu ils atteignent 100 ans s exprime ainsi : 85 p 15. En d autres termes, cela signifie la probabilité qu ils vivent encore 85 ans ou, comme nous vous l avons indiqué, 0,10. Ainsi, seulement 10 % des étudiants dans la salle peuvent s attendre à recevoir le million de dollars. La deuxième pièce du casse-tête est la valeur temporelle de l argent. Notre proposant a besoin d un million de dollars, dans 85 ans. Quelle est la valeur actualisée de cette somme? Compte tenu d un taux d intérêt de 5 %, le calcul est le suivant : $ (1,05) 85 Le résultat est donc ,19 $. Mais nous ne devons prévoir que 10 % des étudiants. Donc, notre proposant percevrait 10 % de ce chiffre, soit 1 580,92 $ de chaque personne. Ça ne semble peut-être pas une grosse somme à payer pour avoir la chance de toucher un million de dollars. Utilisons les chiffres d une autre façon pour prouver l exactitude du résultat. Supposons que la classe compte 30 étudiants. Puisque seulement 10 % d entre eux peuvent s attendre de vivre jusqu à 100 ans, cela signifie que nous ne devons verser cette somme qu à trois d entre eux. Nous aurons donc besoin de trois millions de dollars dans 85 ans. Le proposant réclamera 1 580,92 $ à chaque étudiant pour un total de ,60 $. Il investit maintenant ce montant à un taux de 5 %. Nous pouvons ainsi en projeter la croissance au fil du temps : Albert, Ottawa, ON K1R 7X / cia-ica.ca

2 1 re année ,60 $ x 1,05 = $ 2 e année ,60 $ x 1,05 2 = $ 5 e année ,60 $ x 1,05 5 = $ 10 e année ,60 $ x 1,05 10 = $ 25 e année ,60 $ x 1,05 25 = $ 50 e année ,60 $ x 1,05 50 = $ 85 e année ,60 $ x 1,05 85 = $ Voilà pourquoi la notion d assurance est efficace. En percevant un montant relativement peu élevé de chaque assuré, une société d assurance peut verser une somme imposante à quelques personnes susceptibles d en avoir besoin (notamment les victimes d accident de voiture). Et si l on tient compte de la valeur temporelle de l argent, quelque chose semblable à une police d assurance-vie peut devenir très abordable, car il peut s écouler bien des années avant qu un versement soit effectué, et la valeur temporelle de l argent permet de réduire le coût aujourd hui. Mais ne nous arrêtons pas ici! Les actuaires ne doivent pas se limiter à observer des moyennes. Ils doivent tenir compte des conséquences si les événements ne se déroulent pas comme prévu. Cela a entraîné l étude du risque, ce qui constitue l un des domaines que les actuaires doivent bien saisir dans le cadre de leur travail. Dans la situation présente, nous avons établi qu il existe une probabilité de 10 % qu un étudiant quelconque atteigne l âge de 100 ans. Appliquons cette probabilité à une situation différente. 2

3 Supposons que vous jouez au basketball, et que vous savez que vous avez une chance sur dix de réussir un panier à partir de la ligne des trois points. Combien de lancers devrez-vous effectuer pour être certain de réussir au moins un panier? Sans y songer, vous pouvez affirmer que la bonne réponse est dix. Puisque vous avez une chance sur dix de réussir le panier, dix lancers représentent-ils une garantie de panier? En fait, le monde des probabilités ne fonctionne pas de cette façon. Allons-y une étape à la fois : en effectuant un lancer, votre probabilité de réussir un panier est d un sur dix, c est-à-dire que vous avez 90 % de chance de rater votre lancer. Après deux lancers, vous avez quatre possibilités : réussir deux paniers, réussir un panier au premier lancer, réussir un panier au deuxième lancer, ou ne pas réussir de panier. Il est plus facile de calculer la chance de ne pas réussir de panier : elle correspond à 90 % au premier lancer et à 90 % au deuxième lancer. Vous multipliez ces deux nombres pour obtenir le résultat suivant : 0,9 x 0,9 = 0,81. Vous avez donc une probabilité de 81 % de rater vos deux lancers, ce qui signifie une probabilité de 19 % de réussir au moins un panier. Si vous effectuez trois lancers, vous avez une probabilité de 0,9 x 0,9 x 0,9 = 0,729, soit 72,9 % de rater vos trois lancers, c est-à-dire une probabilité de 27,1 % de réussir au moins un panier. Vous pouvez déjà suivre la tendance. Après dix lancers, vous avez une probabilité de 0,9 10 chance de rater tous vos lancers, ou 34,9 %, ce qui signifie 65,1 % de chance de réussir au moins un panier. Après 50 lancers, votre probabilité de rater tous vos lancers n est plus que de 0,9 50 = 0,5 %, et une probabilité de 99,5 % de réussir au moins un panier. Et ainsi de suite, mais la probabilité de réussir au moins un panier n atteindra jamais 100 %. Elle s en approchera à chaque tir, mais il existe une possibilité, très faible, de rater tous vos lancers. En d autres termes, il existe toujours un risque de rater chaque lancer. Vous pouvez minimiser ce risque en multipliant ceux-ci, mais le risque ne disparaîtra jamais entièrement. Supposons que nous rendons la chose un peu plus intéressante. Un autre joueur se joint à vous et vous lance un défi. Il vous propose d effectuer dix lancers et pour chaque panier réussi, il vous remettra 9 $. Mais pour chaque tir raté, vous devrez lui donner 1 $. Vous décidez que le pari est avantageux. À chaque tir, vous avez 10 % de chance de remporter 9 $ et une probabilité de 90 % de perdre 1 $. Ainsi, en moyenne, l exercice sera rentable : 10 % de 9 $ équivaut à 90 % de 1 $. Si vous êtes vraiment chanceux et que vous réussissez vos dix paniers, vous pouvez repartir avec 90 $. Par contre, si vous ratez tous vos tirs, vous n aurez qu à payer 10 $, ce qui représente un montant raisonnable. Supposons maintenant le même pari, mais que votre adversaire vous propose de vous verser $ pour chaque panier réussi, mais vous devez lui verser $ pour chaque lancer raté. Accepterez-vous ce pari? Après tout, vous devriez encore y trouver votre compte en moyenne, 10 % de $ représente 90 % de $. Vous pourriez faire beaucoup d argent, mais vous pourriez également en perdre beaucoup. Si vous ratez vos dix lancers, il vous en coûtera $. 3

4 Bon nombre d entre nous ont 10 $ en poche, mais bien peu disposent de $. Vous seriez susceptible d accepter le premier pari, mais non le deuxième, même si votre chance de réussir un panier est la même. Dans le deuxième pari, votre mise est beaucoup plus risquée. Votre perte maximale n est plus 10 $, mais plutôt $. C est l élément dont les actuaires doivent également tenir compte : quel est l effet négatif probable et comment peut-on le gérer? Si on revient au problème initial à un million de dollars, vous constaterez qu un élément n a pas encore été pris en compte. Nous avons calculé le montant que le proposant doit percevoir en moyenne, mais nous n avons pas envisagé les conséquences d une certaine variation. Que se passe-t-il si quatre personnes, plutôt que trois, atteignent l âge de 100 ans? L investisseur disposera-t-il du million de dollars supplémentaire? Et si cinq personnes ou plus atteignaient cet âge, ce qui est peu probable, mais possible? Dans l exemple du basketball, lorsque l enjeu a sensiblement augmenté, le risque est devenu trop important et la proposition n était plus intéressante. De même, la proposition dans le scénario du million de dollars ne serait jamais acceptée parce que le niveau de risque est trop élevé. Bon nombre d actuaires sont embauchés par des sociétés d assurance. Dans un sens, le travail de ces sociétés s apparente au problème à un million de dollars. Elles perçoivent de leurs titulaires de polices des primes qu elles utilisent, de même que le rendement des investissements qu elles font, pour verser des prestations d assurance aux titulaires de polices qui doivent produire une demande de réclamation. Ce ne sont pas tous les titulaires de polices qui produiront une demande de réclamation, mais la société d assurance doit disposer de liquidités suffisantes pour régler les demandes qui lui sont soumises. Comment les sociétés d assurance gèrent-elles le risque? D un certain nombre de façons : Elles vendent des polices d assurance à un très grand nombre de personnes. Plus il y a de personnes assurées, plus les résultats sont prévisibles et moins variables. Cette notion est désignée la «loi des grands nombres». 1) Elles vendent également une série de produits d assurance, de sorte que les résultats négatifs imprévus d un produit peuvent être compensés par les résultats positifs d un autre. 2) Elles intègrent habituellement à leurs produits des frais supplémentaires pour tenir compte du risque. Dans le problème à un million de dollars, nous avons calculé le montant qui devrait être nécessaire pour atteindre le seuil de rentabilité. Dans les faits, une société d assurance ajoute une marge additionnelle à ses taux de primes pour couvrir les pertes si les résultats attendus ne se concrétisent pas. 3) Elles doivent conserver des liquidités suffisantes pour couvrir les risques qu elles assument. Ainsi, si les résultats sont négatifs, elles peuvent puiser dans leur excédent pour atténuer leur perte. 4

5 Comme vous pouvez le constater, la probabilité et le risque peuvent être à la fois compliqués et très intéressants. Les actuaires aident leurs clients à régler ces problèmes, et ils proposent des solutions permettant de gérer le risque et d offrir une sécurité financière au public. Si vous souhaitez en savoir davantage sur cette profession, qui est régulièrement classée comme l une des meilleures carrières en Amérique du Nord (en anglais seulement) consultez notre site Web ici. 5

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