Test de Statique Correction

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1 Test de Statique Correction Aucun document autorisé. Calculatrice autorisée. Téléphone et autres appareils électroniques interdits. La clarté des explications sera prise en compte. Les expressions seront données de manière littérale avant application numérique. Chaque exercice est indépendant. Durée h EXERCICE 1 (1h 9 points) : Le système mécanique ci-dessous représente une grue pour bateau inférieur à 5 tonnes. La grue comporte 6 ensembles cinématiques (cf. figure 1) : le châssis 0 en liaison complète avec le sol la flèche 1 en liaison pivot d axe z avec le châssis 0 en C la biellette en liaison pivot d axe z avec le châssis 0 en A le vérin 3 (considéré monobloc pour l étude statique) en liaison rotule avec le châssis en E et en liaison rotule avec la flèche en F la fléchette 4 en liaison pivot d axe z avec la flèche 1 en D et en liaison pivot d axe z avec la biellette en B le crochet 5 en liaison pivot d axe z avec la fléchette 4 en J On néglige le poids propre de chaque élément devant les efforts en présence. Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

2 Le bateau est lié au crochet au point K. On peut considérer cette liaison comme une ponctuelle d axe y au point K. Soit P, b/5 la force maxi du bateau sur le crochet tel que P b/5 = 50 kn. Figure 1 : Disposition de la grue quand le vérin est incliné de 30 Objectif : Déterminer l effort maxi dans le vérin dans cette configuration. Données pour la configuration de la figure 1 : DJ = x DJ = 998,903 mm DB = x DB = mm y DJ = 46,814 mm y DB = mm CD = x CD = +1835,514 mm y CD = mm CF = x CF = mm y CF = mm α = 30 θ = 17,96 Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

3 Q 1. Faites le graphe de liaison en indiquant les forces extérieures, le nom, les caractéristiques (Point, Axe) et le nombre d inconnue (Problème plan) de chaque liaison. Q. Déterminez l ordre dans lequel nous pourrions isoler. Justifiez votre réponse Isolement 1 : Justifications : Systèmes soumis à forces : - Isolement : Isolement 3 : 3 Systèmes avec 3 inconnues maxi : -Itération 1 : 4, 4+5, 4+, 4+5+ Isolement 4 : 4 -Itération : 1, 1+3, Isolement 5 : 1 Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

4 Q 3. Réalisez les isolements des trois systèmes soumis à forces. On ne demande «que» l expression des torseurs en fonction de l intensité de la force et des angles correspondants. Système matériel isolé : SMI={} C est un système matériel isolé soumis à forces. Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. La seule inconnue est l intensité qu on se propose de noter F 40 Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : F 40. sin θ 0 {I 4/ } = { F 40. cosθ 0} A ou B F 40. sin θ 0 {I 0/ } = { F 40. cosθ 0} A ou B Système matériel isolé : SMI={5} C est un système matériel isolé soumis à forces. Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. P b/5 est connu. Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : {I 4/5 } = { P b/5 0} J ou K {I b/5 } = { P b/5 0} J ou K Système matériel isolé : SMI={3} C est un système matériel isolé soumis à forces. Les forces ont la même direction, la même intensité et un sens contraire. La seule inconnue est l intensité qu on se propose de noter F 130 Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : F 130. cos α 0 {I 1/3 } = { F 130. sinα 0} E ou F F 130. cos α 0 {I 0/3 } = { F 130. sinα 0} E ou F Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

5 Q 4. Réalisez l isolement du système 4. Montrez que l intensité de l action en B de /4 et les actions sur x et y en D de 1/4 sont : x DJ F 40 = y DB. si n θ x DB. cosθ. P b/5 X 1/4 = x DJ y DB. si n θ x DB. cosθ. P b/5. sinθ Y 1/4 = y DB. si n θ + (x DJ x DB ). cos θ. P y DB. si n θ x DB. cosθ b/5 Système matériel isolé : SMI={4} Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : {I 1/4 } = { X 1/4 0 Y 1/4 0 0 D 0 {I 5/4 } = { = { 0 } J 0 x DJ. P b/5 D F 40. sin θ 0 F 40. sin θ 0 P b/5 0} P b/5 {I /4 } = { F 40. cosθ 0} = { F 40. cosθ 0 } 0 F 40. ( x DB. cosθ + y DB si n θ) B } D On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en B autour de z : F 40. ( x DB. cosθ + y DB si n θ) x DJ. P b/5 = 0 F 40 = x DJ y DB.si n θ x DB.cosθ. P b/5 F 40 = 6,1 kn Somme des forces sur x : Somme des forces sur y : X 1/4 F 40. sin θ = 0 Y 1/4 P b/5 F 40. cos θ = 0 X 1/4 = F 40. sin θ Y 1/4 = P b/5 + F 40. cos θ X 1/4 = x DJ y DB.si n θ x DB.cosθ. P b/5. sinθ X 1/4 = 19,15 kn Y 1/4 = y DB.si n θ+(x DJ x DB ).cos θ. P y DB.si n θ x DB.cosθ b/5 Y 1/4 = 109,09 kn Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

6 Q 5. Réalisez l isolement du système 1. Déterminez l intensité de l action en F de 3/1 et les actions sur x et y en C de 0/1. Pour alléger les expressions vous utiliserez le torseur de 4/1 ci dessous. Les termes X 4/1 et Y 4/1 sont connus (cf. q4) {I 4/1 } = { X 4/1 0 Y 4/1 0} Système matériel isolé : SMI={1} Bilan des Actions Mécaniques Extérieures : {I 4/1 } = { X 4/1 0 F 130. cos α 0 {I 3/1 } = { F 130. sinα 0} Y 4/1 0} F D 19,14 kn 0 = { 109,03 kn 0} X 4/1 0 = { } D 0 x CD. Y 4/1 y CD. X 4/1 C F 130. cos α 0 = { F 130. sinα 0 } 0 F 130. ( x CF. sinα + y CF. cos α) {I 0/1 } = { Y 4/1 0 X 0/1 0 Y 0/1 0} C D C On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en B autour de z : F 130. ( x CF. sinα + y CF. cosα) + x CD. Y 4/1 y CD. X 4/1 = 0 F 130 = x CD.Y 4/1 y CD.X 4/1 (x CF.sinα y CF.cos α) F 130 = 119,18 kn Somme des forces sur x : Somme des forces sur y : X 4/1 F 130. cos + X 0/1 = 0 Y 4/1 F 130. sinα + Y 0/1 = 0 X 0/1 = F 130. cos X 4/1 X 0/1 = 78,74 kn Y 0/1 = F 130. sinα Y 4/1 Y 0/1 = 1,30 kn Q 6. Quel est l intensité de l effort dans le vérin? Directement : F 130 = x CD.Y 4/1 y CD.X 4/1 (x CF.sinα y CF.cos α) donc F 130 = 119,18 kn Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

7 EXERCICE (40 min 7 points) : On se propose d étudier la stabilité d une barre de musculation lorsqu elle est posée sur son banc. La modélisation ci-dessous représente la barre de musculation chargée avec les poids en A et B et posée sur le banc en J et K. On suppose pour ce problème que la position des points A et B est fixe quel que soit le nombre de poids. Pour étudier la stabilité dans de bonnes conditions nous utiliserons le paramétrage suivant : La barre de musculation n est malheureusement pas centrée sur le banc (a et b ne sont pas égaux) Les masses ne sont pas égales. (M g/b M d/b ) Ceci permet de prendre en compte les phases de chargement/déchargement qui ne peuvent pas s effectuer simultanément de chaque côté. La masse de la barre nue vaut P = 9,6 kg. Attention, le système n étant pas symétrique, la force associée à cette masse est au centre de la barre de musculation, c'est-à-dire au milieu de [AB]. Elle n est donc pas au milieu de [JK]. Si (et seulement si) vous n arrivez pas à déterminer cette position, considérez que la distance du centre de gravité de la barre nue au point J est définie par le paramètre c. Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

8 Q 1. En isolant la barre de musculation + les poids en A et B, montrez que les actions en J et K sont données par les relations : F J = (a + e). M g/b b. M d/b + e+a b. P e F K = (b + e). M d/b a. M g/b + e+b a. P e Distance JG : JG = a + e + b a = e + b a Système matériel isolé : SMI={Barre de musculation} BAME : A faire On applique le Principe Fondamental de la Statique : Somme des moments en B autour de z : e + b a M g/b P. + F K. e M d/b. (e + b) = 0 F K = (b + e). M d/b a. M g/b + e+b a. P e Somme des forces sur y : F J = (a + e). M g/b b. M d/b + e+a b. P e Q. Lors du déchargement de la barre de musculation, on ne peut pas enlever dans le même temps les poids coté gauche et coté droit. On cherche dans cette question à déterminer l écart de masse limite M limite entre le coté gauche et le coté droit avant basculement vers la gauche (sens trigo). On pose M d/b = M g/b M limite. Exprimez M limite. Application numérique : a = b = 100 mm e = 500 mm M g/b = 300 N P = 96 N. Peut-on décharger tout le coté droit sans risque? Limite du basculement vers la gauche (Sens trigo) quand F K =0 e + b a M g/b. a + (M g/b M limite ). (e + b) + P. = 0 M limite = e. (M g/b + P ) e + b M limite = 90 N Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

9 Q 3. On prend maintenant l hypothèse qu il y a autant de poids de part et d autre de la barre de musculation : M g/b = M d/b = 300 N. Au moment de poser la barre sur le banc, l utilisateur est complètement décalé (théoriquement impossible). Dans cette configuration particulière b = 0, a = 00 mm et e = 500 mm. Est-ce stable? Si b = 0 alors pour que le système ne bascule pas, il faut que F J soit positif ou nul. F J = (a + e). M g/b + e+a. P e F J = 487,0 N La barre de musculation est stable. Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10

10 EXERCICE 3 (0 min 4 points) : Pour la poutre ci-dessous, le poids propre est négligé et le problème est assimilable à un problème plan. Valeurs numériques : L = m p = 000 N/m Q 1. Exprimez puis calculez les actions aux appuis. Voir TD Mathieu Rossat Jérôme Bachmann 1A /10