ANGLES ORIENTES DE VECTEURS

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1 NGLES RIENTES DE VETEURS 1 1 ) RIENTTIN DU PLN rienter n cercle, c'est choisir n sens de parcors sr ce cercle appelé sens direct ( o positif ). L'atre sens est appelé sens indirect (négatif o rétrograde) rienter le plan, c'est orienter tos les cercles d plan dans le même sens. L'sage est de choisir por sens direct le sens contraire des aigilles d'ne montre. ( appelé assi sens trigonométriqe ) Un cercle trigonométriqe est n cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Dans la site d chapitre, on sppose qe le plan est orienté dans le sens trigonométriqe. ) MESURES DE L NGLE RIENTE D UN UPLE DE VETEURS NN NULS ) ENSEMLE DES MESURES Soit et de ecters non nls d plan orienté, n point qelconqe et le cercle trigonométriqe de centre. n considère et les points définis par = et =. Les demi-droites [ ) et [ ) copent le cercle trigonométriqe respectiement en et en. Les ecters 1 1 = et = sont nitaires, respectiement colinéaires à et et de même sens q e. Vos aez dans l actiité comment on définit les mesres en radian del angle orienté de ecters nitaires (, ) à partir de celles de l arc orienté... Saf ais contraire, les angles sont mesrés en radian. Les mesres en radians de l angle orienté de ecters (, ) sont celles de l angle orienté de ecters nitaires (, ) c'est à dire, celles de l angle orienté de ecters 1 1 nitaires (, ). Il en réslte qe si est ne mesre de (, ), alors les atres mesres sont de la forme k, k. n définit de même l angle orienté d n cople de demi-droites [ ) et [ y ) qe l on note (, y ). n dit qe les angles orientés de ecters sont définis modlo. Notation : La notation selle est ( ; Par abs de langage, on confond n angle et ses mesres. n écrit, par eemple, (, ) = forme k, k n écrit assi (, ) = ), mais s il n'y a acn risqe de confsion, on notera selement (, ) cet angle orienté. signifiant q ne mesre de (, ) est k, k o encore (, ) MESURE PRINIPLE ) = [ mod ] ; les atres mesres sont alors de la Une sele des mesres de l angle orienté de ecters (, ) appartient à l'interalle ] - ; ] ; n l'appelle mesre principale de l angle orienté de ecters (, ). La aler absole de la mesre principale de l angle orienté de ecters (, ) est la mesre de l angle géométriqe formé par ces de ecters. E : La mesre principale de (, ) est 3. La mesre principale de (, ) est 6 et = 6 = 3 La mesre principale de (, ) est et =

2 ) NGLE NUL, NGLE PLT, NGLES DRITS Soit et Dire qe et de ecters non nls d plan orienté. sont colinéaires reient à dire qe : ngle nl : la mesre principale de (, ) est égale à 0 ( et sont de même sens ) o ngle plat : la mesre principale de (, ) est égale à ( et sont de sens contraire ) Dire qe et sont orthogona reient à dire qe : ngle droit direct : la mesre principale de (, ) est égale à o ngle droit indirect : la mesre principale de (, ) est égale à Por tot ecter non nl, (, ) = 0 et (, ) = 3 ) PRPRIETES DES MESURES DES NGLES RIENTES DE VETEURS ) RELTIN DE HSLES Soit, et w trois ecters non nls d plan orienté. n a : (, ) (, w ) = (, w ) E : Soit, et w trois ecters non nls d plan orienté tels qe (, w ) = 5 et ( w, ) = 6 3 D après la relation de hasles (, w ) ( w, ) = (, ) n en dédit donc qe (, ) = = = Les ecters et sont donc orthogona. Soit et ) NSEQUENES DE L RELTIN DE HSLES de ecters non nls d plan orienté. En additionnant n importe qelle mesre de (, ) à n importe qelle mesre de (, w ), on obtient ne mesre de (, w ). Réciproqement, n importe qelle mesre de (, w ) est la somme d ne mesre de (, ) et d ne mesre de (, w ). w (, ) = (, ) (, ) = (, ) (, (, ) = (, ) ) = (, )

3 Soit k et k de réels non nls : 3 si k et k sont de même signe, alors : ( k, k ) = (, ) si k et k sont de signes contraires, alors : 3 3 ( k, k ) = (, ) Pree : 1 ) D après la relation de hasles (, ) (, ) = (, ) r (, ) = 0 ; donc (, ) = (, ) ) D après la relation de hasles (, ) (, ) = (, ) r (, ) = ; donc (, ) = (, ) 3 ) D après la relation de hasles (, ) = (, ) (, ) (, ) = (, ) = (, ) Les mesres sont définies modlo, donc (, ) = (, ) 4 ) Si k et k sont de même signe, le résltat décole de la définition Si k et k sont de signes contraires : D après la relation de hasles, on pet écrire : ( k, k ) = ( k, k ) ( k, k ) ( k, k ) = (, ) d après le résltat précédent. k et k sont colinéaires et de sens contraire, donc ( k, k ) = n en dédit le résltat. 4 ) REPERE RTHNRML Un repère orthonormal ( ; i, ) est : direct, si l'ne des mesres de ( i, ) est indirect, si l'ne des mesres de ( i, ) est E : Repère orthonormal direct n définit de la même façon ne base orthonormale directe Etant donné n ecter nitaire, il eiste n niqe ecter nitaire tel qe (, ) soit ne base orthonormale directe. Repère orthonormal indirect 5 ) SINUS ET SINUS D UN NGLE RIENTE DE VETEURS Saf contre indication, l nité tilisée est le radian. Le plan orienté est mni d n repère orthonormal direct ( ; i, ) ; on considère le cercle trigonométriqe de centre. ) RPPEL : osins et sins d n réel J Por tot réel, il eiste n point M niqe d cercle trigonométriqe tel qe soit ne mesre de ( I, M ). l'abscisse d point M est le cosins de ( noté cos ) l'ordonnée d point M est le sins de ( noté sin ) I Soit et ) SINUS ET SINUS D UN NGLE RIENTE DE VETEURS de ecters d plan orienté. Si est ne mesre en radian de l angle orienté (, ), alors les atres mesres sont de la forme k ( k ) r cos ( k ) = cos et sin ( k ) = sin. n en dédit la définition siante :

4 Le cosins ( resp. le sins ) de l angle orienté de ecters (, n note cos (, ) est le cosins ( resp. le sins ) de l ne qelconqe de ses mesres. ) et sin (, ). 4 ) LIEN ENTRE cos (, ) et cos ( ) lorsqe = et = Notons α la mesre en radians de l angle géométriqe formé par et n a α =. De cas se présentent : Si 0, = et par site cos α = cos. Si 0, =, et cos α = cos ( ) = cos n a donc cos (, ) = cos ( ) e n est pas rai por le sins : sin ( ) = sin (, ), et notons la mesre principale de (, ). 6 ) LIGNES TRIGNMETRIQUES DES NGLES SSIES Remarqe préliminaire : Dans la pratiqe, on se permet soent qelqes légèretés d écritre très tiles por la clarté des figres et por retenir les formles Les formles ci-dessos sont raies por tot réel, mais por faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. cos ( ) = cos cos ( ) = cos cos ( ) = cos cos ( ) = sin cos ( ) = sin sin ( ) = sin sin ( ) = sin sin ( ) = sin sin ( ) = cos sin ( ) = cos 7 ) REPERGE ET RDNNEES PLIRES ) RDNNEES PLIRES D UN PINT Le plan est mni d n repère orthonormal direct ( ; i, ). Soit M n point d plan ( distinct de ). n appelle coordonnées polaires de M, tot cople de nombres réels ( ρ, θ ) tel qe : ρ M ρ = M et ( i, M ) = θ k, k Z est appelé le pôle et [ ) l ae polaire. n dit qe ρ est le rayon polaire d point M et θ l n de ses angles polaires. Un repère polaire étant choisi, à tot cople de coordonnées polaires correspond n niqe point d plan. i 1,9 θ E : Un cople de coordonnées polaires de est : D Un cople de coordonnées polaires de est : Un cople de coordonnées polaires de est : Un cople de coordonnées polaires de D est : i

5 5 ) REPERE PLIRE ET REPERE RTESIEN Le plan est mni d n repère orthonormal direct ( ; i, ). Un point M ( distinct de ) a por coordonnées cartésiennes ( ; y ) et por coordonnées polaires ( ρ, θ ). n a : ρ = ² y ², = ρ cos θ et y = ρ sin θ sin θ y ρ N θ i cos θ M Pree : Soit le cercle trigonométriqe de centre. La demi-droite [ M ) cope en N. N a por coordonnées (cos θ ; sin θ ). r M = ρ N ; on en dédit qe M a por coordonnées ( ρcos θ ; ρ sin θ ). D atre part : M ² = ² y ² = ρ ²