Fonctions de référence, classe de seconde

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1 Fonctions de référence, classe de seconde F.Gaudon 3 juillet 2009 Table des matières 1 fonctions anes 2 2 Fonctions carré 4 3 Fonction inverse 6 4 Équations 8 5 Fonctions polynômes du second degré 9 1

2 1 fonctions anes Dénition : Soient a et b deux nombres réels. On appelle fonction ane la fonction f dénie sur R par : f(x) = ax + b Remarque : Si b = 0, f est dénie par f(x) = ax et est dite linéaire. Variations : Si a > 0 alors la fonction f est croissante sur R ; si a = 0 alors la fonction f est constante sur R ; si a < 0 alors la fonction f est décroissante sur R. a > 0 x + a < 0 x + f(x) f(x) Soient x et v deux nombres réels tels que x v. On a f(v) f(x) = av + b (ax + b) = av ax + b b = a(v x). Or x v implique v x 0. Si a > 0 on a donc a(v x) 0 et f(v) f(x) 0 c'est à dire f(v) f(x) ; Si a = 0 on a donc a(v x) = 0 et f(v) f(x) = 0 donc f est constante ; si a < 0 on a a(v x) 0 et f est décroissante. Signe : Si a 0, les deux cas possibles sont résumés dans les tableaux de signe suivants : si a > 0 : si a < 0 : x b + x b + a a signe de ax + b signe de ax + b http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 Représentation graphique : La représentation graphique de toute fonction ane est une droite. a > 0 a < 0 http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 2 Fonctions carré Dénition : La fonction carré est dénie sur R par f(x) = x 2 Variations : La fonction carré est : décroissante sur ] ; 0] ; croissante sur [0; + [. Elle admet un minimum égal à 0 en 0. x 0 + f(x) 0 Soient x et v deux nombres réels tels que 0 x v. On a donc v x 0. Alors f(v) f(x) = v 2 x 2 = (v x)(v + x). Or x + v 0 et v x 0 on a donc f(v) f(x) 0 c'est à dire f(v) f(x) ce qui montre que f est croissante sur [0; + [. Soient x et v deux nombres réels tels que x v 0. On a donc v x 0 à nouveau. Alors f(v) f(x) = v 2 x 2 = (v x)(v + x). Comme x et v sont négatifs, x + v 0. De v x 0 on déduit donc que f(v) f(x) 0 c'est à dire f(v) f(x) ce qui montre que f est décroissante sur ] ; 0]. En outre, comme le carré d'un nombre réel est toujours positif, on a donc pour tout nombre réel x, f(x) 0 et f(0) = 0 d'où le minimum de f en 0. Signe : D'après ce qui précède, la fonction carré est positive sur ] ; + [. x 0 + x http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 Représentation graphique : La représentation graphique de la fonction carré dans un repère du plan est appelée parabole. Remarque : Pour tout réel x, on a f( x) = f(x), on dit que la fonction est paire. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées dans un repère orthogonal. Propriété et dénition : Pour tout réel k positif, il existe un unique réel x tel que x 2 = k. Ce nombre est appelé racine carrée de k et noté k. Éléments de preuve : Existence et unicité dues à la dérivabilité (continuité serait le terme adapté mais pas au programme) de la fonction carré et au fait que la fonction est strictement croissante sur [0; + [ avec f(0) = 0 et f(x) qui devient aussi grand que l'on veut à condition que x soit choisi susamment grand. http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 3 Fonction inverse Dénition : On appelle fonction inverse la fonction f dénie pour tout nombre réel appartenant à ] ; 0[ ]0; + [ par f(x) = 1 x Variations : La fonction inverse est : décroissante sur ] ; 0[ ; décroissante sur ]0; + [. f(x) 0 + x 0 0 Soient x et v deux nombres réels diérents de 0 du même intervalle ] ; 0[ ou ]0; + [ et tels que x v. On a f(v) f(x) = 1 v 1 x = x xv v xv = x v xv Or x v donne x v 0, x et v sont de même signe donc xv 0 d'où f(v) f(x) 0 c'est à dire f(v) f(x) donc f est décroissante sur cet intervalle. Signe : La fonction inverse est négative sur ] ; 0[ et positive sur ]0; + [ x x - + http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 Représentation graphique : Elle est appelée hyperbole. Remarque : Pour tout réel x, f( x) = f(x). La fonction est dite impaire. Sa représentation graphique dans un repère orthogonal (O; i; j) est symétrique par rapport à l'origine O du repère. http: // mathsfg. net. free. fr 7

8 4 Équations Propriété : Soit k un nombre réel. Si k > 0, alors l'équation x 2 = k admet deux solutions distinctes x 1 = k et x 2 = k ; si k = 0, alors l'équation x 2 = 0 admet pour unique solution x 0 = 0 ; si k < 0, alors l'équation x 2 = k n'admet pas de solution réelle. Si a < k, le carré de n'importe quel nombre réel étant positif, aucun nombre réel x n'a pour carré k donc l'équation n'a pas de solution. Si k 0, on a alors x 2 = k qui s'écrit x 2 k = 0 donc (x k)(x + k) = 0 c'est à dire x = k ou x = k. Propriété : Soit k un nombre réel, alors l'équation 1 x qui n'est autre que l'inverse de k c'est à dire 1 k. = k admet une unique solution Synthèse : http: // mathsfg. net. free. fr 8

9 5 Fonctions polynômes du second degré Dénition : Fonctions de référence - 2nde On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction qui s'écrit sous la forme ax 2 + bx + c pour tout x réel avec a, b et c trois nombres réels xés. Propriété : Soit f une fonction polynôme dénie par f(x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois réels. Alors : si a > 0 la fonction f est décroissante sur l'intervalle ] ; b ] 2a et croissante sur l'intervalle [ b b ; + [ et admet un minimum en 2a 2a. si a < 0 la fonction f est croissante sur l'intervalle ] ; b décroissante sur l'intervalle [ b 2a 2a ] et ; + [ et admet un maximum en b 2a. On a : f(x) = ax 2 + bx + c f(x) = a(x 2 + b a x + c a ) f(x) = a((x + b 2a )2 b2 4a 2 + c a ) f(x) = a((x + b 2a )2 b2 4a 2 + 4ac 4a 2 ) Supposons a > 0, l'autre cas se traiterait de la même manière. Pour x et x réels tels que x < x < b b, on a x+ < 2a 2a x + b < 0. Or la fonction carré est décroissante sur 2a ] ; 0] donc (x+ b 2a )2 > (x + b 2a )2 d'où a(x+ b 2a )2 b2 + 4ac > (x+ b 4a 2 4a 2 2a )2 b2 + 4ac 4a 2 4a 2 et par suite, si a > 0 on a f(x) > f(x ) ce qui signie que f est décroissante sur ] ; b b ]. On montre de même que f est croissante sur [ ; 2a 2a + [ y = t² 2t S 3 4 http: // mathsfg. net. free. fr 9