Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Energie. (mécanique du point matériel) Olivier GRANIER

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1 Lycée Clemencea CSI (O.Ganie) negie (mécaniqe d point matéiel) Olivie GRANIR

2 - Énegie cinétiqe : (Dans tote la site, on considèe n point matéiel M (m), de vitesse dans n ééentiel (R) galiléen.) L énegie cinétiqe d point matéiel est : c s epime dans le SI en Jole : Ates nités d énegie : c J mv. kg. m s v ev,6. 9 kw. h 3,6. J 3, 6 cal 4, 8 J 6 J MJ Olivie GRANIR

3 - Théoème de l énegie cinétiqe : Le FD appliqé a point matéiel dans le ééentiel (R) spposé galiléen donne : dv m dt On mltiplie scalaiement cette éqation pa le vecte vitesse : dv dv d d. v m. v o m. v m v dt dt dt dt d c. v o. v dt dc dt a conséqent : Intepétation : ente les instants t et t+dt, l énegie cinétiqe de M vaie d ne qantité qi dépend de la oce et d déplacement d v dt d point, appelée tavail de la oce los d déplacement et notée. d δw c Olivie GRANIR

4 Tavail élémentaie d ne oce : δ W. v dt. d Tavail total d ne oce los d n déplacement de A à B : A C AB O C AB M M B d vdt W. v dt. d, CAB C AB Le tavail dépend a pioi d tajet choisi po alle de A à B : W, C' C W AB, AB C AB Si la oce est constante, alos : W. d. [ ] B OM. AB, C A AB C (Remaqe : le tavail de de oces est additi) AB Olivie GRANIR

5 issance instantanée d ne oce : W δ (Une pissance s epime en v Watt (W) dans le SI) dt. noncé d théoème de l énegie cinétiqe : La vaiation d énegie cinétiqe d n point matéiel est égale à la somme des tava des oces qi li sont appliqées : F Sos ome élémentaie (ente t et t+dt) : Sos ome intégée : ( B) W On pale également d théoème de la pissance cinétiqe : c c c d ( A) c δw F d. F F. d C AB F v F. F v. F dt d dt c Olivie GRANIR

6 3 - emples de oces consevatives : Alos : La tension d n essot : δw T l T O M(m) d et W T Le tavail élémentaie de la tension los d n déplacement s écit : δw d d T. d k( l l ).. d k d T. Ce tavail pet s écie sos la ome d ne diéentielle : δw T On pose : p k. d d k k (à ne constante pès) Simlation Java p est appelée énegie potentielle élastiqe de la masse m (elle est déinie à ne constante pès). Olivie GRANIR

7 Relation ente la oce et l énegie potentielle : en déivant l énegie potentielle pa appot a déplacement, on obtient : d d p k soit T d d p et T Cette elation ente la oce et l énegie potentielle est généale. d d p Le poids d n cops : Le tavail d poids d n cops M(m) los d n déplacement s écit : z z O h A mg M B g y d δw mg mg. d d d + dy y g g δw mg z + dz mgdz d( mgz) z d Olivie GRANIR

8 On déinit ainsi mgz comme étant l énegie potentielle de pesante d point M. lle ne dépend qe de la cote de z. Le tavail total d poids de M po alle de A à B est ainsi : W m g, AB mgh Ce tavail ne dépend pas d chemin sivi mais niqement de la dénivellation ente les points A et B. Relation ente la oce et l énegie potentielle : en déivant pa appot à la cote z, on obtient : d dz p mg soit mg d dz p et mg d dz p mgz Remaqe : si l ae (Oz) est oienté ves le bas, alos. Il at donc bien pécise l oientation choisie po l ae (Oz)! Un bon moyen de véiie si l epession tilisée est coecte consiste à véiie qe l énegie potentielle de pesante agmente tojos avec l altitde. z Olivie GRANIR

9 Olivie GRANIR Lycée Clemencea La oce gavitationnelle : On considèe ne masse M immobile en O et n point matéiel (m) mobile. Le tavail élémentaie de la oce gavitationnelle sbie pa le point est : (m) O(M) y z mm G O d d mm G d W.. δ ) ( ) ( ) ( d d d d + ) (. ) ( ) (. ) (. d d d d d + + ) ( ) (. : d d d Mais mm G d d mm G W D où : ' δ

10 On déinit alos l énegie potentielle gavitationnelle telle qe : mm G alos W δ d a convention, on choisit ne énegie potentielle nlle à l inini. Relation ente la oce et l énegie potentielle : en déivant p () pa appot à la vaiable, on obtient : d d G mm soit d d et On etove, là encoe, ne elation identiqe à celles ves po les de oces pécédentes (la vaiable est ici la distance ). d d Olivie GRANIR

11 La oce colombienne : On considèe ne chage Q immobile en O et n point matéiel (m,q) mobile. La oce colombienne sbie pa le point est : 4πε qq Ainsi, les ésltats obtens avec la oce gavitationnelle pevent ête tansposés po la oce colombienne en aisant l analogie omelle sivante : 4πε G ; qq mm L énegie potentielle colombienne est alos : qq alos δw 4πε d et d d Olivie GRANIR

12 4 - Généalisation : negie potentielle et oce consevative : On dit q ne oce déive d ne énegie potentielle si le tavail de la oce pet s écie comme : δ W. d d o W Cette oce est alos appelée oce consevative. Conséqence impotante : «Le tavail d ne oce consevative est indépendant de la tajectoie sivie et ne dépend qe des positions initiale et inale et est égale à la dimintion de l énegie potentielle (- ).» Ainsi, po calcle le tavail de la oce, il sia jste de connaîte la onction et calcle sa dimintion. Olivie GRANIR

13 Relation ente la oce et la déivée de l énegie potentielle Si () dépend d ne des vaiables catésiennes (pa eemple, ) : D où : δw ( ). d ( ).( d ) ( ) d d d d ( ) et ( ) d d Si () dépend de la vaiable OM : D où : δw ( ). d ( ) d d d ( ) et ( ) d Ce sont ces elations q il at désomais tilise po passe de la oce à l énegie potentielle, et vice vesa. d d Olivie GRANIR

14 Olivie GRANIR Lycée Clemencea emples :? ) ( ; 3 ) ( 3 a k + b k + ) ( ;? ) ( c k 3 ) ( ;? ) ( +

15 negie mécaniqe et intégale pemièe d movement : Soit n point matéiel M somis à ne oce consevative. Le théoème de l énegie cinétiqe appliqé dans n ééentiel galiléen donne : d c δw d soit dc + d d( c ) + + d m On déinit alos : m c, l énegie mécaniqe d point matéiel M. lle est constante pisqe : m c + m cste d movement Si le point matéiel est somis à plsies oces consevatives (poids et tension d n essot), on déinia alos l énegie mécaniqe comme : m c +, pesante +, essot cste Olivie GRANIR

16 «Losq n point matéiel est somis niqement à des oces consevatives (c est-à-die po lesqelles on pet déini des énegies potentielles), son énegie mécaniqe (somme de son énegie cinétiqe et des diéentes énegies potentielles) este constante los d movement.» Il y a tanset incessant ente ces de omes «cinétiqe» et «potentielle» de l énegie. Olivie GRANIR

17 La consevation de l énegie mécaniqe ait inteveni les coodonnées de M (dans les énegies potentielles) et sa vitesse (dans l énegie cinétiqe) : c est donc ne éqation diéentielle d e ode, appelée intégale èe d movement. Nos veons en eecice q il est sovent pééable d tilise cette intégale èe même si l on sohaite détemine la nate de la tajectoie ; en eet, on élimine les oces qi ne tavaillent pas et, pa déivation, on pet eveni à l accéléation et donc a FD. Olivie GRANIR

18 TABLAU RCAITULATIF Fome intégale Fome diéentielle ( d d δw. d B. A [ B) ( A) ] W Fome locale d ( ) ( ) ; ( ) d d d ( ) Olivie GRANIR

19 negie mécaniqe Intégale èe d movement Tension d n essot : mv + k m Champ de pesante : mv ± mgz m ± ( : dépend de l oientation de l ae (Oz)) Champ gavitationnel : mv G mm m Champ colombien : mv + 4πε qq m Olivie GRANIR

20 5 - Qelqes eemples d tilisation de l intégale èe d movement : Vitesse de libéation (inteaction gavitationnelle) Qelle vitesse initiale minimale v lim at-il commniqe à n point matéiel sité à la sace de la Tee po q il échappe à l attaction gavitationnelle teeste? g T T Avec, on obtient : GM R mm T m c + mvlim G RT v lim GM R T T v lim RT g, km. s ( RT 6 37 km) Olivie GRANIR

21 Qelqes eemples d tilisation de l intégale èe d movement : Limites de tajectoie et énegie (inteaction colombienne) : (e n 4) Une paticle ie, de chage électiqe + q (q > ), est placée à l'oigine O d'n ae (O) : tot le poblème se déole s cet ae. On néglige le poids des paticles. a) On lance à ne distance a de O ne seconde paticle, de chage - q et de masse m, dans ne diection tendant à l'éloigne de O. Qelle vitesse initiale v doit-on li commniqe po q'elle échappe à l'attaction de la paticle ie en O? b) La paticle mobile a maintenant la chage + q et sa vitesse initiale est v et est diigée ves O. Monte qe cette paticle ne pet atteinde O ; calcle la distance minimale d'appoche b en onction de v. Olivie GRANIR

22 () q ( ) 4πε q m mv + 4πε a B c ( b) ( b) O m c () c (a) () (a) b a A + m c Olivie GRANIR

23 Qelqes eemples d tilisation de l intégale èe d movement : O z z qation diéentielle d pendle (étde énegétiqe), e n 6 θ l T θ mg v l & θ θ M(m) La tension ne tavaille pas (pependiclaie a déplacement) ; le système est consevati : mv mgz ; v l & θ ; z cosθ m l D où l intégale èe d movement : m l ml & θ mg cosθ n déivant pa appot a temps : d m ml &&& θθ mgl & θ sinθ dt + & θ g + sinθ & θ + ω sinθ l Soit l éqation diéentielle d movement : Simlation Java Olivie GRANIR

24 Qelqes eemples d tilisation de l intégale èe d movement : tats liés, états libes : (eecice n 5) U () a) tde mathématiqe : limu ( ) + ; lim U ( ) du ( ) d po min a b et U min U ( min ) b 4a U ( ) a b ( ici, a et b ) b) etits movements : 4 b ( ) ( min ) k( min ) 3 8a 4 k b ω b ω ; ν 3 m 8ma π π 8ma 4 3 Olivie GRANIR

25 6 - Éqilibe d n point et conditions de stabilité : Conditions d éqilibe : On sppose qe l énegie potentielle ne dépend qe de la vaiable, (). La oce s écit : d ( ) d Une position d éqilibe coespond à ne oce nlle (et vitesse initiale nlle) : d ( ) donc d C est-à-die à n etemm de l énegie potentielle. Olivie GRANIR

26 Conditions de stabilité : Une position d éqilibe stable va coesponde à la condition : d d > alos d < soit < d d d d d On en dédit, en emaqant qe : d d d d qilibe stable : d d > C est-à-die minimale qilibe instable : d d < C est-à-die maimale qilibe indiéent : d d Olivie GRANIR

27 emple : Un point matéiel M(m) est asteint à se déplace sans ottement le long d n ae (O). Il est elié à n point A pa l intemédiaie d n essot de constante de aide k et de longe à vide > h. l tdie l éqilibe de M (eistence et stabilité). h A O ( k, l ) M(m) ( ) d k d d d o k ( ) h + l h + po : ± ( ) h + l m ± l h Olivie GRANIR

28 () ( ) k( h l ) m l h m ( h m ; l,5 m) Olivie GRANIR

29 ecice n 7 (la pote de gaage) : Une pote de gaage de longe L pet se mette en movement : se déplace s l ae (Cy) sans ottement, a n movement ciclaie de ayon L ato de (Oz). On modélise cette pote en s intéessant niqement a tiangle OAM (ne masse m étant placée en M). La tige OM est igide, de masse négligeable et de ayon R. Un essot de longe à vide et de aide k, eece ne oce de appel s le point M (constamment diigée ves le point A). a) pime l énegie potentielle d point matéiel M(m) en onction de l angle θ. M θ R C O L A y b) Détemine les positions d éqilibe d point matéiel M(m) et discte le stabilité. Concle. Données : m 3 kg ; R cm ; L R m ; l m R, m ; k 5 N. Olivie GRANIR

30 negie potentielle de pesante : p, pes mgr cos θ + cste negie potentielle élastiqe : p, él O : p, él k ( AM AM OM k l [ ] / ( L + R + LR cos θ ) l negie potentielle totale (en choisissant la constante nlle) : p ) OA ; AM L + R θ + LR cos θ [ ] / ( L + R + LR cos l p, pes + p, él mgr cos θ + k ) Nméiqement : p / 94,3 cos θ + 5 (( + cos θ ) ) Olivie GRANIR

31 (θ), en J θ π La pote de gaage est donc dans ne position stable en position hate (pote ovete) et instable en position basse (pote emée) ; de cette manièe, il est acile d ovi la pote. θ, en ad Olivie GRANIR

32 8 - Appoche d potait de phase : (eecice n 6) n considèe n pendle simple de longe qe l'on écate sans vitesse initiale de l'angle θ pa appot à la veticale descendante. Le pendle est somis à des ottements lides et son éqation diéentielle devient : & θ + h & θ + ω sinθ Son potait de phase est donné s la ige, avec : 5 ad. s et h, 5 ω s * A qoi voit-on q il y a des ottements? * Indiqe les positions d éqilibe stables et instables. * Commente l alle des diéentes cobes. l Olivie GRANIR

33 Olivie GRANIR

34 Appoche d potait de phase : Fichie Maple (endle simple) Olivie GRANIR