Distances et centralités sur réseaux statiques et dynamiques

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1 Université Aix-Marseille Master 2 Physique Théorique et Mathématique, Physique des Particules et Astroparticules Rapport de projet informatique Centre de Physique Théorique Sous la direction de Alain Barrat Distances et centralités sur réseaux statiques et dynamiques Quentin Prigent Janvier - Mars 2012

2 1 Quelques notions sur les réseaux 1.1 Introduction Un réseau est un ensemble d objets modelisé par des sites reliés entre eux par des liens. On peut imaginer à titre d exemple un réseau de transport aérien où les sites sont representés par des aéroports et les liens sont illustrés par les routes aériennes ouvertes entre les différents aéroports. Il existe différents types de réseaux comme les réseaux de transport, Internet, les réseaux sociaux, les réseaux biologiques, qui possèdent tous des caractéristiques différentes décrites grâce à certains outils comme les degrés, les distances entre certains sites, les centralités. Le but de ce projet informatique est d évaluer les distances (qui est une notion bien connue et bien établie en théorie des réseaux) entre sites pour différents types de réseaux. On évaluera également les centralités qui est une notion moins établie sur les mêmes réseaux pour essayer de mieux les comprendre et de généraliser les concepts connus dans les réseaux statiques au cas dynamique. Pour mieux comprendre le sujet quelques explications sur les différents types de réseaux sur leurs caractéristiques sont nécessaires. 1.2 Les différents types de réseaux etudiés Les réseaux dynamiques Dans les réseaux dynamiques les contacts entre les personnes changent. Si on prend l exemple de trois personnes A, B et C et que l on donne à A une information qu il peut transmettre (une maladie, une idée,...) on peut avoir le cas de figure suivant: Figure 1.1: Schéma de la propagation d une information dans un réseau dynamique en fonction du temps. Les points rouges ont l information, les noirs ne l ont pas. Si à un temps t = t 0 A est le seul à avoir l information et B est en contact avec C, tous les deux n auront pas l information suivie. Au temps t 1 = t 0 + t B quitte le contact avec C et va voir A qui lui transmet l information tandis qu à t 2 = t 1 + t A et B auront l information tandis que C est parti sans l information. Du coup C ne l obtiendra que plus tard par l intermédiaire de A, B ou d autres personnes qui auront été "contaminée" ou bien il ne l obtiendra pas du tout dans certains cas. Un exemple typique de réseaux dynamiques sont la propagation d une information entre des enfants dans une cour d école ou entre des personnes dans une conférence (qui sont des lieux clos) ou bien des visiteurs dans un musée (qui est un lieu ouvert où les gens entrent et sortent). 1

3 1.2.2 Les réseaux statiques Contrairement aux réseaux dynamiques, les réseaux statiques sont des réseaux dans lesquels les contacts entre personnes ne changent pas, reprenons l exemple des trois personnes nommées A,B et C et donnons à A l information. Figure 1.2: Schéma de la propagation d une information dans un réseau statique en fonction du temps. Les points rouges ont l information, les noirs ne l ont pas. A est en contact avec B, il lui transmet l information puis B la transmet à C comme sur le schéma. Bien sûr, si A est aussi en contact avec C alors il peut directement lui transmettre l information sans passer par B. Dans tous les cas comme les trois personnes ne bougent pas ils obtiendront à un temps donné l information, ce qui ne sera pas forcément le cas pour un réseau dynamique. Ce qu il faut retenir des réseaux statiques est que les contacts entre les personnes ne changent pas. Si A est en contact avec B à t = t 0 il le sera toujours à t = t 0 + t. Les réseaux statiques seront créés à partir des réseaux dynamiques qui seront "modifiés" de manière à ce que les contacts ne se succèdent pas mais soient tous établis tout au long de l analyse. De ce point de vue on peut déjà intuitivement penser que les distances seront plus courtes pour des réseaux statiques que dynamiques. 1.3 Les différentes caractéristiques étudiées: Distances et centralités La distance dans nos exemples sera le nombre de personne par lequel est passée l information entre deux personnes. De manière plus concrète, dans le deuxième schéma, la distance entre A et B ainsi que B et C est de d AB = d BC = 1 si A n est pas en contact avec C, tandis que entre A et C on a d AC = 2. Si A est en contact avec C on a d AB = d AC = 1. Dans un réseau plus grand on notera d ij la distance entre deux sites i et j. Chaque site a également un coefficient de centralité défini par la formule c i = 1. d ij 1.4 Les données utilisées Les données utilisées sont fournies sous forme d un fichier texte avec trois colonnes qui sont respectivement le temps auquel se fait le contact, le numéro d une personne et le numéro de la personne avec qui il est en contact. On étudiera ensuite une même série de données dans un cas dynamique puis statique pour ensuite comparer les différentes caractéristiques qu on aura eu dans les deux types de réseaux. j 2

4 2 Philosophie et construction du programme 2.1 Comment calculer les distances et centralités? Pour calculer la distance entre deux sites la philosophie est la suivante: à chaque personne est affilié un numéro et on associe à chaque numéro la valeur -1 si il n a pas l information, ou 0 si il l a. On initialise toutes les personnes à -1 puis à titre de condition initiale on donne à une personne i la valeur 0. A un temps t 0, on affiliera la valeur 0 a tous ses contacts (l information aura été transmise) ainsi que la distance d ij = 1. Au temps t 1 = t 0 + t la valeur 0 sera donnée aux voisins k des personnes j ayant l information, et leur distance sera d ik = d ij + 1 et ainsi de suite pour différents temps t. On va ainsi calculer les distances entre un point et tous les autres. Il suffira ensuite d utiliser ces distances pour pouvoir calculer le coefficient de centralité. 2.2 La construction du programme Les différentes parties du programme et leurs fonctions Première partie : La première partie traite les fichiers d entrée dans lesquels sont inscrits les données. Le programme va compter le nombre de ligne du fichier grâce à une boucle while en parcourant tout le fichier et en incrémentant une variable NombreDeLignes à chaque ligne parcourue. Au final NombreDeLignes contiendra le nombre de lignes total qu il y a dans le fichier. Le programme déclare ensuite un tableau a double entrée TableauDonnees[3][NombreDe Lignes] qui va stocker les données du fichier dans le tableau. Pour cela le tableau est initialisé avec la valeur 0 grâce a deux boucles for avant de rentrer les valeurs stockées dans le fichier grâce à la commande fstream et encore deux boucles for. Les variables i et j declarées en début de programme seront utilisées comme variables d incrémentation dans tout le reste du programme et seront souvent réinitialisées à 0 pour "recycler" la mémoire. Deuxième partie : Si la première partie est assez formelle la deuxième partie rentre plus dans le vif du sujet et est un petit peu plus technique. De plus elle change en fonction du type de réseau que l on étudie. Le programme déclare d abord deux tableaux appelés Information et Distance qui vont stocker les informations reliées au numéro d une personne. Par exemple si la personne 1304 a reçu l information, cette information sera stockée dans le tableau Information, on aura Information[1304]=0 et Distance[1304]=5 si la distance entre le numero de depart et 1304 est de 5. Si 1304 n a pas l information on aura Information[1304]=-1 et Distance[1304]=0. Le tableau for qui suit sert à initialiser les tableaux Information et Distance aux valeurs -1 et 0 respectivement. Après l initialisation le programmeur donne l information à une personne et la propagation de l information peut commencer. Réseau dynamique : La propagation se fait à partir de deux boucles while et de plusieurs conditions. La première boucle while est simple à comprendre car il parcourt le tableau tant dans que la ligne qu il traite est inférieure au nombre de lignes total du tableau NombreDeLignes. La deuxieme boucle while permet de vérifier que l on se place dans un même temps t. En effet comme dit précédemment la première colonne du tableau est le temps et la deuxième et la troisième traduisent le contact entre deux numéros. Comme il peut y avoir plusieurs contacts dans le même temps t il y a donc à chaque fois plusieurs lignes qui ont le même temps t. Cette boucle while respecte la condition "tant que la ligne actuelle à la même valeur de temps que la ligne précédente alors on fait ce qu il 3

5 y a dans la boucle". Cette condition permet de ne pas faire des incrémentations non voulues sur les distances et ainsi d avoir des distances erronées. Le programme se base ensuite sur une suite de conditions sur les colonnes 2 et 3 du tableau de données. Les conditions sont les suivantes: pour une même ligne, si la personne dans la colonne 2 ou 3 a l information alors dans ce cas l information est transmise à la personne dans la colonne 3 ou 2 respectivement et la distance augmente. Si les deux personnes ont l information alors elle n est pas transmise et la distance n augmente pas. Le programme fait cela grâce aux boucles while pour chaque temps t jusqu à la fin du tableau. Réseau statique : Pour le réseau statique le programme déclare un autre tableau nommé Intermediaire qui servira pour des numéros de transitions. Par une boucle for on incrémente une valeur n qui sera assimilé comme la distance. Le reste suit encore une suite de conditions: si dans une des colonnes il y a un numéro qui aura vu sa distance changer définitivement pour la dernière valeur de n et que son contact à une distance d = 0 et n a pas l information alors la distance du contact est égale à la distance de la personne qui transmet l information plus un (la distance augmente de 1). Sinon il ne se passe rien. Ensuite le programme stocke le numéro de toutes les personnes qui auront vu leur distance augmenter et on recommence pour la distance supérieure. Troisième partie : Grâce à une fonction le programme ordonne le tableau Distance pour mieux l exploiter ensuite. Puis il dénombre les distances pour ensuite dresser un tableau des distributions des distances qu il stocke dans un fichier extérieur que le programme aura créé. C est ce tableau qui sera utilisé pour tracer les histogrammes avec un programme extérieur. Ensuite le code stocke les distances de ce fichier dans un tableau TableauDistance qui permet dans la boucle while qui suit de calculer la distance moyenne. Une fois cela fait le terminal affiche la distance moyenne ainsi que le coefficient de centralité du site choisi en condition initiale. 2.3 Résultats et critiques Les résultats obtenus Une fois l exploitation du fichier de sortie qui donne les distributions de distance sous forme de fichier texte grâce à un programme extérieur on obtient les distributions de distances suivantes: 4

6 Les trois diagrammes bicolores représentent respectivement les distributions des distances de la conférence, de l école et du musée. Les histogrammes bleus correspondent aux réseaux dynamiques et les rouges correspondent aux réseaux statiques. On constate que pour les réseaux statiques les distances sont plus faibles que pour des réseaux dynamiques ce qui confirme ce qui avait été pressenti lors de la description des réseaux statiques. Le dernier histogramme représente les réseaux dynamiques de la conférence en jaune, de l école en rouge et du musée en bleu. Pour la conférence et l école on voit que les histogrammes ont la même forme du au fait que les personnes sont dans un lieu clos, les distances sont donc assez courtes comparées à celles du musée. Pour le musée les personnes sont dans un lieu ouvert donc les visiteurs peuvent rentrer et sortir du musée quand ils le souhaitent ainsi quand l information commence à se propager toutes les personnes recensées dans le fichier ne sont pas forcément dans le musée ce qui fait que l information parcours déjà une distance avant que celui-ci ne rentre dans le musée ce qui explique dans la distribution des distances pour un musée est beaucoup plus etalée que pour la conférence ou l école. On observe aussi après avoir lancé le programme pour les deux types de réseaux que le coefficient de centralité pour un même site de départ est plus grand dans le cas statique que dans le cas dynamique, ce qui découle directement de la formule car les distances dans le cas statique sont plus petites que dans le cas dynamique Critique du programme et proposition de modifications Le programme souffre de quelques défauts. Le premier est que les tableaux Distance et Information ont arbitrairement 2000 adresses associées ce qui est plutôt maladroit car des adresses ne seront pas utilisées du fait du nombre de personne, de la mémoire sera inutilisée et le programme calcule les distances pour les 2000 espaces (il considère qu il y a 2000 personnes alors qu il y a 220 élèves pour l école soit 10 fois moins que la taille du tableau). Cela a tendance à ralentir le programme même si celui-ci fonctionne rapidement, mais pour optimiser le temps j aurais pu intégrer une fonction qui calcule le nombre de personnes dans les données et qui crée des tableaux de tailles appropriées. La boucle qui sert à calculer la distance moyenne et les centralités ont une construction quelque peu maladroite du fait qu il utilise un tableau à une seule entrée pour stocker un tableau a deux colonnes. Une optimisation de ce côté aurait également été bienvenue mais elle n aurait que très peu changer le temps que le programme met a faire ses calculs car le code actuel fonctionne rapidement, cette optimisation aurait juste servi à faciliter la lecture du programme. Le code ne calcule les distances qu à partir d un site. Il aurait été intéressant de calculer les distances à partir de tous les sites pour pouvoir "lisser" un peu les histogrammes et les rendre plus clair. Ceci peut être fait en rajoutant une boucle for sur les conditions initiales en stockant les distance pour chaque site de départ à chaque fois dans un tableau pour ensuite réinitialiser le tableau Distance et calculer de nouveau toutes les distances a partir d un site. J ai essayé de le faire mais le programme avait des problèmes d allocation de mémoire car j utilisais des tailles de tableaux trop grandes et je n ai pas eu le temps de résoudre ces problèmes de taille. Ces problèmes de mémoire aurait toutefois pu être évités si le premier problème exposé dans cette section avait été résolu. J ai utilisé pour tracer les histogrammes un programme extérieur, il aurait été judicieux d intégrer les commandes gnuplot dans le code pour que le programme trace automatiquement les courbes. 2.4 Conclusion Au final le programme créé permet de calculer les distances d un site aux autres, de créer le tableau de distribution des distances, de l écrire dans un fichier externe, de calculer et d afficher les coefficients de centralité et les distances moyennes. En outre le programme ne fait ceci que pour un seul site et calculer les centralités de tous les sites auraient pu être intéressant pour comparer les valeurs entre tous les sites. 5