Février 1995 : Devoir commun de quatrième

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1 Février 199 : evoir commun de quatrième onsignes : les deux parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro. L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer. Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique (droites, segments, longueurs...)seront notées. haque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle. Première partie : alcul numérique I. alculer On donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible. = + 6 ; = ; = 1 = ; E = 7 7 F = II. a) Prendre les de ; H = ; I = b) Les d'un nombre sont 1, quel est ce nombre? 11 III. Julie part au marché avec 0 F. Elle en dépense les 9 pour l'alimentation et les de ce qui reste pour s'acheter une jupe. 1) alculer la dépense faite pour l'alimentation. ) Quel est le prix de la jupe? ) ombien lui reste-t-il après les deux achats? Quelle fraction de 0 F le reste représente-t-il? IV. ans un collège, il y a 0% de garçons et 00 filles. Quel est le nombre total d'élèves du collège? ========================================================= euxième partie : Géométrie Exercice N 1. On considère un triangle rectangle en tel que = cm et = 6 cm. 1) Faire la figure ) alculer le cosinus de l'angle. En déduire la valeur approchée arrondie au degré près de. ) On désigne par le symétrique de par rapport à, et par E le symétrique de par rapport à. Quelle est la nature du quadrilatère E? Pourquoi? 9

2 N de l' élève :... ette feuille sera jointe à la copie. L'exercice sera fait directement sur la feuille. Exercice N : Un trapèze a pour base [] et []. ompléter en regardant la figure : ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... onstruire sur la figure ci-dessus le point E, projeté de sur () parallèlement à () onstruire le point F, projeté orthogonal de sur () Exercice N : est un triangle rectangle en tel que = 1 cm et $ = alculez la valeur approchée de arrondie au millimètre près. Exercice n : Sur la figure, I est le milieu de [], J est le milieu de [] et (JK) et () sont parallèles. J I 1) Montrez que K est le milieu de [] ) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [] En déduire la nature du triangle J ) En déduire que (IK) est parallèle à () K

3 Février 1996 : evoir commun de Quatrième onsignes : les deux parties doivent être rédigées sur deux copies doubles différentes. la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro. L'usage du blanco et de la machine à calculer est interdit ainsi que le prêt du matériel. Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée. La présentation, l'orthographe, ainsi que la rigueur de l'écriture mathématique (droites, segments, longueurs...)seront notées. haque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle. Première partie : alcul numérique I. alculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : 1 = F = + 9 ; = 7 ; G = 10 1 ; = ; H = ; = ( 1) ; E = II x alculez x pour que le périmètre du triangle soit le même que celui du carré. x III. On partage un somme de 1700F entre personnes ; la première reçoit les de la somme totale, le seconde reçoit les de la part de la première a) Quelle fraction de la somme totale revient à la troisième personne? b) alculer la part de chacun. IV. On a parcouru les 7 soir. de la randonnée avant la halte du déjeuner. Il reste encore 6 km avant l'arrivée du Quelle est la longueur de la randonnée?

4 euxième partie : Géométrie Faire les figures sur une feuille simple séparée sur laquelle vous marquerez votre numéro Exercice 1 : I. LUGE est un parallèlogramme de centre I. O est le milieu du segment [LU] et N est le milieu du segment [LE]. 1) Montrez que les droites (NI) et (LO) sont parallèles. omparez NI et LO. ) En déduire la nature du quadrilatère non croisé LOIN. Faire la démonstration. ) Sachant que la droite (ON) coupe la droite (LG) en J, montrez que J est le milieu de [ON]. Exercice 1) onstruire le parallèlogramme tel que =8cm, = 6 cm et = 7. Les droites () et () se coupent en I. La droite perpendiculaire à () et passant par coupe la droite () en E. La droite perpendiculaire à () et passant par coupe la droite () en F. ) émontrez que les droites (E) et (F) sont parallèles. ) ompléter le tableau ci-dessous des images par la projection sur la droite (), parallèlement à la droite (E) (le découper et le coller sur votre feuille). émontrez que I est le milieu du segment [EF]. ) Quelle est la nature du quadrilatère EF? ) émontrez que (E) et (F) sont parallèles. Point... I projeté de...sur () parallèlement à (E)

5 Février 1997 : evoir commun de quatrième onsignes : les deux parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. la fin des deux heures, vous les glisserez l une dans l autre et les rendrez au professeur. Sur ces copies, vous ne mettrez pas vos noms mais votre numéro. L usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer. Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée. La présentation, l orthographe, ainsi que la rigueur de l écriture mathématique (droites, segments, longueurs...)seront notées. haque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle. Première partie : alcul numérique I. alculer On donnera les résultats sous la forme d une fraction irréductible. = + ; = 6 ; = ; = ; E = F = 1 1+ ; H = -9 ; I = II. Julie part au marché avec 0 F. Elle en dépense les pour l alimentation et les 9 de ce qui reste pour s acheter une jupe. 1) alculer la dépense faite pour l alimentation. ) Quel est le prix de la jupe? ) ombien lui reste-t-il après les deux achats? III. Les trois problèmes suivants sont à résoudre uniquement par équation. 1) J ai pensé un nombre, je le multiplie par, j enlève 8 au résultat et j ai trouvé - : Quel est ce nombre? )Le périmètre de ce triangle vaut 108. : trouver x x+ x+ x ) Un rectangle a une longueur qui dépasse de cm sa largeur. Le périmètre de ce rectangle est 0 cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle? ========================================================= euxième partie : Géométrie Exercice N 1. On considère un triangle rectangle en tel que = = cm 1) Faire la figure ) alculer.la valeur approchée arrondie au dixième de.

6 ) On désigne par le symétrique de par rapport à, et par E le symétrique de par rapport à. Quelle est la nature du quadrilatère E? Pourquoi?

7 N de l élève :... ette feuille sera jointe à la copie. L exercice sera fait directement sur la feuille. Exercice N : Un trapèze a pour bases [] et []. ompléter en regardant la figure : ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... Le projeté de est... onstruire sur la figure ci-dessus le point E, projeté de sur () parallèlement à () onstruire le point F, projeté orthogonal de sur () Exercice N : est un triangle rectangle en tel que = 1 cm et $ = alculez la valeur approchée de arrondie au dixième. Exercice n : Sur la figure, I est le milieu de [], J est le milieu de [] et (JK) et () sont parallèles. J I 1) Montrez que K est le milieu de [] ) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [] En déduire la nature du triangle J ) Montrez que (IK) est parallèle à () K

8 Février 199 : evoir commun de quatrième orrection ( points de présenratrion) Première partie : alcul numérique I. alculer On donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible. = = = 11 ( 1 pt ) 10 = + = 6 = 6 = = = = = ( 1 pt ) 8 = = = 8 ( 1pt ) = + 7 E = - 1 = F = = ( 1pt ) ( 1 pt ) = = = H = -9 = = I = + = + = + = + = ( pt 1 ) 9 II. a) Prendre les de (1 pt) 8 = = Les de sont b) Les d'un nombre sont 1, quel est ce nombre?(1 pt) = = = 77 Le nombre est ( 1, pt ) ( pt ) III. Julie part au marché avec 0 F. Elle en dépense les 9 pour l'alimentation et les de ce qui reste pour s'acheter une jupe.1) alculer la dépense faite pour l'alimentation. ) Quel est le prix de la jupe? ) ombien lui reste-t-il après les deux achats? Quelle fraction de 0 F le reste représente-t-il? 1)0 9 0 = = 0 La dépense pour l'alimentation est de 01 pt) 9 9 ) 0-0 = 00. Il lui reste 00 F.( ) = = Il lui reste 80 F = 10 La jupe a coûté e qui représente 80 0 = = = ( pt) 10F(1, pt) IV. ans un collège, il y a 0% de garçons et 00 filles. Quel est le nombre total d'élèves du collège? 00 filles représentent 60% du nombre total d'élèves = = = 00 ans le collège il y a 00 élèves ( pt)

9 euxième partie : Géométrie Exercice N 1. On considère un triangle rectangle en tel que = cm et = 6 cm.1) Faire la figure ) alculer le cosinus de l'angle. En déduire la valeur approchée arrondie au degré près de. ) On désigne par le symétrique de par rapport à, et par E le symétrique de par rapport à. Quelle est la nature du quadrilatère E? Pourquoi? ans le triangle rectangle en : cos $ côté adjacent = hypoténuse cos $ = (1, pt) $ os = 6 donc $ 8 ) est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de [] E est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de [E] e plus () et (E) sont perpendiculaires car est un triangle rectangle en Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires alors c'est un losange. E onc E est un losange. ( pt) Exercice N : Un trapèze a pour base [] et [].ompléter en regardant la figure : E F ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est. Le projeté de est Le projeté de est Le projeté de est (0, pt par point) ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est. Le projeté de est Le projeté de est.. le projeté de est... onstruire sur la figure ci-dessus le point E, projeté de sur () parallèlement à () onstruire le point F, projeté orthogonal de sur ()

10 Exercice N : est un triangle rectangle en tel que = 1 cm et $ = alculez la valeur approchée de arrondie au millimètre près. ans le triangle rectangle en ( pt) cos 1 cm $ = côtéadjacent hypoténuse $ os = os = 1 = 1 cos 1, 7cm Exercice n : Sur la figure, I est le milieu de [], J est le milieu de [] et (JK) et () sont parallèles. J I K 1) Montrez que K est le milieu de [] ( pt) ) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [](pt) En déduire la nature du triangle J (1 pt) ) En déduire que (IK) est parallèles à ()( pt) 1) ans le triangle, J est le milieu de [] et (JK) et '() sont parallèles. Rappel du thèorème : ans un triangle, la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle au deuxième côté, passe par le miliau du troisième côté. onc K est le milieu de [] ) Le triangle est rectangle en, donc () et () sont perpendiculaires. () et (KJ) sont parralèles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. onc (KJ) et () sont perpendiculaires. K est le milieu de (). La droite perpendiculaire à un segment qui le coupe en son milieu, est la médiatrice de ce segment. onc (JK) est la mmédiatrice de [] La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. J appartient à la médiatrice de [], donc J = J. Le triangle J est un triangle isocèle en J. ) ans le triangle, I est le milieu de [] et K est le milieu de [] ans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. onc () et (IK)sont parallèles.

11 février 96 : Première partie : alcul numérique I. alculer et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : = + = + = ; = = = ; = = = 1 ; = = 1 1 = 0 7 ( ) ; E= + = + = F= + = + = + = ; G= = 0 0 = = = 1+ ; H= = = = II x Pour que les deux périmètres soient égaux il faut que x= cm x alculez x pour que le périmètre du triangle soit le même que celui du carré Périmètre du carré = x Périmètre du triangle = x+x+=x+ x = x + x x =. x = x = = III. On partage un somme de 1700F entre personnes ; la première reçoit les IV. On a parcouru les de la randonnée avant la halte du de la 7 déjeuner. Il reste encore 6 km avant l'arrivée du soir. somme totale, le seconde reçoit les Quelle est la longueur de la randonnée? de la près le déjeuner il reste de la randonnée à parcourir. part de la première 7 a) Quelle fraction de la somme totale revient à 6 km représentent de la randonnée la troisième personne? 7 b) alculer la part de chacun. 7 a) 6 = 6 = 1 = 7 10 La randonnée était de 1 km La deuxième personne reçoit de la somme 10 totale 10 7 ) 1 + = = La deuxième personne reçoit aussi de la 10 somme totale 1700 = 00 = 7000 ) 1700 = 170 = 0 10 La première personne personne reçoit 7000F, les deux autres reçoivent 0 F

12 euxième partie : Géométrie correction Exercice 1 :I. LUGE est un parallèlogramme de centre I. O est le milieu du segment [LU] et N est le milieu du segment [LE]. 1) Montrez que les droites (NI) et (LO) sont parallèles. omparez NI et LO. ) En déduire la nature du quadrilatère non croisé LOIN. Faire la démonstration. ) Sachant que la droite (ON) coupe la droite (LG) en J, montrez que J est le milieu de [ON]. L N E J O I U G onnées LUGE parallèlogramme centre I. O milieu de [LU] N milieu de[le]. onclusion 1) (NI) et (LO) parallèle NI=LO ) LOIN parallèlogramm ) J milieu de [ON] émonstration : 1) LUGE est un parallèlogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu il en résulte que I est le milieu de [EU]. ans le triangle LEU, N est le milieu de [LE] et I est le milieu de [LG] ans un triangle la droite qui joint le mileiu de deux côtés est parallèle au troisième côté donc (NI) et (LO) sont parallèles NI = 1 LU onclusion : (NI) et (LO) sont parallèles et NI = LO O est le milieu de [LU] donc LO = 1 LU ) ans le quadrilatère LOIN (NI) et (LO) sont parallèles et NI = LO de plus LOIN est non croisé. Lorsqu'un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallèlogramme donc LOIN est un parallèlogramme. ) ans un parallèlogramme les diagonales se coupent en leur milieu donc J est le milieu de [ON]. Exercice 1) onstruire le parallèlogramme tel que =8cm, = 6 cm et = 7.Les droites () et () se coupent en I. La droite perpendiculaire à () et passant par coupe la droite () en E. La droite perpendiculaire à () et passant par coupe la droite () en F. ) émontrez que les droites (E) et (F) sont parallèles.) ompléter le tableau ci-dessous des images par la projection sur la droite (), parallèlement à la droite (E) émontrez que I est le milieu du segment [EF].) Quelle est la nature du quadrilatère EF? ) émontrez que (E) et (F) sont parallèles. 1) (E) et () sont perpendiculaires. (F) et () sont perpendiculaires. Lorsque deux droites sont perpendiculaires à una même troisième elles sont paralléles. onc (E) et(f) sont parallèles. ) onsidérons la projection sur la droite (), parallèlement à la droite (E) Point... I projeté de... E F I Le projeté de est E Le projeté de I est I Le projeté de est F est un parallélogramme donc ses diagonales se coupent en leur milieu : donc I est le milieu de []. La projection conserve les milieux donc I est le milieu de [EF]. ) I est le milieu de [EF] et de []. Lorsque un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. onc EF est un parallélogramme. ) Un parallélogramme a ses côtés opposés paralléles deux à deux donc (F) et (E) sont paralléles.

13 F I E

14 Février 1997 : evoir commun de quatrième orrection ( points de présenratrion) Première partie : alcul numérique I. alculer On donnera les résultats sous la forme d une fraction irréductible. = + = = = 11 ( 1pt ) 10 = 6 = 6 = = = = 8 = ( 1pt ) ( 1pt ) = = + 7 = - 16 = = E = F = = = = = H = -9 = = I = + = + = + = + = ( pt 1 ) 9 ( 1pt) ( 1pt ) 1 9 ( 1, pt ) ( pt ) II. Julie part au marché avec 0 F. Elle en dépense les 9 pour l alimentation et les de ce qui reste pour s acheter une jupe.1) alculer la dépense faite pour l alimentation. ) Quel est le prix de la jupe? ) ombien lui reste-t-il après les deux achats? 1)0 9 0 = = 0 La dépense pour l alimentation est de 0F (1 pt) 9 9 ) 0-0 = 00. Il lui reste 00 F. ) = = Il lui reste 80 F = 10 La jupe a coûté 10F(1, pt) III.1) J ai pensé un nombre, je le multiplie par, j enlève 8 au résultat et j ai trouvé - :Quel est ce nombre? Soit x ce nombre x 8 = x = + 8 x = 6 6 x = = e nombre est )Le périmètre de ce triangle vaut 108. : trouver x x+ x x+ x + + x + + x = 108 x + 9 = 108 x = x = 99 ) Un rectangle a une longueur qui dépasse de cm sa largeur. Le périmètre de ce rectangle est 0 cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle? Soit x la largeur la longueur est x+ x + x + + x + x + = 0 x + = 0 x = 0 x = 6 6 x = = 6, x = x = 99 La largeur est égale à 6, cm et la longueur e égale à 8, cm

15 euxième partie : Géométrie Exercice N 1. On considère un triangle rectangle en tel que = = cm 1) Faire la figure ) alculer.la valeur approchée arrondie au dixième de.) On désigne par le symétrique de par rapport à, et par E le symétrique de par rapport à. Quelle est la nature du quadrilatère E? Pourquoi? E ans le triangle rectangle en : cos $ = côtéadjacent hypoténuse cos $ = os = = ( cos ) =, cm cos 9 (1, pt) ) est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de [] E est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de [E] e plus () et (E) sont perpendiculaires car est un triangle rectangle en Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et perpendiculaires alors c est un losange. onc E est un losange. ( pt) Exercice N : Un trapèze a pour base [] et [].ompléter en regardant la figure : E F ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est. Le projeté de est Le projeté de est Le projeté de est (0, pt par point) ans la projection sur () parallèlement à () : Le projeté de est. Le projeté de est Le projeté de est.. le projeté de est... onstruire sur la figure ci-dessus le point E, projeté de sur () parallèlement à () onstruire le point F, projeté orthogonal de sur ()

16 Exercice N : est un triangle rectangle en tel que = 1 cm et $ = alculez la valeur approchée de arrondie au millimètre. 1 cm ans le triangle rectangle en ( pt) cos $ = côtéadjacent hypoténuse $ os = os = 1 = 1 cos 1, 7cm Exercice n : Sur la figure, I est le milieu de [], J est le milieu de [] et (JK) et () sont parallèles. J I 1) Montrez que K est le milieu de [] ( pt) ) Montrez que (KJ) est la médiatrice de [](pt) En déduire la nature du triangle J (1 pt) K ) Montrez (IK) est parallèles à ()( pt) 1) ans le triangle, J est le milieu de [] et (JK) et () sont parallèles. Rappel du thèorème : ans un triangle, la droite qui passe par le milieu d un côté et qui est parallèle au deuxième côté, passe par le miliau du troisième côté. onc K est le milieu de [] ) Le triangle est rectangle en, donc () et () sont perpendiculaires. () et (KJ) sont parallèles. Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. onc (KJ) et () sont perpendiculaires. K est le milieu de []. La droite perpendiculaire à un segment qui le coupe en son milieu, est la médiatrice de ce segment. onc (JK) est la médiatrice de [] La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment. J appartient à la médiatrice de [], donc J = J. Le triangle J est un triangle isocèle en J. ) ans le triangle, I est le milieu de [] et K est le milieu de [] ans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. onc () et (IK) sont parallèles.

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