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1 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 7 Chapitre 1 Cinématique Plan du chapitre La Cinématique est la partie de la Mécanique qui étudie la description des mouvements, sans se demander quelles en sont les causes (ce sera l objet du chapitre «Dynamique»). Fiche 1 : définition de la notion de référentiel. Fiches 2 et 3 : caractérisation de la position d un mobile. Fiches 4 à 8 : définition du vecteur vitesse et expression dans différents systèmes de coordonnées. Fiches 9 à 11 : définition du vecteur accélération et expression dans différents systèmes de coordonnées. Fiches 12 à 17 : étude de quelques mouvements particuliers. espace espace

2 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 8 Fiche 1 - Les référentiels : définition, quelques référentiels courants Définition d un référentiel La description du mouvement doit toujours se faire par rapport à un objet de référence (ou système de référence). Ainsi, on appelle référentiel un objet par rapport auquel le mouvement de tous les systèmes est étudié. On peut citer en exemple les référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique... De plus, pour caractériser le mouvement, il faut se munir d une horloge définissant le temps. On peut donc retenir la définition générale : Référentiel : corps solide supposé indéformable, à partir duquel on définit un système d axes de coordonnées lié à un observateur muni d une horloge définissant un temps. Il est important de retenir que dans tous les exercices de Mécanique, il faut préciser le référentiel d étude. Quelques référentiels courants On va définir quelques référentiels souvent utilisés en Mécanique. Référentiel terrestre : référentiel lié à la Terre. Il accompagne la Terre dans ses mouvements de rotation et de révolution autour du Soleil (figure 1.1). Ce référentiel est le plus souvent utilisé dans les exercices, en dehors du chapitre «Satellites et planètes». Figure 1.1: référentiel terrestre. On peut remarquer que l origine du référentiel terrestre n est pas nécessairement un point de la surface de la Terre. Elle peut être, par exemple, le centre de la Terre. Il ne faut alors pas confondre le référentiel terrestre et le référentiel géocentrique. La différence est que le référentiel terrestre, lié à la Terre, accompagne celle-ci dans son mouvement de rotation.

3 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 9 Référentiel géocentrique : référentiel dont le centre est le centre de masse de la Terre et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles très éloignées pratiquement fixes dans la voûte céleste (figure 1.2). Figure 1.2: référentiel géocentrique. Référentiel héliocentrique (ou de Kepler) : référentiel dont le centre est le centre de masse du Soleil et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles très éloignées (figure 1.3). Ce référentiel est utilisé dans le chapitre «Satellites et planètes», lors de l étude En fait, on peut généraliser la notion de référentiel géocentrique à toutes les planètes. On parle alors de référentiel planétocentrique. Ces référentiels sont uti- du mouvement des planètes autour du Soleil. lisés dans le chapitre «Satellites et planètes», lors de l étude du mouvement des satellites autour d une planète. Figure 1.3: référentiel héliocentrique. Référentiel de Copernic : référentiel dont le centre est le centre de masse du système solaire et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles très éloignées La masse du système solaire étant essentiellement portée par le Soleil, le centre du référentiel de Copernic est très proche de celui du référentiel héliocentrique.

4 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 10 «Relativité» du mouvement La nature du mouvement dépend du choix du référentiel (relativité du mouvement). Par exemple, la trajectoire d un point d une roue de vélo, dans un référentiel lié au (cadre du) vélo, est circulaire. Dans le référentiel terrestre, la trajectoire est une cycloïde. Figure 1.4: trajectoire dans le référentiel du vélo. Les repères (ou systèmes de coordonnées) Figure 1.5: trajectoire dans le référentiel terrestre. Une fois fixée le référentiel, on peut choisir différents systèmes de coordonnées (ou repères), c est-à-dire différentes façons d écrire un même vecteur (fiches suivantes). Cinématique du point Dans ce cours (programme du Lycée), on se place presque uniquement dans le cadre de la Mécanique classique du point, c est-à-dire dans le cas où les solides étudiés peuvent être décrits à l aide de trois coordonnées (celui du centre d inertie 1 ). Le solide est donc (le plus souvent) réduit à son centre d inertie et repéré par le vecteur position OM(t) où O est l origine du repère, M le point où se trouve le (centre d inertie du) mobile, et t le temps. Les mouvements des solides dans leur ensemble sont étudiés en compléments. 1. Le centre d inertie est le centre des masses. Rigoureusement, ce n est pas le centre de gravité, qui est le point d application de la résultante du poids. Si le champ de pesanteur est supposé homogène (cas le plus courant), ces deux centres coïncident.

5 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 11 Fiche 2 - Repérage en coordonnées cartésiennes Définition - Ecriture du vecteur position Pour décrire la position d un mobile ponctuel M, on peut donner ses coordonnées, à chaque instant t, dans le repère (O, u x, u y, u z ) 2 (figure 1.6) : OM(t) x (t) y (t) z (t) (1.1) Les expressions x (t), y (t) et z (t) sont les équations horaires (ou paramétriques) du mouvement. On peut aussi écrire 3 : OM = x u x + y u y + z u z (1.2) Dans le cas général, ce vecteur possède trois coordonnées. En pratique, dans les exercices, il n y a besoin que d une coordonnée (mouvement rectiligne) ou deux coordonnées (mouvement plan). 2. Il s agit d un repère orthonormé. 3. Très souvent, on n écrit pas explicitement le temps t dans les expressions. Ce paramètre est alors implicite. Figure 1.6: coordonnées cartésiennes. Utilisation dans les exercices On peut déjà retenir que les coordonnées cartésiennes sont utilisées dans les problèmes de mouvements rectilignes (sur un plan horizontal, sur un plan incliné...), de mouvements de chute (chute verticale ou dans le plan).

6 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 12 Fiche 3 - Repérage en abscisse curviligne Si la trajectoire du mobile est connue, on peut utiliser une abscisse qui précise la position du mobile sur la trajectoire. C est l abscisse curviligne. Si un mobile M se déplace le long d une trajectoire, et si l on choisit une origine des abscisses O, un sens positif de parcours (en général celui de la trajectoire), alors on définit l abscisse curviligne s du mobile par la valeur algébrique de l arc orienté OM : s = OM (1.3) Figure 1.7: abscisse curviligne. Fiche 4 - Définition générale du vecteur vitesse On va définir le vecteur vitesse instantanée et l écrire dans différents systèmes de coordonnées (coordonnées cartésiennes, base de Frenet). Définition du vecteur vitesse Soit la trajectoire d un mobile M (figure 1.8). Soient M(t) et M (t ) les positions aux temps t et t. Le vecteur MM représente le déplacement du mobile. Si M se rapproche de M, c est-à-dire si t t tend vers 0, le mobile décrit alors une portion de droite 4. On parle alors de déplacement élémentaire 5. Figure 1.8: construction du vecteur vitesse. 4. Selon la direction de la tangente en M. 5. Elémentaire est synonyme de infiniment petit.

7 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 13 On définit donc le vecteur vitesse instantanée v du mobile par 6 : MM v = lim t t t t = lim MO + OM t t t t OM OM OM = lim = lim = d OM t t t t t 0 t dt Ainsi, le vecteur vitesse (instantanée) est tangent à la trajectoire. C est la dérivée de OM(t) par rapport au temps : d OM v = dt (1.4) C est la définition générale du vecteur vitesse (instantanée), indépendante de tout système de coordonnées. Une fois établie cette définition, on peut écrire ce vecteur dans les différents systèmes de coordonnées. Les unités La vitesse s exprime en m.s 1 (unité SI). On peut aussi l exprimer en km.h 1. La conversion entre ces deux unités est donnée par le schéma suivant : 6. On rappelle que df dt = lim f(t ) f(t) f = lim t t t t t 0 t. Application : 8, 0 m.s 1 29 km.h km.h 1 5, 3 m.s 1.

8 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 14 Fiche 5 - Loi de composition des vitesses La vitesse dépend du choix du référentiel. Il faut parfois déterminer la vitesse dans un référentiel la connaissant dans un autre. Par exemple, si un train roule à la vitesse v 1 (dans le référentiel terrestre R ) et qu un individu marche dans ce train à la vitesse v 2 (dans le référentiel du train R), alors la vitesse de l individu dans le référentiel terrestre s écrit : De façon générale 7 : v3 = v 1 + v 2 (1.5) La vitesse d un mobile M dans un référentiel R est égale à la somme de : la vitesse de ce mobile dans un référentiel R : v M/R la vitesse de R par rapport à R : v R/R Ainsi : v M/R = v M/R + v R/R (1.6) 7. On se restreint à l étude de référentiels en translation l un par rapport à l autre. Application 1 : L eau d un fleuve s écoule à la vitesse v 1, de norme v 1 = 2, 3 m.s 1. Un canot se déplace, dans le sens du courant, à la vitesse v 2 par rapport au fleuve. On donne v 2 = 3, 1 m.s Quelle est la vitesse du canot par rapport au sol? Le canot part maintenant de la rive et traverse le fleuve pour arriver en face du point de départ. Il se déplace à la vitesse v 3, de norme v 3 = 3, 4 m.s 1, par rapport au fleuve. La traversée dure 14 min. 2. Quelle est la largeur du fleuve? Le canot se deplace maintenant a la vitesse v 4 par rapport au fleuve. Cette vitesse, de norme v 4 = 3, 1 m.s 1, fait un angle α = 26 par rapport à la direction d écoulement du fleuve. 3. a) Quelle est la vitesse du canot par rapport au sol? b) Quelle est la direction du canot par rapport au sol (on donnera l angle que fait cette direction avec celle d ecoulement du fleuve)? Corrigé : 1. On note C pour le canot, S pour le sol et F pour le fleuve. La loi de composition des vitesses donne : v C/S = v C/F + v F/S

9 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 15 Ainsi, avec les notations de l énoncé : v C/S = v 2 + v 1. On en déduit : v C/S = v 2 + v 1 = 5, 4 m.s 1 2. La loi de composition des vitesses donne encore : v C/S = v C/F + v F/S Ainsi, avec les notations de l énoncé : v C/S = v 3 + v 1. Le théorème de pythagore donne : v C/S = v 2 3 v 2 1. La largeur du fleuve est donc : d = v C/S t AB. Finalement : d = v 2 3 v 2 1 t AB = 3, 4 2 2, , m 3. a) La loi de composition des vitesses donne toujours : v C/S = v C/F + v F/S Ainsi, avec les notations de l énoncé : v C/S = v 4 + v 1. Le théorème d Al-Kashi donne : v 2 C/S = v2 4 + v 2 1 2v 1 v 4 cos (π α). Finalement (comme cos (π α) = cos α) : v C/S = v4 2 + v v 1 v 4 cos α 3, , , 1 2, 3 cos 26 5, 3 m.s 1

10 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 16 b) Il faut calculer l angle β. On peut utiliser la règle des sinus : v C/S sin (π α) = v 4 sin β sin β = v 4 v C/S sin (π α) Finalement (comme sin (π α) = sin α) : ( ) ( ) β = sin 1 v4 3, 1 sin α sin 1 sin v C/S 5, 26 Application 2 : Une pierre est projetée vers l arrière d un camion. A l instant t = 0, cette pierre a une vitesse v 0, par rapport au camion, faisant un angle α avec l horizontale. Le camion roule à la vitesse constante v Ecrire les coordonnées de la vitesse initiale de la pierre, dans le référentiel du camion auquel on associe le repère (O, x, z)? 2. Ecrire les coordonnées de la vitesse initiale de la pierre, dans le référentiel terrestre auquel on associe le repère (O, x, z ) coïncidant avec (O, x, z) au temps t = 0? Corrigé : 1. La vitesse de la pierre dans le référentiel du camion, a pour coordonnées :

11 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 17 v 0,x = v 0 cos α v0 = v 0,z = v 0 sin α 2. On note P pour la pierre, C pour le camion et S pour le sol. La loi de composition des vitesses donne : v P/S = v P/C + v C/S Ainsi, avec les notations de l énoncé : v P/S = v 0 + v 1. La vitesse de la pierre dans le référentiel du camion, a pour coordonnées : v P/S,x = v 0 cos α v 1 v P/S = v P/S,z = v 0 sin α Fiche 6 - Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes Expression des coordonnées On travaille de la repère (O, u x, u y, u z ) (figure 1.6) : d OM v = dt = d dt ( x ux + y u y + z u z ) Or u x, u y et u z sont des vecteurs constants (fixes dans le temps), donc 8 : v = dx ux + dy uy + dz uz = ẋ u x + ẏ u y + ż u z dt dt dt Par définition, v = v x ux + v y uy + v z uz. Le vecteur vitesse v a donc pour coordonnées cartésiennes : 8. On rappelle la notation f = df dt. v v x = ẋ v y = ẏ v z = ż (1.7)

12 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 18 Expression de la norme La valeur 9 de la vitesse v (norme de v ) s écrit : v = v = ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 (1.8) Comme vu précédemment, elle s exprime en m.s 1 ou km.h 1. Exercices d application : mouvement plan Application 1 : trouver la vitesse à partir de la position Les équations horaires de la trajectoire d un mobile, dans un répère cartésien (O, u x, u y ), sont (en unités SI) : x (t) = 2t3 t y (t) = 4t 2 3t Déterminer les coordonnées de la vitesse. 2. Quelle est la valeur de la vitesse en t = 2, 0 s? 9. Il faut faire attention à l ambiguité des notations et du vocabulaire. v désigne parfois la norme de la vitesse, parfois la valeur algébrique (la coordonnée selon un axe). Dans l idéal, il faudrait toujours utiliser un indice lorsqu on parle de valeur algébrique (v x...), mais ce n est pas souvent fait, par simplicité d écriture. En général, quand on demande la valeur de la vitesse, il s agit de la norme. Corrigé : 1. v x = 6t 2 2t v v y = 8t 3 2. v x = = 20 v (t = 2, 0 s). v y = = 13 Ainsi : v (t = 2, 0 s) = v (t = 2, 0 s) = m.s 1 Application 2 : trouver la position à partir de la vitesse Dans un plan muni d un repère cartésien (O, u x, u y ), un mobile M est en un point de coordonnées x 0 = 1, 0 m et y 0 = 1, 0 m, à la date t = 0. Les coordonnées du vecteur vitesse sont (en unités SI) : v v x = 2 v y = 3t Donner les équations horaires x (t) et y (t) du mouvement. 2. Donner l équation de la trajectoire et la tracer dans le repère (O, u x, u y ). Corrigé : 1. On détermine les coordonnées x (t) et y (t) par primitives de v x (t) et v y (t). x (t) = 2t + A. La constante A dépend de la condition :

13 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 19 Ainsi : x (t) = 2t + 1 (1) x (0) = x 0 A = x 0 y (t) = 3 2 t2 + 2t + B. La constante B dépend de la condition : Ainsi : y (t) = 3 2 t2 + 2t 1 (2) y (0) = y 0 B = y 0 2. On détermine l équation de la trajectoire en exprimant t à l aide de (1) : t = x 1. On remplace ensuite dans (2) : 2 y (x) = 3 ( ) 2 ( ) x 1 x = x x + x 2 Finalement, après simplification : y (x) = 3 8 x x 19 8 Il s agit d une parabole, orientée à cause du signe négatif de 3 8. On retrouve ce genre d équations et de trajectoire dans l étude du mouvement de chute libre dans le plan.

14 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 20 Fiche 7 - Expression du vecteur vitesse dans la base de Frenet On a étudié le vecteur vitesse dans la base de coordonnées cartésiennes. On va maintenant l étudier dans la base de Frenet. Définition de la base de Frenet Figure 1.9: base de Frenet. ( t ) A chaque instant, on peut utiliser la base de vecteurs, n, liée au point M (figure 1.9), telle que : l origine est au point M (centre de gravité du mobile). t est tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens des abscisses curvilignes s croissantes (en général le sens positif est celui du mouvement). t est unitaire (de norme unité). n est normal à la trajectoire en M et orienté vers l intérieur de la concavité de la trajectoire. n est unitaire. Ces deux vecteurs 10 constituent une base 11 appelée base de Frenet. Expression de la vitesse dans la base de Frenet Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse s écrit : Ainsi : d OM v = = d OM ds dt ds dt = ds t dt v = v t, ds avec v = dt (1.9) Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire (selon t ). La vitesse v est la dérivée par rapport au temps de l abscisse curviligne. Si le vecteur t de 10. On peut ajouter un vecteur unitaire u z, orthogonal aux deux vecteur t et n, afin d obtenir un repère à 3 dimensions. 11. Base locale car elle évolue avec le point M. Elle «suit» le point M lors de son mouvement. Les vecteurs t et n dépendent donc du temps, contrairement aux vecteurs de base du repère cartésien.

15 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 21 la base de Frenet est orienté dans le sens du mouvement alors v > 0. Utilisation dans les exercices On a déjà vu, dans les problèmes avec des mouvements rectilignes ou de chutes, qu on utilise plutôt la base de coordonnées cartésiennes. La base de Frenet est utile dans l étude des mouvements circulaires. En fait, dans les exercices, lors de l étude de mouvements circulaires, on n utilise pas exactement la base de Frenet car le vecteur t n est pas nécessairement dans le sens du mouvement. ( t ) Par exemple, dans le cas du pendule simple (figure 1.10), on utilise un général Figure 1.10: base, n dans l étude d un mouvement circulaire. un vecteur n (identique à celui de la base de Frenet) et un vecteur t orienté dans le sens des θ croissants (et non dans celui du mouvement). t n est alors pas nécessairement dans le sens du mouvement. Dans cette base, on a toujours v = v t mais v est algébrique (positif ou négatif). Dans le cas du pendule simple, cette vitesse vaut v = l θ. En conclusion : repère cartésion : mouvements rectilignes et mouvements de chutes (verticale ou dans le plan). repère «type» Frenet : mouvements circulaires.

16 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 22 Fiche 8 - Vitesse moyenne On a étudié le vecteur vitesse instantanée. On peut aussi définir la vitesse moyenne lors d un parcours quelconque : v moy = d t distance du parcours durée du parcours Il ne faut pas confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée. Par exemple, dire que la vitesse instantanée est la distance totale sur le temps est en général faux. Cela n est vrai que si la vitesse instantanée est constante 12, c est-à-dire si le mouvement est uniforme. De façon générale, la vitesse instantanée est la vitesse moyenne lors d un déplacement élémentaire (infiniment petit) 13. Application : Un cycliste parcourt un trajet formé de deux parties distinctes : un «plat» de 20 km à la vitesse moyenne v 1 = 32 km.h 1. une montée de 10 km à la vitesse moyenne v 2 = 5, 2 m.s 1. Calculer la vitesse moyenne du cycliste (en km.h 1 et en m.s 1 ). 12. La vitesse instantanée est alors égale à la vitesse moyenne. 13. Ce qu indique le compteur d une voiture est la vitesse instantanée, qui est une vitesse moyenne calculée sur une très petite distance (la vitesse n a alors pas le temps de changer). Corrigé : La vitesse moyenne peut s écrire v = d 1 + d 2 t 1 + t 2 où d 1 est la longueur du plat, d 2 est la longueur de la montée, t 1 la durée du plat et t 2 la durée de la montée. Ainsi : v = d 1 + d 2 = t 1 + t 2 = km.h , 2 3, , 2 m.s , 6 5, 2 3, 6

17 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 23 Fiche 9 - Définition générale du vecteur accélération Les variations du vecteur position sont caractérisés par le vecteur vitesse. Les variations du vecteur vitesse sont caractérisées par le vecteur accélération. Définition du vecteur accélération Par définition, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse : Or, d OM v =, d où : dt d v a = dt d 2 OM a = (1.10) dt 2 (1.11) Le vecteur accélération est la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur position. C est une définition générale, indépendante de tout système de coordonnées. Unité L accélération s exprime en m.s 2 (unité SI). Fiche 10 - Expression du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes Expression des coordonnées On travaille dans le repère cartésien (O, u x, u y, u z ) (figure 1.6) : d 2 OM a = dt 2 = d2 dt 2 ( x ux + y u y + x u z ) = ẍ u x + ÿ u y + z u z Ainsi, les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération a sont : a Expression de la norme a x = ẍ a y = ÿ a z = z La valeur de l accélération a (norme de a ) s écrit : (1.12) a = a = ẍ2 + ÿ 2 + z 2 (1.13)

18 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 24 Fiche 11 - Expression du vecteur accélération dans la base de Frenet Expression des coordonnées Dans la base de Frenet Figure 1.11: vecteur accélération dans la base de Frenet. ( t ), n, l accélération possède deux composantes 14 (tangentielle et normale) selon t et n (figure 1.11) : a = at + a n = a t t + an n (1.14) 14. En effet, a = d v = d ( v ) t = dv d t t + v dt dt dt dt. Or, t n étant pas un vecteur constant, sa dérivée n est pas nulle. Il y a donc deux composantes à l accélération. avec : et : dv a t = dt a n = v2 R (1.15) (1.16) R est une longueur appelée rayon de courbure de la trajectoire en M. Plus R est grand et plus la courbure est faible. Le rayon de courbure d un cercle de rayon R vaut R. Le rayon de courbure d une droite vaut +. Norme de l accélération Les vecteur a t et a n sont orthogonaux donc la norme de l accélération peut s écrire, en fonction de a t et a n : a = a = a 2 t + a 2 n (1.17) Interprétation physique des coordonnées Le vecteur accélération est lié à la variation du vecteur vitesse. Il y a deux façons de faire varier le vecteur vitesse :

19 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 25 en changeant sa norme (on parle de mouvement accéléré si v augmente et ralenti (ou freiné, retardé) si v diminue). C est l accélération tangentielle a t = dv qui caractérise ce changement. Si le dt mouvement est uniforme, a t = 0. Ainsi, pour tout mouvement uniforme, l accélération est purement normale. en changeant sa direction. C est l accélération normale a n = v2 R qui caractérise ce changement. A vitesse fixée, plus le rayon de courbure est faible (courbure élevée), plus l accélération normale a n = v2 R est grande. De plus, si le mouvement est rectiligne, a n = 0 (car R + ). Ainsi, pour tout mouvement rectiligne, l accélération est purement tangentielle. Nature du mouvement (accéléré ou freiné) On peut remarquer que : a. v = ( at + a n ). v = ( dv dt On en déduit : v 2 ) t + n.v t = dv R dt v = d ( ) v 2 dt 2 a v caractérise la nature accélérée ou retardée du mouvement : a v > 0 v augmente (mouvement accéléré). a v < 0 v diminue (mouvement freiné). Ceci est un résultat général (indépendant de tout repère) important. On peut rajouter quelques remarques sur les coordonnées : dans la base de Frenet (avec t dans le sens du mouvement), a t > 0 v augmente et a t < 0 v diminue. Ceci n est plus vrai si t n est pas dans le sens du mouvement (voir la remarque faite dans la fiche 7 - Utilisation dans les exercices) et le signe de a t ne donne alors aucune information. En revanche, ce qui est toujours vrai est que si le vecteur a t est dans le sens de v, le mouvement est accéléré, s il est dans le sens opposé de v, le mouvement est ralenti. a n > 0 donc le vecteur accélération est toujours dirigé vers l intérieur de la concavité.

20 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 26 Exercices d application : Application 1 : vecteur accélération 1. Les vecteur a et v peuvent-ils être disposés comme l indique la figure? 2. Le mouvement étant retardé, tracer correctement l allure de a. ne le peut pas. 2. Le mouvement est retardé donc a. v < 0. a doit être dans le quart de plan 1. Application 2 : mouvement plan Les équations horaires du mouvement d un mobile se déplaçant dans un plan muni d un repère cartésien (O, u x, u y ) sont (en unités SI) : x = 5t y = 3t 2 + 4t 1. Déterminer l équation cartésienne de la trajectoire. 2. Calculer l abscisse du mobile lorsque celui-ci repasse par l ordonnée y = Calculer la vitesse en ce point. 4. Déterminer les coordonnées du sommet de la trajectoire. 5. Déterminer le vecteur accélération, la norme de l accélération, l accélération tangentielle et l accélération normale. 6. Tracer la trajectoire dans le repère (O, u x, u y ). Corrigé : Corrigé : 1. a est toujours dirigé vers l intérieur de la concavité et 1. On exprime t en fonction de x à l aide de la relation : x = 5t t = x v est toujours 5. ( x ) 2 ( x ) tangent à la trajectoire. Ainsi, v peut être disposé comme sur la figure et Remplaçant dans y : y (x) = a 5 5 Finalement : y (x) = 3 25 x x Il s agit d une parabole, orientée à cause du signe négatif de 3 25.

21 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE Il faut résoudre : y (x) = x x = 0 ( 3 ) x 5 x = 0 x 5 = 0 ou 3 5 x + 4 = 0 x = 0 ou x = 20 3 La solution x = 0 correspond au point de départ. L abscisse cherchée est donc : x 1 = , 7 m 3. On peut trouver la vitesse en déterminant d abord l instant t 1 auquel le mobile est en ce point. Le plus simple est de résoudre : x 1 = t = 3 3 t = 4 3 = t 1 Les coordonnées de la vitesse sont : v x = 5 v. v z = 6t + 4 En t 1 : v x = 5 v (t 1 ) v z = = 4 Ainsi : v 1 = v (t 1 ) = ( 4) 2 = 41 6, 4 m.s 1 4. Le sommet S de la trajectoire est caractérisée par v y = 0 (parabole orientée : en S, y est maximal donc dy = 0 (la vitesse est horizontale)). Ainsi, dt il faut résoudre : v y = 0 6t + 4 = 0 t = 2 3 = t S Remplaçant dans les coordonnées x (t) et y (t) : x S = 5t S = 10 3 y S = 3t 2 S + 4t s = 4 3 1, 3 m 3, 3 m et On aurait pu aussi utiliser l équation de la trajectoire pour trouver ces coordonnées. En effet, au sommet : dy = 0. Ainsi : dx dy dx = x = x + 4 = 0 x = 5 3 = x S Remplaçant dans y (x) : y S = y (x S ) = 3 ( ) ( ) = = Par dérivation de v : a x = 0 a a y = 6 On constate que le vecteur accélération est constant. On en déduit directement : a = a = 6 m.s 2 Par définition : a t = dv dt. Or : v = ( 6t + 4) 2. Ainsi :

22 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 28 Finalement : a t = a t = d ) ( 25 + ( 6t + 4) 2 2 ( 6t + 4) ( 6) = dt ( 6t + 4) 2 36t ( 6t + 4) 2 On constate qu au sommet, a t = 0. En effet, la vitesse est minimale au sommet. On le voit aussi graphiquement car a. v < 0 avant S ( v diminue), a. v = 0 en S ( v minimale) et a. v > 0 après S ( v augmente). La norme de l accélération est donnée par : a = a = a 2 t + a 2 n. On en déduit : a n = a 2 a 2 t = Finalement : a n = = = ( 6t + 4) 2 (36t 24) ( 6t + 4) 2 36 ( 25 + ( 6t + 4) 2) (36t 24) ( 6t + 4) 2 (900 + ( 36t + 24) 2 ) (36t 24) ( 6t + 4) 2 On pourrait aussi déterminer l expression du rayon de courbure (qui n est pas constant) en fonction du temps, en utilisant la relation R = v2 a n. 6. To be continued...

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