On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2

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1 Exercce Lba 6 4 pots O cosdère u solde ADECBF costtué de deux pyramdes detques ayat pour base commue le carré ABCD de cetre I. Ue représetato e perspectve de ce solde est doée e aexe (à redre avec la cope). Toutes les arêtes sot de logueur. L espace est rapporté au repère orthoormé A ; AB, AD, AK. ) a) Motrer que IE. E dédure les coordoées des pots I, E et F. AI AC O applque le théorème de Pythagore au tragle AIE est rectagle e I AI IE AE IE IE IE car IE As les coordoées de I sot I, 5;, 5;, E, 5;, 5; b) Motrer que le vecteur est ormal au pla (ABE). et F, 5;, 5; A, B et E e sot pas algés doc AB et AE sot deux vecteurs o coléares du pla ABE., 5 Das le repère A ; AB, AD, AK, AB et AE, 5 Le repère est orthoormé doc AB. et AE., 5, 5 doc le vecteur est orthogoal a deux vecteurs o coléares du pla AEB doc le vecteur est ormal au pla AEB. c) Détermer ue équato cartésee du pla (ABE). Sot M x y z, o AM x y z M AEB AM. x y z y z doc ue équato cartésee du pla ABE est y z ) O omme M le mleu du segmet [DF] et N celu du segmet [AB]. a) Démotrer que les plas (FDC) et (ABE) sot parallèles. O va motrer que le vecteur est orthogoal a deux vecteurs o coléares du pla FDC

2 DF, 5, 5 doc DF, 5, 5 et DC DF et AC. doc le vecteur est orthogoal a deux vecteurs o coléares du pla FDC doc le vecteur est ormal au pla FDC Le vecteur est ormal au deux plas (FDC) et (ABE) ls sot doc parallèles. b) Détermer l tersecto des plas (EMN) et (FDC). M est le mleu de DF doc M appartet au pla FDC de plus M appartet au pla EMN doc M appartet à l tersecto des plas FDC et EMN E appartet aux plas ABE et EMN et N appartet aux plas ABE et EMN doc EN est l tersecto des plas ABE et EMN de plus ABE et FDC sot parallèles (questo (a)) doc l tersecto des plas FDC et EMN est la parallèle à EN passat par M. c) Costrure sur l aexe (à redre avec la cope) la secto du solde ADECBF parle pla (EMN). Exercce 4 pots Sur u court de tes, u lace-balle permet à u joueur de s etraîer seul. Cet apparel evoe des balles ue par ue à ue cadece régulère. Le joueur frappe alors la balle pus la balle suvate arrve. Suvat le mauel du costructeur, le lace-balle evoe au hasard la balle à drote ou à gauche avec la même probablté. Das tout l exercce, o arrodra les résultats à 3 près. Parte A Le joueur s apprête à recevor ue sére de balles. )Quelle est la probablté que le lace-balle evoe balles à drote? Chox du modèle : Sot X la varable aléatore qu compte le ombre de lacers à drote parm les lacers. Épreuve de Beroull: lacer d ue balle O ote succès le fat que la balle sot lacée à drote P S, 5 O cosdère que les lacers sot detques et dépedats. X compte le ombre de succès parm les répéttos doc X sut ue lo Bomale de paramètres et p, 5 Résoluto : P X, 5, 5, 76 à 3 ) Quelle est la probablté que le lace-balle evoe etre 5 et balles à drote? P 5 X P X P X 4, 58 à 3 Parte B

3 Le lace-balle est équpé d u réservor pouvat coter balles. Sur ue séquece de lacers, 4 balles ot été lacées à drote. Le joueur doute alors du bo foctoemet de l apparel. Ses doutes sot-ls justfés? et p, 5 o a : 3 et p 5 5 et p 5 5 doc o peut utlser u tervalle de fluctuato au seul de 95%, 5, 5, 5, 5 I, 5, 96 ;, 5, 96 sot I, 4;, 598 f, 4 I doc ses doutes e sot pas justfés au rsque d erreur 5%. Parte C Pour augmeter la dffculté le joueur paramètre le lace-balle de faço à doer u effet aux balles lacées. Elles peuvet être sot "lftées " sot "coupées ". La probablté que le lace-balle evoe ue balle à drote est toujours égale à la probablté que le lace-balle evoe ue balle à gauche. Les réglages de l apparel permettet d affrmer que : la probablté que le lace-balle evoe ue balle lftée à drote est, 4 ; la probablté que le lace-balle evoe ue balle coupée à gauche est, 35. S le lace-balle evoe ue balle coupée, quelle est la probablté qu elle sot evoyée à drote? O ote les évèemets suvats: G le lacer est à gauche D le lacer est à drote L le lacer est lfté C le lacer est coupé O peut modélser la stuato par l arbre suvat: avec P D L, 4 et P G C, 35 as P D L P D L, 4, 48 P D, 5 doc P D C, 48, 5 as P D C, 5, 5, 6 G et D forme ue partto de l uvers

4 doc P C P G C P D C, 6, 35, 495 as P C D P D C, P C, 495 Exercce 3 4 pots O cosdère la focto f défe sur l tervalle [ ; ] par : f x e x. Parte A ) Étuder le ses de varato de la focto f sur l tervalle [ ; ]. f est dérvable sur ; comme quotet, et composées, de foctos dérvables dot le déomateur e s aule pas. x ;, f x e x e x (o recoat ue dérvée de la forme u u u ) Or pour tout x ;, e x et e x doc pour tout x ;, f x doc f est décrossate sur ;. ) Démotrer que pour tout réel x de l tervalle [ ; ], f x e x e x (o rappelle que e e e ). Sot x ;, f x e x e x e x e x e x e x e 3) Motrer alors que f x dx l l e. Or tout x ;, f x e x e x e doc f est cotue, car dérvable, sur ; g est cotue sur doc elle admet des prmtves sur. f u u avec u x ex e. Or ue prmtve de u u est l u Doc les prmtves de f sur ; sot les foctos de la forme F x l e x e kavec k doc F défe sur ; par F x l e e x est ue prmtve de f sur ;. O a f x : dx l e e x l e e l e e l e l e l l e l doc f x : dx l l e Parte B Sot u eter aturel. O cosdère les foctos f défes sur ; par: f x e x. O otec la courbe représetatve de la focto f das le pla mu d u repère orthoormé. O cosdère la sute de terme gééral u f x : dx. ) O a tracé e aexe les courbes représetatves des foctos f pour varat de à 5. Compléter le graphque e traçat la courbec représetatve de la focto f.

5 Pour tout x ;, f x ) Sot u eter aturel, terpréter graphquemet u et précser la valeur de u. et e x doc e x Comme f est cotue et postve sur ; avec alors u est l are, e utés d are de la surface comprse etre la courbe C, l axe des abscsses et les drotes d équato x et x. 3) Quelle cojecture peut-o émettre quat au ses de varato de la sute u? Démotrer cette cojecture. Il semble que la sute u sot décrossate. N, u u f x f x dx par léarté de l tégrale. e dx x e x e x e x e x e x dx e x e x e x dx Or pour tout x ;, e x et e x e x doc par postvté de l tégrale ( ) o a : u u et la sute u est décrossate. 4) La sute u admet-elle ue lmte? la sute u est décrossate est morée par (d après la questo.) doc la sute u est covergete. Exercce 4 5 pots Pour chacue des affrmatos suvates, dre s elle est vrae ou fausse e justfat la répose. U pot est attrbué par répose exacte justfée. Ue répose o justfée e sera pas prse e compte et l absece de répose est pas péalsée. Sur le schéma c-dessous o a représeté la courbe de desté d ue varable aléatore X qu sut ue lo ormale d espérace. La probablté que la varable aléatore X sot comprse etre et, 6 est égale à, 34. Affrmato : La probablté que la varable aléatore X appartee à l tervalle 3, ; vaut evro,46. O a (par symétre de la courbe par rapport à la drote d équato x ), P 8, 4 X, 6, 34, 68 or pour X ue varable aléatore suvat ue lon,, P X, 68 doc, 6 doc X sut ue lo ormalen,, 6 la calculatrce doe P X 3,, 3 l affrmato est fausse. Sot z u ombre complexe dfféret de. O pose : Z z z. Affrmato : L esemble des pots du pla complexe d affxe z tels que Z est ue drote passat par le pot A( ; ). sot z u ombre complexe dfféret de et sot M u pot du pla d affxe z (le pla est rapporté à u repère orthoormé), O le pot d affxe et B le pot d affxe

6 Z z z et z z z et z z z et z OM BM M appartet à la médatrce que segmet OB de plus OA AB doc la médatrce passe par le pot A L affrmato est vrae. Affrmato 3 : Z est u magare pur s et seulemet s z est réel. sot z u ombre complexe dfféret de, o pose z x y avec x et y deux ombres réels. Z z x y y x x y z x y x y Z y x x y x y sa parte magare est ulle) as Z est magare pure y et x y y L affrmato 3 est vrae. Sot f la focto défe surrpar : y x xy x x y x y Z est magare pure s sa parte réelle est ulle (de même réel s f x 3 4 6e. x Affrmato 4 : L équato f x, 5 admet ue uque soluto surr. f x 3 4 6e x 4 6e x 6 e x 3 x l x 3 l L affrmato 4 est vrae. Affrmato 5 : L algorthme suvat affche e sorte la valeur, 54. La valeur affchée est la valeur approchée par excès au cetème de la soluto de l équato f x, 5 c est à dre la valeur approchée par défaut au cetème de l 3 c est à dre. 55 L affrmato 5 est fausse. Exercce 5 5 pots O cosdère la sute z de ombres complexes défe pour tout eter aturel par : z z z 5 Das le pla rapporté à u repère orthoormé, o ote M le pot d affxe z. O cosdère le ombre complexe z A 4 et A le pot du pla d affxe z A. ) Sot u la sute défe pour tout eter aturel par u z z A. a) Motrer que, pour tout eter aturel, : u u. Sot N, u z 4 z 5 4 z et u z 4 z doc z u

7 b) Démotrer que, pour tout eter aturel :. a. u 4. Par récurrece Pour eter aturel, o otep : "u Italsato : u z z A 4 4 et " doc u 4 doc la proprétép est vrae. Hérédté : Sot p u eter aturel fxé tel que u p u p u p d après la questo (a) doc u p doc u p p 4 p 4 carpp est vrae p 4 doc la proprétép p est vrae. Cocluso : La proprétép est vrae et la proprétép est hérédtare doc pour tout eter aturel, u 4 ) Démotrer que, pour tout eter aturel, les pots A, M et M 4 sot algés.. Sot u eter aturel, AM a pour affxe z z A u 4 et AM 4 a pour affxe 4 4 z 4 z A u doc AM 6AM 4 et le pots A, M et M 4 sot algés. 4

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