Exercices, feuille 2 Contraintes simples, loi de Hooke

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1 Paris 7 PH MÉCANIQUE DES MILIEUX DÉFORMABLES Exercices, feuille 2 Contraintes simples, loi de Hooke 1 Extension simple Soit un fil d acier doux : module de Young E 200GPa, contrainte de rupture c n rupt 400MPa, section A = 1 mm 2, longueur au repos L = 1m. 1. Ordres de grandeurs pratiques : calculez la valeur de la contrainte de rupture en kgf mm 2, ainsi que la charge de rupture de ce fil en extension. 2. Calculez l allongement (relatif) du fil, a, sous l effet d une charge de 100 N. 3. Calculez l élongation L du fil. 2 Plomberie On se demande quelle est la valeur de la pression effective que peut supporter un tuyau de cuivre. Les caractéristiques du cuivre sont : module de Young E 140 GPa, contrainte admissible c n adm 21 MPa. Le diamêtre (disons intérieur) du tuyau est D = 2 cm et l épaisseur de la paroi e = 1 mm. Pour analyser les forces intérieures dans la paroi du tuyau soumis à la pression effective p du fluide qu il contient, on imagine de le couper par un diamêtre, dans le sens de la longueur, et de ne considérer qu une longueur l de l une des deux moitiés de tuyau. Soient N et T les composantes normale et tangentielle de la résultante des forces exercées par la moitié ôtée sur une coupure de la moitié gardée. 1. En considérant, par réaction, les forces exercées par la moitié gardée sur la moitié ôtée, que pouvez-vous dire de la composante tangentielle T? 2. À l aide de la condition d équilibre de la moitié gardée, établir la relation entre la composante normale N et la résultante des forces de pression sur la paroi gardée. 3. Les forces de pression. i) Établir l expression de la force de pression sur un élément d aire de la paroi. En déduire l expression de sa composante normale au plan de coupure. ii) Montrez que cette composante normale peut s exprimer en fonction de l aire de la projection de l élément sur le plan de coupure. iii) En déduire l expression de la résultante des forces de pression exercées sur la paroi de la moitié gardée. 4. Détermination de la contrainte. i) En déduire l expression du module de la composante normale N de la résultante des forces exercées par la moitié ôtée sur une coupure de la moitié gardée. ii) En déduire enfin l expression de la contrainte d extension moyenne dans la paroi du tuyau. iii) En déduire les expressions de l élongation de la circonférence du tuyau puis de l élongation du diamêtre. 5. Calculez la pression maximale admissible dans le tuyau et l élongation du diamêtre correspondante.

2 2 Mécanique des Milieux Déformables, PH314 Paris 7 3 Contrainte variable Une longueur L de fil d acier, section d aire A = 1 mm 2, pend sous l effet de son propre poids. Caractéristiques de l acier doux : module de Young E 200GPa, limite élastique c n élast 300MPa, masse volumique ρ 7,8 tm Établir l expression de la contrainte normale c n (z) sur la section du fil à l altitude z au dessus de son extrémité inférieure. (Toujours le même truc : couper le fil à l endroit où l on se pose la question, et n en garder qu un des deux morceaux.) 2. Établir l expression et calculer la valeur critique de la longueur L pour laquelle la limite élastique est atteinte dans le fil. 3. La section qui, à vide (sans charge), serait à l altitude z, se trouve, en charge (sous l effet du poids ici) déplacée en z + u(z). La fonction u(z) est appelée déplacement (du point qui, à vide, serait ou était en z). i) Soit, à vide, la rondelle d épaisseur dz, comprise entre les sections z et z+dz. Calculez l élongation, puis l allongement (relatif), de l épaisseur de la rondelle lors du déplacement u(z). ii) Grâce à l expression de la contrainte c n (z) et compte tenu de la loi de Hooke, en déduire une équation différentielle pour u(z), et enfin la solution u(z) elle-même. iii) En déduire l élongation d un fil à la longueur critique. 4 Solide d égale résistance 1. Un poteau constitué d un matériau de masse volumique ρ a une section dont l aire A(z) varie, à forme identique, en sorte que la contrainte de compression c n soit constante. i) Écrire la condition d équilibre d une tranche fine. ii) En déduire l équation différentielle que doit satisfaire l aire A(z), puis sa solution. iii) En déduire l expression d une dimension D(z) caractéristique de la section à l altitude z. 2. Une pile de viaduc haute de 50m doit supporter une charge de 1,5MN. La pile est en béton, ρ = 2,4tm 3 et on fixe la contrainte à 2 MPa (le béton admet, en compression, une contrainte de 16 MPa, mais la pile doit rester stable au flambage). Calculer l aire de la section au faîte de la pile et au pied de la pile. 3. Vue de (très) loin, la tour Eiffel a l aspect d un solide homogène! i) Vérifiez que son profil est à peu près celui d un poteau d égale résistance. ii) Évaluez la masse volumique ρ h et la contrainte de compression c h dans ce modèle homogène. iii) Vue de plus près, cette tour est composée de fer (ρ f 8 g cm 3 )... et de beaucoup d air. Supposant que la tour a été conçue en sorte que la contrainte de compression dans le fer, c f, soit constante, évaluez cette contrainte.

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