5 ème partie Dynamique d un ensemble de particules

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1 5 ème parte Dynamque d un ensemble de partcules Notes de cours de Lcence de A. Coln de Verdère On a surtout dscuté dans les partes précédentes de la dynamque d un seul corps. L nteracton de ce corps avec les autres corps état prse en compte par une force ou une énerge potentelle (foncton de la poston de la seule partcule consdérée). L hypothèse sous jacente état donc que le mouvement du corps étudé ne modfat pas vrament les autres corps avec lequel l nteragssat. Mas c est l objet de ce chaptre de consdérer le cas plus réalste de la dynamque d un ensemble de N partcules en nteracton. Comme on peut le concevor, des dffcultés calculatores assez consdérables apparassent et la plupart des applcatons consdéreront le cas N =. Nous allons vor qu l y a un pont partculer, le centre de masse, dont la dynamque se ramène à celle d une partcule affectée de la masse totale du système. S on consdère les mouvements relatfs de deux partcules, on vot qu elles peuvent s approcher/s élogner l une de l autre mas auss tourner l une autour de l autre. Pour analyser cette rotaton, une quantté nouvelle va être ntrodute : le moment cnétque (angulare). Une applcaton partculère mportante concerne la dynamque des corps rgdes dont les partcules consttutves ne peuvent subr que des translatons ou des rotatons mas ne s élognent pas n ne se rapprochent (la dstance entre deux ponts du corps est constante). Mouvement du centre de masse d un ensemble de partcules Sot un ensemble de N partcules de masse m et de vtesse v observées depus un référentel nertel. La quantté de mouvement totale de ces N partcules s écrt : P =! p = et la masse totale M : M =! m " m v Consdérons mantenant le mouvement d une partcule fctve affectée de la quantté de mouvement totale P et de la masse totale M. Sa vtesse v c obét à : M v c = P ou encore: v c = Σ m v /Σm Mécanque Physque (S) 5 ème parte page

2 Cette partcule est le centre de masse du système pusque v c n est pas autre chose que la vtesse du centre de masse r c = Σ m r /Σ m (déjà rencontré en Statque). () S le système des N partcules est solé, l n y a pas de forces extéreures. Chaque partcule en nteracton obét à la ème lo de Newton et ans la quantté de mouvement de la partcule évolue comme : d dt p = ou F k est la force exercée par la partcule k sur la partcule et la somme est effectuée sur l ensemble des partcules k. S mantenant on somme la relaton précédente sur l ensemble des partcules on obtent le taux de changement de la quantté de mouvement totale : " k F k d dt P = " " F k k Cette double somme est assez mpressonnante mas elle s estme très faclement avec la 3 ème lo. En effet, chaque fos que l on rencontre le terme F k, on peut lu assocer le terme F k qu vaut - F k d apres la 3 ème lo. Ans la double somme estmée en groupant les pares en nteracton est nulle. La contrbuton des forces ntéreures est nulle. On en dédut que la quantté de mouvement totale P est constante et que le centre de masse se déplace à vtesse unforme dans un référentel nertel. On peut alors chosr ce centre de masse d un système solé comme référentel nertel et dans ce repère P = 0 (pusque v c = 0). Ce repère lé au centre de masse va être d une grande utlté. () Consdérons mantenant le cas d un système non solé. Sot le système S que nous consdérons et un autre système S avec lequel les partcules de S peuvent auss nteragr. Supposons que la réunon de S et S sot solée. S S pourrat être par exemple le système solare et S le reste de l unvers. Comme la quantté de mouvement totale de S + S est conservée, on a : S Sot en dérvant par rapport au temps : P = " { p + " p j { = cste P S P S' d dt P S = " d dt P S' L nteracton entre les deux systèmes S et S est donc caractérsée par un échange de quantté de mouvement. Mécanque Physque (S) 5 ème parte page

3 On va écrre : d dt P = F (5.) S ext où F ext est par défnton la résultante des forces «extéreures» exercée sur S par les partcules de S. Comme précédemment les forces «ntéreures» entre deux partcules et k du système S obéssent au prncpe d acton et reacton de sorte que la somme de ces forces ntéreures sur toutes les partcules du système S est dentquement nulle et ne peuvent donc changer la quantté de mouvement totale P S. S on ne s ntéresse qu au mouvement d ensemble d un objet consttué de dfférentes partes, (5.) nous fournt l équaton d évoluton du centre de masse de l objet qu se résume à l équaton du mouvement d une partcule mas affectée de la masse totale : M d dt v c = F ext (5.) Cette forme de la eme lo a été de fat utlsée précédemment. Est ce que toute la dynamque du système S est contenue dans 5.? Evdemment non. Ic on lance en l ar une raquette de tenns. Le mouvement du centre de masse C est donc celu d une partcule dans un champ de gravté supposé constant sot une parabole. Dans la plupart des exemples la gravté g est supposée constante et le pods est auss égal à celu d une partcule de masse M stuée au centre de masse C qu se confond alors avec le centre de gravté. Lorsque ce n est pas le cas, centre de masse et centre de gravté dffèrent. Vor parte «Gravtaton». Sur le dessn on vot que tous les ponts de la raquette ne se déplacent pas comme le centre de masse, car l y a auss une rotaton de la raquette autour de C. Mas s on ne s ntéresse pas à cette rotaton, le mouvement du centre de masse est dentque avec celu d une partcule de talle nfntésmale. Les sauts pérlleux d un plongeur et autres vrlles du sk acrobatque ne dovent pas nous fare oubler que le centre de masse du skeur est toujours contrant à se déplacer sur la parabole détermnée par son vecteur vtesse ntale au moment précs où l qutte le trempln. On peut auss consdérer la stuaton d une promenade à bcyclette à vtesse constante. Le centre de masse décrt ben une drote mas pour autant le mouvement de certanes partes du système sont ben dfférentes de celle du centre de masse. Regardez la trajectore dans l espace d un pont de la roue pour vous en convancre. Le cas de deux partcules m Consdérons le cas partculer dt «à deux F F corps» pour N =. Supposons qu l n y at pas de forces extéreures de sorte que le système consttué de ces deux partcules est r r solé. 0 m Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 3

4 Pour chaque partcule et, on a : dv dt = F m dv dt = F m En soustrayant et en utlsant le fat que F = - F : d (v ) = ( + ) F dt m m où v = v v est la vtesse relatve de par rapport à. On appelle µ la masse rédute telle que : = µ m + m dv l expresson précédente donne : µ = F (5.3) dt Mas l y a auss conservaton de la quantté de mouvement totale P=m v +m v. S on chost comme repère nertel le centre de masse C des deux partcules alors P=0. On peut alors calculer v et v en foncton de v : v = m m + m v m v = " v m + m (5.4) Note : supposons que la partcule (un morceau de crae, un satellte, la lune) sot très pette devant l autre (par exemple la terre), alors m /m << et on vot que ne bouge quasment pas v << v et d autre part v v et µ m. Le mouvement de la grosse masse est néglgeable et c est fnalement la lmte que l on a utlsé dans toutes les applcatons jusqu'à présent. Mas le cas général avec 5. montre que «le mouvement relatf des deux partcules (par rapport au référentel nertel du centre de masse) est équvalent à celu d une seule partcule soumse à la force d nteracton dont la masse est la masse rédute.» Une fos ce problème résolu on détermne les vtesses de chaque corps avec 5.4 et donc leur postons. Les applcatons mportantes de ce résultat concernent notamment l nteracton de deux corps en nteracton gravtatonnelle.. Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 4

5 Applcatons de la conservaton de la quantté de mouvement Collsons Une applcaton majeure des résultats précédents concerne les collsons. Une collson arrve quand deux objets se rentrent dedans : boules de bllards, marteau-clou, automobles, balles de tenns sur une raquette, météores qu s écrasent sur la terre. Par alleurs toute la compréhenson du monde des partcules sous-atomques provent d expérences de collsons entre partcules élémentares (électrons, protons, neutrons, etc...). On se rend compte dans tous ces exemples qu une collson est assocée avec des forces mportantes entre deux objets mas qu durent très peu de temps. Consdérons partcules G et D en collson : D G F(t) -F(t) La partcule G crée une force F(t) sur D et D une force F(t) sur G en vertu de la 3 ème lo. Ces forces vont changer la quantté de mouvement de chaque objet mas sans changer la somme pusque ce sont des forces ntéreures lorsque l on consdère le système des deux partcules. Ans : p G + p D AVANT = p G + p D APRES Cette conservaton de la quantté de mouvement est le concept central dans l étude des collsons. S on consdère le changement de quantté de mouvement de D lors de la collson, la ème lo nous dt : dp = F(t) dt t p fnal p ntal =! f F(t) dt t L ntégrale à drote défnt l mpulson I : t I =! f F(t) dt S F(t) vare comme sur la fgure, on vot que l mpulson est l are sous la courbe. S Δt est la durée de collson, la force moyenne est : t F F moyenne Δt = I. Ans la varaton de quantté de mouvement est elle égale à l mpulson : "p = I I Δt t Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 5

6 relaton vectorelle qu est juste l ntégrale de la ème lo sur le temps de collson. Example : Consdérons une raquette de tenns frappant une balle au servce. S la balle de masse m (= kg) part à v ( = 50 m s - sot 80 km h - ) et que le temps de collson Δt est estmé à s, on peut estmer la force moyenne comme mv/δt. S la courbe c dessus est représentée par un trangle de sommet F max et de base Δt, vous pouvez obtenr une estmaton de la force maxmale lors de la frappe F max = mv/δt (= N) sot deux fos la force moyenne. On a néglgé c le pods de la balle. Pourquo? Nous allons consdérer des collsons pour des systèmes solés (pas de forces extéreures ) et clos (pour lesquels la masse est conservée). On ne trate pas de la collson proprement dte du fat de l gnorance des forces de contact lors du choc (notamment la durée du contact). Mas en vertu du Prncpe d acton et de la réacton, les forces exercées sur un corps sont égales et opposées aux forces exercées sur l autre corps et le premer élément dont on peut se servr est donc la conservaton de la quantté de mouvement totale du système en nteracton avant et après la collson. Ben sûr l énerge totale est auss conservée pusque c est un des prncpes de base de la Physque. Mas cette énerge change de forme au cours du choc. L expérence de collsons entre deux votures montre clarement que des formes d énerge autres que cnétques sont produtes (énerge sonore, énerge potentelle élastque, énerge nterne, énerge chmque). Lorsqu une balle en caoutchouc frappe un mur, on s aperçot que la drecton de la vtesse a changé avant et après le choc mas que le module lu n a pas beaucoup varé, ce qu semble ndquer que l énerge cnétque sot conservée. Pendant le choc, elle s annule et se transforme en énerge potentelle élastque (comme celle du ressort) mas elle est resttuée après le choc. S donc l énerge cnétque totale des corps en nteracton est conservée, on parlera alors de collson élastque. S vous fates tomber une balle de png-pong sur une plaque de marbre, elle remonte presque à sa hauteur ntale, ce qu ndque qu l y a conservaton d énerge cnétque avant et après contact sur le sol et que la collson est élastque. S vous fates la même chose avec un bout de mastc, le mastc colle à la plaque sans rebonds et on parlera d une collson complètement nélastque. L énerge cnétque a alors été transformée ntégralement en énerge nterne. S on consdère des blles se déplaçant sans frottement apprécable sur un plan horzontal, l y a des forces extéreures, le pods et la réacton du plan mas ces forces sont équlbrées dans la drecton vertcale de sorte que la collson entre deux blles peut être analysée avec les concepts développés c. Le cas des collsons à une dmenson est assez smple à trater car on regarde ce qu se passe dans une seule drecton. Exemple : collsons nélastques à une dmenson: Avant m v m v x Après m v f m v f La conservaton de la quantté de mouvement selon x donne : m v + m v = m v f + m v f Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 6

7 S on ne connaît que l état ntal, cette relaton ne sufft pas à détermner l état fnal. S la collson est complètement nélastque, les deux corps sont collés après la collson et v f =v f : m v + m v = (m + m ) v f Note: Connassant v f, vous pouvez estmer l énerge cnétque qu est perdue dans la collson. On trouve: "E c =# m m ( v #v ), ndquant le défct (<0) après collson. m +m Exemple : collsons élastques à une dmenson : Dans ce cas en plus de la relaton précédente de conservaton de la quantté de mouvement, on peut également écrre la conservaton de l énerge cnétque : m v + m v = mvf + m v f On peut re-écrre la conservaton de la quantté de mouvement : m (v v f ) = - m (v v f ) et la conservaton de E C devent: m (v v f )(v + v f ) = - m (v v f ) (v + v f ) En dvsant la deuxème par la premère, on obtent le résultat assez remarquable : v v = v f v f qu sgnfe que la vtesse relatve des deux partcules après le choc est égale et opposée à la vtesse des deux partcules avant le choc. À partr de cette relaton et de la conservaton de la quantté de mouvement, on peut en dédure faclement v f et v f : # v f = m " m v + m v % m + m m + m $ % v f = m v + m " m v &% m + m m + m Note : le cas où la blle est au repos et fat offce de cble est très ntéressant, donc v = 0. -Supposons deux blles d égale masse et la blle au repos. On vot mmédatement que les blles échangent leur vtesse. -S mantenant m << m (le cas d une balle qu rebondt sur un mur), les relatons c dessus montrent que la balle rebondt avec une vtesse égale et opposée (alors que la cble ne bouge pas). -S encore m >> m (un projectle «bras + raquette de tenns» massf frappant une balle légère quas-mmoble), on vot que v f ~ v et que v f ~ v ndquant que la balle part à deux fos la vtesse de la raquette (+ bras). Le cas de collson à deux dmensons se trate de façon smlare sauf que la conservaton de la quantté de mouvement donne mantenant deux équatons selon les axes orthogonaux x et y. On a donc une relaton de plus mas deux nconnues de plus, les deux composantes des Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 7

8 vtesses fnales selon l axe y. Des données supplémentares sur l observaton de la collson sont nécessares pour calculer l état fnal. Les calculs sont plus complexes, mas la physque est exactement la même. Par contre la rchesse des trajectores des boules de bllard, de tenns ou de png-pong est due aux effets, les rotatons propres des boules qu l faut également prendre en compte et ça devent très complexe. Propulson d une fusée nterplanétare S la fusée est lon de toutes planètes, les forces gravtatonnelles sont néglgeables (ans que toutes autres forces de frottement dues à une atmosphère). Comme l n y a pas de corps externe sur lequel s appuyer pour créer une force, la fusée éjecte des gaz brûlés à l arrère avec une grande vtesse qu vont permettre la propulson vers l avant. La queston posée par Feynman (Feynman s tps for Physcs) : la fusée peut elle attendre une vtesse supéreure à la vtesse d éjecton du gaz? On chost un repère nertel, le solel par exemple. A l nstant t, la fusée de masse m va a la vtesse v. Pendant l ntervalle de temps dt, une masse de gaz -dm est éjectée à une vtesse v. La vtesse acquse par la fusée est v+dv et sa masse est m+dm (avec dm<0). Comme l n y a pas de force extéreure, la quantté de mouvement est conservée. m v -dm v m+dm v+dv A l nstant t, la quantté de mouvement du système vaut p(t)=mv et à t+dt, la quantté de mouvement du système de même masse dot comprendre celle de la fusée et celle du gaz éjecté : En écrvant p(t)=p(t+dt) on obtent : gaz éjectés p(t+dt)=(m+dm)(v+dv) dmv dm (v+dv-v )+m dv=0 C est ntéressant de fare apparaître la vtesse relatve du gaz dans le référentel de la fusée à t+dt sot v R = v - (v+dv) et on obtent l équaton des fusées : m dv = v R dm Et s on projette cette relaton vectorelle sur un axe x dans la drecton du mouvement de la fusée (v R est drgée vers l arrère quand la fusée accélère vers l avant): m dv = -v R dm (5.5) Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 8

9 et s on dvse par dt on obtent la eme lo de Newton pour la fusée : m dv dt = "v dm R = F (5.6) dt A drote on a donc la force postve F accélérant la fusée, produt de la vtesse du gaz par le débt de masse dm/dt. S ce débt est constant (=µ) alors m(t)=m 0 - µt et on peut obtenr v(t) en ntégrant 5.6. Mas en fat 5.5 permet d avor drectement la vtesse en foncton de la masse car: dv = "v R dm m La vtesse de la fusée entre un nstant ntal (où v=0) et fnal est donc: F dm v = "v R # m = v R ln( m I ) m F I On vot que v ne dépend que de la vtesse d éjecton des gaz et augmente au fur et à mesure que m dmnue pusque la fusée perd régulèrement de la masse par éjecton des gaz brûlés. La fusée peut alors attendre une vtesse supéreure à la vtesse des gaz éjectés. Lorsque la masse fnale n attent plus que le dxème de la masse ntale, v = v R ln(0)=.305 x v R, un peu plus de fos la vtesse des gaz, auss surprenant que cela parasse. En pratque, cette propulson n est utlsée que brèvement, la plupart du temps la fusée se déplaçant à vtesse constante en lgne drote en applcaton de la ère lo. Le moment cnétque (ou angulare) Nous avons déjà vu le moment d une force par rapport à un pont. Ic nous défnssons le moment angulare d une partcule stuée en M par le moment de sa quantté de mouvement par rapport à O: J = r p (5.7) où le pont O est l orgne du repère nertel et donc le vecteur poston r = OM. Ans J se calcule en utlsant les proprétés du produt vectorel déjà vues. En partculer J=0 s r//p de sorte qu un moment cnétque non nul sgnfe que la partcule tourne autour de O. La drecton de J est perpendculare au plan défn par r et p et son module vaut J = p. r.snθ avec θ l angle entre r et p. S la partcule est soumse à une force F applquée en M, le moment τ de cette force par rapport à O est : τ = r F et la queston est évdemment : Exste-t-l un len entre J et τ? En dérvant (5.) par rapport au temps : p M r O J Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 9

10 J & = ṙ p + r p& (dérvée d un produt) mas le premer terme est nul car r& c est v et v // p. La ème lo peut s écrre : p& = F, de sorte que : J & = τ (5.8) La dérvée du moment cnétque (on dt auss angulare) est égale au moment de la force. Pour changer le moment cnétque, l faut un moment de force. En l absence d un tel moment de force, le moment angulare de la partcule est conservé. Ce sera le cas s la force F est drgée selon le vecteur poston r. Note : partcule se déplaçant sur un cercle : v r et donc le module de J = m r v = mr ω. C est le produt de ce qu on appeler le moment d nerte mr et de la vtesse angulare ω. S la seule force est centrpète, alors J = constante. Cette dee se généralsera au cas d un solde de forme arbtrare. S on consdère mantenant un nombre arbtrare de N partcules, le moment cnétque total s écrt : J =! m r v La valeur de J dépend du pont O que l on prend comme orgne pour fare les produts vectorels mas l est ntéressant de fare apparaître le centre de masse r c : J = " m (r # r c ) $ v + m r c v où r - r c = r est la poston de la partcule par rapport au centre de masse et donc : J = J c + r c " P (5.9) J est ans la somme du moment cnétque calculé par rapport au centre de masse et du moment cnétque (par rapport au pont O chos) du centre de masse affectée de la quantté de mouvement totale P. Mantenant s on somme une équaton comme (5.6) valable pour chaque partcule on aura l évoluton du moment cnétque total en réponse à la somme des moments. Ic encore l est mportant de fare la dstncton entre couple de forces ntéreures et extéreures. Prenons juste un système solé de deux partcules et pour smplfer. Alors la somme des moments des forces ntéreures s écrt : r F + r F = (r - r ) F en vertu de la 3 ème lo. Sous une hypothèse de forces centrales (cad drgées selon la drecton jognant les postons et ), on vot que le moment résultant est nul. S on a un nombre arbtrare de partcules, on peut les grouper par pares et : J = 0 ou J = const. Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 0

11 Seul le moment des forces extéreures au système peut changer le moment angulare total : J & =! ext (5.0) Note : S on chost l orgne O au centre de masse C, (5.7) et (5.8) ndque que : J & c =! ext (avec les moments mantenant calculés par rapport au centre de masse C) S la somme des forces extéreures détermne le mouvement du centre de masse, la somme des moments de ces forces calculées par rapport à C détermnera la rotaton autour de C. Cette relaton sera très utle pour analyser les rotatons des corps soldes rgdes. S la somme des moments des forces extéreures est nulle alors le moment angulare total est conservé. Ce sera le cas en partculer pour un système solé lorsque les forces sont centrales : s on néglge les forces exercées par le reste de la galaxe sur le système solare, les forces gravtatonnelles entre solel et planètes sont centrales et le moment angulare total (solel + planètes) est donc constant : J c = constant On sat que les orbtes des planètes changent un peu sur des dzanes de mllers d années mas pour autant le moment angulare total J c du système lu reste constant. L énerge du système est plus délcate à analyser car les forces ntéreures ont en général un traval non nul. On montre que ce traval des forces ntéreures (lorsqu elles sont conservatves) s exprme au moyen de la somme U nt des énerges potentelles des pares ndvduelles : W nt = - Δ U nt et sous l effet d un traval de forces extéreures, on écrra : W ext = ΔE c + ΔU nt où E c =! m v est l énerge cnétque totale. Le cas partculer d un corps rgde Les résultats précédents qu gouvernent la dynamque d un ensemble de partcules en nteracton s applquent évdemment auss au cas d un corps rgde. La seule modfcaton est que les dstances relatves entre les dfférentes partcules du solde rgde sont constantes. Les possbltés de mouvement sont beaucoup plus restrentes. En plus de la translaton capturée par le mouvement du centre de masse, le solde peut tourner sur lu-même. On va se lmter dans cette ntroducton au cas d un solde en rotaton autour d un axe fxe. L hypothèse pour un corps rgde est de dre que le traval des forces ntéreures est nul. On ne peut pas le démontrer proprement mas l observaton est en accord avec cette hypothèse. Mécanque Physque (S) 5 ème parte page

12 La fgure montre un solde tournant à la vtesse angulare ω autour d un axe fxe Δ (selon Oz). On va trouver le moment angulare total J en sommant les moments angulares élémentares de pettes masses Δm. Celles-c se déplacent sur un cercle de rayon R. Ic le vecteur rotaton ω est selon Oz. Comme la vtesse v = ω r, l angle entre p (ou v ) et r vaut π/. Ans le module du moment cnétque J de la partcule de masse Δm vaut-l : J = r p = r Δm v Δm r x R θ z O p y La composante selon Oz de J est : z J z = J sn θ = r sn θ Δm v Mas r sn θ = R est le rayon du cercle décrt par Δm et donc : J z = R Δm v. p r θ π/-θ J Mas comme v = ω R, on peut encore écrre : J z = Δm R ω O et s on fat la somme sur toutes les masses Δm composant le solde : J z = ω!" m R La quantté I z =!" m R est appelée moment d nerte du corps autour de l axe Oz ; c est une quantté qu ne dépend que de la dstrbuton géométrque des masses ; on écrt alors le moment cnétque d un corps rgde autour de l axe Oz : J z = I z ω en se rappelant que J z est la composante du vecteur moment angulare le long de l axe de rotaton et que I z est le moment d nerte par rapport à cet axe de rotaton. Notes :. La démonstraton fate là est ndépendante du pont O sur l axe et le résultat une proprété assocée au seul chox de l axe de rotaton.. S l axe de rotaton Δ est un axe de symétre du solde, le vecteur moment cnétque est drgé le long de Δ. (Fare la somme des moments cnétques de deux partcules placées symétrquement par rapport à Δ). Mantenant s on applque la relaton 5.0 au corps rgde, on trouve : Mécanque Physque (S) 5 ème parte page

13 J d" z = I z dt = # z ext (5.) (5.) est l analogue de la ème lo de Newton pour un corps rgde tournant autour d un axe fxe. Voc les correspondances entre la vson translaton et rotaton de la ème lo: m I z v ω F τ Elles sont utles pour comprendre physquement comment on met en rotaton un corps solde. La résstance à la mse en rotaton est assocée au moment d nerte. Il est facle (dffcle) de mettre en mouvement un corps dont les masses sont stuées près (lon) de l axe de rotaton. Notes :. Cette relaton 5. a une hypothèse sous-jacente qu est que le moment des forces ntéreures au solde est nul. On a vu que c est vra s les forces ntéreures sont centrales mas c est donc une hypothèse supplémentare. Mas les conséquences de 5. sont en accord avec les observatons. On comprend tout de sute l exgence de l équlbre des moments vu en statque. S un moment resultant persste, (5.) nous dt que le corps se met mmédatement à tourner. De la même façon qu l exste un théorème de l énerge cnétque pour une partcule en translaton, on peut se demander s l exste un théorème comparable pour un corps en rotaton? Sot une force extéreure F agssant sur le corps. Le traval de cette force lorsque la partcule se déplace de ds est : δw = F ds = F t R dθ où F t est la composante tangentelle et Rdθ le déplacement de la partcule assocé avec la varaton dθ. Mas notez que τ z = F t R de sorte que le traval δw s écrt : δw = τ z dθ [Note : Ans la pussance P est-elle : P = "W "t = τ z ω] Le traval net effectué lorsque θ passe de θ à θ f est : W =! " f # " z dθ S on multple 5. par dθ et que l on ntègre entre l état ntal et l état fnal, on obtent : Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 3

14 f " # # I z d! dt " dθ = # f I z " d " = " I z! f " I z! I z! f " Iz! =W=! " f # " z dθ (5.) Volà le théorème de l énerge cnétque pour un corps solde en rotaton autour d un axe fxe. Le traval fat par le moment de F sur le corps en rotaton est égal à la varaton de l énerge cnétque du corps qu s exprme comme ½ I z ω. Notes. Cette forme partculère de l énerge cnétque d un corps en rotaton se retrouve faclement car s on fat la somme des énerges cnétques des masses Δm anmées de vtesse v on obtent : E c = " # m v = " # m R $ = I z$. La mécanque du pont est le vocable utlsé parfos pour désgner l ntroducton à la mécanque lorsque que l on ne s ntéresse qu à des partcules nfntésmales (on néglge alors leur rotatons). Ce serat assez réducteur que tout ce qu on a fat jusqu'à présent ne s applque qu à un gran de sable et vous avez remarqué qu assez souvent on a applqué la ème lo à des corps assez gros qu ne sont pas des grans de sable De fat on ne s est ntéressé qu aux mouvements de translaton du centre de masse du corps et on ne s est pas préoccupé des rotatons autour de ce centre de masse. Le mouvement d une partcule de talle quelconque peut se décomposer en une translaton du centre de masse et des rotatons autour de ce centre de masse. Une façon objectve de juger de leurs mportances relatves est de comparer l énerge cnétque de translaton à l énerge cnétque de rotaton, ce qu revent à comparer la vtesse de translaton v à ωd la vtesse de rotaton avec d la talle d un corps et ω sa rotaton. S une boule roule sans glsser sur un plan, les deux vtesses sont égales et le mouvement de rotaton de la boule est couplé au mouvement de translaton de son centre de masse (vor plus lon). Connassance des moments d nerte I z. S le corps rgde est contnu, on fat l hypothèse d homogénété, c'est-à-dre que la masse volumque ρ est constante en tout pont et l faut calculer une ntégrale de volume du type : I z =! R dm = ρ! R dv où dv est l élément de volume. Lorsque les corps présentent des symétres, ces ntégrales de volume ne sont pas trop dffcles à calculer mas ce n est pas l objectf de ce cours. On va smplement lster quelques moments d nerte de corps possédant des axes de symétre : Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 4

15 R Axe I = MR Anneau mnce crculare R Axe I = / MR Cylndre crculare Axe L I = / ML Tge mnce Axe R I = /5 MR Sphère plene Axe I = / MR Anneau mnce crculare Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 5

16 Lorsqu on connaît le moment d nerte pour un axe passant par le centre de masse, on peut faclement obtenr le moment d nerte par rapport à un autre axe parallèle au premer. L axe est perpendculare à la fgure. On prend un repère dont l orgne O est au centre de masse. Alors le moment d nerte par rapport à un pont P de coordonnées a et b s écrt : y O a h P b r dm x I = " r dm = " (x # a) + (y # b) dm = " (x + y )dm # a " x dm # b " y dm + " (a + b )dm Mas les deux ntégrales! x dm et! y dm donnent les coordonnées du centre de masse (fos la masse totale) et sont donc nulles, de sorte que : I = I CM + M h (5.3) où h est la dstance OP et I CM le moment d nerte par rapport au centre de masse. Exemple : La boule qu roule sur un plan nclné. N C est l expérence de Gallée et l s agt de détermner l accélératon de la sphère. On vot que le mouvement de celle-c est composée d une translaton vers les x > 0 du centre de masse et d une rotaton autour de ce centre de masse. La translaton du centre de masse est gouvernée par la ème lo : x y α mg F Sot sur l axe des x : mg sn θ - F = ma et sur l axe des y : N mg cos θ = 0 Pour la rotaton autour du centre de masse on utlse 5. applquée au centre de masse : F r = m r d! 5 dt car la force de frottement F est la seule dont le moment par rapport au centre de la sphère sot non nul. S la boule roule sans glsser sur le plan nclné, l y a évdemment une relaton cnématque entre la vtesse v d un pont sur la crconférence de la sphère et la vtesse angulare : v = ωr relaton qu restera vrae tant que la sphère ne glsse pas. En dérvant par rapport au temps, on dédut : Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 6

17 d! a = r dt et donc : F = 5 ma Avec l ade de la ème lo (sur Ox), on en dédut : a = 5 7 g sn θ Sot sgnfcatvement mons que l accélératon g snθ d un objet glssant sans frottement. La rotaton de la boule vent modfer l accélératon vers le bas. Ic le mouvement de translaton du centre de masse et le mouvement de rotaton autour de ce centre sont couplés. Gallée ne pouvat pas détermner la valeur de g par une expérence de ce type sans fare l analyse de la rotaton autour du centre de masse. S l avat fat l expérence avec un cylndre l aurat obtenu encore une valeur dfférente Sa contrbuton a été de montrer comment vtesse et déplacement varent dans le temps dans un mouvement à accélératon constante, ce qu reste le cas c. Notez c l mportance de la force de frottement F pour créer l accélératon angulare de la sphère. Elle vaut /7 mg sn θ et dot donc rester nféreure à µ S N pour qu l n y at pas glssement (µ S est le coeffcent de frcton statque). Exemple : L équlbrage des roues de voture. Imagnons un système de masses dsposées comme sur la fgure ; J est le moment cnétque, somme des moments cnétques des deux masses m et m. A cet nstant l est dans le plan de la page. Après un temps dt, le système a tourné de dθ = ω dt. Le moment cnétque a le même module mas sa drecton a tourné de dθ. Il s est créé une composante de J perpendculare à la page. D après 5.0 cec n est possble que s un moment de forces extéreures non nul s exerce. Il ne peut venr que de la réacton des supports de l axe (vor dessn). Ce sont ces réactons qu permettent au système de tourner : m -F r ω r J F m dj = τ ext dt Comme dj, est perpendculare à la page l en est de même de τ et le couple de forces dessné sur la fgure en résulte. En vertu de la 3 ème lo, l axe se déplace dans les drectons de F et va vbrer en tournant. C est l orgne des vbratons ressentes dans une voture dont les roues ne sont pas équlbrées. Pour équlbrer des roues, l faut donc que le moment cnétque J sot drgé selon l axe de rotaton (en vert). Pour ça on se sert de pettes masses addtonnelles que l on postonne sur la jante de la roue. Exemple 3 : Rotaton ndute par le mouvement du corps Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 7

18 La conservaton du moment cnétque est le fond de commerce de la danse sur glace, du sk ou du plongeon acrobatque. On s ntéresse c à des corps déformables car c est beaucoup plus démonstratf. Pour ntrodure le sujet, asseyez-vous sur un tabouret (tournant) avec haltères au bout des bras. Lorsque vous ramenez les haltères le long de votre corps, votre rotaton augmente. S le tabouret tourne sans frottement et s l n y a aucun couple agssant sur vous (pods et réacton passant par l axe de rotaton) alors le moment cnétque le long de l axe de rotaton est-l conservé : I ω = I f ω f et ω f = I I f ω I > ω f Par contre l énerge cnétque n est pas conservée comme vous pouvez le réalser en calculant ½ Iω. Comme l énerge augmente, l faut admettre que vous avez effectué un traval d orgne musculare pour ramener les haltères. Ans le traval des forces ntéreures au système n est-l pas nul c. Exactement la même physque se retrouve lorsque le patneur tourne de plus en plus vte lorsqu l ramène bras et jambe le long du corps. Le moment des forces extéreures est très fable s ses peds sont rapprochés. Inversement pour sortr d une rotaton rapde l lu sufft d écarter les bras. Ca devent très technque pour la compréhenson physque et sportvement lorsque des rotatons autour de deux axes dfférents sont possbles (sauts pérlleux et vrlles en sk, plongeon acrobatque). Example 4 : le gyrocompas S on arrvat à construre un système mécanque pour lesquels les moments des forces extéreures soent néglgeables, la conservaton du moment cnétque permettrat de donner une drecton constante dans l espace, celle du vecteur rotaton ω. Cec a été fat: le dsque tournant rapdement sur la fgure est mantenu par un système très ngéneux de pvots qu permet au dsque de prendre n mporte quelle orentaton dans l espace. Il faut auss mnmser les moments extéreurs dues aux frottements sur les pvots. Sur la fgure de drote, vous voyez ce dsque qu conserve sa drecton alors que dessous la terre tourne tranqullement. Cet objet donne une drecton fxe ndépendamment de la rotaton de la terre. C est le prncpe physque du gyrocompas (on parle auss de centrale à nerte) et c est une ade fondamentale à la navgaton. Feynman a tout une secton la dessus dans Feynman s tps on Physcs. Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 8

19 Mécanque Physque (S) 5 ème parte page 9