Chapitre 1 Suites de fonctions

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1 Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l lettre K désigne le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. On sit qu une suite (u n ) de nombres (d éléments de K) converge vers u (ou tend vers u ou pour limite (finie) u) si et seulement si : ε > 0, N ε tel que n, n N ε = u n u < ε. C est à dire si les points de l suite (u n ) sont, à prtir d un certin rng, tous ussi proche que l on veut de u. On sit ussi que l limite, si elle existe, est unique et on note: u = lim n u n = lim n u n. Vous svez ussi que si les limites de (u n ) et (v n ) existent, l limite de l somme (u n + v n ) est l somme des limites, l limite du produit (u n v n ) est le produit des limites etc... Dns ce chpitre, nous llons étudier non ps des suites de nombres mis des suites de fonctions, toutes définies sur un même ensemble E. Définition (Limite simple d une suite de fonctions) Si (f n ) (n = 0,, 2,...) est une suite de fonctions, toutes définies sur un ensemble E et à vleurs dns K, telle que, pour tout x de E, l suite (de nombres) (f n (x)) converge, on peut définir une nouvelle fonction de E vers K en posnt : f(x) = lim n f n(x) (x E). On dit lors que (f n ) converge vers f et que f est l limite ou l fonction limite de l suite (f n ). Plus précisément, on dit que l suite (f n ) converge simplement sur E ou que f est l limite simple de l suite (f n ) sur E. Le principl problème que nous llons border dns ce chpitre est le suivnt : supposons que chque fonction f n une propriété gréble, est-il vri que l fonction limite f ussi cette propriété? Pr exemple, si chque f n est continue, f est-elle continue, si les f n sont dérivbles, de dérivées f n, f est-elle dérivble et -t-on: f (x) = lim n f n(x)? si les f n sont intégrbles (u sens de Riemnn) sur [, b], f l est-elle et -t-on : f(x) dx = lim n f n (x) dx?

2 Tous ces problèmes se rmènent à un problème d échnge de limites. Pr exemple, dire que f est continue u point x 0, c est dire : lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Donc dire que l limite f de l suite de fonctions continues f n est continue u point x 0, c est écrire : lim f(x) = lim lim f n(x) = lim lim f n (x) x x 0 n n x x 0 x x 0 puisque cette dernière quntité est lim n f n(x 0 ) = f(x 0 ). L question est donc de svoir si l ordre dns lequel on clcule ces limites est importnt ou non. Nous llons d bord voir que cet ordre est en générl essentiel sur des exemples. 2. Contre-exemples Exemple Le premier exemple est une double suite. Posons : u n,p = p n + p (n =, 2,...; p =, 2,...). Alors, bien sûr, si n est fixé : Mis u contrire, si on fixe p, on : lim u n,p = et donc lim lim u n,p =. p n p lim u n,p = 0 et donc lim lim u n,p = 0. n p n On voit donc que l interversion des limites n est ps une ction nodine. Exemple 2 On définit les fonctions f n pr : f n (x) = x 2 n k=0 ( + x 2 ) k (x R, n =, 2,...). Alors f n (0) = 0 quel que soit n et donc l suite (f n (0)) tend vers 0. D utre prt, si x n est ps nul, l suite (f n (x)) est le produit pr x 2 de l somme des termes d une suite géométrique de rison +x 2. Cette somme converge donc et : f(x) = lim f n(x) = x 2 n = + x 2 (x 0). +x 2 Sur cet exemple, on voit que l suite de fonctions continues (f n ) tend vers une fonction f qui n est ps continue en 0. Exemple 3 2

3 Posons : f n (x) = sin(n2 x) n (x R, n =, 2,...). Alors l suite (f n ) tend simplement vers l fonction identiquement nulle : f(x) = lim n f n(x) = 0 x R. On voit que chcune des fonctions f n est dérivble, que f est ussi dérivble mis que l suite des fonctions f n : f n(x) = ncos(n 2 x) ne converge ps vers l fonction f. En effet, elle ne converge même ps sur R puisque pr exemple : lim n f n(0) = +, lors que f (0) = 0. Exemple Définissons l suite de fonctions (f n ) sur [0,] pr : f n (x) = nx( x 2 ) n (x [0, ], n =, 2,...). Si 0 < x, x 2 est strictement plus petit que et donc ( x 2 ) n tend vers 0 plus vite que n lorsque n tend vers l infini. On donc : f(x) = lim n f n(x) = 0 si 0 < x. D utre prt, f n (0) est toujours 0, l suite (f n (0)) tend donc ussi vers 0 et l suite (f n ) tend vers l fonction nulle. En posnt t = x 2, on : On donc : 0 lim n x( x 2 ) n dx = 0 0 t n dt [ ] t n+ t= 2 = = 2(n + ) t=0 n f n (x) dx = lim n 2n + 2 = 2 0 2n + 2. f(x) dx = 0. Tous ces exemples montrent qu il est impossible d échnger les limites sns précutions et qu on besoin d une notion de convergence plus forte que celle de l convergence simple pour pouvoir fire ces opértions. 3. L convergence uniforme Définition (Convergence uniforme) On dit qu une suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur E vers une fonction f si pour tout ε > 0, on peut trouver un nombre N (= N ε ) tel que dès que n est supérieur à N, pour tout x de E. f n (x) f(x) < ε, 3

4 Une suite de fonctions (f n ) qui converge uniformément vers f, converge ussi simplement vers f. Il y cependnt une différence importnte entre les deux notions: l suite (f n ) tend simplement vers f si on peut trouver pour chque x de E et pour chque ε > 0 un nombre N x,ε, qui (à priori) dépend à l fois de x et de ε tel que f n (x) f(x) < ε lorsque n dépsse N x,ε. Alors que le nombre N qui pprît dns l définition de l convergence uniforme ne dépend ps de x : c est le même qui convient pour tous les x. On peut ussi utiliser des quntificteurs : l différence entre l convergence uniforme et l convergence simple est lors une différence de plce de ces quntificteurs : Convergence simple de (f n ) vers f : x E, ε > 0, N (= N x,ε ) tel que n, n N = f n (x) f(x) < ε. Convergence uniforme de (f n ) vers f : ε > 0, N (= N ε ) tel que x E, n, n N = f n (x) f(x) < ε. Le x E s est déplcé! Pr exemple, l suite de fonctions définies sur [0,[ pr: converge simplement vers l fonction f : f n (x) = x n f(x) = 0 mis ps uniformément. Si x est fixé, il fudr que n dépsse Log(ε) Log(x) pour que xn < ε. Donc u ] mieux on doit prendre N x,ε = + et lorsque x tend vers, ce nombre tend vers l infini. [ Log(ε) Log(x) Il est impossible de trouver un N qui convienne pour tous les x de [0,[ à l fois. Une ppliction directe de l définition est : Proposition (Formultion équivlente) Soit (f n ) une suite de fonctions définies sur E qui converge simplement vers l fonction f. Posons: M n = sup f n (x) f(x). x E (pr convention M n = + si l fonction f n f n est ps bornée). Alors l suite (f n ) converge uniformément vers f sur E si et seulement si l suite (M n ) tend vers 0 qund n tend vers l infini. Supposons d bord que l suite (f n ) converge uniformément vers f sur E. Alors ε > 0, N tel que x E, n, n N = f n (x) f(x) < ε. Donc dès que n dépsse N, tous les nombres f n (x) f(x) sont plus petits que ε, donc M n ε, dès que n N, c est à dire : M n 0. Réciproquement, si l suite (M n ) tend vers 0, pour tout ε > 0, on peut trouver N tel que dès que n dépsse N, M n < ε, ce qui implique que, pour tous les x de E, f n (x) f(x) < ε, donc (f n ) converge uniformément sur E vers f.

5 L quntité M n, lorsqu elle est finie s ppelle ussi l norme de l convergence uniforme de l fonction f n f. Elle se note lors : On ussi un critère de Cuchy uniforme Théorème (critère de Cuchy uniforme) M n = f n f = sup f n (x) f(x). x E Une suite de fonctions (f n ) définies sur E converge uniformément sur E si et seulement si, pour chque ε > 0, on peut trouver un nombre N tel que p N et q N implique f p (x) f q (x) < ε, pour tous les x de E. Ceci s écrit ussi: ε > 0, N tel que x E, p, q, p N et q N = f p (x) f q (x) < ε. Si l suite (f n ) converge uniformément sur E vers une fonction f, lors pour tout ε > 0, il existe un N tel que l on it, pour tous les x de E, f n (x) f(x) < ε 2, dès que n > N. Alors, si p > N, q > N et x E, on : f p (x) f q (x) f p (x) f(x) + f(x) f q (x) < ε. Réciproquement, si on cette inéglité, on fixe d bord un x de E. L suite de nombres (f n (x)) est de Cuchy dns K, donc elle converge vers un nombre f(x). Autrement dit, nous vons trouvé une fonction f qui est l limite simple de l suite de fonctions (f n ). Dns l inéglité du théorème, on fit tendre q vers l infini, on obtient : ε > 0, N tel que x E, p, p N = f p (x) f q (x) ε. Ceci signifie que l suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f sur E. L intérêt du critère de Cuchy est que l on n ps besoin de connître l limite f pour prouver que l suite (f n ) converge uniformément.. Convergence uniforme et continuité C est l un des principux théorèmes du cours. Tout d bord, le fit que l limite des fonctions soit uniforme permet d échnger l ordre des limites : Théorème (interversion des limites) Soit (f n ) une suite de fonctions toutes définies sur un ensemble métrique E et à vleurs dns K (ou K d ) et convergent uniformément sur E vers une fonction f. Soit un point d ccumultion de E. On suppose que, pour chque n, lim f n(x) = l n. x 5

6 Alors l suite (l n ) converge dns K (ou K d ) et : ou : lim f(x) = lim l n x n lim lim f n(x) = lim lim f n(x). x n n x On l fit lorsque les fonctions sont à vleurs dns R, ce qui suffit. L suite (f n ) est uniformément convergente et stisfit donc le critère de Cuchy : p N ε > 0, N tel que et = f p (x) f q (x) < ε x E. q N Fisons lors tendre x vers dns cette reltion, on obtient à l limite : p N ε > 0, N tel que et = l p l q ε, q N c est à dire que l suite (l n ) est de Cuchy. Elle converge donc vers un nombre réel l. Mintennt : f(x) l f(x) f n (x) + f n (x) l n + l n l. Comme l suite (f n ) converge uniformément vers f, à prtir d un certin rng N, on ur f(x) f n (x) < ε 3 pour tous les x de E (à l fois). L suite (l n ) tendnt vers l, on ussi à prtir d un certin rng N : l n l < ε 3. L indice n étnt choisi plus grnd que N et N, on peut trouver α (= α n ) tel que : Finlement, on donc trouvé α tel que : 0 < d(x, ) < α = f n (x) l n < ε 3. 0 < d(x, ) < α = f(x) l < ε. On insi prouvé notre théorème : lim f(x) = l. x Corollire (une limite uniforme de fonctions continues est continue) Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur E qui converge uniformément sur E vers une fonction f. Alors f est continue sur E. 6

7 C est une conséquence immédite du théorème. On vu qu une limite simple de fonctions continues n étit ps nécessirement continue (voir exemple 2), on ussi vu qu une limite simple de fonctions continues pouvit être continue sns que l limite soit uniforme (voir exemple ou l exemple qui suit l définition de l limite uniforme). Il existe cependnt un cs oú l limite simple entrîne l limite uniforme. Théorème de Dini (cs des suites monotones à limite continue) Soit K un espce métrique compct et (f n ) une suite de fonctions réelles sur K. On suppose que. les fonctions f n sont continues 2. l suite (f n ) est décroissnte (c est à dire f n+ (x) f n (x) pour tout x de K) 3. l suite (f n ) converge simplement vers une fonction f continue sur K. Alors l suite (f n ) converge uniformément vers f sur K. Soit ε > 0. Comme f est l limite simple de l suite (f n ), pour chque x de K, (f n (x)) tend en décroissnt vers f(x). On peut donc trouver un entier N x tel que : n, n N x = f n (x) f(x) = f n (x) f(x) < ε. Si on note O n l ensemble des x de K tel que f n (x) f(x) < ε : O n = {x K, tel que f n (x) f(x) < ε}, lors notre reltion dit en prticulier que chque x de K pprtient à O Nx, donc : K = n N D utre prt, f n et f étnt continues, O n est ouvert dns K. Mintennt, on recouvert le compct K pr une suite d ouverts O n, on peut en extrire un recouvrement fini : O n. K = O n On2... Onk. Mis puisque l suite (f n ) décroît, l suite (O n ) croît : f n (x) f(x) < ε = f n+ (x) f(x) < ε ou x O n = x O n+ ou O n O n+. Si donc N = mx{n, n 2..., n k }, on : K = O n On2... Onk = O N = O N+ =... = O N+r =... C est à dire : x K, n, n N = f n (x) f(x) = f n (x) f(x) < ε. L suite (f n ) converge uniformément sur K vers l fonction f. Remrquons que l hypothèse que l limte simple des f n est continue est essentielle comme on peut le voir sur l exemple K = [0, ], f n (x) = x n. Les f n forme une suite décroissnte convergent simplement vers l fonction (non continue) f qui vut 0 sur [0,[ et en. Cette suite ne converge ps uniformément sur [0,] (puisque l limite n est ps continue). 7

8 Le même exemple montre que l hypothèse K compct est nécessire : l suite des fonctions f n (x) = x n converge simplement en décroissnt sur [0,[ vers l fonction continue nulle mis elle ne converge ps uniformément. Enfin, en remplçnt f n pr f n, on peut étendre ce résultt u cs des suites croissntes. 5. L espce de Bnch C(E). Définition (l espce normé C(E)) Soit E un espce métrique. On note C(E, K d ) l ensemble de toutes les fonctions f continues et bornées de E vers K d et C(E) l ensemble C(E, K). Ces ensembles sont des espces vectoriels pour l ddition et l multipliction sclire usuelles des fonctions. Si f pprtient à C(E, K d ) (resp. à C(E)), on pose : f = sup f(x) x E (resp. f = sup f(x) ). x E L ppliction f f est une norme sur C(E, K d ) (resp. C(E)). Le fit que est une norme c est à dire vérifie: (N) f 0 et f = 0 implique f = 0, (N2) λf = λ f pour tout λ de K et tout f, (N3) f + g f + g pour tout f et tout g, est lissé en exercice u lecteur. On insi un espce vectoriel normé. A l norme, on ssocie comme toujours une distnce : (f, g) f g et on dir donc qu une prtie O est ouverte dns C(E, K d ) (ou uniformément ouverte) si elle est ouverte pour cette distnce, de même, on dir qu une prtie F de C(E, K d ) est fermée (ou uniformément fermée) si elle est fermée pour cette distnce. Comme on vu qu une suite de fonctions (f n ) de C(E, K d ) convergeit uniformément sur E si et seulement si elle convergeit pour cette distnce, F est fermée si et seulement si pour toute suite (f n ) de fonctions, (f n ) converge uniformément vers une fonction f et f n pprtient à F pour tout n implique que f pprtient à F. Remrquons ussi que si E est compct, l espce C(E, K d ) est exctement l ensemble des fonctions continues sur E à vleurs dns K d, puisqu une fonction continue sur E est bornée. Les résultts du prgrphe s énoncent : Théorème (C(E, K d ) est un Bnch) L espce vectoriel normé (C(E, K d ), ) est un espce de Bnch (c est à dire est un espce métrique complet). Il suffit de l fire dns le cs d =. Si (f n ) est une suite de Cuchy dns l espce C(E), pour tout ε > 0 il existe N tel que pour tout p et tout q, p N et q N implique f p f q < ε donc f p (x) f q (x) < ε pour tout x de E. On vu que ce critère de Cuchy implique qu il existe une fonction f sur E qui est limite uniforme de l suite (f n ). On même vu que pour ce N: x E, n, n N = f n (x) f(x) ε. () 8

9 Mintennt cette fonction f est continue pr le théorème de., elle est bornée puisque f N l est et que () dit que pour tout x de E: f(x) f N (x) + ε f N + ε. Enfin () donne ussi : n, n N = f n f ε, c est à dire que f n f tend vers 0, (f n ) tend vers f pour l distnce de C(E). Définition (Convergence uniforme sur tout compct) On dit qu une suite de fonctions (f n ) n N d un espce métrique E vers K d converge uniformément sur tout compct vers f si pour tout compct K de E, l suite des restrictions (f n K ) des fonctions f n converge uniformément (sur K). Ou K compct de E, ε > 0, N = N K,ε, tel que x K, n, n N = f n (x) f(x) < ε. Pr exemple l suite de fonctions définies sur ]0, [ pr f n (x) = x n converge uniformément sur tout compct vers l fonction nulle. Elle ne converge ps uniformément sur ]0, [ puisque pour tout n, sup 0<x< x n =. Si E est une prtie ouverte de K, l convergence uniforme sur tout compct des fonctions continues est ssocée à une distnce invrinte pr trnsltion sur C(E), mis ps à une norme. Pr exemple, si E = R, on peut montrer que l formule: définit une telle distnce. d(f, g) = n= 6. Convergence uniforme et intégrtion. Théorème (limite uniforme de fonctions intégrbles) sup{, sup f(x) g(x) } 2n x n Soit (f n ) une suite de fonctions à vleurs dns K d, toutes intégrbles u sens de Riemnn sur [, b] et convergent uniformément sur [, ( b] vers une fonction f. Alors f est intégrble u sens de ) b Riemnn sur [, b], l suite de nombres f n(x) dx converge et : f(x) dx = lim n f n (x) dx. Il suffit de l étblir pour K = R et d =. Pour tout n, posons : ε n = sup f n (x) f(x) = f n f. x b 9

10 (ε n ) est une suite de nombres réels qui tend vers 0 pr nos hypothèses. On : f n (x) ε n f(x) f n (x) + ε n x [, b]. Prenons mintennt une subdivision σ quelconque = x 0 < x <... < x k = b de [, b], notons m i (f) (resp. M i (f)) l borne inférieure (resp. supérieure) de f sur [x i, x i ] ( i k) : m i (f) = inf f(x), M i (f) = sup f(x). x i x x i x i x x i Si s(f, σ) et S(f, σ) désignent les sommes de Drboux inférieures et supérieures de l fonction f ssociées à l subdivision σ : on : k k s(f, σ) = m i (f)(x i x i ), S(f, σ) = M i (f)(x i x i ), i= i= s(f n, σ) (b )ε n = s(f n ε n, σ) s(f, σ) S(f, σ) S(f n + ε n, σ) = S(f n, σ) + (b )ε n. (2) Donc: S(f, σ) s(f, σ) S(f n, σ) s(f n, σ) + 2(b )ε n. Soit ε > 0, choisissons n ssez grnd pour que : ε n < ε (b ) pour ce n, f n est intégrble, donc il existe σ tel que : lors : S(f n, σ) s(f n, σ) < ε 2, S(f, σ) s(f, σ) < ε, donc sup{s(f, σ), σ {subdivisions}} = inf{s(f, σ), σ {subdivisions}} ce qui signifie que f est intégrble u sens de Riemnn. (2) donne : donc : s(f n, σ) (b )ε n f n (x) dx (b )ε n Donc puisque (ε n ) tend vers 0 : lim n f(x) dx S(f n, σ) + (b )ε n, f(x) dx f n (x) dx = f n (x) dx + (b )ε n. f(x) dx. 7. Convergence uniforme et dérivtion 0

11 L exemple 3 du prgrphe 2 est une suite (f n ) de fonctions dérivbles qui converge uniformément vers une fonction f qui est ussi dérivble mis on n ps : lim n f n(x) = f (x). On voit donc qu il fut supposer plus que l convergence uniforme des fonctions pour que l fonction dérivée de l limite soit l limite des fonctions dérivées. On peut cependnt utiliser le prgrphe précédent pour les fonctions primitives. Si (f n ) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur [, b] vers l fonction (continue) f, si x o est un point de [, b] et y n une suite de nombres qui tend vers y, les fonctions primitives F n de f n qui vlent y n u point x 0 : x F n (x) = y n + f n (t) dt x 0 tendent simplement (et même uniformément) vers l fonction primitive F de f définie pr : Ceci nous indique quelles hypothèses choisir. Théorème (limites de fonctions dérivbles) x F (x) = y + f(t) dt. x 0 Soit (f n ) une suite de fonctions dérivbles sur [, b]. On suppose qu il existe un point x 0 de [, b] tel que l suite (f n (x 0 )) converge et que l suite (f n) des fonctions dérivées converge uniformément vers une fonction g. Alors l suite (f n ) converge uniformément sur [, b] vers une fonction f, f est dérivble et f (x) = g(x) = lim n f n(x). Choisissons un nombre ε > 0. Puisque (f n (x 0 )) converge, elle est de Cuchy, il existe N tel que si p et q sont supérieurs à N, f p (x 0 ) f q (x 0 ) < ε 2. De même, l suite (f n) convergent uniformément stisfit le critère de Cuchy et il existe N tel que si p et q dépssent N, f p(t) f q(t) < ε 2(b ) t [, b]. Appliquons mintennt l inéglité des ccroissements finis à l fonction f p f q : (f p f q )(x) (f p f q )(x 0 ) x x 0 sup t [x,x 0 ] (f p f q ) (t). Si p et q dépssent N et N, on obtient : ε f p (x) f q (x) f p (x) f q (x) f p (x 0 ) + f q (x 0 ) + f p (x 0 ) f q (x 0 ) < x x 0 2(b ) + ε 2 ε,

12 quel que soit x de [, b]. Ce qui prouve (pr le critère de Cuchy) que l suite (f n ) converge uniformément sur [, b] vers une certine fonction f. Soit mintennt x un point quelconque de [, b]. Posons pour tout t de [, b] distinct de x : ϕ n (t) = f n(t) f n (x) t x et ϕ(t) = f(t) f(x). t x Pour chque n, l limite, lorsque t tend vers x, de ϕ n (t) est f n(x). De plus en ppliqunt encore les ccroissements finis, on voit que si p et q dépssent N et si t [, b] \ {x}, ϕ p (t) ϕ q (t) = f p (t) f p (x) f q (t) + f q (x) t x t x sup s [t,x] f p(s) f q(s) ε < t x 2(b ). Ceci prouve que l suite (ϕ n ) converge uniformément vers une certine fonction ψ sur [, b]\{x}. Comme (f n ) tend vers f, l suite (ϕ n ) tend simplement vers ϕ sur [, b] \ {x}. On donc ψ = ϕ et l convergence est uniforme. On peut ppliquer le théorème du prgrphe pour conclure que ϕ(t) une limite si t tend vers x et que cette limite est l limite lorsque n tend vers l infini des limites f n(x) des fonctions ϕ n (t) lorsque t tend vers x : lim ϕ(t) = lim f n(x) = g(x). t x n C est à dire : f est dérivble u point x et s dérivée est g(x) : f (x) = g(x) = lim n f n(x). Mintennt, nous pouvons construire explicitement une suite (f n ) de fonctions dérivbles qui converge uniformément vers une fonction f continue mis nulle prt dérivble. Théorème (fonction nulle prt dérivble) Il existe une fonction continue sur R qui n est dérivble en ucun point de R. Posons : ϕ(x) = x (x [, ]). Prolongeons ϕ à R tout entier en lui imposnt d être périodique, de période 2 : ϕ(x + 2k) = ϕ(x) k Z. Puisque ϕ( ) = ϕ(), ϕ est continue sur tout R. Elle est ussi positive et bornée pr. Posons lors : n ( ) k 3 f n (x) = ϕ( k x). Puisque pour tout x de R et tout p > q : f p (x) f q (x) = p k=q+ k=q+ k=0 ( ) k 3 ϕ( k x) ( ) k 3 = 2 ( 3 p ( ) k 3 ( ) q+ 3 3 =, k=q+ ) q+

13 l suite (f n ) stisfit le critère de Cuchy, elle converge uniformément sur R vers une fonction f. Soit mintennt x un point de R. Pour chque n, on regrde n x ± 2, on choisit le signe ± de telle fçon qu il n y it ps d entier entre n x et n x ± 2. On pose enfin : h n = ± 2 n. Si k > n, ( ϕ( k (x + h n )) = ϕ k x + (± ) 2 k n ) = ϕ( k x) puisque ϕ est périodique de période 2. Si k = n, ϕ( k (x + h n )) = ϕ ( n x + (± 2 ) ) = ϕ( n x) ± 2 puisqu il n y ps d entier entre n x et n x ± 2. Si k < n, on définit p pr u = k x 2p [, [. Posons v = k (x + h n ) 2p. Supposons pr exemple h n > 0, comme on soit v et lors k h n = 2 (n k) < 2, ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) = ϕ(v) ϕ(u) = u v u v = 2 (n k) soit 0 u < v 2 et lors: ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) = ϕ(v) ϕ(u) = ( u ) ( v ) u v = 2 (n k). Le même clcul, pour h n < 0 donne le même résultt, si p > n, on donc : n ( ) k 3 ( f p (x + h n ) f p (x) = ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) ) k=0 n ( ) k 3 ( = ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) ) ± ( ) n 3 2 k=0 ( ) [ n n 3 2 (3 ) ] k (n k) 2 = 3n 2. n k=0 n 3 k 2. n k=0 = [ ] 2. n 3 n 3n 3 [ 3 n ] + = h n. 2 En fisnt tendre p vers l infini, on l même estimtion pour f : f(x + h n ) f(x) h n 3n

14 Ceci veut dire que f n est ps dérivble u point x, puisque si f (x) existit, on urit : mis l suite f(x + h n ) f(x) f(x + h) f(x) lim = lim = f (x) n h n h 0 h ( ) f(x+hn ) f(x) h n n est ps bornée et ne converge donc ps.

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