Chapitre 1 Suites de fonctions

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 1 Suites de fonctions"

Transcription

1 Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l lettre K désigne le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes. On sit qu une suite (u n ) de nombres (d éléments de K) converge vers u (ou tend vers u ou pour limite (finie) u) si et seulement si : ε > 0, N ε tel que n, n N ε = u n u < ε. C est à dire si les points de l suite (u n ) sont, à prtir d un certin rng, tous ussi proche que l on veut de u. On sit ussi que l limite, si elle existe, est unique et on note: u = lim n u n = lim n u n. Vous svez ussi que si les limites de (u n ) et (v n ) existent, l limite de l somme (u n + v n ) est l somme des limites, l limite du produit (u n v n ) est le produit des limites etc... Dns ce chpitre, nous llons étudier non ps des suites de nombres mis des suites de fonctions, toutes définies sur un même ensemble E. Définition (Limite simple d une suite de fonctions) Si (f n ) (n = 0,, 2,...) est une suite de fonctions, toutes définies sur un ensemble E et à vleurs dns K, telle que, pour tout x de E, l suite (de nombres) (f n (x)) converge, on peut définir une nouvelle fonction de E vers K en posnt : f(x) = lim n f n(x) (x E). On dit lors que (f n ) converge vers f et que f est l limite ou l fonction limite de l suite (f n ). Plus précisément, on dit que l suite (f n ) converge simplement sur E ou que f est l limite simple de l suite (f n ) sur E. Le principl problème que nous llons border dns ce chpitre est le suivnt : supposons que chque fonction f n une propriété gréble, est-il vri que l fonction limite f ussi cette propriété? Pr exemple, si chque f n est continue, f est-elle continue, si les f n sont dérivbles, de dérivées f n, f est-elle dérivble et -t-on: f (x) = lim n f n(x)? si les f n sont intégrbles (u sens de Riemnn) sur [, b], f l est-elle et -t-on : f(x) dx = lim n f n (x) dx?

2 Tous ces problèmes se rmènent à un problème d échnge de limites. Pr exemple, dire que f est continue u point x 0, c est dire : lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Donc dire que l limite f de l suite de fonctions continues f n est continue u point x 0, c est écrire : lim f(x) = lim lim f n(x) = lim lim f n (x) x x 0 n n x x 0 x x 0 puisque cette dernière quntité est lim n f n(x 0 ) = f(x 0 ). L question est donc de svoir si l ordre dns lequel on clcule ces limites est importnt ou non. Nous llons d bord voir que cet ordre est en générl essentiel sur des exemples. 2. Contre-exemples Exemple Le premier exemple est une double suite. Posons : u n,p = p n + p (n =, 2,...; p =, 2,...). Alors, bien sûr, si n est fixé : Mis u contrire, si on fixe p, on : lim u n,p = et donc lim lim u n,p =. p n p lim u n,p = 0 et donc lim lim u n,p = 0. n p n On voit donc que l interversion des limites n est ps une ction nodine. Exemple 2 On définit les fonctions f n pr : f n (x) = x 2 n k=0 ( + x 2 ) k (x R, n =, 2,...). Alors f n (0) = 0 quel que soit n et donc l suite (f n (0)) tend vers 0. D utre prt, si x n est ps nul, l suite (f n (x)) est le produit pr x 2 de l somme des termes d une suite géométrique de rison +x 2. Cette somme converge donc et : f(x) = lim f n(x) = x 2 n = + x 2 (x 0). +x 2 Sur cet exemple, on voit que l suite de fonctions continues (f n ) tend vers une fonction f qui n est ps continue en 0. Exemple 3 2

3 Posons : f n (x) = sin(n2 x) n (x R, n =, 2,...). Alors l suite (f n ) tend simplement vers l fonction identiquement nulle : f(x) = lim n f n(x) = 0 x R. On voit que chcune des fonctions f n est dérivble, que f est ussi dérivble mis que l suite des fonctions f n : f n(x) = ncos(n 2 x) ne converge ps vers l fonction f. En effet, elle ne converge même ps sur R puisque pr exemple : lim n f n(0) = +, lors que f (0) = 0. Exemple Définissons l suite de fonctions (f n ) sur [0,] pr : f n (x) = nx( x 2 ) n (x [0, ], n =, 2,...). Si 0 < x, x 2 est strictement plus petit que et donc ( x 2 ) n tend vers 0 plus vite que n lorsque n tend vers l infini. On donc : f(x) = lim n f n(x) = 0 si 0 < x. D utre prt, f n (0) est toujours 0, l suite (f n (0)) tend donc ussi vers 0 et l suite (f n ) tend vers l fonction nulle. En posnt t = x 2, on : On donc : 0 lim n x( x 2 ) n dx = 0 0 t n dt [ ] t n+ t= 2 = = 2(n + ) t=0 n f n (x) dx = lim n 2n + 2 = 2 0 2n + 2. f(x) dx = 0. Tous ces exemples montrent qu il est impossible d échnger les limites sns précutions et qu on besoin d une notion de convergence plus forte que celle de l convergence simple pour pouvoir fire ces opértions. 3. L convergence uniforme Définition (Convergence uniforme) On dit qu une suite de fonctions (f n ) converge uniformément sur E vers une fonction f si pour tout ε > 0, on peut trouver un nombre N (= N ε ) tel que dès que n est supérieur à N, pour tout x de E. f n (x) f(x) < ε, 3

4 Une suite de fonctions (f n ) qui converge uniformément vers f, converge ussi simplement vers f. Il y cependnt une différence importnte entre les deux notions: l suite (f n ) tend simplement vers f si on peut trouver pour chque x de E et pour chque ε > 0 un nombre N x,ε, qui (à priori) dépend à l fois de x et de ε tel que f n (x) f(x) < ε lorsque n dépsse N x,ε. Alors que le nombre N qui pprît dns l définition de l convergence uniforme ne dépend ps de x : c est le même qui convient pour tous les x. On peut ussi utiliser des quntificteurs : l différence entre l convergence uniforme et l convergence simple est lors une différence de plce de ces quntificteurs : Convergence simple de (f n ) vers f : x E, ε > 0, N (= N x,ε ) tel que n, n N = f n (x) f(x) < ε. Convergence uniforme de (f n ) vers f : ε > 0, N (= N ε ) tel que x E, n, n N = f n (x) f(x) < ε. Le x E s est déplcé! Pr exemple, l suite de fonctions définies sur [0,[ pr: converge simplement vers l fonction f : f n (x) = x n f(x) = 0 mis ps uniformément. Si x est fixé, il fudr que n dépsse Log(ε) Log(x) pour que xn < ε. Donc u ] mieux on doit prendre N x,ε = + et lorsque x tend vers, ce nombre tend vers l infini. [ Log(ε) Log(x) Il est impossible de trouver un N qui convienne pour tous les x de [0,[ à l fois. Une ppliction directe de l définition est : Proposition (Formultion équivlente) Soit (f n ) une suite de fonctions définies sur E qui converge simplement vers l fonction f. Posons: M n = sup f n (x) f(x). x E (pr convention M n = + si l fonction f n f n est ps bornée). Alors l suite (f n ) converge uniformément vers f sur E si et seulement si l suite (M n ) tend vers 0 qund n tend vers l infini. Supposons d bord que l suite (f n ) converge uniformément vers f sur E. Alors ε > 0, N tel que x E, n, n N = f n (x) f(x) < ε. Donc dès que n dépsse N, tous les nombres f n (x) f(x) sont plus petits que ε, donc M n ε, dès que n N, c est à dire : M n 0. Réciproquement, si l suite (M n ) tend vers 0, pour tout ε > 0, on peut trouver N tel que dès que n dépsse N, M n < ε, ce qui implique que, pour tous les x de E, f n (x) f(x) < ε, donc (f n ) converge uniformément sur E vers f.

5 L quntité M n, lorsqu elle est finie s ppelle ussi l norme de l convergence uniforme de l fonction f n f. Elle se note lors : On ussi un critère de Cuchy uniforme Théorème (critère de Cuchy uniforme) M n = f n f = sup f n (x) f(x). x E Une suite de fonctions (f n ) définies sur E converge uniformément sur E si et seulement si, pour chque ε > 0, on peut trouver un nombre N tel que p N et q N implique f p (x) f q (x) < ε, pour tous les x de E. Ceci s écrit ussi: ε > 0, N tel que x E, p, q, p N et q N = f p (x) f q (x) < ε. Si l suite (f n ) converge uniformément sur E vers une fonction f, lors pour tout ε > 0, il existe un N tel que l on it, pour tous les x de E, f n (x) f(x) < ε 2, dès que n > N. Alors, si p > N, q > N et x E, on : f p (x) f q (x) f p (x) f(x) + f(x) f q (x) < ε. Réciproquement, si on cette inéglité, on fixe d bord un x de E. L suite de nombres (f n (x)) est de Cuchy dns K, donc elle converge vers un nombre f(x). Autrement dit, nous vons trouvé une fonction f qui est l limite simple de l suite de fonctions (f n ). Dns l inéglité du théorème, on fit tendre q vers l infini, on obtient : ε > 0, N tel que x E, p, p N = f p (x) f q (x) ε. Ceci signifie que l suite de fonctions (f n ) converge uniformément vers f sur E. L intérêt du critère de Cuchy est que l on n ps besoin de connître l limite f pour prouver que l suite (f n ) converge uniformément.. Convergence uniforme et continuité C est l un des principux théorèmes du cours. Tout d bord, le fit que l limite des fonctions soit uniforme permet d échnger l ordre des limites : Théorème (interversion des limites) Soit (f n ) une suite de fonctions toutes définies sur un ensemble métrique E et à vleurs dns K (ou K d ) et convergent uniformément sur E vers une fonction f. Soit un point d ccumultion de E. On suppose que, pour chque n, lim f n(x) = l n. x 5

6 Alors l suite (l n ) converge dns K (ou K d ) et : ou : lim f(x) = lim l n x n lim lim f n(x) = lim lim f n(x). x n n x On l fit lorsque les fonctions sont à vleurs dns R, ce qui suffit. L suite (f n ) est uniformément convergente et stisfit donc le critère de Cuchy : p N ε > 0, N tel que et = f p (x) f q (x) < ε x E. q N Fisons lors tendre x vers dns cette reltion, on obtient à l limite : p N ε > 0, N tel que et = l p l q ε, q N c est à dire que l suite (l n ) est de Cuchy. Elle converge donc vers un nombre réel l. Mintennt : f(x) l f(x) f n (x) + f n (x) l n + l n l. Comme l suite (f n ) converge uniformément vers f, à prtir d un certin rng N, on ur f(x) f n (x) < ε 3 pour tous les x de E (à l fois). L suite (l n ) tendnt vers l, on ussi à prtir d un certin rng N : l n l < ε 3. L indice n étnt choisi plus grnd que N et N, on peut trouver α (= α n ) tel que : Finlement, on donc trouvé α tel que : 0 < d(x, ) < α = f n (x) l n < ε 3. 0 < d(x, ) < α = f(x) l < ε. On insi prouvé notre théorème : lim f(x) = l. x Corollire (une limite uniforme de fonctions continues est continue) Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur E qui converge uniformément sur E vers une fonction f. Alors f est continue sur E. 6

7 C est une conséquence immédite du théorème. On vu qu une limite simple de fonctions continues n étit ps nécessirement continue (voir exemple 2), on ussi vu qu une limite simple de fonctions continues pouvit être continue sns que l limite soit uniforme (voir exemple ou l exemple qui suit l définition de l limite uniforme). Il existe cependnt un cs oú l limite simple entrîne l limite uniforme. Théorème de Dini (cs des suites monotones à limite continue) Soit K un espce métrique compct et (f n ) une suite de fonctions réelles sur K. On suppose que. les fonctions f n sont continues 2. l suite (f n ) est décroissnte (c est à dire f n+ (x) f n (x) pour tout x de K) 3. l suite (f n ) converge simplement vers une fonction f continue sur K. Alors l suite (f n ) converge uniformément vers f sur K. Soit ε > 0. Comme f est l limite simple de l suite (f n ), pour chque x de K, (f n (x)) tend en décroissnt vers f(x). On peut donc trouver un entier N x tel que : n, n N x = f n (x) f(x) = f n (x) f(x) < ε. Si on note O n l ensemble des x de K tel que f n (x) f(x) < ε : O n = {x K, tel que f n (x) f(x) < ε}, lors notre reltion dit en prticulier que chque x de K pprtient à O Nx, donc : K = n N D utre prt, f n et f étnt continues, O n est ouvert dns K. Mintennt, on recouvert le compct K pr une suite d ouverts O n, on peut en extrire un recouvrement fini : O n. K = O n On2... Onk. Mis puisque l suite (f n ) décroît, l suite (O n ) croît : f n (x) f(x) < ε = f n+ (x) f(x) < ε ou x O n = x O n+ ou O n O n+. Si donc N = mx{n, n 2..., n k }, on : K = O n On2... Onk = O N = O N+ =... = O N+r =... C est à dire : x K, n, n N = f n (x) f(x) = f n (x) f(x) < ε. L suite (f n ) converge uniformément sur K vers l fonction f. Remrquons que l hypothèse que l limte simple des f n est continue est essentielle comme on peut le voir sur l exemple K = [0, ], f n (x) = x n. Les f n forme une suite décroissnte convergent simplement vers l fonction (non continue) f qui vut 0 sur [0,[ et en. Cette suite ne converge ps uniformément sur [0,] (puisque l limite n est ps continue). 7

8 Le même exemple montre que l hypothèse K compct est nécessire : l suite des fonctions f n (x) = x n converge simplement en décroissnt sur [0,[ vers l fonction continue nulle mis elle ne converge ps uniformément. Enfin, en remplçnt f n pr f n, on peut étendre ce résultt u cs des suites croissntes. 5. L espce de Bnch C(E). Définition (l espce normé C(E)) Soit E un espce métrique. On note C(E, K d ) l ensemble de toutes les fonctions f continues et bornées de E vers K d et C(E) l ensemble C(E, K). Ces ensembles sont des espces vectoriels pour l ddition et l multipliction sclire usuelles des fonctions. Si f pprtient à C(E, K d ) (resp. à C(E)), on pose : f = sup f(x) x E (resp. f = sup f(x) ). x E L ppliction f f est une norme sur C(E, K d ) (resp. C(E)). Le fit que est une norme c est à dire vérifie: (N) f 0 et f = 0 implique f = 0, (N2) λf = λ f pour tout λ de K et tout f, (N3) f + g f + g pour tout f et tout g, est lissé en exercice u lecteur. On insi un espce vectoriel normé. A l norme, on ssocie comme toujours une distnce : (f, g) f g et on dir donc qu une prtie O est ouverte dns C(E, K d ) (ou uniformément ouverte) si elle est ouverte pour cette distnce, de même, on dir qu une prtie F de C(E, K d ) est fermée (ou uniformément fermée) si elle est fermée pour cette distnce. Comme on vu qu une suite de fonctions (f n ) de C(E, K d ) convergeit uniformément sur E si et seulement si elle convergeit pour cette distnce, F est fermée si et seulement si pour toute suite (f n ) de fonctions, (f n ) converge uniformément vers une fonction f et f n pprtient à F pour tout n implique que f pprtient à F. Remrquons ussi que si E est compct, l espce C(E, K d ) est exctement l ensemble des fonctions continues sur E à vleurs dns K d, puisqu une fonction continue sur E est bornée. Les résultts du prgrphe s énoncent : Théorème (C(E, K d ) est un Bnch) L espce vectoriel normé (C(E, K d ), ) est un espce de Bnch (c est à dire est un espce métrique complet). Il suffit de l fire dns le cs d =. Si (f n ) est une suite de Cuchy dns l espce C(E), pour tout ε > 0 il existe N tel que pour tout p et tout q, p N et q N implique f p f q < ε donc f p (x) f q (x) < ε pour tout x de E. On vu que ce critère de Cuchy implique qu il existe une fonction f sur E qui est limite uniforme de l suite (f n ). On même vu que pour ce N: x E, n, n N = f n (x) f(x) ε. () 8

9 Mintennt cette fonction f est continue pr le théorème de., elle est bornée puisque f N l est et que () dit que pour tout x de E: f(x) f N (x) + ε f N + ε. Enfin () donne ussi : n, n N = f n f ε, c est à dire que f n f tend vers 0, (f n ) tend vers f pour l distnce de C(E). Définition (Convergence uniforme sur tout compct) On dit qu une suite de fonctions (f n ) n N d un espce métrique E vers K d converge uniformément sur tout compct vers f si pour tout compct K de E, l suite des restrictions (f n K ) des fonctions f n converge uniformément (sur K). Ou K compct de E, ε > 0, N = N K,ε, tel que x K, n, n N = f n (x) f(x) < ε. Pr exemple l suite de fonctions définies sur ]0, [ pr f n (x) = x n converge uniformément sur tout compct vers l fonction nulle. Elle ne converge ps uniformément sur ]0, [ puisque pour tout n, sup 0<x< x n =. Si E est une prtie ouverte de K, l convergence uniforme sur tout compct des fonctions continues est ssocée à une distnce invrinte pr trnsltion sur C(E), mis ps à une norme. Pr exemple, si E = R, on peut montrer que l formule: définit une telle distnce. d(f, g) = n= 6. Convergence uniforme et intégrtion. Théorème (limite uniforme de fonctions intégrbles) sup{, sup f(x) g(x) } 2n x n Soit (f n ) une suite de fonctions à vleurs dns K d, toutes intégrbles u sens de Riemnn sur [, b] et convergent uniformément sur [, ( b] vers une fonction f. Alors f est intégrble u sens de ) b Riemnn sur [, b], l suite de nombres f n(x) dx converge et : f(x) dx = lim n f n (x) dx. Il suffit de l étblir pour K = R et d =. Pour tout n, posons : ε n = sup f n (x) f(x) = f n f. x b 9

10 (ε n ) est une suite de nombres réels qui tend vers 0 pr nos hypothèses. On : f n (x) ε n f(x) f n (x) + ε n x [, b]. Prenons mintennt une subdivision σ quelconque = x 0 < x <... < x k = b de [, b], notons m i (f) (resp. M i (f)) l borne inférieure (resp. supérieure) de f sur [x i, x i ] ( i k) : m i (f) = inf f(x), M i (f) = sup f(x). x i x x i x i x x i Si s(f, σ) et S(f, σ) désignent les sommes de Drboux inférieures et supérieures de l fonction f ssociées à l subdivision σ : on : k k s(f, σ) = m i (f)(x i x i ), S(f, σ) = M i (f)(x i x i ), i= i= s(f n, σ) (b )ε n = s(f n ε n, σ) s(f, σ) S(f, σ) S(f n + ε n, σ) = S(f n, σ) + (b )ε n. (2) Donc: S(f, σ) s(f, σ) S(f n, σ) s(f n, σ) + 2(b )ε n. Soit ε > 0, choisissons n ssez grnd pour que : ε n < ε (b ) pour ce n, f n est intégrble, donc il existe σ tel que : lors : S(f n, σ) s(f n, σ) < ε 2, S(f, σ) s(f, σ) < ε, donc sup{s(f, σ), σ {subdivisions}} = inf{s(f, σ), σ {subdivisions}} ce qui signifie que f est intégrble u sens de Riemnn. (2) donne : donc : s(f n, σ) (b )ε n f n (x) dx (b )ε n Donc puisque (ε n ) tend vers 0 : lim n f(x) dx S(f n, σ) + (b )ε n, f(x) dx f n (x) dx = f n (x) dx + (b )ε n. f(x) dx. 7. Convergence uniforme et dérivtion 0

11 L exemple 3 du prgrphe 2 est une suite (f n ) de fonctions dérivbles qui converge uniformément vers une fonction f qui est ussi dérivble mis on n ps : lim n f n(x) = f (x). On voit donc qu il fut supposer plus que l convergence uniforme des fonctions pour que l fonction dérivée de l limite soit l limite des fonctions dérivées. On peut cependnt utiliser le prgrphe précédent pour les fonctions primitives. Si (f n ) est une suite de fonctions continues qui converge uniformément sur [, b] vers l fonction (continue) f, si x o est un point de [, b] et y n une suite de nombres qui tend vers y, les fonctions primitives F n de f n qui vlent y n u point x 0 : x F n (x) = y n + f n (t) dt x 0 tendent simplement (et même uniformément) vers l fonction primitive F de f définie pr : Ceci nous indique quelles hypothèses choisir. Théorème (limites de fonctions dérivbles) x F (x) = y + f(t) dt. x 0 Soit (f n ) une suite de fonctions dérivbles sur [, b]. On suppose qu il existe un point x 0 de [, b] tel que l suite (f n (x 0 )) converge et que l suite (f n) des fonctions dérivées converge uniformément vers une fonction g. Alors l suite (f n ) converge uniformément sur [, b] vers une fonction f, f est dérivble et f (x) = g(x) = lim n f n(x). Choisissons un nombre ε > 0. Puisque (f n (x 0 )) converge, elle est de Cuchy, il existe N tel que si p et q sont supérieurs à N, f p (x 0 ) f q (x 0 ) < ε 2. De même, l suite (f n) convergent uniformément stisfit le critère de Cuchy et il existe N tel que si p et q dépssent N, f p(t) f q(t) < ε 2(b ) t [, b]. Appliquons mintennt l inéglité des ccroissements finis à l fonction f p f q : (f p f q )(x) (f p f q )(x 0 ) x x 0 sup t [x,x 0 ] (f p f q ) (t). Si p et q dépssent N et N, on obtient : ε f p (x) f q (x) f p (x) f q (x) f p (x 0 ) + f q (x 0 ) + f p (x 0 ) f q (x 0 ) < x x 0 2(b ) + ε 2 ε,

12 quel que soit x de [, b]. Ce qui prouve (pr le critère de Cuchy) que l suite (f n ) converge uniformément sur [, b] vers une certine fonction f. Soit mintennt x un point quelconque de [, b]. Posons pour tout t de [, b] distinct de x : ϕ n (t) = f n(t) f n (x) t x et ϕ(t) = f(t) f(x). t x Pour chque n, l limite, lorsque t tend vers x, de ϕ n (t) est f n(x). De plus en ppliqunt encore les ccroissements finis, on voit que si p et q dépssent N et si t [, b] \ {x}, ϕ p (t) ϕ q (t) = f p (t) f p (x) f q (t) + f q (x) t x t x sup s [t,x] f p(s) f q(s) ε < t x 2(b ). Ceci prouve que l suite (ϕ n ) converge uniformément vers une certine fonction ψ sur [, b]\{x}. Comme (f n ) tend vers f, l suite (ϕ n ) tend simplement vers ϕ sur [, b] \ {x}. On donc ψ = ϕ et l convergence est uniforme. On peut ppliquer le théorème du prgrphe pour conclure que ϕ(t) une limite si t tend vers x et que cette limite est l limite lorsque n tend vers l infini des limites f n(x) des fonctions ϕ n (t) lorsque t tend vers x : lim ϕ(t) = lim f n(x) = g(x). t x n C est à dire : f est dérivble u point x et s dérivée est g(x) : f (x) = g(x) = lim n f n(x). Mintennt, nous pouvons construire explicitement une suite (f n ) de fonctions dérivbles qui converge uniformément vers une fonction f continue mis nulle prt dérivble. Théorème (fonction nulle prt dérivble) Il existe une fonction continue sur R qui n est dérivble en ucun point de R. Posons : ϕ(x) = x (x [, ]). Prolongeons ϕ à R tout entier en lui imposnt d être périodique, de période 2 : ϕ(x + 2k) = ϕ(x) k Z. Puisque ϕ( ) = ϕ(), ϕ est continue sur tout R. Elle est ussi positive et bornée pr. Posons lors : n ( ) k 3 f n (x) = ϕ( k x). Puisque pour tout x de R et tout p > q : f p (x) f q (x) = p k=q+ k=q+ k=0 ( ) k 3 ϕ( k x) ( ) k 3 = 2 ( 3 p ( ) k 3 ( ) q+ 3 3 =, k=q+ ) q+

13 l suite (f n ) stisfit le critère de Cuchy, elle converge uniformément sur R vers une fonction f. Soit mintennt x un point de R. Pour chque n, on regrde n x ± 2, on choisit le signe ± de telle fçon qu il n y it ps d entier entre n x et n x ± 2. On pose enfin : h n = ± 2 n. Si k > n, ( ϕ( k (x + h n )) = ϕ k x + (± ) 2 k n ) = ϕ( k x) puisque ϕ est périodique de période 2. Si k = n, ϕ( k (x + h n )) = ϕ ( n x + (± 2 ) ) = ϕ( n x) ± 2 puisqu il n y ps d entier entre n x et n x ± 2. Si k < n, on définit p pr u = k x 2p [, [. Posons v = k (x + h n ) 2p. Supposons pr exemple h n > 0, comme on soit v et lors k h n = 2 (n k) < 2, ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) = ϕ(v) ϕ(u) = u v u v = 2 (n k) soit 0 u < v 2 et lors: ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) = ϕ(v) ϕ(u) = ( u ) ( v ) u v = 2 (n k). Le même clcul, pour h n < 0 donne le même résultt, si p > n, on donc : n ( ) k 3 ( f p (x + h n ) f p (x) = ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) ) k=0 n ( ) k 3 ( = ϕ( k (x + h n )) ϕ( k x) ) ± ( ) n 3 2 k=0 ( ) [ n n 3 2 (3 ) ] k (n k) 2 = 3n 2. n k=0 n 3 k 2. n k=0 = [ ] 2. n 3 n 3n 3 [ 3 n ] + = h n. 2 En fisnt tendre p vers l infini, on l même estimtion pour f : f(x + h n ) f(x) h n 3n

14 Ceci veut dire que f n est ps dérivble u point x, puisque si f (x) existit, on urit : mis l suite f(x + h n ) f(x) f(x + h) f(x) lim = lim = f (x) n h n h 0 h ( ) f(x+hn ) f(x) h n n est ps bornée et ne converge donc ps.

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24.

Plus en détail

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées. Agrégtion de Mthémtiques 2012-2013 CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications. LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé

Résumé du cours d analyse de Sup et Spé Résumé du cours d nlyse de Sup et Spé 1 Topologie 1.1 Normes, normes équivlentes Une norme sur le K-espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x) 0 (positivité) x E, (N(x) = 0 x

Plus en détail

Suites et séries de fonctions MP

Suites et séries de fonctions MP Suites et séries de fonctions MP 17 jnvier 2013 Tble des mtières 1 Convergence simple et convergence uniforme 2 1.1 L convergence simple.............................. 2 1.2 L convergence uniforme.............................

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est

Plus en détail

11 Fonctions numériques - continuité

11 Fonctions numériques - continuité 11 Fonctions numériques - continuité 11.1 Ensemble des fonctions à vleurs réelles 11.1.1 Fonctions numériques Soit E un ensemble non vide. On note E l ensemble des pplictions de E dns. On définit les opértions

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée

Une preuve élémentaire du théorème de convergence dominée Une preuve élémentire du théorème de convergence dominée Le but de ce texte, influencé pr l lecture de l rticle [2], est de proposer une preuve élémentire du théorème de convergence dominée, dns le cdre

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I..

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. TS-cours-chp2-1 - LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I.. Limite d une suite 1 / tend vers l infini Définition ( rppel ) Dire que l suite tend vers + signifie que, pour tout nombre A, l intervlle [A ; +

Plus en détail

Calculs de base (Rappels)

Calculs de base (Rappels) Chpitre I Clculs de bse (Rppels) I.1 Diviseurs et multiples I.1.1 Définitions On : 12=3 4. On dit que 3 et 4 sont des diviseurs de 12, ou que 12 est un multiple de 3 et de 4. DÉFINITION I.1.1 Soit et b

Plus en détail

E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ.

E(ϕ(Z, Y )) = ϕ(r(x + f(y)), y)dxdm(y). ϕ(ξ)dξ. Corrigé 191 (Les pièges de l indépendnce) Soit (Ω,, P ) un espce probbilisé et X, Y deux v..r. indépendntes. n suppose que X pour loi l loi uniforme sur [, 1]. Pour x, on pose e(x) = mx{n Z, n x} et r(x)

Plus en détail

Partie 1 - Calcul d une probabilité

Partie 1 - Calcul d une probabilité Essec mths 3 voie E 2014 1 Option économique Mthémtiques Essec 2014 (mths 3) vendredi 8 mi 2014 Ce problème est constitué de trois prties. Les résultts de l prtie 1 sont utilisés dns les prties 2 et 3.

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 1. Fonctions en esclier. Le but de l construction de l intégrle d une fonction f : [, b] R étit, initilement, de définir rigoureusement l ire de l figure

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

Cours d intégration L3-mass

Cours d intégration L3-mass Cours d intégrtion L3-mss Renud Leplideur Année 214-215 UBO 2 Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 5 1.1 L intégrle u sens de Riemnn et les principux résultts.........

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Les théorèmes fondamentaux

Les théorèmes fondamentaux Université d Artois Fculté des ciences Jen Perrin Mesure et Intégrtion (Licence 3 Mthémtiques-Informtique) Dniel Li Les théorèmes fondmentux 21 vril 28 1 L notion de presque prtout Avnt de donner les théorèmes

Plus en détail

Chapitre 2 Limites et asymptotes

Chapitre 2 Limites et asymptotes Chpitre 2 Limites et symptotes A) Introduction ) Le grenier Je veux monter un toit à une pente en lissnt l plce pour une pièce (grenier) de 3 mètres de long et 2 mètres de hut. OA = 3, OC = 2, OE = x.

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn 3 3.1 Qu est-ce qu

Plus en détail

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math

Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math Intégrles impropres et séries Tewfik Sri L2 Mth Chpitre 1 Rppels sur l intégrtion 1.1 Intégrle de Riemnn des fonctions en esclier Soit [, b] un intervlle fermé et borné de R. Une subdivision de [, b] et

Plus en détail

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005

THEOREMES D ANALYSE. P. Pansu 12 avril 2005 THEOREMES D ANALYSE P. Pnsu 12 vril 2005 1 Vleurs intermédiires 1.1 Le théorème des vleurs intermédiires Théorème 1 Soit [, b] un intervlle fermé borné. Soit f : [, b] R une fonction continue. On suppose

Plus en détail

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides.

( ) non vides et disjoints tels que D= A1 A2. Soit f la fonction définie par : 1. sont non vides. Prties connexes de R et fonctions continues PARTIES CONNEXES DE R ET FONCTIONS CONTINUES Prties connexes de R crctéristion Prtie connexe de R On dit qu'une prtie D de est connexe si D n'dmet ps de prtition

Plus en détail

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond

Mathématiques. Analyse de Fourier D après des notes rédigées par B. Helffer et T. Ramond Mthémtiques Anlyse de Fourier D près des notes rédigées pr B. Helffer et T. Rmond Année 2007 2 Tble des mtières I Suites, Intégrles et Séries 1 1 Suites de nombres réels ou complexes 1 1.1 Générlités.........................................

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Calcul différentiel 1 Licence de Mathématiques

Calcul différentiel 1 Licence de Mathématiques Clcul différentiel 1 Licence de Mthémtiques Tble des mtières Avertissement 5 Chpitre 1. Préliminires 7 1. Espces vectoriels normés 7 2. Convergence, continuité 10 3. Vocbulire topologique 13 4. Compcité,

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue

Cours de Mathématiques Seconde. Ordre et valeur absolue Cours de Mthémtiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 vril 2007 Document diffusé vi le site www.cmths.net de Gilles Costntini 2 1 frederic.demoulin (chez) voil.fr 2 gilles.costntini (chez)

Plus en détail

Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours)

Calcul intégral. et théorie de la mesure (Notes de cours) Clcul intégrl et théorie de l mesure (Notes de cours) Gérld Tenenbum Université Henri Poincré Nncy 1 Licence et mîtrise de Mthémtiques 1994/95 (12/12/212, 1h44) Tble des mtières Chpitre. ntégrle de Cuchy

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications.

LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervalle ; définition et propriétés de l intégrale, inégalité de la moyenne. Applications. LEÇON N 76 : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité de l moyenne. Applictions. Pré-requis : Si f est une fonction numérique dérivble sur

Plus en détail

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math Espces métriques, espces vectoriels normés Tewfik Sri L2 Mth Avertissement : ces notes sont l rédction, progressive et provisoire, d un résumé du cours d espces métriques de d espces vectoriels normés

Plus en détail

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009

Intégrale de Riemann. L3 Mathématiques. Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2009 Intégrle de Riemnn L3 Mthémtiques Jen-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 009 version du 1 décembre 009 Tble des mtières 1 Intégrles des fonctions en esclier 1 1.1 Fonctions en

Plus en détail

Corrigé du TD 3 : Limites

Corrigé du TD 3 : Limites Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier

Plus en détail

Rappels sur l intégrale de Lebesgue

Rappels sur l intégrale de Lebesgue Rppels sur l intégrle de Lebesgue Renud Leplideur Année 214-215 UBO Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrle de Riemnn et les limites croissntes 2 1.1 Trois spects de l intégrtion..........................

Plus en détail

Lois de probabilité continues

Lois de probabilité continues Lois de probbilité continues Tble des mtières I Lois de probbilité continues I.1 Principe et définitions........................................... I. Exemples de lois continues.........................................

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Mster 1 Métiers de l Enseignement, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voix, 01/013 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 1 - Nombres réels. 1 Introduction. Propriétés des rtionnels Posnt Z = Z\{0}, on peut définir l ensemble

Plus en détail

DM n o 17 : Intégration

DM n o 17 : Intégration Lycée Louis-Le-Grnd, Pris Pour le 14/05/2015 MPSI 4 Mthémtiques A. Troesch DM n o 17 : Intégrtion Correction du problème 1 Intégrle de Lebesgue Prtie I Intégrtion pr rpport à une mesure 1. Soit f = α k

Plus en détail

Théorie élémentaire de l intégration

Théorie élémentaire de l intégration Université Joseph Fourier, Grenoble Mths en Ligne Théorie élémentire de l intégrtion Jen-Pierre Demilly, Didier Piu et Bernrd Ycrt Ignorer l théorie de l intégrtion n jmis empêché personne de clculer des

Plus en détail

Résumés de cours : Terminale S.

Résumés de cours : Terminale S. Résumés de cours : Terminle S. Mths-Terminle S. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponible sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tble des mtières Nombres complexes. 3. Prtie réelle

Plus en détail

DM1. Nombres complexes, homographies. u w = u w.

DM1. Nombres complexes, homographies. u w = u w. Université Pul Sbtier, Année 205-206 Licence LPS DM Nombres complexes, homogrphies. Dns ce problème, on considère le pln ffine euclidien P muni d un repère orthonormé (0, i, j). On identifier P vec l ensemble

Plus en détail

TD n 6 : Fourier - Correction

TD n 6 : Fourier - Correction D n : Fourier- Correction - Pge sur D n : Fourier - Correction Séries de Fourier Coefficient de Fourier On considère une fonction f continue pr morceux et -périodique. c n f f t e in n Z n f [] f t cos

Plus en détail

Mémo de cours n 4. Intégrales

Mémo de cours n 4. Intégrales Mémo de cours n 4 Intégrles v.0 4. Primitive 4.. Définition Si l fonction f (x) est l dérivée de l fonction F(x), c est à dire que f (x) = df(x) dx, lors nous ppelons l fonction F une primitive de f. On

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) Équtions différentielles du ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE (COURS) TI-Nspire CAS 1. Objectifs Découvrir les équtions différentielles du premier ordre. Résoudre à l min et à l ide de l clcultrice

Plus en détail

CX - INTEGRALE DE RIEMANN

CX - INTEGRALE DE RIEMANN CX - INTEGRALE DE RIEMANN On introduit dns ce texte l construction de l intégrle d une fonction à vleurs réelles due à Riemnn qui permet de donner un sens précis à l notion d ire d un domine D du pln euclidien

Plus en détail

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités

Chapitre 6 - Fonctions numériques - Généralités PS hpitre 6 - Fonctions numériques - Générlités Fonctions d une vrile réelle à vleurs réelles. Définitions Une fonction à vleurs réelles est une ppliction de ou une prtie A de dns. On note f : A ; f ().

Plus en détail

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de

Plus en détail

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement.

PARTIE II : Un exemple pour se familiariser avec la conjecture et cette drôle de fonction. . (On ne cherchera pas à exprimer F plus simplement. Eercice. Découverte des fonctions définies pr une intégrle et premiers ps vers le téorème fondmentl du clcul intégrl. PARTE : Découverte de l fonction «ire sous l courbe» et conjecture sur s dérivée et

Plus en détail

Intégration des fonctions numériques

Intégration des fonctions numériques ntégrtion des fonctions numériques Sommire ntégrtion des fonctions numériques Sommire ntégrle des fonctions en escliers.................... Fonctions en escliers............................ ntégrle des

Plus en détail

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions.

Fiches de cours analyse 4 ème Sciences expérimentales. Limites et continuité. Limites et comparaison de fonctions. Fiches de cours nlyse 4 ème Sciences epérimentles Limites et continuité Limites et comprison de fonctions. L et L ' sont des réels. désigne soit un réel, soit +, soit Premier théorème de comprison Soit

Plus en détail

Exercices - Capes première épreuve : corrigé

Exercices - Capes première épreuve : corrigé Avertissement : Ceci n est ps une correction in extenso du problème de cpes Il s git plutôt d une lecture personnelle des questions, vec des indictions, des idées de preuve, des mises en grde d erreurs

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010 Corrigé du bcclurét S Pondichéry 2 vril 2 EXERCICE Commun à tous les cndidts Prtie A : Restitution orgnisée de connissnces 6 points f et g sont deux fonctions continues sur un intervlle [ ; b] donc g f

Plus en détail

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2

Jour no1 Exercice 1.0 Exercice 1.1 Exercice 1.2 Jour n o Exercice. ) Étudier l intégrbilité de x e x x2 sur ], + [. 2) Étudier l intégrbilité de x ln x x 2 + sur ], + [. Exercice. Soit f de clsse C 2 sur [, + [ telle que f est intégrble sur [, + [ et

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE LFA / première S COURS - mthémtiques Mme MAINGUY Ch.4èFONCTIONS DE RÉFÉRENCE ere S Dns tout le chpitre, le pln est muni d'un repère orthonorml ( O ; i! ;! j ) I. Rppels de Seconde Soit f une fonction définie

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

ROC: Restitution Organisée des Connaissances

ROC: Restitution Organisée des Connaissances ROC: Restitution Orgnisée des Connissnces Terminle S Septembre 2005 Tble des mtières 1 Anlyse 2 1.1 Limites et ordre........................... 2 1.2 Bijection............................... 3 1.3 Fonction

Plus en détail

Département de mathématiques Cégep de Saint-Laurent Algèbre linéaire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014 Yannick Delbecque. alors v = 0.

Département de mathématiques Cégep de Saint-Laurent Algèbre linéaire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014 Yannick Delbecque. alors v = 0. Déprtement e mthémtiques Cégep e Sint-Lurent Algère linéire et géométrie vectorielle 201-NYC Automne 2014 Ynnick Delecque Propriétés es vecteurs et géométrie ffine Résumé es propriétés Axiomes espce vectoriel

Plus en détail

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul

Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul Lycée Jules Fil, Crcssonne Clsse de 2 nde Chpitre 0 : Mise u point sur les nombres et le clcul D. Zncnro C. Aupérin 2009-2010 Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

Cours de Mathématiques Produit scalaire, orthogonalité

Cours de Mathématiques Produit scalaire, orthogonalité Produit sclire, orthogonlité Tble des mtières I Produit sclire.................................... 2 I.1 Définition et premières propriétés...................... 2 I.2 Exemples clssiques..............................

Plus en détail

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 Mster Métiers de l Enseignement, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voix, 0/03 ANALYSE - CORRECTION Fiche de Mthémtiques - Nombres réels. Introduction. Propriétés des rtionnels Posnt Z = Z\{0}, on peut définir l

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet

Présentation. Villeneuve d Ascq, octobre 2005 Charles Suquet Présenttion Ce polycopié résulte de l ssemblge sépré de deux chpitres nnexes du cours d Intégrtion et Probbilités Élémentires (IPE Mth36) 25 26. Il regroupe ce qu un étudint de 3 e nnée devrit connître

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITÉ

LIMITES ET CONTINUITÉ LIMITES ET CONTINUITÉ Cours Terminle S Limite d une onction à l inini ) Limite inie en l inini Déinition : Soit une onction déinie sur un intervlle de l orme ] A ; + [ On dit que l onction dmet pour limite

Plus en détail

Outils Mathématiques 3

Outils Mathématiques 3 Université de Rennes1 Année 2010/2011 Outils Mthémtiques 3 Chpitre 4: Intégrtion curviligne résumé 1 Courbes prmétrées Définition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont

Plus en détail

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux.

CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. + (puisque α n est pas entier) απ α 2 n 2 cos(nx). Maintenant, g est de classe C 1 par morceaux. SESSION CONCOURS ESIM FILIERE MP MATHEMATIQUES Préliminaire - Quand t tend vers, ft) t t t =. Par suite, f est prolongeable par continuité en. f étant d autre part continue / sur ], ], f est intégrable

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles Je donne ici des éléments pour triter l exposé de CAPES 76 (liste 2007) : Primitives d une fonction continue sur un intervlle ; définition et propriétés de l intégrle, inéglité

Plus en détail

Espaces préhilbertiens

Espaces préhilbertiens 1 Espces préhilbertiens On désigne pr E un espce vectoriel réel non réduit à {}. 1.1 Produit sclire Définition 1.1 On dit qu une forme bilinéire symétrique ϕ sur E est : positive si ϕ (x, x) pour tout

Plus en détail

Suites et séries de fonctions.

Suites et séries de fonctions. Suites et séries de fonctions. 1 Convergence simple: Soit f n : I R (ou C) une suite de fonctions. Cela signifie que pour tout x I, on considère la suite (f n (x)). Définition. On dira que la suite (f

Plus en détail

Outils Mathématiques 4

Outils Mathématiques 4 Université de Rennes1 Année 5/6 1 Courbes prmétrées Outils Mthémtiques 4 Intégrtion résumé éfinition 1.1 Une courbe plne est un ensemble de couples (f(t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

Introduction au CALCUL INTEGRAL. Jean SCHMETS

Introduction au CALCUL INTEGRAL. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Fculté des Sciences Déprtement de Mthémtique Introduction u CALCUL INTEGRAL Notes du cours destiné ux premiers bcheliers en sciences mthémtiques ou en sciences physiques Jen SCHMETS

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5

Fractions. 1 Propriété des quotients égaux 1. 2 Addition, soustraction de deux fractions 3. 3 Produit de deux fractions 5 Tle des mtières Frctions 1 Propriété des quotients égux 1 Addition, soustrction de deux frctions Produit de deux frctions Comprison de deux frctions Produit en croix 10 6 Quotient de deux frctions. Inverse

Plus en détail

Analyse 2. Notes de cours

Analyse 2. Notes de cours Anlyse Notes de cours André Giroux Déprtement de Mthémtiques et Sttistique Université de Montrél Avril 4 Tble des mtières INTRODUCTION 4. Exercices............................ 6 INTÉGRATION DES FONCTIONS

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3 Licence de Mthémtiques Fondmentles Clcul Scientifique feuille de TD 3 Intégrtion numérique Soit f : [, b] R une fonction continue On cherche à clculer numériquement l intégrle f(x) dx Pour cel, on subdivise

Plus en détail

Chapitre II Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications

Chapitre II Dérivabilité, théorème des fonctions implicites et applications 37 Chpitre II Dérivbilité, théorème des fonctions implicites et pplictions Sommire. Les dérivées d une fonction en un point permettent de comprendre son comportement u voisinge de ce point (formule de

Plus en détail

I. Fonctions

I. Fonctions FORMULAIRE MATHÉMATIQUES - RENTRÉE 205 - PRÉPA ECS PREMIÈRE ANNÉE Tble des mtières I. Fonctions - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4. Générlités sur les fonctions...................

Plus en détail

Cours de Terminale ES /Probabilités : Lois à densité. E. Dostal

Cours de Terminale ES /Probabilités : Lois à densité. E. Dostal Cours de Terminle ES /Probbilités : Lois à densité E. Dostl février 2017 Tble des mtières 7 Probbilités : Lois à densité 2 7.1 Vrible létoires à densité................................... 2 7.1.1 Vrible

Plus en détail

Chapitre 2. Les nombres complexes. 2.1 Définition et propriétés de C

Chapitre 2. Les nombres complexes. 2.1 Définition et propriétés de C Chpitre 2 Les nombres complexes Certines équtions polynomiles à coefficients réels n ont ps de solution dns R ; c est le cs de l éqution du second degré x 2 +1 = 0 puisque tout crré de réel est positif.

Plus en détail

Analyse 2 - Résumé du Cours

Analyse 2 - Résumé du Cours UFR de Mthémtiques Université de Lille Licence sciences et technologies A - S2 MASS Anlyse 2 - Résumé du Cours Tble des mtières Prtie I : Intégrtion 2. Introduction : Premières remrques sur les primitives

Plus en détail

Intégration de Lebesgue et analyse de Fourier

Intégration de Lebesgue et analyse de Fourier Intégrtion de Lebesgue et nlyse de Fourier Pierron Théo ENS Ker Lnn 2 Tble des mtières 1 Espces L p 1 1.1 Fonctions convexes........................ 1 1.2 Espces L p............................ 3 1.3 Propriétés

Plus en détail

Exercices de révision

Exercices de révision Université de Cen Licence de Biologie Semestre 0 04 Mthémtiques TD Groupe 4 Exercices de révision Corrigé Nombres complexes Exercice. On pose A = + i et B = + i. Clculer A B, A + B, A B, B, A + B. Clculer

Plus en détail

+ + = + (Identité 1) x ax x

+ + = + (Identité 1) x ax x 1. Définition LA COMPLÉTION DU CARRÉ L complétion du crré est un procédé lgébrique qui consiste à trnsformer un polynôme de second degré écrit dns l forme stndrd dns l forme cnonique + b + c, où 0, ( h)

Plus en détail

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006.

Résumé de cours : Terminale ES. Table des matières. Maths-Terminale ES. Mr Mamouni : source disponible sur: Samedi 08 Avril 2006. Résumé de cours : Terminle ES. Mths-Terminle ES. Mr Mmouni : myismil@ltern.org source disponile sur: c http://www.chez.com/myismil Smedi 08 Avril 2006. Tle des mtières Eqution du second degré. 2. Ses solutions

Plus en détail