Fonctions réelles et Processus de limite

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1 Chapitre 4 Fonctions réelles et Processus de ite Nous étendons le concept de processus de ite aux fonctions pour étudier le comportement local et asymptotique. Une notion plus géométrique du processus de ite permet d introduire les fonctions uniformément continues et la convergence uniforme des suites de fonctions continues. Notions à apprendre. Limite d une fonction, ite épointée d une fonction, ite à gauche, ite à droite, ite à l infini, comportement asymptotique d une fonction, fonction continue et fonction uniformement continue, suites de fonctions, convergence ponctuelle et convergence uniforme, théorème de Dini. Compétences à acquérir. Savoir calculer la ite d une fonction et appliquer les techniques du chapitre 2 aux fonctions, savoir vérifier la continuité et la continuité uniforme d une fonction, connaître les propriétés des fonctions uniformement continues, comprendre et savoir appliquer le concept de convergence uniforme, savoir vérifier le type de convergence d une suite ou d une série de fonctions, savoir donner le comportement asymptotique des fonctions. 4.1 Limite d une fonction Limite d une fonction - les définitions Introduction. La notion de ite d une fonction est un concept fondamental de l Analyse. Malheureusement, la notion de ite d une fonction est souvent une source de confusion pour l apprenant puisque, dans la littérature, il y a deux définitions différentes de cette notion. La première analyse la fonction exclusivement en dehors du point a pour lequel on veut définir la ite de la fonction et se base historiquement sur les travaux de Weierstrass et Cauchy. L autre - plus moderne - permet d étendre facilement la notion de ite que nous avons déjà utilisée pour définir des fonctions continues et des prolongements par continuité. Nous avons adopté cette idée pour définir la ite d une fonction. Nous allons comparer cette définition avec la définition plus ancienne, appelée aussi la ite épointée d une fonction. Rappelons que pour 91

2 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 92 définir la ite d une fonction continue f : D f R en un point a de son domaine de définition D f, nous avons utilisé les suites d éléments dans D f qui convergent vers a (voir la section 2.6 pour les précisions). Par cette définition, on arrive à la formulation suivante : la fonction f est continue en a si la ite de f(x) lorsque x tend vers a est égale à f(a). Donc le processus de ite et la fonction f sont interchangeables. Quand nous avons étendu cette définition à une fonction quelconque, nous avons constaté que pour un a D f la ite l := f(x) peut seulement exister si elle est continue en ce point puisque en prenant la suite constante on trouve l = f(a). Nous avons ensuite défini la ite d une fonction en des points a / D adhérents à D f. Pour ces points, il existe par la proposition une suite d éléments de D f qui converge vers a. Cette construction nous a amené au prolongement par continuité. Dans ce chapitre, nous allons introduire un formalisme (dit topologique) utilisant les intervalles ouverts B r (a) :=]a r, a + r[= {x : x a < r} autour de a (appelés aussi les boules ouvertes au vu de leur généralisation dans R n ) et leur image sous f. Par cette méthode, nous allons obtenir une définition équivalente, la définition dite epsilon-delta. Si par ces définitions la fonction admet une ite en un point adhérent à D f pour a / D f, cette ite correspond au prolongement par continuité de f au point a. Limite d une fonction - Définition 1. Soit a R un point adhérent de D f. On dit que f admet pour ite l R lorsque x tend vers a si pour toute suite d élément x n D f telle que x n = a, la suite (f(x n )) n N converge vers l, i.e. f(x n) = l. On écrit alors f(x) = l. Limite d une fonction - Définition 2. Soit a R un point adhérent à D f. On dit que f admet pour ite l R lorsque x tend vers a si à tout ϵ > 0, on peut associer δ > 0 tel que f(x) l < ϵ si x D f et x a < δ, i.e. x B δ (a) D f. On écrit alors f(x) = l. Proposition Les définitions 1 et 2 sont équivalentes. Démonstration Soit (x n ) n N une suite dans D f qui converge vers a. Nous allons démontrer que f(x n) = l c est-à-dire pour tout ϵ > 0 il existe un entier naturel N tel que f(x n ) l < ϵ pour tout n N. Par la définition 2, il existe un δ > 0 tel que x a < δ implique f(x) l < ϵ. Pour ce δ, il existe un N tel que n N implique x n a < δ. Donc f(x n ) l < ϵ pour tout n N Soit f(x n) = l pour toute suite (x n ) n N dans D f qui converge vers a. Si l n est pas la ite d après la définition 2, il existe un ϵ > 0 tel que pour tout δ > 0 il existe un y δ D f tel que y δ a < δ et f(y δ ) l ϵ. Pour δ = 1 n, on a construit une suite d éléments (y n) avec cette propriété. La suite (x 1, y 1, x 2, y 2,...) converge alors vers a mais la suite (f(x 1 ), f(y 1 ), f(x 2 ), f(y 2 ),...) ne converge pas.

3 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 93 Remarque sur l application des définitions. Dans la pratique, on utilise souvent la définition 1 pour démontrer que f(x) n existe pas et la définition 2 pour démontrer l existence de la valeur ite d une fonction. Remarque sur la notation. L écriture f(x) ne tien pas compte du fait que la ite dépend du domaine D f puisque on peut seulement considérer les éléments x B δ (a) D f. On peut aussi écrire f(a + h) = l en considérant h 0 a + h D f. Fonction continue en a. Si pour un a D f, la ite f(x) = l existe, il en suit que f est continue en a puisque forcément on a l = f(a) (prendre la suite constante x n = a). D après la définition 2, une fonction f est continue en a D f si pour tout ϵ > 0, on peut associer δ > 0 tel que f(x) f(a) < ϵ si x D f et x a < δ. On écrit alors f(x) = f(a). Comme démontré dans la proposition 4.1.1, cette identité est équivalente à la commutativité de f avec le processus de ite, c est-à-dire que pour toute suite (x n ) n N d éléments dans D f telle que x n = a, on a f(x n) = f(a) = f ( x ) n Limite épointée d une fonction - les définitions Discussion. En appliquant la définition de la ite d une fonction à des exemples exotiques nous arrivons à des conclusions surprenantes. Soit f : R \ {0} R donné par f(x) = 1 x 2. La fonction f n est pas définie en a = 0 qui est un point adhérent au domaine de f et nous avons f(x) = 1. x 0 En revanche, si on considère g : R R donné par { 1 x 2 si x 0 ; g(x) = 0.5 si x = 0, alors g(x) n existe pas. On peut prendre, par exemple, la suite constante x 0 x n = 0 et la suite y n = 1 pour voir que n + 1 g(x n) = = g(y n) n n ou bien la suite z n = 1 + ( 1)n pour constater que n + 1 g(z n) n existe pas. La n fonction g n est pas continue en 0.

4 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 94 Pour la fonction à gauche la ite existe, pour la fonction à droite la ite n existe pas. La définition de la ite permet de découvrir les points de discontinuité d une fonction dans son domaine, mais elle ne permet pas de voir la valeur du prolongement par continuité en ces points (contrairement aux points adhérents qui ne sont pas dans le domaine). Introduire la ite épointée. C est pourquoi on peut définir la ite d une fonction en un point a adhérent à son domaine de définition en considérant seulement les x a, même si a appartient au domaine de définition. Pour les suites qui convergent vers a, les éléments seront toujours différents de a : x n a. Ceci n est plus possible si a est un point isolé du domaine D f puisque il n existe aucune suite d éléments x n a qui converge vers a. C est pourquoi on doit se réfèrer à la notion du point ite du domaine D f pour lequel, par définition, il existe une telle suite. Rappelons que la notion d un point ite se confond avec celle d un point adhérent si a / D f. La différence entre l ensemble des points ites et l ensemble des points adhérents est l ensemble des point isolés du domaine. La ite ainsi construite s appelle la ite épointée. 1 Pour un point ite a du domaine D f, la ite épointée de f est équivalente à la ite de la restriction de f sur D f \ {a}. Notons également que quelques auteurs n utilisent pas la notion du point ite d un ensemble pour la remplacer par une hypothèse plus forte dite fonction définie dans un voisinage de a, ce qui signifie qu il existe r > 0 tel que ]a r, a + r[ D f {a}. 2 Cette condition trop restrictive ne permet pas, par exemple, de construire le prolongement par continuité des fonctions définies sur des rationnels. Soulignons encore qu on arrive aux mêmes conclusions pour les fonctions continues (l interchangeabilité du processus de ite et de f) en des points ites appartenant au domaine de définition de f. 1. Rendons le lecteur attentif au fait que les auteurs qui utilisent cette défintion n ajoutent pas l adjectif épointé. Une bonne référence qui prend cette construction pour définir la ite d une fonction est : Srishti D. Chatterjee, Cours d Analyse, Tome 1, PPUR 1997, chapitre Par exemple, Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral, PPUR, 2011 ou Jacques Douchet, Analyse (Volume 1) PPUR 2012

5 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 95 La ite épointée existe dans les deux cas et donne la même valeur. Si f(x) = 1 x 2 pour tout x réel (c est-à-dire f continue en x = 0), on a bien évidemment x 0 f(x) = 1 comme pour la ite épointée. Pour une fonction continue la ite et la ite épointée coincident. De même pour des points adhérents qui n appartiennent pas au domaine. Limite épointée d une fonction - Définition 1. Soit a R un point ite de D f. On dit que f admet pour ite épointée l R lorsque x tend vers a si pour toute suite d éléments x n D f \ {a} telle que x n = a, la suite (f(x n )) n N converges vers l, i.e. f(x n) = l. On écrit alors f(x) = l,x a Limite d une fonction épointée - Définition 2. Soit a un point ite de D f. On dit que f admet pour ite épointée l R lorsque x tend vers a si à tout ϵ > 0, on peut associer δ > 0 tel que f(x) l < ϵ si x D f et 0 < x a < δ, i.e. x B δ (a) D f \ {a}. On écrit alors f(x) = l.,x a

6 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 96 Cas particuliers - ite à droite et ite à gauche. On peut utiliser l ordre totale sur R pour distinguer les deux alternatives x < a et x > a dans la définition de la ite épointée. Ceci nous amène aux notions des ites unilatérales, plus précisement aux notions de la ite à droite et de la ite à gauche. Nous donnons la définition séquentielle (la définition 1) : Limite à droite. Soit a R un point ite de D f tel qu il existe une suite d éléments a n D f, a n > a avec a n = a. On dit que f admet pour ite à droite l R lorsque x tend vers a si pour toute suite d éléments x n D f telle que x n > a et x n = a, la suite f(x n ) converge vers l, i.e. f(x n) = l. On écrit alors f(x) := f(x) = l. +,x>a Dans ce cadre des ites épointées, une fonction f est dite continue à droite en a D f si f(x) = f(a). + Limite à gauche. Soit a R un point ite de D f tel qu il existe une suite d élément a n D f, a n < a avec a n = a. On dit que f admet pour ite à gauche l R lorsque x tend vers a si pour toute suite d éléments x n D f telle que x n < a et x n = a, la suite f(x n ) converge vers l, i.e. f(x n) = l. On écrit alors f(x) := f(x) = l.,x<a f est dite continue à gauche en a D f si f(x) = f(a). + Limites unilatérales et ite épointée - condition d équivalence a f(x) = l si et seulement si,x a On f(x) = f(x) = l Limites infinies et ites à l infini Introduction. Soit f : D f R. Soit a / D f un point adhérent à D f. D abord on décrit le comportement des fonctions fortement divergentes au point a. Si D f contient une suite d éléments qui diverge fortement vers + (ou vers ), on dit que + (ou ) est adhérent à D f ou est un point adhérent de D f (en abusant un peu de cette notion). Dans ce cas, notamment si D f = R, on peut décrire le comportement asymptotique de f lorsque x tend vers l infini. Sous ces hypothèses, on donne les définitions dans la terminologie de la définition 1 de la ite d une fonction. Limites infinies. On écrit f(x) = ± si pour toute suite (x n ) n N d éléments dans D f qui converge vers a, on a f(x n) = ±. Limites à l infini. On écrit f(x) = l si pour toute suite (x n) n N x ± d éléments dans D f qui diverge fortement vers ±, on a f(x n) = l.

7 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 97 Limites infinies à l infini. On écrit f(x) = ± si pour toute suite x + (x n ) n N d éléments dans D f qui diverge fortement vers + on a f(x n) = ±. On écrit f(x) = ± si pour tout suite (x n) d éléments dans R qui x diverge fortement vers, on a f(x n) = ± Propriétés des valeurs ites Les règles de calcul pour les valeurs ites des suites s étendent aux ites des fonctions. Pour les ites infinies, on rappelle les règles de calcul données par le théorème 2.12 : + =, =, 0/ = 0 c + =, c/ = 0, pour tout c R c =, pour tout c > 0 En appliquant ces règles si les ites sont infinies on a le résultat suivant : Théorème 4.1. Soit f : D f R, g : D g R et a R {, } adhérent à D f D g. Supposons que f(x) = l 1 R {, } et g(x) = l 2 R {, }. Alors pour tout α, β R, on a (αf(x) + βg(x)) = αl 1 + βl 2. (4.1) f(x)g(x) = l 1l 2. (4.2) f(x) g(x) = l 1 si l 2 0. (4.3) l 2 f(x) = l 1 (= f(x) ). (4.4) Théorème 4.2. Soit f : D f T et g : A B deux fonctions telles que f[d f ] A et f(x) = b et g(x) = l. Alors g(f(x)) = l. Fonction bornée. Une fonction f : D f T est dite bornée s il existe une constante C > 0 telle que f(x) C pour tout x D f. Un critère de convergence. Soit f une fonction bornée et g(x) = 0 et a D f D g. Alors f(x)g(x) = 0. Proposition Soit f(x) = l 1 et g(x) = l 2 et supposons qu il existe un r > 0 tel que f(x) g(x) dans B r (a) D f D g \ {a}. Alors l 1 l 2. y b Démonstration. C est une conséquence directe de la proposition

8 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 98 Comme pour les suites, cette proposition implique un théorème des deux gendarmes. Proposition théorème des deux gendarmes Soit f, g, h : D T trois fonctions telles que g(x) = l et h(x) = l et supposons qu il existe un r > 0 tel que g(x) f(x) h(x) dans B r (a) D f D g D h \ {a}. Alors f(x) = l Exemples 1. Calculer sinh x x 0 x. Pour x > 0 on a les inégalités suivantes : x < sinh x < x cosh x. De plus. Alors en utilisant la continuité de cosh et cosh 0 = 1 : sinh x x = sinh x x sinh x = 1. x 0 x Etudions maintenant la fonction f : R \ {0} R définie par f(x) = sinh x x. La fonction f(x) est continue sur R \ {0}. Grâce aux résultats précédents, il est possible de définir un prolongement par continuté de f(x) = sinh x x qui est continu en tout x R : { sinh x f(x) = x si x 0, 1 si x = Montrer que x 0 sin 1 x n existe pas. Pour le démontrer considérons la suite (x n ) définie par x n = 1 π(n+ 1 2 ) pour n 0. La suite (x n) converge vers 0 et ne converge pas. sin 1 x n = sin π(n ) = ( 1)n 3. Soit f : R R une fonction polynomiale définie par f(x) = n a k x k, a k R a n > 0 k=0 On a et f(x) = ± x ± f(x) = + x ± si n est impair si n est pair

9 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE Pour tout n N et x > 0, on a e x x n+1 /(n + 1)!. Alors x n = x e x c est-à-dire la croissance exponentielle à l infini est plus rapide que celle d une fonction polynomiale. x ( x ) x ( ) 1 = 1 + y y y 0 + On le démontre comme suit : soit x > 0. On pose n = [x]. L inégalité n x < n + 1 implique n x n = e La fonction a x est croissante si a > 1 et satisfait a 0 = 1. Alors ( n + 1 ) n ( x ) x ( 1 ) n n et le théorème des deux gendarmes implique le résultat desiré. De plus, pour tout a R x ( a 1 + x ) x ( ) a = 1 + y y = e a y 0 grâce à la continutité de x p. En utilisant le fait que ln x est continue pour x > 0, on obtient aussi ln(1 + y) = 1 y 0 + y car tanh x = 1 x e x e x 1 e 2x tanh x = x x e x = + e x x 1 e 2x = = 1 x 1 x = 1 x Démonstration. Soit x > 0. Posons n = [x], alors n x < n + 1 et 1 n+1 < 1 x 1 n. Par conséquent n 1 n+1 < x 1 x < (n + 1) 1 n 9. et le résultat est une conséquence de n n 1 n = 1. ln x ln x = 0 et = 0 pour tout p > 0. x x x xp

10 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 100 Démonstration. Par l exemple précédent ln ( x ) 1 x = ln 1. x La fonction ln est continue et satisfait ln a b = b ln a et ln 1 = 0. Donc 0 = ln 1 = ln ( x ) 1 x = ln ( ) x 1 ln x x = x x x x. Posons x = y p, nous avons que ln x x l infini. = p ln y y p tend vers 0 lorsque y tend vers Comportement asymptotique et asymptotes Asymptote horizontale. Soit f : R R une fonction telle que x + f(x) = L. La droite d équation y = L est une asymptote horizontale de la fonction f en +. Comportement asymptotique. Soit f : R R une fonction telle que f(x) = ou f(x) = +. On veut décrire le comportement x + x + asymptotique de f plus précisément par une fonction h plus simple. Si h : R R est telle que f(x) h(x) = 0, x + alors f et h ont le même comportement asymptotique. Asymptote oblique. Si h est une fonction affine, i.e. h(x) = ax + b, alors la droite définie par h est une asymptote oblique de la fonction f en +. En particulier, f(x) a = x + x. Similairement, on décrit le comportement asymptotique d une fonction f en. Une manière plus systématique d étudier le comportement asymptotique à l aide du développement ité sera donnée au chapitre suivant. Exemples. 1. Donner les asymptotes obliques de f(x) = 3x 2 + 2x + 1 en et +. Pour l asymptote en +, on cherche alors a, b tels que ( ) f(x) (ax + b) = 0. x + On trouve a = 3. Ensuite noter que f(x) 3x = 3x2 + 2x + 1 3x 2 3x2 + 2x x = 2x + 1 3x( x + 1 3x + 1) 2 d où b = 3/3 puisque (f(x) 3x) = 1 x + 3. En l asymptote oblique est la droite d équation y = 3x 3/3.

11 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE Soit f(x) = x 4 + 4x Donner le polynôme quadratique h(x) = ax 2 + bx + c tel que f(x) h(x) = 0. x + On calcule les coefficients d une manière récurrente. Evidemment Donc a = 1. Ensuite nous avons f(x) x 2 = x + x d où b = 2, et finalement x + (f(x) x2 2x) = d où c = 2. f(x) x + x 2 = 1. x + x + 4x x( x 4 + 4x x 2 ) = 2, 4x x4 + 4x x 2 + 2x = 2, 4.2 Fonctions uniformément continues Continuité uniforme. Soit I un intervalle. Une fonction f définie sur I est dite uniformément continue sur I si à tout ϵ > 0, on peut associer δ > 0 tel que x, y I et x y < δ implique f(x) f(y) < ϵ. Fonction Lipschitz-continue ou lipschitzienne. Soit I un intervalle. Une fonction f définie sur I est dite Lipschitz continue ou lipschitzienne sur I s il existe L > 0 tel que f(x) f(y) < L x y pour tout x, y I. Proposition Fonctions uniformément continues. 1. Une fonction uniformément continue sur un intervalle I est continue. 2. Soit f une fonction continue définie sur l intervalle borné et fermé [a, b]. Alors f est uniformément continue sur [a, b]. 3. Une fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. Démonstration. La première affirmation est évidente. Pour démontrer 2, supposons que l affirmation soit fausse pour une fonction f. Alors il existe ϵ > 0 tel que pour tout n N, il existe x n, y n tels que x n y n < 1 n, f(x n) f(y n ) > ϵ. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe x nk, y nk qui convergent vers x respectivement y. Par la première inégalité x = y. Donc f(x) = f(y) d où la contradiction. Pour démontrer 3, choisir δ = ϵ/l dans la définiton d une fonction uniformément continue. Approximation d une fonction continue par une fonction en escalier. La continuité uniforme joue un rôle important dans la construction de l intégral. On va montrer plus loin au chapitre 6 qu une fonction uniformément continue peut être approchée par des fonctions en escalier avec une précision arbitraire.

12 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 102 Exemple de fonctions continues mais pas uniformément continues. Les fonctions f, g :]0, 3[ R définies par f(x) = 1 x et g(x) = sin 1 x ne sont pas uniformément continues. En fait pour f, prendre les suites définies par x n = 1 n et y n = x n 2, n un entier positif. Alors x n y n converge vers 0 lorsque n tend vers l infini mais f(y n ) f(x n ) = n diverge. Pour analyser g, prendre 1 x n = π(n ) et y n = 1 πn. Alors x n y n converge vers 0 lorsque n tend vers l infini mais g(y n ) g(x n ) = 1 ne converge pas vers 0. La fonction h : R R définie par h(x) = x 2 est uniformément continue sur tout intervalle borné et fermé mais elle n est pas uniformément continue sur un intervalle non-borné. Prendre, par exemple, x n = n et y n = n + 1 n. Alors x n y n converge vers 0 lorsque n tend vers l infini mais h(y n ) h(x n ) = n ne converge pas vers 2 0. Exemple - une fonction uniformément continue mais pas lipschitzienne. La fonction f(x) = x est uniformément continues sur [0, 1] mais il n existe aucune constante L > 0 tel que x 0 L(x 0). 4.3 Suites de fonctions Soit E R. On considère une suite de fonctions (f n ) n N, f n : E R. Convergence simple. On dit que (f n ) n N converge simplement vers la fonction f : E R si pour tout x E : f n(x) = f(x). (4.5) On dit aussi que les f n convergent ponctuellement vers f. Evidemment les ites simples respectent les règles de calcul du théorème 2.1 pour les suites. Exemple. Soit f n (x) = tanh nx, x R. Alors f n(x) = sign(x) (voir section 1.6.2). Les fonctions f n sont continues en tout x R mais la ite ponctuelle f(x) admet ici un point de discontinuité. En général, nous ne pouvons pas commuter la ite simple d une suite de fonctions avec la ite f(x) x x 0 puisque pour cet exemple car la dernière ite n existe pas. ( f n (x) ) ( f x 0 x 0 n(x) )

13 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 103 La ite simple (ou ponctuelle) de la suite de fonctions continues tanh nx n est pas continue. Convergence uniforme. On dit que (f n ) n N converge uniformément vers la fonction f : E R si pour tout ε > 0 il existe N ε N tel que pour tout n N ε : sup f n (x) f(x) < ε. (4.6) x E Cette unique fonction f : E R est appelée la ite uniforme de la suite (f n ) n N. Evidemment les ites uniformes respectent les règles de calcul du théorème 2.1 pour les suites.

14 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 104 Convergence uniforme : pour tout ε > 0 les fonctions f n, pour n suffisamment grand, sont dans une bande de hauteur 2ε autour de la fonction ite. Exemple. Soit f n (x) = tanh nx, x [a, b], 0 < a < b. Alors f n(x) = 1 uniformément. En fait, soit ε > 0 arbitraire. Grâce à la monotonie de la fonction tanh : sup tanh nx 1 = 1 tanh na = x [a,b] Pour tout 2 > ε > 0 on choisit N ε N tel que 2 e 2na e 2Nεa + 1 < ε N ε > 1 2a ln ( 2 ε 1). La monotonie de la fonction tanh (ou de la fonction exponentielle) implique alors pour tout n N ε : 2 e 2na + 1 < ε. Les fonctions f n (x) = tanh nx convergent uniformément vers f(x) 1 sur tout l intervalle x [a, b], 0 < a < b. En revanche, si l intervalle contient 0 alors les f n ne converge plus uniformément.

15 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 105 La suite de fonctions continues tanh nx converge uniformément vers la fonction 1 sur [a, b], 0 < a < b.. Proposition Convergence uniforme implique convergence simple. Si (f n ) n N converge uniformément vers la fonction f : E R, alors pour tout x E : f n(x) = f(x). Démonstration. C est une conséquence du fait que pour tout x E : f n (x) f(x) sup f n (x) f(x). x E L importance de la notion de convergence uniforme devient claire quand on l applique aux fonctions continues. Nous allons montrer que la ite uniforme de fonctions continues est une fonction continue. La convergence uniforme est alors la convergence naturelle pour les fonctions continues. L espace vectoriel des fonctions continues C 0 (I). Soit I un intervalle. L ensemble des fonctions continues f : I R, noté C 0 (I), est un espace vectoriel (voir le théorème 2.8 : toute combinaison linéaire de fonctions continues sur I est continue sur I). Théorème 4.3. La ite uniforme de fonctions continues. Supposons que f n C 0 (I) convergent uniformément vers f. Alors f C 0 (I). En particulier pour tout x 0 I : ( f n (x) ) ( = f n(x) ) (4.7) x x 0 x x 0

16 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 106 Démonstration. Soit ε > 0 et x 0 I. Nous devons démontrer l existence d un δ > 0 tel que x x 0 < δ implique f(x) f(x 0 ) < ε. On procède par un argument standard en analyse appelé l argument de ε sur Toute f n est continue en x 0 il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ implique f n (x) f n (x 0 ) < ε f n converge uniformément vers f il existe N ε N tel que pour tout n N ε sup f n (x) f(x) < ε x I 3. Par conséquent, f(x) f(x 0 ) = f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) sup x I f n (x) f(x) + f n (x) f n (x 0 ) + sup f n (x) f(x) x I < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. La commutativité des ites (4.7) est laissée comme exercice. Le théorème 4.3 démontre que l espace C 0 (I) est complet par rapport à la convergence uniforme. Un espace vectoriel normé complet est appelé un espace de Banach. Si I = [a, b] on définit la norme (dite la norme du maximum) f 0 := max f(x) (4.8) x I Noter que si f C 0 ([a, b]), alors f 0 <. Il est facile à démontrer que 0 vérifie les propriétés de positivité, homogénéité et l inégalité triangulaire. Si (f n ) n N est une suite de Cauchy par rapport à la norme 0, elle définit une suite de Cauchy (f n (x)) n N en tout x I. L ensemble des réels R est complet. Par conséquent les f n convergent simplement vers une fonction f sur I. On démontre la convergence uniforme vers f comme suit : pour tout ϵ > 0 il existe un entier naturel N ϵ tel que f n f m 0 < ϵ si n, m N ϵ. Il en suit f f m 0 = sup x I f(x) f m (x) sup f n(x) f m (x) n x I sup sup f n (x) f m (x) x I n N ϵ sup sup f n f m 0 x I n N ϵ = sup n N ϵ f n f m 0 d où la continuité de f donc f C 0 (I). Convergence simple versus convergence uniforme. Nous avons vu que la convergence uniforme implique la convergence simple (ou ponctuelle) mais pas vice versa. De plus, la convergence uniforme préserve la continuité (voir le théorème 4.3) contrairement à la convergence simple qui ne préserve pas la continuité (voir l exemple f n (x) = tanh nx sur R). Il y a cependant des conditions sous lesquelles la convergence simple de fonctions continues entraîne la convergence uniforme. Si la convergence simple est monotone et sachant que

17 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 107 la ite ponctuelle est une fonction continue on peut en déduire la convergence uniforme. C est le théorème de Dini 3. Théorème 4.4. Théorème de Dini. Soit (f n ) n N C 0 ([a, b]) une suite croissante, c est-à-dire f n (x) f n+1 (x) pour tout n N et tout x [a, b], qui converge ponctuellement vers f C 0 ([a, b]). Alors la suite (f n ) n N converge uniformément vers f C 0 ([a, b]). Démonstration. Par l absurde. Si (f n ) n N ne converge pas uniformément vers f C 0 ([a, b]), il existe x n [a, b], n N, et ϵ > 0 tels que f(x n ) f n (x n ) ϵ. Par le théorème de Bolzano Weierstrass, il existe une sous-suite (x nk ) k N telle que x n k = x [a, b]. La continuité de f et de f N pour tout N N k + implique f(x n k ) = f(x), k + f N(x nk ) = f N (x). k + La convergence ponctuelle de f N vers f implique N + f N (x) = f(x). Par conséquent pour notre ϵ > 0, il existe un N ϵ N tel que pour tout N N ϵ : f N (x) f(x) < ϵ. En utilisant la monotonie de la suite des f N, f N (x) f(x), on trouve 0 f(x) f N (x) < ϵ pour tout N N ϵ. Fixons un tel N. Par la monotonie de la suite de f n, on a pour tout n k > N : d où en prenant la ite ϵ donc la contradiction désirée. ϵ f(x nk ) f nk (x nk ) f(x nk ) f N (x nk ) (f(x n k ) f N (x nk )) = f(x) f N (x) < ϵ k + Séries de fonctions. Les séries de fonctions sont définies comme des séries numériques. Soit (f n ) n N, f n : E R, une suite de fonctions. La suite (S n ) des sommes partielles est définie par La série S n (x) = n f k (x). k=0 k=0 f k (x) est dite ponctuellement convergente ou simplement convergente si la suite (S n (x)) des sommes partielles converge ponctuellement. La série f k (x) est dite absolument convergente si les sommes partielles S n (x) = k=0 n f k (x) convergent absolument. La série k=0 f k (x) est dite uniformément convergente si la suite (S n (x)) n N des sommes partielles converge uniformément. Si les f k (x) sont bornées et si la série f k 0 converge, alors la série f k (x) converge absolument et uniformément. k=0 3. Ulisse Dini, , mathématicien italien k=0 k=0

18 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 108 Exemples - types de séries. Si f k (x) = a k x k, k N, on obtient les séries entières (voir Chapitre 5). Nous avons déjà vu la série exponentielle et les séries pour sin, cos, sinh, cosh. Il y a des séries qui ne convergent pas en tout x R. On définit le rayon de convergence R par 1 k = sup ak [0, [ { }. Par R k + le critère de Cauchy, la série converge absolument en tout x ] R, R[ et elle diverge si x > R. Elle converge uniformément sur tout intervalle [ r, r] avec 0 < r < R. Par exemple, la série kx k k=0 converge absolument pour tout x < 1. Si f k (x) = a k e ikx, f k (x) = a k sin kx ou f k (x) = a k cos kx, on appelle la série une série de Fourier. Si f k (x) = a k x k, k Z, on obtient les séries de Laurent avec les applications dans la théorie des fonctions complexes (c est-à-dire x C). Exemple. La série x k f k (x) = 1 + x k k=1 converge absolument sur ] 1, 1[ (c est-à-dire pour tout x < 1) et diverge en k x dehors. En fait, par le critère de Cauchy k k x k = x si x < 1 d où la convergence absolue. Si x 1 les f k (x) ne convergent pas vers zéro. La série converge uniformément sur tout intervalle [ r, r] avec 0 < r < 1 puisque f k 0 = k=1 max x [ r,r] k=1 x k 1 + x k k=1 max x [ r,r] k=1 La série ne converge pas uniformément sur ] 1, 1[. x k 1 x k = k=1 r k 1 r k <.

19 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 109 La série k=1 x k converge uniformément sur [ r, r], 0 < r < xk

20 CHAPITRE 4. FONCTIONS RÉELLES ET PROCESSUS DE LIMITE 110 Exemple. La série f k (x) = k=1 k=1 converge absolument et uniformément sur R. sin(πk 2 x) k 2 La série k=1 sin(πk 2 x) k 2 est de période 2 et converge uniformément sur R.