Corrigé du TD 3 : Limites

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1 Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier l fonction f n est ps injective. Elle n est donc ps bijective de R sur I. Mis, l fonction f est strictement croissnte sur R + et strictement décroissnte sur R, insi sur chcun de ces deu intervlles, elle devient injective. On en déduit donc en considérnt J = R + que f est bijective de J sur I. Elle dmet donc une fonction réciproque f : I J. Pour déterminer f, on considère y I et on cherche l unique J tel que y = f(). Le problème à résoudre est donc y = + soit = y, où on bien y 0 puisque y I. On en déduit lors que y =, puisqu on choisi de se restreindre à J et donc u 0. Or, l reltion y = f() est équivlente à = f (y), ce qui permet de déduire que pour tout y I, y f (y) =. On peut lors vérifier que pour tout y I, ( ) y f f (y) = + = y + = y + = y et pour tout J, f f() = + = = =. On vérifie bien sur le dessin que les deu grphes sont obtenus l un pr rpport à l utre pr une symétrie d e l première bissectrice (l droite d éqution y = ).

2 03-04 L SNV - Mthémtiques C f y = C f. Cs f () = + On commence pr étudier l foncton f. Il y lors deu cs selon le signe du réel. Dns un premier temps, lorsque > 0, elle est définie sur R tout entier puisque quel que soit réel, on + > 0 et elle est priori à vleurs dns R +. L fonction f est lors dérivble en tout point R puisque l est sur R + et que + > 0. Pour tout réel, on insi en utilisnt l formule pour dériver une composée, f () = On peut lors remrquer que pour tout réel, + = +. f( ) = ( ) + = + = f()

3 03-04 L SNV - Mthémtiques donc l fonction est pire et il suffit pr conséquent de l étudier sur R +. Cel implique à nouveu en prticulier que f n est ps injective et donc fortiori ps bijective sur R. Sur cet intervlle, puisqu on est dns le cs 0, on que, pour tout 0, f () 0, vec nnultion uniquement en = 0. Ainsi l fonction f est strictement croissnte sur R + et strictement décroissnte sur R. De plus, f (0) = et f tend vers + en + donc on en déduit comme dns le cs précédent que l fonction est bijective de R + sur [,+ [. Pour déterminer l fonction réciproque, on essye de résoudre pour y [,+ [, l éqution y = +. On élève lors u crré pour obtenir soit y = + = y soit puisque > 0 et donc en prticulier 0, = y. Puisque y [,+ [, on que y 0 et donc on peut prendre l rcine crrée pour obtenir que y = =. Mis on cherche dns R + donc tel que =. Ainsi, on que = f y (y) =. On vérifie bien que pour tout positif, f f() = f ( +) = (sqrt +) soit f + f() = = = = cr 0. On vérifie de même que pour tout y, On les trcés suivnts : f f (y) = y.

4 03-04 L SNV - Mthémtiques 4 3 C f y = C f 3 4 Le cs = 0 donne f () = pour tout qui est constnte et donc non bijective et il reste pr conséquent à triter le cs < 0. Dns ce cs, l fonction n est bien définie que lorsque + 0 soit lorsque (ttention diviser pr chnge le sens de l inéglité cr < 0) [ ] ] soit sur,. On que l fonction est dérivble pour tout, (on rppelle que l rcine crrée n est ps dérivble en 0!) et que pour tout dns cet intervlle f () = + = +. Puisque [ f ( ) ] = f (), l fonction n est ps bijective cr non injective. On se plce lors sur 0,. Sur cet intervlle, 0 et donc f () 0 si bien que f est strictement croissnte donc injective. De plus, f (0) = et f tend vers 0 en si bien que l [ ] fonction f est bijective de 0, sur [0,]. On cherche lors à résoudre pour y [0,], y = +. [

5 03-04 L SNV - Mthémtiques Comme dns le cs > 0, on boutit à = y où cette fois y 0. Mis < 0, donc on y et donc on peut prendre l rcine crrée et conclure comme ci-dessus que f y (y) =. Les vérifiction de f f = Id et f f = Id se font comme dns le cs > 0. On les trcés suivnts : 0 y = C f C f

6 03-04 L SNV - Mthémtiques.3 Cs f() = +ln() Comme l fonction logrithme, l fonction f est définie sur R + et puisque l fonction logrithme est strictement croissnte et tend vers en 0 et vers + n +, on en déduit que l fonction f vérifie les mêmes propriétés et que pr conséquent elle rélise une bijection de R + sur R. Fions donc y réel et tentons de résoudre l éqution y = +ln() vec R +. Cette éqution est équivlente à et en prennt l eponentielle, on obtient soit ln() = y e ln() = = e y = f (y) = ey qui est bien strictement positif. On vérifie lors isément que pour tout y réel, ) f f (y) = +ln ( ey = +ln ( e y ). On donc De même, pour tout > 0, on f f (y) = +y = y. f f() = e+ln() On églement les trcés suivnts : = eln( = =. C f y = 4 3 C f

7 03-04 L SNV - Mthémtiques.4 Cs f() = e 3+ Comme l fonction eponentielle, f est définie sur R tout entier et est strictement croissnte. De plus, f tend vers en et vers + en + donc on en déduit qu elle rélise une bijection de R sur ],+ [. Afin de déterminer l réciproque, on résout pour y ],+ [ l éqution y = e 3+ soit y + = e 3+. Puisque y >, y + > 0 et on peut psser u logrithmes pour obtenir soit soit enfin On vérifie lors pour réel que 3+ = ln(y +) 3 = ln(y +) = f (y) = ln(y +). 3 f f() = ln(e3+ +) 3 = ln(e3+ ) 3 = 3+ 3 = et que pour tout y >, on f f (y) = e 3ln(y+) 3 + = e ln(y+) = y + = y. On églement les trcés suivnts : C f y = C f

8 03-04 L SNV - Mthémtiques Eercice : Limites simples. Cs 0 + Ici, on fit tendre vers 0 pr vleurs positives donc en prticulier pour de telles vleurs, = et = =. On en déduit que. Cs =. Dns ce cs, on fit tendre vers 0 pr vleurs négtives donc en prticulier pour de telles vleurs, = et = =. On en déduit que 0 =. On peut déduire de ces deu clculs que l fonction n est ps dérivble en Cs Puisqu on cherche l ite en +, on peut supposer que > 0 et dns ce cs on conclut comme dns le premier cs que.4 Cs + = =. + Cette fois-ci, on cherche l ite en, on peut supposer que < 0 et dns ce cs on conclut comme dns le deuième cs que.5 Cs + cos() = =. Si on se souvient du trcé de l fonction cosinus, on voit que l fonction oscille entre - et et donc on devine que l fonction n ps de ite.

9 03-04 L SNV - Mthémtiques cos Pour démontrer cel rigoureusement, on v utiliser le fit suivnt. Si lors pour toute suite ( n ) n N telle que on doit voir cos() = l R {,+ }, + n = +, n + cos( n) = l. n + On v lors utiliser l suite n = π (n+) qui tend bien vers + de sorte que (dessiner le cercle trigonométrique) ( π ) cos (n+) = 0 0. n + Si l fonction vit une ite l en +, on en déduirit donc que l = 0. Mis, d utre prt, si on considère l suite n = (n+)π qui tend églement vers +, on cos((n+)π) = n +, et on devrit donc voir l = 0 =, ce qui est impossible. L fonction n dmet donc ps de ite en +.

10 03-04 L SNV - Mthémtiques cos().6 Cs + Dns ce cs, en revnche, diviser pr v prendre le dessus sur le comportement oscillnt de l fonction cosinus. On sit que pour tout, cos() et puisque l ite est en +, on peut supposer > 0. On obtient donc que 0 cos(). Or, + = 0 et donc d près le théorème d encdrement, on obtient que +.7 Cs cos() + Dns le cs d un quotient, on commence pr regrder les ites du numérteur et du dénominteur. Le numérteur + tend vers lorsque tend vers tndis que le dénominteur tend vers 0 lorsque tend vers. On cherche lors l ite de. On sit pr le cours qu elle v être infinie mis pour l déterminer, on sit églement que l on besoin de connître le signe de. Lorsque tend vers pr vleurs inférieures, on 0 et donc = 0. = et donc + = tndis que lorsque tend vers pr vleurs supérieures, on 0 et et donc + = = +..8 Cs 4 + Le numérteur tend vers lorsque tend vers et il reste à étudier dns le cs précédent, si bien qu on en déduit imméditement que et 4 + = = +. que l on étudié

11 03-04 L SNV - Mthémtiques.9 Cs + e+ e Ici, on en utilisnt le fit que l eponentielle tend vers + en + que et + e+ = + + ( e ) =. On est donc en présence d une forme indéterminée de type +. Pour lever l indétermintion, on fctorise pr le terme dominnt e : e + e = e (e ). À présent, on sit que e = e e 0 > 0 et et pr conséquent en fisnt le produit.0 Cs + e e + e = + + e+ e = +. De l même fçon que dns le cs précédent, on ffire à l même forme indéterminée. Intuitivement e est le terme qui v le plus vite à l infini et qui devrit donc dicter le comportement de l epression. On force donc l fctoristion pr e : On lors et d utre prt, e e = e ( e ). = + + e + = (il s git d un trinôme du second degré vec un coefficient dominnt négtif, on peut ussi le voir en écrivnt = ( /+))donc = 0 + e puisque l eponentielle tend vers 0 en. On obtient donc et on peut conlure que ) = + ( e e = +. + e Remrque : On pouvit ussi fctoriser pr e pour obtenir e e = e (e )

12 03-04 L SNV - Mthémtiques et et ce qui revenit globlement u même.. Cs + ln(+( ln() À nouveu, on et + e = + = + + e ln(+) = + + ( ln()) = + et on une forme indéterminée. Pour lever l indétermintion, on v utiliser l formule vlble pour tous z et t strictement positifs : ( z ln(z) ln(t) = ln. t) Dns notre cs, on obtient ( ) + ln(+) ln() = ln On lors et donc + ( = ln + ) ( = ln + ). = 0 ( + ) = + puis pr composition des ites puisque l fonction logrithme est continue, ( ln(+) ln() = ln + ) = ln() = Cs Pour étudier ce genre de ites, il fut retenir que l ite est égle à l ite du quotient des termes de plus hut degré. Ainsi dns ce cs, on = + = 3 = +. + Pour le démontrer plus rigoureusement, on force l fctoristion u numérteur et u dénominteur pr les termes de plus hut degré : = 33( ) ( ) =

13 03-04 L SNV - Mthémtiques On lors puisque = 3 et + = que = + + et on retrouve bien le principe et le résultt nnoncé. 3.3 Cs 3 + Cette fois, tend vers donc le principe précédent ne s pplique plus! Le numérteur tend vers 3 + = lorsque tend vers tndis que le dénominteur tend vers 0. On sit qu il fut lors étudier le signe de u voisinge de. Lorsque tend vers pr vleurs inférieures, 0 et donc et = =. Enfin, lorsque tend vers pr vleurs supérieures, 0 et donc et + = = Eercice 3 : Limites trigonométriques tn() 3. Cs 0 Pr définition de l fonction tngente, on pour tout ] π, π [, tn() = sin() cos(). On donc Or, on sit que tn() = sin() sin() 0 cos(). =

14 03-04 L SNV - Mthémtiques et cos(0) = et donc pr continuité de l fonction cosinus cos() = cos(0) =. 0 On pr conséquent et tn() 0 0cos() = = sin() = 0 cos() =. sin() 3. Cs 0 On reconnît une frction très semblble à sin() et donc on v essyer de s y rmener. On écrit pour ce fire, sin() = sin() = sin(y) y où on posé y =. Lorsque tend vers 0, y tend vers 0 et donc ce qui nous permet de conclure que cos() 3.3 Cs 0 sin() 0 sin() 0 On v utiliser l formule rppelée dns l énoncé sin(y) = = y 0 y =. cos() = sin () vec =. On obtient lors ( cos ) ( ) = cos() = sin soit cos() = sin ( ). Ainsi, on cos() = On étudie lors l ite en 0 de l quntité sin ( ). ( ( ) sin ).

15 03-04 L SNV - Mthémtiques On procède comme ci-dessus en écrivnt sin ( ) = sin ( ), ce qui fournit Pr conséquent, et cos() sin ( ) =. ( sin ( ) = 0 ) = 4 ( sin ( ) ) = 4 =. sin( 3.4 Cs ) 0 On v à nouveu tenter de se rmener à du sin(y) y. Pour ce fire, on écrit sin( ) = sin( ). Posnt y = qui tend vers 0 lorsque tend vers 0, on D utre prt, tend vers 0 donc sin( ) sin(y) = =. 0 y 0 y sin( ) 0 = 0 sin( ) = 0. 4 Eercice 4 : Vitesses de fonctions Il s git de fonctions clssiques du cours, dont le trcé est donné ci-dessous :

16 03-04 L SNV - Mthémtiques / On voit donc que les courbes s intrsectent toutes en deu points : 0 et. En 0, toutes ces fonctions vlent 0 et elles tendent vers + en +. Pour une courbe y = g(), on v effectuer les chngements de vribles y = log(y) et = log() ce qui conduit dns le cs des fonctions étudiées à y = log(f ()) = log( 3 ) = 3log() = 3, y = log(f ()) = log( ) = log() =, et enfin y = log(f 3 ()) = log() =, y = log(f 4 ()) = log( /3 ) = 3 log() = 3. On insi des droites que l on peut trcer :

17 03-04 L SNV - Mthémtiques / /3 3 4 On voit donc que l fonction qui tend le plus vite vers + est f, ensuite on f 3 puis f et enfin f 4. 5 Eercice 5 : Comprison de vitesses de fonctions 5. Cs + e On sit qu en +, l eponentielle l emporte sur n importe quelle puissnce de donc on en déduit que e + = Cs n e Pour l seconde, on peut poser y = de fçon à ce que lorsque tend vers, y tende vers +. Ainsi, n e = y + ( y)n e y. Or, ( y) n = ( ) n y n et e y = e y et donc on n e = y + ( )nyn e y. Mis pr l première remrque(comprison entre fonctions puissnces et l eponentielle), on y n y + e = 0 y cr e y y + y = +. n

18 03-04 L SNV - Mthémtiques On donc finlement puisque le ( ) n est une constnte. n e = Cs 0 +ln() Pour l suivnte, on peut poser = e y (ou y = ln()) de sorte que lorsque tend vers 0 +, y tende vers. On lors d près le cs précédent. 5.4 Cs ln() + ln() = 0 y yey = 0 Le même chngement de vrible que ci-dessus fournit ln() = 0 y yey/. Or, ye y/ = y ey/ où le cs précédent fournit en posnt z = y/ qui tend vers lorsque y tend vers : On en déduit donc que et pr conséquent y 5.5 Cs + ln(+ ) y ey/ = z zez = 0. y yey/ = 0 ln() = 0 y yey/ = 0. On sit étudier les quntités de type ln() qund tend vers 0 + donc on v se rmener à une quntité de ce type en écrivnt ln(+ ) = (+ )ln(+ ) +. En posnt y = + qui tend vers 0 + lorsque tend vers 0 +, on (+ )ln(+ ) = yln(y) = 0 0 y 0 pr un des cs qui précède. Il reste donc à étudier l ite de +.

19 03-04 L SNV - Mthémtiques On priori une forme indéterminée puisque le numérteur et le dénominteur tendent tous les deu vers 0 mis en 0, on sit que c est le comportement de qui l emporte sur (il suffit de regrder les grphes) et donc on v fctoriser pr ce terme : + = ( +) = +. Désormis, le dénominteur tend vers tndis que le numérteur tend vers 0, insi, on en déduit que 0+ = 0 ce qui nous permet de conlure que 5.6 Cs + e/ ln(+ ) = 0. 0 Enfin, pour le dernier cs, on pose y = qui tend vers + lorsque tend vers 0+. On lors e y = 0 +e/ y + y = 0 d près le premier cs. 6 Eercice 6 : Limites prmétriques 6. Cs Les deu premiers cs sont des ites en + de quotient de polynômes donc on pplique l technique de l eercice pour obtenir dns le cs où est non nul + On donc lorsque > 0 que et lorsque < 0, tndis que lorsque = 0, on = = +3 = = + +3 = = +..

20 03-04 L SNV - Mthémtiques 6. Cs + + +b+ Le deuième cs se trite de fçon prfitement nlogue. Si 0, on + + +b+ = + = + = lors que si = 0, on à nouveu deu cs. Dns le cs où b 0, on toujours en ppliqunt l même règle : + On donc lorsque > 0 que + +b+ = + + b+ = + b = + b. et lorsque < 0, Et lorsque b = 0, on b+ = + + +b+ = Cs + e 3 Il y trois cs. Soit = 0 et lors ce qui implique que + +b+ = + ( +) = +. e 3 = 3 = + e 3 =. Dns le cs où > 0, on que tend vers + lorsque tend vers + donc + e 3 = +, cr l eponentielle tend vers + n +. Et enfin, si < 0, on qui tend vers lorsque tend vers + donc + e 3 = 3, cr l eponentielle tend vers 0 en. 6.4 Cs 3 4 +c L ite est ici en 0 donc on ne peut plus ppliquer le principe utilisé dns les deu premiers cs de cet eercice. On ffire à un quotient donc l première chose à fire est de clculer les ites du numérteur et du dénominteur. Le dénominteur tend bien sûr

21 03-04 L SNV - Mthémtiques vers 0 + tndis que le numérteur tend vers c. On lors deu cs. Si c 0, on n ucun problème de forme indéterminée et on en déduit imméditement que Il reste donc le cs c = 0 et dns ce cs 3 4 +c = et pr conséquent 3 4 +c c = 4 4 = = Problème Pour t = 0, on obtient que p(0) = γ α β +p(0)+ γ α β = p(0) dont le signe ne dépend ps de α ou β. En revnche, si on étude l ite en + de l fonction p, on voit qu on doit étudier l ite en + de t e (α β)t. On fit l même étude que dns le cs 3 de l eercice précédent. Si, α = β, lors pour tout temps t, p(t) = γ α β +p(0)+ γ α β = p(0) est constnte, ce qui est logique puisque l condition α = β revient à dire que les tu de ntlité et de mortlité sont les mêmes et donc que l popultion d oiseu ne vrie ps. Si α > β, soit α β > 0, lors (α β)t tend vers + lorsque t tend vers + et pr conséquent p(t) = + t + cr t + e(α β)t = +. Cel siginifie qu près un temps infini, l popultion devient infinie, ce qui est norml puisque l condition α > β implique que le tu de ntlité est strictement plus élevé que celui de mortlité et donc l popultion croît strictement. Il reste lors le cs α < β, soit α β < 0, lors (α β)t tend vers lorsque t tend vers + et pr conséquent p(t) = γ t + α β cr t + e(α β)t = 0. On dns ce cs > 0 et l condition α < β revient à dire que le tu de mortlité α β est strictement plus fort que le tu de ntlité. Dnsle cs oùγ 0, c est-à-dire le cs où le solde migrtoire est négtif, l ite en l infini est négtive. On en déduit que si γ = 0,

22 03-04 L SNV - Mthémtiques l ite est nulle et donc popultion s éteint en temps infini tndis que si γ < 0, l ite est strictement négtive et insi, en un temps fini, l fonction p s nnule et l popultion d oiseu disprît en temps fini. Dns le cs où γ > 0, c est-à-dire où le solde migrtoire est strictement positif, il y une sorte de compenstion entre le tu de mortlité qui est plus élevé que celui de ntlité et l quntité d oiseu qui rrivent pr l migrtion qui fit que l popultion ne s éteint ps mis diminue ou ugemente selon l position de γ α β pr rpport à p(0) jusqu à l vleur γ α β en un temps infini.

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