Partie A : Limites de fonctions

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1 Chapitre 2 I Limite d une fonction en ou en A) Limite finie en ou en 1) Activité 1 Partie A : Limites de fonctions On considère la fonction définie pour tout par de courbe représentative a) A l aide d un tableur on cherche à savoir comment évolue pour de grandes valeurs de Cela donne : x f(x) 5,000 2,273 2,143 2,097 2,073 2,059 2,049 2,042 2,037 2,033 2,030 2,027 2,025 2,023 2,021 2,020 Que constatez-vous? On dit que b) Grâce à la calculatrice (fonction table ) déterminer un réel tel que si, Même question avec cte fois Que constatez-vous? c) Réaliser la figure suivante sous Geogebra où M N sont des points de même abscisse de de la droite d équation Appelons l abscisse commune Comment se comporte la distance lorsque tend vers? Ainsi la courbe Γ la droite d équation se rapprochent indéfiniment lorsque tend vers On dit que la droite d équation est asymptote à la courbe en d) Exprimez la distance en fonction de : 2) Définitions y C f Soit une fonction définie sur un intervalle du type désigne un nombre réel Dire que f adm pour limite en signifie que tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs pour assez grand On écrira ou ( On donnerait un énoncé analogue pour tendant vers en ) Lorsque on dit que la courbe C représentative de f adm en + une asymptote horizontale d équation ( On donnerait un énoncé analogue en ) 1 y=l 0 1 x Cours de Mme Gomez M Agnel Page 1

2 Interprétation graphique Pour, il est possible de trouver un intervalle tel que pour tout appartenant à c intervalle on a : Sur l intervalle la courbe représentative de f est comprise entre les droites d équations ( voir ci-contre ) 3) Fonction inverse Proposition : Remarque : On en déduit que la droite d équation ( l axe des abscisses ) est Exercice 1 : Montrer que pour tout on peut trouver un réel tel que, si alors ( ce qui prouve la première limite) B) tend vers l infini 1) Activité 2 1) a) Représenter la fonction carré sur Geogebra ainsi que les points,, sachant que est sur l axe des abscisses, est sur la courbe de, est sur l axe des ordonnées Appelons l abscisse du point ; ainsi Le but étant d observer le comportement de quand prend des valeurs positives de plus en plus grandes ( tend vers ) ou négatives de plus en plus pites ( tend vers ), changeons d échelles prenons,, b) Compléter : Lorsque tend vers, prend des valeurs ( tend vers ) On écrit Lorsque tend vers, prend des valeurs ( tend vers ) On écrit c) Grâce à une lecture graphique ( approximative ) compléter : En : pour, pour En : pour, pour d) Reprendre la question précédente en résolvant des inéquations : En :,,,, En :,,,, 2) a) Même construction que le 1a) avec cte fois la fonction définie par prenons ensuite comme nouvelle échelle,, b) Compléter c) Grâce à une lecture graphique ( approximative ) compléter : En : pour, pour En : pour, pour Cours de Mme Gomez M Agnel Page 2

3 2) Définitions Soit une fonction définie sur un intervalle du type Dire que tend vers en ( quand tend vers ) signifie que tout intervalle, réel, contient toutes les valeurs pour assez grand On écrira : ou Soit une fonction définie sur un intervalle du type Dire que tend vers en ( quand tend vers ) signifie que tout intervalle, réel, contient toutes les valeurs pour assez grand On écrira : ou Remarque : On rrouve la même idée que pour les limites de suites Par analogie, on définit pour une fonction définie sur un intervalle Proposition : Plus généralement : pour Exercice 2 : prouver à l aide de la définition de limite que Interprétation graphique : Pour tout nombre il est possible de trouver un réel, tel que pour tout Sur, la représentation graphique de f est au--dessus de la droite d équation II Limite d une fonction en un réel A) tend vers un réel 1) Activité 3 : Voici un tableau de valeurs de plusieurs fonctions, pour des valeurs de proches de 5 On a pour tout,, 4,93 4,94 4,95 4,96 4,97 4,98 4,99 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 12,9 13,2 13,5 13,8 14,1 14,4 14,7 15,0 15,3 15,6 15,9 16,2 16,5 16,8 17,1-2,96-2,96-2,97-2,98-2,98-2,99-2,99-3,00-3,01-3,01-3,02-3,02-3,03-3,04-3,04 Comment se comportent, lorsque tend vers 5? Cours de Mme Gomez M Agnel Page 3

4 2) Définition - propriété Soient un réel f est une fonction usuelle, polynôme, rationnelle, racine carrée définie en Alors f adm une limite en : Exercice 3 : Déterminer dans chacun des cas suivants, B) tend vers l infini 1) Activité 4 (Un triangle animé p 42) 1a : 1b : 2 1,10 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 aire de HAP Complément : 3 Du fait de la position du point on a jusqu ici Considérons la fonction définie sur non seulement sur, ci-contre sa représentation graphique Compléter : quand tend vers 1 par valeurs supérieures ( ) tend vers On écrit : Quand tend vers 1 par valeurs inférieures ( ) tend vers On écrit : Quand tend vers 1 que ce soit par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures la courbe de se rapproche indéfiniment de la droite d équation On dit que adm une asymptote verticale en 2) Définitions Soit une fonction définie sur ou ou bien sur la réunion des deux, étant un réel quelconque Si tout intervalle contient pour suffisamment proche de on dit que la limite de quand tend vers par valeurs supérieures est on écrit Remarques : - On définit de même les trois autres situations illustrées par des graphiques à consulter p 44 : - est aussi communément appelé «limite de à droite de» «limite de à gauche de» Si ou si ou on dit que la courbe de adm une asymptote verticale en ou encore que la droite d équation est une asymptote de Exercice 4 : Montrer à l aide de la définition que Travail en autonomie : Savoir-faire 1,2 p 45 Cours de Mme Gomez M Agnel Page 4

5 III Limites opérations Dans tout ce paragraphe désigne un réel ou bien ou bien sont des nombres réels 1) Somme Exercice 5 : déterminer 2) Produit Exercice 6 : déterminer ; 3) Quotient Exercice 7 : déterminer ATTENTION : Ici il faut bien différencier deux situations : quand le dénominateur ne tend pas vers 0 quand le dénominateur tend vers 0 Dans la seconde situation il faudra généralement : - Etudier la limite à droite la limite à gauche de - Etudier le signe de au voisinage de : si on écrira que tend vers si on écrira que tend vers, ce qui permtra d appliquer la règle des signes du quotient ( voir (*) du tableau) Cours de Mme Gomez M Agnel Page 5

6 Exemple : Ci-contre le graphe de définie sur par adm la droite d équation comme asymptote verticale En eff : Si : : Travail en autonomie : 3,4,5,6 p 47 ex 56 p 57 ex 68 p 58 4) Limites de fonctions composées a) Activité : Soient définies respectivement sur sur par Le but est de déterminer i Peut-on déterminer ces limites grâce à ce que l on sait déjà? ii Voici un tableau réalisé à l aide d un tableur : 1 A B C D E F G H I J K L 2 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 3 8,41 8,53 8,65 8,76 8,88 9,00 9,12 9,24 9,37 9,49 9,62 4 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,02 3,04 3,06 3,08 3,10 Quelle est la formule entrée dans la cellule B3 recopiée ensuite le long de la ligne? Quelle est la formule entrée dans la cellule B4 utilisant la ligne 3, recopiée ensuite le long de la ligne? Ainsi pour calculer on calcule d abord puis on calcule l image du résultat par la fonction Si on pose ce qui précède se reformule : iii Compléter :Lorsque tend vers 2, tend vers tend vers Ainsi iv Compléter : Procédons par analogie avec la situation précédente pour Ici Si on suit la même démarche : Vérifier à la calculte b) Définition Soient deux fonctions définies respectivement sur des intervalles tels que pour tout de soit dans Alors la fonction suivie de, notée est la fonction qui à tout de associe le réel c) Propriété, désignant des réels ou ou Soient deux fonctions définies respectivement sur des intervalles tels que pour tout de soit dans Si si alors Exemple : Déterminer Ici : Donc 1 ère étape : on pose 2 ième étape : On calcule la limite de quand tend vers ( c est ) Ici 3 ième étape : on conclut par composition ( est la limite obtenue ) Cours de Mme Gomez M Agnel Page 6

7 Rédaction : On pose donc par Par composition Travail en autonomie : Savoir 7 p 49 + ex 76 p 59 IV Limites comparaison des fonctions Dans tout ce paragraphe désigne un réel ou bien ou bien 1) Théorème des gendarmes pour les fonctions Soient, trois fonctions vérifiant, au voisinage de, Si admtent la même limite lorsque tend vers, alors adm aussi L pour limite en Exemple 1 Soit la fonction définie sur par étudions la limite de en Sur, -1 1,, d où Or, Et donc, le théorème ci-dessus perm de conclure que Exemple 2 : Soit la fonction définie sur par, étudions de la limite de en 0 Deux cas se présentent, Pour pour Travail en autonomie : Savoir-faire 8 p 51 2) Théorème de majoration ou de minoration pour les fonctions Soit deux fonctions vérifiant au voisinage de, Si alors ( minoration de par qui tend vers ) Si alors ( majoration de par qui tend vers ) Exemple 1 Soit définie par ; étudions la limite en Pour tout,, donc ( majoration de ), or Donc par comparaison Exemple 2 : Soit définie par ; étudions la limite en Pour tout,,,, donc (minoration de ) or donc par comparaison Cours de Mme Gomez M Agnel Page 7

8 Chapitre 2 Partie B : Le langage de la continuité Activité d introduction (sur feuille annexe) est une fonction définie sur l intervalle telle que On se propose de tracer une courbe représentative de dans un repère, respectant certaines contraintes supplémentaires 1) On souhaite que l équation n ait pas de solution dans Tracer une courbe respectant cte contrainte Remarque : Cte courbe n a pas pu être tracée sans lever le crayon sur ; on dit qu elle représente une fonction non continue sur 2) Tracer une courbe de façon que soit continue sur que l équation ait : a) une seule solution dans b) Exactement 3 solutions dans 3) On souhaite que soit continue sur que pour tout nombre réel compris entre 1 4 (c'est-à-dire entre ), l équation ait une seule solution dans Tracer une courbe respectant ces contraintes Que peut-on dire de? I Définition Soit une fonction définie sur un intervalle, un réel de Dire que est continue en signifie que adm une limite en égale à Dire que est continue sur signifie que est continue en tout réel de Graphiquement : le tracé de courbe d une fonction continue sur un intervalle peut se faire «sans lever le crayon» Illustration : définie sur [-1 ;5] par définie sur [-1 ;5] par est est Travail en autonomie : Savoir-faire 9 p 51 II Continuité des fonctions usuelles Nécessité : revoir dans votre cours de première la notion de dérivabilité (notion qui sera approfondie dans le chapitre 4) Théorème : Soit une fonction définie sur un intervalle, un réel de Si est dérivable en alors, est continue en Attention : la réciproque de ce théorème est fausse La fonction, définie sur dont la courbe est la suivante : Propriété (admise) Les fonctions polynômes sont continues sur La fonction racine carrée est continue sur Les fonctions créées par opération ou composition ( *) à partir des fonctions précédentes sont continues sur les intervalles de leur ensemble de définition Cas particulier : les fonctions rationnelles (*) : cf Chapitre 2 Partie A III 4) pour la notion de fonction composée Exemples : ( observer les tracés sur l écran de calculatrice) définie sur par est continue sur, en tant que définie sur - {1} par est une fonction rationnelle, continue sur Cours de Mme Gomez M Agnel Page 8

9 III Une fonction particulière : la fonction Partie Entière Remarque préalable : tout nombre réel peut être encadré par deux entiers consécutifs Exemples : Définition : La fonction partie entière, définie sur, est la fonction qui, à tout réel, associe l unique entier relatif tel que, on la note E Exemples : 26 ; ; ; Voici sa représentation graphique : IV Le théorème des valeurs intermédiaires 1) Propriété fondamentale des fonctions continues théorème des valeurs intermédiaires : ( théorème d existence ) Soit une fonction continue sur un intervalle, deux réels de Pour tout réel compris entre il existe au moins un réel compris entre tel que Soit, variant de à continue sur alors prend au moins une fois toute valeur comprise entre cas particulier : si est continue change de signe sur un intervalle, alors elle s annule au moins une fois Interprétation graphique : Soit la courbe représentative de compris entre La droite d équation coupe au moins une fois la courbe en un point d abscisse, comprise entre Interprétation en terme d équation : Soit une fonction continue sur un intervalle, deux réels de Pour tout réel compris entre l équation adm au moins une solution comprise entre Cours de Mme Gomez M Agnel Page 9

10 TS Chapitre 2 Exemple :, définie sur représentée ci-contre Montrer que l équation a au moins une solution dans est sur ( fonction polynôme ) donc puisque, d après le théorème des valeurs intermédiaires a au moins une solution dans Remarques : Sur la graphe ci-contre on constate qu il y a en fait 3 solutions Le théorème des valeurs intermédiaires montre l existence d une solution mais ne perm pas de la calculer y Cf 3 2 y = 1, x ) Cas des fonctions continues strictement monotones sur Théorème : ( théorème d existence d unicité, corollaire du précédent ) Si est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle, alors pour tout réel l équation adm une unique solution dans l intervalle compris entre Démonstration ( sur feuille annexe ) Remarques : les flèches obliques dans un tableau de variation traduisent continuité stricte monotonie de la fonction sur l intervalle considéré Importance des hypothèses : Stricte monotonie : dans l exemple précédent, la solution n est pas unique justement parce que la fonction n est pas strictement monotone Par exemple l équation n a pas de solution Pourtant mais la fonction partie entière n est pas continue sur 3) Cas des intervalles ouverts, semi-ouverts, bornés ou non Situation 1 : k pour tout réel l équation Situation 2 : adm une unique solution ( dans ) k pour tout réel l équation Cours de Mme Gomez M Agnel adm une unique solution dans Page 10

11 Situation 3 : ( ) k - pour tout réel l équation adm une unique solution dans Exemple 1 Voici le tableau de variation d une fonction, définie sur - {-1}, continue sur ] - ; -1[ sur ] 1 ; + [ f On sait, de plus, que 1 / Quel est le nombre de solutions de l équation? 2 / Encadrer chacune des solutions par deux entiers consécutifs Exemple 2 La fonction est définie sur par 1 Etudier les limites de en l infini 2 Dresser le tableau de variation de 3 Démontrer que l équation adm exactement 3 solutions dans Travail en autonomie : Savoir-faire 10,11 p 53 + Ex 107 p 61 Cours de Mme Gomez M Agnel Page 11

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