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1 EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite de la foctio f e + f() = ( ) + + l + 2 Démotrer que pour tout réel de l itervalle [, + [, f () = 3 E déduire le sige de la foctio f sur l itervalle [, + [ Partie B ( +) 2 Soit (u ) la suite défiie pour tout etier strictemet positif par u = l O cosidère l algorithme suivat : Variables : i et sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader à l utilisateur le valeur de Iitialisatio : Affecter à u la valeur 0 Traitemet : Pour i variat de à Sortie : Affecter à u la valeur u + i Afficher u Doer la valeur eacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur etre la valeur =3 2 Recopier et compléter l algorithme précédet afi qu il affiche la valeur de u lorsque l utilisateur etre la valeur de 3 Voici les résultats fouris par l algorithme modifié, arrodis à u 0, 697 0, 674 0, 658 0, 647 0, 638 0, 632 0, 626 0, 582 0, 578 0, 578 0, 577 Àl aidedecetableau,formulerdescojecturessurlesesdevariatiodelasuite(u ) et so évetuelle covergece Page 4 / 6

2 Partie C Cette partie peut être traitée idépedammet de la partie B Elle permet de démotrer les cojectures formulées à propos de la suite (u ) telle que pour tout etier strictemet positif, u = l Démotrer que pour tout etier strictemet positif, u + u = f() où f est la foctio défiie das la partie A E déduire le ses de variatio de la suite (u ) 2 a Soit u etier strictemet positif + ( Justifier l iégalité E déduire que + d ) d 0 Démotrer l iégalité l( +) l () b Écrire l iégalité () e remplaçat successivemet par, 2,, et démotrer que pour tout etier strictemet positif, l( +) c E déduire que pour tout etier strictemet positif, u 0 3 Prouver que la suite (u ) est covergete O e demade pas de calculer sa limite Page 5 / 6

3 EXERCICE 3 Partie A ) La limite d ue fractio ratioelle e + est ( égale) à la limite du quotiet de ses moômes de plus haut degré Doc lim + + = lim = Parsuite, + lim l = lim l(x) =l() =0 + + X D autre part, lim ( + ) =+ et doc lim + + = 0 Eadditioat,oobtiet + lim f() =0 + 2) La foctio est dérivable sur [, + [ e tat que fractio ratioelle dot le déomiateur e s aule + ( ) pas sur [, + [ Deplus,pourtoutréel de [, + [, >0Osaitalorsquelafoctio l est + + dérivable sur [, + [ D autrepart,lafoctio est dérivable sur [, + [ e tat que fractio ratioelle dot + le déomiateur e s aule pas sur [, + [ Fialemet,lafoctiof est dérivable sur [, + [ e tat que somme de deu foctios dérivables sur [, + [ Deplus,pourtoutréel de [, + [, er calcul : ( ) f ( + ) () = ( + ) 2 + = ( + ) 2 2ème calcul : + + = ( + ) ( + ) ( + ) 2 = ( + ) 2 + ( + ) = +( + ) ( + ) 2 f ( + ) () = ( + ) 2 +(l()) (l( + )) = ( + ) = +( + )2 ( + ) ( + ) 2 = ( + ) 2 = ( + ) 2 3) Pour tout réel de [, + [, f () >0Doclafoctiof est strictemet croissate sur [, + [ Maisalors,pourtout de [, + [, oaf() < lim + f ou ecore f() <0 La foctio f est strictemet égative sur [, + [ ) Iitialisatio : u = 0 Etape : i = puis u = 0 + = Partie B Etape 2 : i = 2 puis u = + 2 = 3 2 Etape 3 : i = 3 puis u = = 6 Si = 3, lavaleureacteaffichée par l algorithme est 3 6 2) Variables : i et sot des etiers aturels u est u réel Etrée : Demader à l utilisateur le valeur de Iitialisatio : Affecter à u la valeur 0 Traitemet : Pour i variat de à Affecter à u la valeur u + i Sortie : Afficher u l() http ://wwwmaths-fracefr 4 c Jea-Louis Rouget, 202 Tous droits réservés

4 3) Il semble que la suite (u ) soit décroissate, covergete de limite approimativemet égale à 0, 57 ) Soit u etier aturel o ul u + u = Partie C ( ) ( l( + ) ) + l() = + l() l( + ) = D après la questio 3) de la partie A, le foctio f est strictemet égative sur [, + [ Eparticulier,pourtoutetier, f() <0Aisi,pourtoutetieratureloul, oau + u <0et doc la suite (u ) est strictemet décroissate 2) a) Soit u etier strictemet positif La foctio est cotiue sur ]0, + [ et e particulier sur [, + ] + ( Doc l itégrale ) d eiste Pour tout réel de l itervalle [, + ], oa >0puis (par décroissace de la foctio t t et doc 0 Aisi, pour tout réel de [, + ], oa 0 Parpositivitédel itégrale,oedéduitque + Par liéarité de l itégrale, o a + ( ) + + d = d d = + ( + ) d = + d Par suite, + + d 0 ou ecore d Efi, + d =[l()]+ = l( + ) l et o a doc motré que sur ]0, + [) ( ) d 0 pour tout etier strictemet positif, l( + ) l () b) Soit u etier strictemet positif D après la questio précédete, l(2) l() l(3) l(2) 2 l(4) l(3) 3 l( ) l( 2) l() l( ) l( + ) l() 2 O additioe membre à membre ces iégalités Das le premier membre, les ombres l(2), l(3),,l( ) et l() se simplifiet et il reste l()+l( + ) ou ecore l( + ) c) Soit N Oretrachel() àchacudesdeumembresdel iégalitéprécédeteetoobtiet l( + ) l() l() ou ecore http ://wwwmaths-fracefr 5 c Jea-Louis Rouget, 202 Tous droits réservés

5 u l( + ) l() Par croissace de la foctio l sur ]0, + [, oal( + ) l() puis l( + ) l() 0 Par suite, u l( + ) l() 0 Oamotréque pour tout etier strictemet positif, u 0 3) La suite (u ) est décroissate d après la questio ) et miorée par 0 d après la questio 2) O e déduit que la suite (u ) coverge http ://wwwmaths-fracefr 6 c Jea-Louis Rouget, 202 Tous droits réservés

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