Fractions rationnelles

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1 Bblothèque d exercces Énoncés L Feulle n 8 Fractons ratonnelles Exercce Décomposer + 4 Décomposer Décomposer Décomposer Décomposer 4 6 Décomposer Décomposer ( ) 4 8 Décomposer ( ) (+) 9 Décomposer 7 + ( ++) 0 Décomposer ( ) 5+ en éléments smples sur C ++ Décomposer + en éléments smples sur C + Décomposer en éléments smples sur C (+) Décomposer Décomposer Décomposer Décomposer Décomposer Décomposer 4 ( ++) 9 Décomposer ( +)( +4) 0 Décomposer ( +)( +4) Exercce Décomposton en éléments smples Φ = x4 + x + x 6x + x x Exercce Décomposton en éléments smples Φ = x5 8x + 8x 4x + x (x ) Exercce 4 Décomposton en éléments smples Φ = 4x6 x 5 + x 4 x + x + x + x(x + )

2 Bblothèque d exercces Indcatons L Feulle n 8 Fractons ratonnelles Indcaton Attenton l y a une parte entère, la fracton s écrt Φ = x + + 4x 6x + x x Indcaton Il y a une parte entère qu vaut

3 Bblothèque d exercces Correctons L Feulle n 8 Fractons ratonnelles Correcton + 4 = = = ( ) = = / + + / = / + / = ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) (+) = + /4 ( ) + / ( ) + 7/6 /8 (+) 5/ ( ++) = + 7+ ( ++) 7+ ( ++) ( ) 5+ = = + (+) = + + (+) = / / + = (+ )/4 + = = / /4 + = = ( )/ = + /4 + / = + /4 + / = / + /6 + 6 = / + /6 + j + + standard j = + 8 = ( ++) 4 ( ++) j = + + j ( j) + +j = ++ j + ( j ) j j 9 = ( +)( +4) = /6 + /6 /6 / ( +)( +4) = 4/ + + 7/ +4 = j, où on a posé de façon +j, où on a posé de façon standard Correcton Commencer ben sûr par la dvson suvant les pussances décrossantes (la fare fare par les étudants) : Φ = x + + Φ avec Φ = 4x 6x+ x x Pus factorser le dénomnateur et fare donner le type de décomposton de Φ : Φ = A x + B x + C x ()

4 Explquer qu on obtent alors A en multplant les deux membres de () par x et en passant à la lmte quand x tend vers 0 (A = ) On obtent de même C par multplcaton par x et calcul de la lmte quand x tend vers (C = ) Enfn on trouve B en dentfant pour une valeur partculère non encore utlsée, par exemple x =, ou meux en multplant les deux membres de () par x et en passant à la lmte pour x (B = 4) Fare remarquer que pour un cas auss smple, les calculs peuvent se fare de tête en écrvant smplement les coeffcents A, B, C au fur et à mesure qu on les obtent x 4 + x + x 6x + = x + x x x + 4 x x Correcton La dvson suvant les pussances décrossantes donne : Φ = + Φ avec Φ = 4x4 0x + 8x 4x + x (x ) = A x + B x + C x + D (x ) + E x Fare remarquer que la méthode de l exercce précédent permettrat d obtenr faclement A et D par multplcaton par x et par (x ), mas qu l resterat encore coeffcents à détermner Il y a c une méthode plus effcace : effectuer la dvson suvant les pussances crossantes, à l ordre (qu est l exposant du facteur x) du numérateur 4x + 8x 0x + 4x 4 par (x ), ou plutôt par x + x : 4x + 8x 0x + 4x 4 = ( x + x ) ( x + x ) + ( x + x 4 ) () En dvsant les deux membres de () par x (x ), on obtent A, B et C d un seul coup : Φ = x x + x + x (x ) x Le calcul de D et E est alors mmédat par décomposton de : méthode de l exercce (x ) précédent, ou dvson suvant les pussances décrossantes de x par x : x = (x ) x 5 8x + 8x 4x + x (x ) = + x x + x (x ) + x Remarque : cette méthode est effcace pour un exposant assez grand (en gros à partr de ) P (x) Elle peut être utlsée pour une fracton du type, mas l faut commencer par le (x a) n Q(x) changement de varable u = x a avant de fare la dvson, pus ben entendu revenr ensute à la varable x Correcton 4 Pas de dvson prélmnare dans ce cas Forme de la décomposton : Φ = A x + Bx + C (x + ) + Dx + E (x + ) + F x + G x + () La méthode du premer exercce permet d obtenr A, pus B et C (pour ces derners : multplcaton des deux membres de () par x +, pus lmte quand x tend vers ou vers, avec séparaton des partes réelle et magnare), mas c est ben nsuffsant pour conclure : l faut encore soustrare Bx+C, smplfer par x +, calculer D et E (le fare fare quand même à (x +) ttre d entraînement)

5 On va c se contenter de trouver A (A = ), pus fare la soustracton Φ = Φ A Fare fare x le calcul aux étudants ; leur fare remarquer que, sauf erreur de calcul, la fracton Φ dot se smplfer par x On trouve : Φ = x + x5 x 4 + x x + x + (x + ) La fn de la décomposton se fat par dvsons successves suvant les pussances décrossantes : dvson du numérateur x 5 x 4 + x x + x + par x +, pus du quotent obtenu par x + 4x 6 x 5 + x 4 x + x + x + x(x + ) = x + x + (x + ) + (x + ) + x x + Remarque : cette méthode des dvsons successves est très pratque quand la fracton à décomposer a un dénomnateur smple, c est à dre comportant un dénomnateur du type Q n où Q est du premer degré, ou du second degré sans racne réelle Fare remarquer auss comment on peut smplfer pett à pett en élmnant du dénomnateur un dénomnateur smple (méthode utlsée dans l exercce par le calcul de Φ A x )

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