Décomposition d une fraction rationnelle en éléments simples

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1 Décomposon d une fracon raonnelle en élémens smples I Premère éape Dvson eucldenne de polynômes On rappelle que procéder à la dvson eucldenne d un polynôme A par un polynôme B non nul, c es écrre A BQ + R en respecan la condon mporane : deg R < deg Q (c es un nféreur src!). Q s appelle le quoen, e R le rese de la dvson. Remarque mporane : s le degré de A es srcemen nféreur à celu de B, l n y a ren à fare, pusque A 0 B + A, donc Q 0 e R A convennen! Snon, on pose la dvson comme on a apprs à le fare à l école prmare, à condon de ben ranger les polynômes suvan l ordre des pussances décrossanes. Voc par exemple la dvson de A X 4 + X 3 4X 2 + X + 5 par B X 2 3X + 2. X 4 + X 3 4X 2 + X + 5 X 4 3X 3 + 2X 2 4X 3 6X 2 + X + 5 4X 3 2X 2 + 8X 6X 2 7X + 5 6X 2 8X + 2 X 7 X 2 3X + 2 X 2 + 4X + 6 On a donc rouvé Q X 2 + 4X + 6 e R X 7, e X 4 + X 3 4X 2 + X + 5 (X 2 + 4X + 6)(X 2 3X + 2) + X 7. 2 Pare enère d une fracon raonnelle S on consdère la fracon raonnelle F A, où A e B son deux polynômes en l ndéermnée X, on B commencera oujours par fare la dvson eucldenne A BQ + R, pour écrre F Q + R sauf, ben B sûr, s on a déjà deg A < deg B. Q es alors appelé la pare enère de la fracon F, e on le garde devan el quel, la décomposon en élémens smples s opéran seulemen sur la fracon R B. Dans oue la sue, on s néresse donc à une fracon F N(X) où deg N < deg D, qu on veu D(X) décomposer en élémens smples. 3 Facorsaon du dénomnaeur On ne s néresse praquemen pas au numéraeur N, pourvu qu on a deg N < deg D. En revanche, l fau mpéravemen facorser (dans R) le plus possble le dénomnaeur D. En effe, on dsnguera les faceurs de la forme (X α) k (ce son des monômes de degré, élevés évenuellemen à une pussance k ) des faceurs rréducbles dans R de la forme (X 2 + bx + c) k de dscrmnan négaf : b 2 4c < 0, donc sans racnes réelles. 4 Un cas parculer Ben sûr, X 3 + (X + )(X 2 X + ) e X 3 (X )(X 2 + X + ). Mas on renconre parfos X 4 + ou quelque chose comme X 4 + 2X (en revanche X 4 es facle à facorser : X 4 (X 2 + )(X )(X + )). L asuce consse à repérer dans le erme en X 4 e le erme consan le débu e la fn du développemen d un carré : X 4 + (X 2 + ) 2 2X 2 (X 2 2X + )(X 2 + 2X + ) X 4 + 2X (X 2 + 5) 2 2( 5 )X (X X + 5)(X X + 5) /6

2 II Décomposon propremen de La forme de la décomposon Chaque faceur du dénomnaeur de la forme (X α) k fera apparaîre k élémens smples : a (X α) + a 2 (X α) a k (X α) k. Chaque faceur du dénomnaeur de la forme (X 2 + bx + c) k (de dscrmnan srcemen négaf) fera apparaîre égalemen k élémens smples, aux numéraeurs desquels on devra chercher un polynôme de degré : b X + c (X 2 + bx + c) + b 2 X + c 2 (X 2 + bx + c) b k X + c k (X 2 + bx + c) k. Par exemple, on écrra la forme suvane de la décomposon (c es l exemple ( ) dans la sue) : 2X 2 + 5X + 3 (X ) 3 (X + 2)(X 2 + X + ) 2 a X + b (X ) 2 + c (X ) 3 + d X ex + f X 2 + X + + gx + h (X 2 + X + ) 2. 2 La recherche des coeffcens Il n y a pas de recee mracle : ous les coups son perms! On peu, ou smplemen, poser X 0, ou X 2 ou ou ce qu perme d avor des calculs facles, e obenr ans une relaon sur les coeffcens nconnus. Sur l exemple ( ), poser X 0 fourn 3 2 a + b c + d 2 + f + h. Il peu êre asuceux de poser X ce qu donne c : d e + f + g + h ( ) 3 ( + 2)( 2 ) a + b ( ) 2 + c ( ) a 2 + c 4 + 2d 5 + e h + Le calcul es un peu fasdeux, mas cela se réécr 4 5 ( a2 + b2 c4 d5 ) f g, ce qu, en dsnguan pares réelle e magnare, fourn deux nouvelles équaons. La méhode sandard, à reenr! Les ermes de plus hau degré s obennen eux faclemen. Sur l exemple ( ), en mulplan par (X ) 3 les deux membres de l équaon, pus en posan X, on oben drecemen c De même, en mulplan par (X + 2) pus en posan X 2, on rouve d 243. Encore du classque, à reenr! Une aure asuce consse à mulpler par X e à fare endre X vers l nfn. Sur l exemple ( ), cela donne : 0 a + d + e + g. Pour les cureux, voc la décomposon fnale de l exemple ( ) qu s avère sûremen beaucoup rop complqué pour un oral de concours! 2X 2 + 5X + 3 (X ) 3 (X + 2)(X 2 + X + ) (X ) 43 8(X ) (X ) 3 243(X + 2) 2X (X 2 + X + ) X 2 9(X 2 + X + ) 2. En praque, on n aura jamas ren de s complqué, sauf ben enendu s Maple es à dsposon! 2/6

3 3 Une dernère asuce (pour les pros seulemen) Dans le cas d un faceur de degré élevé, on peu ruser : consdérons par exemple X + (X ) 6 (X + 2) a X b X + c (X ) 2 + d (X ) 3 + e (X ) 4 + f (X ) 5 + g (X ) 6. Les echnques précédenes fournssen rès ve (en mulplan par X + 2) a 729 par (X ) 6 ) g 2. Mas commen rouver les coeffcens b, c, d, e e f? 3 On peu poser Y X ou encore X Y +, e la fracon se réécr X + (X ) 6 (X + 2) Y + 2 Y 6 (Y + 3) Y 6 On écr alors 2 + Y 3( + Y 3 ). 2 + Y 3( + Y 3 ) 2 + Y ( Y Y 2 9 Y Y 4 8 Y o(y 5 )) e (en mulplan Y 9 Y Y 3 8 Y Y o(y 5 ), e en dvsan par Y 6, on rerouve les coeffcens de la fracon 2 3Y 6 + 9Y 5 27Y 4 + 8Y 3 243Y Y, donc g 2 3, f 9, e 27, d 8, c 243 e b 729. III Applcaon : séres Premer exemple Consdérons la sére de erme général u n n + 2 (n + ) 2, pour n 3. (n 2) Comme u n n 2, la sére ( u n ) es convergene. Noons S sa somme e S n On décompose en élémens smples Alors k4 S n u k 3 k3 3 n+ k4 n+ u k sa somme parelle. k3 X + 2 (X + ) 2 (X 2) 4 9(X + ) 3(X + ) (X 2). k3 k 2 4 n+ 9 (k + ) k4 k + 4 n 2 9 k k k3 k k3 ( n n n + 3 k k4 e, fasan endre n vers l nfn, on oben S ( ( π 2 3 ) 3 6 ( ) 9 ) + k 2 ), 49 6 π Deuxème exemple De même u n n + n(n ) 3 es le erme général d une sére convergene pusque u n 0. n3 X + On décompose X(X ) 3 X + X (X ) (X ) 3. Écrvons la somme parelle : n S n u k k + n k n (k ) (k ) 3 n k + k n k k n k k donc S π ζ(3), où on a posé ζ(3) n 3. n k 3 n n + k n k k k 3, 3/6

4 IV Applcaon : recherche de prmves Ce qu es facle... d d On connaî ben sûr ln α, e, pour k, ( α) ( α) k (k )( α) k. Dans le cas d un faceur de la forme X 2 + bx + c au dénomnaeur, de dscrmnan négaf, l élémen ux + v smple correspondan s écr X 2 + bx + c. On commence par fare apparaîre au numéraeur la dérvée 2X + b du dénomnaeur : u ub ux + v X 2 + bx + c 2 (2X + b) + v 2 X 2 + bx + c u + v donc 2 + b + c d u 2 ln 2 + b + c + (v ub 2 ) d 2 + b + c. On ermne en ulsan d une par la prmve ben connue forme canonque du rnôme : 2 + b + c ( + b 2 )2 + c b2 4. Par exemple :, d 2 + a 2 a arcan a d d + 2 d ln 2 d ( + 2 ) ln arcan( 2 ( )) e d aure par la 2 Ce qu es plus dffcle... ln arcan Il peu arrver qu un erme de la décomposon en élémens smples so de la forme le rnôme X 2 + bx + c es de dscrmnan srcemen négaf e où k 2. En fasan apparaîre la dérvée du rnôme, on réécr la fracon sous la forme u 2 2X + b ub (X 2 + (v + bx + c) k 2 ) (X 2 + bx + c) k. Le premer erme, de la forme y y k s nègre sans dffculé en (k )y k. ux + v (X 2 + bx + c) k où 4/6

5 Fnalemen, la queson qu rese en suspend es celle du calcul, pour k 2, de I k d ( 2 + b + c) k. L dée à reenr es la suvane : pour calculer I k, l fau avor déjà calculé I k. E on recalcule I k en négran par pares, de sore de fare apparaîre I k, e fnalemen une relaon enre I k e I k. En praque k 2 (c es déjà ben assez complqué), e I es calculé comme on l a fa c-dessus (la pare facle... ), avec un arc angene. On recalcule I par pares, fasan apparaîre I 2, pus une relaon enre I e I 2. Par exemple, on a vu que I d arcan Inégrons par pares : I (2 + ) ( ) 2 d ( ) ( + 2) ( ) 2 d I + 2 ( ) 2 d I 2 (2 + ) ( ) 2 d I ( ) 2 d 3 2 I I + 2( ) 3 2 I 2. On en dédu que I 2 2 ( ) 2 + I + 3 2( ) arcan ( ) 2 d 2 + 3( ). 5/6

6 V Maple La dvson eucldenne de polynômes Les foncons quo (pour le quoen) e rem (pour le rese, remander en anglas) réalsen le raval. Elles aenden un rosème argumen : l ndéermnée (le plus souven X). > a : X^4 + X^3-4*X^2 + X + 5 : b : X^2-3*X + 2 : > q : quo(a,b,x) ; > r : rem(a,b,x) ; > expand(b*q+r) ; q : X^2 + 4*X + 6 r : -7 + *X X^4 + X^3-4*X^2 + X La décomposon en élémens smples Ren de plus facle, quand le dénomnaeur a des racnes réelles : l suff d appeler la foncon conver avec l opon parfrac e en rosème argumen le nom de l ndéermnée, donc le plus souven X. Il n es pas nécessare de séparer la pare enère de la fracon en posan la dvson... > a : X^4 + X^3-4*X^2 + X + 5 : b : X^2-3*X + 2 : > conver(a/b, parfrac, X) ; X^2 + 4X + 6-4/(X-) + 5/(X-2) > conver((x+3)/((x-)^3 * (X+2)^2), parfrac, X) ; -/(27 (X+2)^2) - 2/(27 (X+2)) + 2/(27 (X-)) - 5/(27 (X-)^2) + 4/(9 (X-)^3) Le cas d un rnôme sans racne réelle ne pose pas de dffculé à Maple, en revanche, l ne sa pas facorser X 4 + sans ade parculère, ce qu peu êre décevan! > conver((x+)/((x^2+x+3)^2 * (X-2)), parfrac, X) ; /(27 (X-2)) - X/(3 (X^2+X+3)^2) - (X+3)/(27 (X^2+X+3)) > conver((x+)/(x^4+)^2, parfrac, X) ; (X+)/(X^4+)^2 > facor(x^4+) ; X^4 + 6/6

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