Décomposition d une fraction rationnelle en éléments simples

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Décomposition d une fraction rationnelle en éléments simples"

Transcription

1 Décomposon d une fracon raonnelle en élémens smples I Premère éape Dvson eucldenne de polynômes On rappelle que procéder à la dvson eucldenne d un polynôme A par un polynôme B non nul, c es écrre A BQ + R en respecan la condon mporane : deg R < deg Q (c es un nféreur src!). Q s appelle le quoen, e R le rese de la dvson. Remarque mporane : s le degré de A es srcemen nféreur à celu de B, l n y a ren à fare, pusque A 0 B + A, donc Q 0 e R A convennen! Snon, on pose la dvson comme on a apprs à le fare à l école prmare, à condon de ben ranger les polynômes suvan l ordre des pussances décrossanes. Voc par exemple la dvson de A X 4 + X 3 4X 2 + X + 5 par B X 2 3X + 2. X 4 + X 3 4X 2 + X + 5 X 4 3X 3 + 2X 2 4X 3 6X 2 + X + 5 4X 3 2X 2 + 8X 6X 2 7X + 5 6X 2 8X + 2 X 7 X 2 3X + 2 X 2 + 4X + 6 On a donc rouvé Q X 2 + 4X + 6 e R X 7, e X 4 + X 3 4X 2 + X + 5 (X 2 + 4X + 6)(X 2 3X + 2) + X 7. 2 Pare enère d une fracon raonnelle S on consdère la fracon raonnelle F A, où A e B son deux polynômes en l ndéermnée X, on B commencera oujours par fare la dvson eucldenne A BQ + R, pour écrre F Q + R sauf, ben B sûr, s on a déjà deg A < deg B. Q es alors appelé la pare enère de la fracon F, e on le garde devan el quel, la décomposon en élémens smples s opéran seulemen sur la fracon R B. Dans oue la sue, on s néresse donc à une fracon F N(X) où deg N < deg D, qu on veu D(X) décomposer en élémens smples. 3 Facorsaon du dénomnaeur On ne s néresse praquemen pas au numéraeur N, pourvu qu on a deg N < deg D. En revanche, l fau mpéravemen facorser (dans R) le plus possble le dénomnaeur D. En effe, on dsnguera les faceurs de la forme (X α) k (ce son des monômes de degré, élevés évenuellemen à une pussance k ) des faceurs rréducbles dans R de la forme (X 2 + bx + c) k de dscrmnan négaf : b 2 4c < 0, donc sans racnes réelles. 4 Un cas parculer Ben sûr, X 3 + (X + )(X 2 X + ) e X 3 (X )(X 2 + X + ). Mas on renconre parfos X 4 + ou quelque chose comme X 4 + 2X (en revanche X 4 es facle à facorser : X 4 (X 2 + )(X )(X + )). L asuce consse à repérer dans le erme en X 4 e le erme consan le débu e la fn du développemen d un carré : X 4 + (X 2 + ) 2 2X 2 (X 2 2X + )(X 2 + 2X + ) X 4 + 2X (X 2 + 5) 2 2( 5 )X (X X + 5)(X X + 5) /6

2 II Décomposon propremen de La forme de la décomposon Chaque faceur du dénomnaeur de la forme (X α) k fera apparaîre k élémens smples : a (X α) + a 2 (X α) a k (X α) k. Chaque faceur du dénomnaeur de la forme (X 2 + bx + c) k (de dscrmnan srcemen négaf) fera apparaîre égalemen k élémens smples, aux numéraeurs desquels on devra chercher un polynôme de degré : b X + c (X 2 + bx + c) + b 2 X + c 2 (X 2 + bx + c) b k X + c k (X 2 + bx + c) k. Par exemple, on écrra la forme suvane de la décomposon (c es l exemple ( ) dans la sue) : 2X 2 + 5X + 3 (X ) 3 (X + 2)(X 2 + X + ) 2 a X + b (X ) 2 + c (X ) 3 + d X ex + f X 2 + X + + gx + h (X 2 + X + ) 2. 2 La recherche des coeffcens Il n y a pas de recee mracle : ous les coups son perms! On peu, ou smplemen, poser X 0, ou X 2 ou ou ce qu perme d avor des calculs facles, e obenr ans une relaon sur les coeffcens nconnus. Sur l exemple ( ), poser X 0 fourn 3 2 a + b c + d 2 + f + h. Il peu êre asuceux de poser X ce qu donne c : d e + f + g + h ( ) 3 ( + 2)( 2 ) a + b ( ) 2 + c ( ) a 2 + c 4 + 2d 5 + e h + Le calcul es un peu fasdeux, mas cela se réécr 4 5 ( a2 + b2 c4 d5 ) f g, ce qu, en dsnguan pares réelle e magnare, fourn deux nouvelles équaons. La méhode sandard, à reenr! Les ermes de plus hau degré s obennen eux faclemen. Sur l exemple ( ), en mulplan par (X ) 3 les deux membres de l équaon, pus en posan X, on oben drecemen c De même, en mulplan par (X + 2) pus en posan X 2, on rouve d 243. Encore du classque, à reenr! Une aure asuce consse à mulpler par X e à fare endre X vers l nfn. Sur l exemple ( ), cela donne : 0 a + d + e + g. Pour les cureux, voc la décomposon fnale de l exemple ( ) qu s avère sûremen beaucoup rop complqué pour un oral de concours! 2X 2 + 5X + 3 (X ) 3 (X + 2)(X 2 + X + ) (X ) 43 8(X ) (X ) 3 243(X + 2) 2X (X 2 + X + ) X 2 9(X 2 + X + ) 2. En praque, on n aura jamas ren de s complqué, sauf ben enendu s Maple es à dsposon! 2/6

3 3 Une dernère asuce (pour les pros seulemen) Dans le cas d un faceur de degré élevé, on peu ruser : consdérons par exemple X + (X ) 6 (X + 2) a X b X + c (X ) 2 + d (X ) 3 + e (X ) 4 + f (X ) 5 + g (X ) 6. Les echnques précédenes fournssen rès ve (en mulplan par X + 2) a 729 par (X ) 6 ) g 2. Mas commen rouver les coeffcens b, c, d, e e f? 3 On peu poser Y X ou encore X Y +, e la fracon se réécr X + (X ) 6 (X + 2) Y + 2 Y 6 (Y + 3) Y 6 On écr alors 2 + Y 3( + Y 3 ). 2 + Y 3( + Y 3 ) 2 + Y ( Y Y 2 9 Y Y 4 8 Y o(y 5 )) e (en mulplan Y 9 Y Y 3 8 Y Y o(y 5 ), e en dvsan par Y 6, on rerouve les coeffcens de la fracon 2 3Y 6 + 9Y 5 27Y 4 + 8Y 3 243Y Y, donc g 2 3, f 9, e 27, d 8, c 243 e b 729. III Applcaon : séres Premer exemple Consdérons la sére de erme général u n n + 2 (n + ) 2, pour n 3. (n 2) Comme u n n 2, la sére ( u n ) es convergene. Noons S sa somme e S n On décompose en élémens smples Alors k4 S n u k 3 k3 3 n+ k4 n+ u k sa somme parelle. k3 X + 2 (X + ) 2 (X 2) 4 9(X + ) 3(X + ) (X 2). k3 k 2 4 n+ 9 (k + ) k4 k + 4 n 2 9 k k k3 k k3 ( n n n + 3 k k4 e, fasan endre n vers l nfn, on oben S ( ( π 2 3 ) 3 6 ( ) 9 ) + k 2 ), 49 6 π Deuxème exemple De même u n n + n(n ) 3 es le erme général d une sére convergene pusque u n 0. n3 X + On décompose X(X ) 3 X + X (X ) (X ) 3. Écrvons la somme parelle : n S n u k k + n k n (k ) (k ) 3 n k + k n k k n k k donc S π ζ(3), où on a posé ζ(3) n 3. n k 3 n n + k n k k k 3, 3/6

4 IV Applcaon : recherche de prmves Ce qu es facle... d d On connaî ben sûr ln α, e, pour k, ( α) ( α) k (k )( α) k. Dans le cas d un faceur de la forme X 2 + bx + c au dénomnaeur, de dscrmnan négaf, l élémen ux + v smple correspondan s écr X 2 + bx + c. On commence par fare apparaîre au numéraeur la dérvée 2X + b du dénomnaeur : u ub ux + v X 2 + bx + c 2 (2X + b) + v 2 X 2 + bx + c u + v donc 2 + b + c d u 2 ln 2 + b + c + (v ub 2 ) d 2 + b + c. On ermne en ulsan d une par la prmve ben connue forme canonque du rnôme : 2 + b + c ( + b 2 )2 + c b2 4. Par exemple :, d 2 + a 2 a arcan a d d + 2 d ln 2 d ( + 2 ) ln arcan( 2 ( )) e d aure par la 2 Ce qu es plus dffcle... ln arcan Il peu arrver qu un erme de la décomposon en élémens smples so de la forme le rnôme X 2 + bx + c es de dscrmnan srcemen négaf e où k 2. En fasan apparaîre la dérvée du rnôme, on réécr la fracon sous la forme u 2 2X + b ub (X 2 + (v + bx + c) k 2 ) (X 2 + bx + c) k. Le premer erme, de la forme y y k s nègre sans dffculé en (k )y k. ux + v (X 2 + bx + c) k où 4/6

5 Fnalemen, la queson qu rese en suspend es celle du calcul, pour k 2, de I k d ( 2 + b + c) k. L dée à reenr es la suvane : pour calculer I k, l fau avor déjà calculé I k. E on recalcule I k en négran par pares, de sore de fare apparaîre I k, e fnalemen une relaon enre I k e I k. En praque k 2 (c es déjà ben assez complqué), e I es calculé comme on l a fa c-dessus (la pare facle... ), avec un arc angene. On recalcule I par pares, fasan apparaîre I 2, pus une relaon enre I e I 2. Par exemple, on a vu que I d arcan Inégrons par pares : I (2 + ) ( ) 2 d ( ) ( + 2) ( ) 2 d I + 2 ( ) 2 d I 2 (2 + ) ( ) 2 d I ( ) 2 d 3 2 I I + 2( ) 3 2 I 2. On en dédu que I 2 2 ( ) 2 + I + 3 2( ) arcan ( ) 2 d 2 + 3( ). 5/6

6 V Maple La dvson eucldenne de polynômes Les foncons quo (pour le quoen) e rem (pour le rese, remander en anglas) réalsen le raval. Elles aenden un rosème argumen : l ndéermnée (le plus souven X). > a : X^4 + X^3-4*X^2 + X + 5 : b : X^2-3*X + 2 : > q : quo(a,b,x) ; > r : rem(a,b,x) ; > expand(b*q+r) ; q : X^2 + 4*X + 6 r : -7 + *X X^4 + X^3-4*X^2 + X La décomposon en élémens smples Ren de plus facle, quand le dénomnaeur a des racnes réelles : l suff d appeler la foncon conver avec l opon parfrac e en rosème argumen le nom de l ndéermnée, donc le plus souven X. Il n es pas nécessare de séparer la pare enère de la fracon en posan la dvson... > a : X^4 + X^3-4*X^2 + X + 5 : b : X^2-3*X + 2 : > conver(a/b, parfrac, X) ; X^2 + 4X + 6-4/(X-) + 5/(X-2) > conver((x+3)/((x-)^3 * (X+2)^2), parfrac, X) ; -/(27 (X+2)^2) - 2/(27 (X+2)) + 2/(27 (X-)) - 5/(27 (X-)^2) + 4/(9 (X-)^3) Le cas d un rnôme sans racne réelle ne pose pas de dffculé à Maple, en revanche, l ne sa pas facorser X 4 + sans ade parculère, ce qu peu êre décevan! > conver((x+)/((x^2+x+3)^2 * (X-2)), parfrac, X) ; /(27 (X-2)) - X/(3 (X^2+X+3)^2) - (X+3)/(27 (X^2+X+3)) > conver((x+)/(x^4+)^2, parfrac, X) ; (X+)/(X^4+)^2 > facor(x^4+) ; X^4 + 6/6

q A q B B augmente dans le temps, ce qui signifie que A dt Quand le courant circule en sens inverse du sens choisi, l intensité est négative, les

q A q B B augmente dans le temps, ce qui signifie que A dt Quand le courant circule en sens inverse du sens choisi, l intensité est négative, les L essenel du cours proposé par Mahmoud Gazzah Le condensaeur, le dpôle Descrpon sommare d un condensaeur Défnon e symbole : Un condensaeur es consué de deux armaures méallques séparées par un solan appelé

Plus en détail

Régimes transitoires

Régimes transitoires ÉLECTOCINÉTIQUE chapre 3 égmes ransores En régme connu, les composanes capacves e nducves d un crcu son analogues respecvemen à un crcu ouver e à un cour-crcu. Elles n on donc aucun nérê. Cependan, s un

Plus en détail

Fractions rationnelles

Fractions rationnelles Bblothèque d exercces Énoncés L Feulle n 8 Fractons ratonnelles Exercce Décomposer + 4 Décomposer + + + Décomposer + + + 4 Décomposer 4 + + 5 Décomposer 4 6 Décomposer 5 + 4 + 7 Décomposer 5 + 4 + ( )

Plus en détail

Chapitre 1.1a Les oscillations

Chapitre 1.1a Les oscillations Chapre 1.1a Les oscllaons La cnémaque La cnémaque es l éue u mouvemen un obje en foncon u emps. Pour ce fare, nous avons recours au conceps e poson, vesse e accéléraon : Poson : ( uné : m Vesse : v ( uné

Plus en détail

Plan. Définition, Historique, Régression Linéaire Multiple. Interprétation géométrique de la solution, Lien avec l analyse de Corrélation Canonique,

Plan. Définition, Historique, Régression Linéaire Multiple. Interprétation géométrique de la solution, Lien avec l analyse de Corrélation Canonique, Plan Défnon, Régresson Lnéare Mulple Massh-Réza Amn Technques d Analyse de Données e Théore de l Informaon Maser M IAD Parcours Recherche amn@polea.lp6.fr Hsorque, Inerpréaon géomérque de la soluon, Len

Plus en détail

VITESSE DE RÉACTION I. INTRODUCTION II. VITESSE DE RÉACTION POUR UN SYSTÈME FERMÉ

VITESSE DE RÉACTION I. INTRODUCTION II. VITESSE DE RÉACTION POUR UN SYSTÈME FERMÉ VITESSE DE ÉCTION I. INTODUCTION I. Équlbre e évoluon vers l équlbre On consdère une réacon chmque noée de façon générale : ν + ν +... + ν ν ' ' + ν ' ' +... + ν ' '. P P On peu la noer égalemen : ν +

Plus en détail

TH R. 220V 50Hz. i a. chronogrammes : V GK. φ+2π

TH R. 220V 50Hz. i a. chronogrammes : V GK. φ+2π edressemen monophasé commandé C.P.G.E-SI-SAFI edressemen monophasé commandé Inroducon : Un monage redresseur commandé perme d obenr une enson connue réglable à parr d une enson alernave snusoïdale. L ulsaon

Plus en détail

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation.

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation. Fche technque 4 : dagonalsaton trgonalsaton - - Fche technque : dagonalsaton trgonalsaton Dagonalsaton de matrces le prncpe pour dagonalser en pratque une matrce est smple : calculer les espaces propres

Plus en détail

Chapitre 1.14 L intégrale en cinématique

Chapitre 1.14 L intégrale en cinématique Chapre.4 L négrale en cnémaque L négrale En mahémaque, on éfn l négrale une foncon f ( el que F( f ( e '( ( F F où F ( es la foncon qu onne la valeur e l are sous la courbe e la foncon f ( ans l nervalle

Plus en détail

Équations différentielles.

Équations différentielles. IS BTP, 2 année NNÉE UNIVERSITIRE 205-206 CONTRÔLE CONTINU Équaions différenielles. Durée : h30 Les calcularices son auorisées. Tous les exercices son indépendans. Il sera enu compe de la rédacion e de

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire IFT575 Modèles de recherche opératonnelle (RO 7. Programmaton non lnéare Fonctons convees et concaves Sot et deu ponts dans R n Le segment de drote jognant ces deu ponts est l ensemble des ponts + λ( -

Plus en détail

Econométrie. F. Karamé

Econométrie. F. Karamé Economére F. Karamé Inroducon Qu es-ce que l économére?. Défnon Léralemen : c es la mesure en économe. Mas un peu large car cela nclu alors oues les défnons d agrégas macro-économque de la compablé naonale.

Plus en détail

Développements limités

Développements limités BTS DOMOTIQUE Développemens limiés 8- Développemens limiés Table des maières I Foncion eponenielle I. Développemen limié d ordre................................... I. Développemen limié d ordre...................................

Plus en détail

Laboratoire génie électrique 3Stech Série d exercices N 8 Moteur pas à pas Page 1 /10

Laboratoire génie électrique 3Stech Série d exercices N 8 Moteur pas à pas Page 1 /10 Laboraore géne élecrque ech ére d exercces Moeur pas à pas Page /0 Exercce Un moeur pas à pas à aman permanen ayan les caracérsques suvanes : phases au saor, deux pôles au roor, sa commuaon es bdreconnelle

Plus en détail

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS 1. Introducton La factorsaton est l un des ponts où l analoge entre nombres enters et polynômes se rompt. Par exemple, en caractérstque nulle, on peut trouver

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Fiabilité BTS Mécanique e Auomaismes Indusriels Fiabilié Lcée Louis Armand, Poiiers, Année scolaire 23 24 . Premières noions de fiabilié Fiabilié Dans ou ce paragraphe, nous nous inéressons à un disposiif choisi

Plus en détail

A =

A = Exercces avec corrgé succnct du chaptre 2 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1 1 ère S1 Contrôle du lund 19 novembre 01 (45 mnutes) Compléter le tableau c-dessous donnant la dstrbuton de fréquences pour cet échantllon (calculs au broullon, fréquences sous forme décmale) : Prénom

Plus en détail

E3 Régimes transitoires

E3 Régimes transitoires I Défnons E3 égmes ransores I.1 égme lbre, régme ransore e régme conn Défnon : On appelle réponse lbre o régme lbre d n crc, l évolon de cel-c en l absence de o généraer. e régme d crc es d conn o saonnare)

Plus en détail

Jeux stratégiques de marché dans le modèle à générations imbriquées.

Jeux stratégiques de marché dans le modèle à générations imbriquées. Jeux sraégques de marché dans le modèle à généraons mbrquées Francs de MOROGUES GREQAM (UMR CRS 6579), rue de la Charé 300 Marselle Tél: 0494077 e-mal: dmorogue@ehesscnrs-mrsfr Documen de raval du GREQAM

Plus en détail

INF135 Travail Pratique #1 Remise le 16 octobre 2012

INF135 Travail Pratique #1 Remise le 16 octobre 2012 École de Technologe Supéeue Pa : Fancs Boudeau, ÉcThé Révson : Aïda Ouangaoua INF35 Taval Paque # Remse le 6 ocobe 0 Inaon à la pogammaon en géne mécanque Taval ndvduel. Objecfs - Mee en applcaon des noons

Plus en détail

L ANOVA (complements)

L ANOVA (complements) L ANOVA (complements) On utlse le t de Student pour comparer deux moyennes. Cependant s on veut comparer tros moyennes ou plus l devent nécessare d utlser l Analyse de Varance smple ou l ANOVA 1. L applcaton

Plus en détail

MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ;

MATHÉMATIQUES II. et x désigne alors la matrice à 1 ligne et n colonnes : x = [ x 1 x 2 x n ] ; MATHÉMATIQUES II Dans ce problème, nous éudions les propriéés de ceraines classes de marices carrées à coefficiens réels e cerains sysèmes linéaires de la forme Ax = b d inconnue x IR n, A éan une marice

Plus en détail

Modèles d analyse des biographies en temps discret Exemple d utilisation

Modèles d analyse des biographies en temps discret Exemple d utilisation Modèles d analyse des bographes en emps dscre Exemple d ulsaon Jean-Mare Le Goff Cenre Lnes Pôle Naonal de recherche Lves Unversé de Lausanne Plan Deux ypes de données dscrèes Modèles à emps dscre Modèle

Plus en détail

Intégrateur. v e. 20log T 0

Intégrateur. v e. 20log T 0 G. Pnson - Physque Applquée Foncons négraon e dérvaon - A22 / A22 - Foncons négraon e dérvaon τ = = τ ( )d éponse à un échelon (réponse ndcelle) Inégraeur : = E < : = = E τ E -a. éponse en fréquence =

Plus en détail

Courant continu et courants alternatifs

Courant continu et courants alternatifs Classe : 2ME BEP Méers de l élecroechnque Couran connu e couran alernaf Leu : Salle de cours & salle de mesures Objecf Dfférencer les caracérsques d un couran connu e d un couran alernaf,. Savors : S.2

Plus en détail

Régime transitoire. 4.2 Aspect énergétique Décharge d un condensateur - Régime libre Régime libre d un circuit R,C...

Régime transitoire. 4.2 Aspect énergétique Décharge d un condensateur - Régime libre Régime libre d un circuit R,C... égme ransore Table des maères 1 Crc C sére soms à n échelon de enson 2 1.1 chelon de enson............................. 2 1.2 Charge d n condensaer......................... 2 1.2.1 Condons nales.........................

Plus en détail

Petit dictionnaire physique-chimie/maths des équations différentielles. Tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC

Petit dictionnaire physique-chimie/maths des équations différentielles. Tension aux bornes du condensateur dans un circuit RC Pei dicionnaire physique-chimie/mahs des équaions différenielles On compare les différenes manières de présener la résoluion d une équaion différenielle dans les différenes disciplines. Le bu de cee fiche

Plus en détail

Cours 2: Flots et couplages

Cours 2: Flots et couplages Cour : Flo e couplage Flo e coupe Algorhme de calcul du flo maxmal Modélaon par flo Couplage e graphe de augmenaon Marage able - Réeau de ranpor e flo Donnée: Un graphe orené G = (X, A), une valuaon c

Plus en détail

LES CIRCUITS A COURANT ALTERNATIF MONOPHASE

LES CIRCUITS A COURANT ALTERNATIF MONOPHASE LECON & : LES CRCS A CORAN ALERNAF MONOPHASE LES CRCS A CORAN ALERNAF MONOPHASE - Dfférens formes de courans (e de enson Dans l'ensemble des formes de courans, nous pouvons effecuer une premère paron :

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1 Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ) 1 (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) 1 14 15 ; 1 ; + 7 + + + 1 α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β)

Plus en détail

Exercice 7. Soitf : R R + croissante telle que. Montrer que. Exercice 8. b. lim(f(x 0 +h) f(x 0 h)) = 0. lim. Exercice 3.

Exercice 7. Soitf : R R + croissante telle que. Montrer que. Exercice 8. b. lim(f(x 0 +h) f(x 0 h)) = 0. lim. Exercice 3. Mahémaiques 05-06 Colle n o 5 Limies Lcée Charlemagne PCSI Eercice Eercice 5 Soi(u n) n 0 R N elle que les suies (u n) n 0, (u n+) n 0 e (u 3n) n 0 convergen Prouver que(u n) n 0 converge Eercice On considère

Plus en détail

Chapitre 1 Convertisseurs alternatif/continu

Chapitre 1 Convertisseurs alternatif/continu Lycée La Fayee Page CPGE AS cours de scences ndusrelles géne élecrque Chapre Conversseurs alernaf/connu. GENERALIES n conversseur alernaf/connu perme d almener une arge sous une enson connue évenuellemen

Plus en détail

Les dispositifs de commutation

Les dispositifs de commutation Les dsposfs de commuaon 1. Les dsposfs de commuaon élecronques des sgnaux Les dsposfs élecronques de commuaon des sgnaux fonconnen en mode «ou ou ren» (mode bnare). Les deux éas possbles du composan son

Plus en détail

MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Séance 9. Moez Mrad / Philippe Priaulet

MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Séance 9. Moez Mrad / Philippe Priaulet ODEES DE A COURBE DES AUX Unversé Evry Séance 9 oez ra / Phlppe Praule PA oèle bor Forwar ognormal BG ou F. Défnon u moèle. Passage e BG à HJ.3 Prcng es caps e floors ans le carebg.4 Dynamques es ffrérens

Plus en détail

et est finie, on dit que l intégrale généralisée converge et on note f(t)dt =lim F (x). x b f(t)dt lorsque f est définie continue sur ]a, b].

et est finie, on dit que l intégrale généralisée converge et on note f(t)dt =lim F (x). x b f(t)dt lorsque f est définie continue sur ]a, b]. Chpire 7 Inégrles générlisées 7. Inroduion Pour ou inervlle fermé orné I =[, ] ve e réels, e pour oue fonion f oninue ou oninue pr moreux sur I, il es possile de définir l inégrle de Riemnn f()d omme limie

Plus en détail

Chapitre 3. Pourcentages. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. relier évolutions et pourcentages

Chapitre 3. Pourcentages. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. relier évolutions et pourcentages Chapire 3 Pourcenages Objecifs du chapire : iem références auo évaluaion relier évoluions e pourcenages éudier des évoluions successives calculer le aux d évoluion réciproque 19 I lien enre une évoluion

Plus en détail

UNIVERSITE DE PARIS X Année universitaire

UNIVERSITE DE PARIS X Année universitaire UNIVERSITE DE PARIS X Année unversare 008-009 UFR SEGMI L Econome & Geson Travau drgés Sasques Economques Fasccule 3 N. CHEZE e D. ABECASSIS Eercces reprs ou adapés de G. NEUBERG RÉGRESSION Eercce Graphque

Plus en détail

Régimes transitoires

Régimes transitoires égmes ransores 1. nroducon 'éude des régmes permanens qu'ls soen connus ou pérodques ne suff pas à défnr complèemen un sysème élecronque. eranes ransons de sgnaux, par exemple le basculemen de l'éa bas

Plus en détail

Modélisation et simulation de l hydroformage de liners métalliques pour le stockage d hydrogène sous haute pression

Modélisation et simulation de l hydroformage de liners métalliques pour le stockage d hydrogène sous haute pression Modélsaon e smulaon de l hydroformage de lners méallques pour le sockage d hydrogène sous haue presson J.C. Geln, C. Labergère,. Boudeau, S. Thbaud Insu FEMTO-ST, Déparemen Laboraore de Mécanque Applquée

Plus en détail

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien

TD 20-21 : Modèles de marchés - Mouvement brownien Universié Paris VI Maser : Modèles sochasiques, applicaions à la finance (MM065) TD 20-2 : Modèles de marchés - Mouvemen brownien. Taux de change. Soi (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé fini non redondan

Plus en détail

M1 Economie : "colle" d économie industrielle

M1 Economie : colle d économie industrielle M Economie "colle" d économie indusrielle Armel JACQUES novembre 0 Les calcularices son auorisées ; en revanche les appareils permean de communiquer (éléphone porable ou aures) son inerdis. Concurrence

Plus en détail

Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles

Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles Clôture transtve (accessblté) Problème G = (S, A) graphe (orenté) Calculer H = (S, B) où B est la clôture réflexve et transtve de A. Clôture transtve des graphes et tous les plus courts chemns Note : (s,t)

Plus en détail

Leçon 1. Statistiques

Leçon 1. Statistiques Leçon 1 Statstques Lors d une séance de saut en hauteur, le professeur d EPS a relevé, en centmètres, les performances c-dessous : 110-115-10-110-100-110-15-15-100-95-135-105-1-110-95-100-110-85-85-105-140-15-100-135-105-1-135-115-10-135

Plus en détail

PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proportionnalité

PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proportionnalité PROPORTIONNALITES ET POURCENTAGES I-La proporionnalié -Acivié préparaoire n : Suies de nombres proporionnelles -l indicaion «0,88 /L» perme de calculer les pri manquans dans le ableau ci-dessous. Indiquer

Plus en détail

Exercices : Fonctions Dérivables

Exercices : Fonctions Dérivables Exercices : Fonctions Dérivables Exercice Déterminez l ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur dérivée. ) f : x x 2 + x 2 2) f : x x + cos( x ) 3) f : x arctan( xe x ) 4) f :

Plus en détail

Polynômes bis. Marc SAGE. 18 décembre Continuité des racines 3. 4 Une fonction polynomiale en ses variables est polynomiale 4

Polynômes bis. Marc SAGE. 18 décembre Continuité des racines 3. 4 Une fonction polynomiale en ses variables est polynomiale 4 Polynômes bs Marc SAGE 8 décembre 25 Table des matères Sur la nullté des polynômes à n ndétermnées 2 2 Une foncton localement polynomale est un polynôme 2 3 Contnuté des racnes 3 4 Une foncton polynomale

Plus en détail

N - ANNEAUX EUCLIDIENS

N - ANNEAUX EUCLIDIENS N - ANNEAUX EUCLIDIENS Dans ce qu sut A est un anneau untare, mun de deux opératons notées addtvement et multplcatvement. Le neutre de l addton est noté 0, celu de la multplcaton est noté e. On pose A

Plus en détail

Bureaux d études en traitement des images

Bureaux d études en traitement des images Bureau d éudes en raemen des mages ESERB Fère Téécommuncaons 3 ème année Opon SC ESERB Fère Eecronque 3 ème année Opon TS AEE 4-5 M. DOAS Bureau d éudes en raemen des mages PARTE REDRESSEMET Dans cee pare

Plus en détail

Intégrales Généralisées

Intégrales Généralisées Inégrales Généralisées Eercice. Monrer la convergence e calculer la valeur des inégrales : I = 3 e d ; I = + d ln() ; I 3 = ( + ) d Allez à : Correcion eercice Eercice. Les inégrales généralisées suivanes

Plus en détail

Notice d information contractuelle Loi Madelin

Notice d information contractuelle Loi Madelin Noce d nformaon conracuelle Lo Madeln 1. LA RETRAITE es une convenon d assurance collecve sur la ve à adhéson ndvduelle e faculave. Les dros e oblgaons de l Adhéren peuven êre modfés par des avenans au

Plus en détail

Fondements théoriques et base méthodologique de l analyse empirique de la notion de convergence économique

Fondements théoriques et base méthodologique de l analyse empirique de la notion de convergence économique Fondemens héorques e base méhodologque de l analyse emprque de la noon de convergence économque Isabelle SAE Maser 1 «Ingénere économque» 006-007 Depus la révoluon margnalse des années 1870 la macroéconome

Plus en détail

EXERCICES DIRIGES 7 et 8 Synchronisation de processus CORRECTION. Exécution. Boucle. Prélever Requête Exécuter Requête Déposer Ordre.

EXERCICES DIRIGES 7 et 8 Synchronisation de processus CORRECTION. Exécution. Boucle. Prélever Requête Exécuter Requête Déposer Ordre. Méhodes de Programmaon sysème 2001-2002 EXERCICES DIRIGES 7 e 8 Synchronsaon de processus CORRECTION Exercce 1 Acquson Exécuon Impresson Boucle Boucle Boucle Acquérr Requêe Déposer Requêe REQUETE M cases

Plus en détail

UNIVERSITE PARIS OUEST, NANTERRE LA DEFENSE UFR SEGMI

UNIVERSITE PARIS OUEST, NANTERRE LA DEFENSE UFR SEGMI UNIVERSIE PARIS OUES, NANERRE LA DEFENSE UFR SEGMI Année universiaire 202 203 Cours d économérie L3 Economie Cours de Valérie MIGNON D de Benoî CHEZE e David GUERREIRO Exercice : Données en coupe D Inroducion

Plus en détail

Gestion de production court terme en contexte incertain. Gestion de production à court terme. EDF R&D École Centrale Paris

Gestion de production court terme en contexte incertain. Gestion de production à court terme. EDF R&D École Centrale Paris Geson de producon cour erme en conee nceran EDF R&D École enrale Pars Geson de producon à cour erme Encadrans ndusrels : Gérald Vgnal - Jérôme Quenu Encadran académque : Yves Dallery-Mchel Mnou Snda Ben

Plus en détail

Le fabuleux destin des équations différentielles linéaires :

Le fabuleux destin des équations différentielles linéaires : Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 1 sur 14 A propos de ce qu sut Une équaton dfférentelle est une égalté lant une foncton et une, vore pluseurs de ses

Plus en détail

Combiner des apprenants: le boosting

Combiner des apprenants: le boosting Types d expers Combner des apprenans: le boosng A. Cornuéjols IAA (basé sur Rob Schapre s IJCAI 99 alk)! Un seul exper sur l ensemble de X! Un exper par sous-régons de X (e.g. arbres de décsons)! Pluseurs

Plus en détail

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître.

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître. Termnale S Les ROC : complexe/géométre à connaître Vous trouvere c les démonstratons que vous ave offcellement dues fare en cours (dans le programme) Il est mportant de précser que cela ne sgnfe en aucun

Plus en détail

La transformée de Laplace

La transformée de Laplace a ransformée de alace Méhode mahémaique ayan our objecif: Conourner la difficulé de résoluion des équaions différenielles Offrir une résoluion algébrique Très bien adaée à l élecronique Commen le cours

Plus en détail

AUTO INDUCTION ET BOBINES

AUTO INDUCTION ET BOBINES AUT INDUCTIN T BBINS I ) Inducon ) Mse en évdence du phénomène d'nducon e phénomène d nducon es l apparon d un couran élecrque à l néreur d un crcu ne comporan pas de généraeur. N S orsqu'on déplace un

Plus en détail

Numéro 2007/04 - Juillet 2007 Guide pratique des comptes chaînés

Numéro 2007/04 - Juillet 2007 Guide pratique des comptes chaînés uméro 27/4 - Julle 27 Gude praque des compes chaînés Luc EYRAUD Gude praque des compes chaînés Luc Eyraud Ce documen de raval n engage que ses aueurs. L obje de sa dffuson es de smuler le déba e d appeler

Plus en détail

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices Triangularisaion, jordanisaion, exponenielle de marices 1 Triangularisaion Soien E un espace vecoriel de dimension n e ϕ un endomorphisme de E de marice A dans une base donnée. On suppose que le polynôme

Plus en détail

Polynômes et paraboles.

Polynômes et paraboles. Polynômes et paraboles. I Polynômes. II Chouette, de nouvelles denttés remarquables. III Le carré ncomplet. IV Le dscrmnant, super-héro. V Formules de la somme et du produt. VI Changement de repère centre

Plus en détail

Circuits linéaires en régime transitoire

Circuits linéaires en régime transitoire MPSI - Élecrocnée I - rcs lnéares en régme ransore page 1/8 rcs lnéares en régme ransore 1 ondons nales e conné On va éder ce se passe enre enre dex régmes conns = régme ransore. es granders élecres ne

Plus en détail

Exemples de résolutions d équations différentielles

Exemples de résolutions d équations différentielles Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................

Plus en détail

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE

FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE FONCTIONS POLYNÔMES et SECOND DEGRE I/ Fonctions polynômes et rationnelles a- Fonctions polynômes Une fonction polynôme (ou plus simplement un polynôme) est une fonction définie sur R par: f (x) = a n

Plus en détail

Utilisation du symbole

Utilisation du symbole HKBL / 7 symbole sgma Utlsaton du symbole Notaton : Pour parler de la somme des termes successfs d une sute, on peut ou ben utlser les pontllés ou ben utlser le symbole «sgma» majuscule noté Par exemple,

Plus en détail

Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 8 avec corrigé succinct Exercice VIII.1 Ch-Exercice7 Soient les deux lois définies sur R de la manière suivante. Étant donnés deux couples (x, y) et (x, y ) de R, on pose : (x, y)

Plus en détail

INTÉGRALES DÉPENDANT DE

INTÉGRALES DÉPENDANT DE 7 décembre 8 7 décembre 8 INTÉGRALES DÉPENDANT DE PARAMÈTRES Table des maières JPB 7 décembre 8 I Rappels e noaions Noaions 3 Rappels 3. Sur les foncions d une variable................. 3 II Inerversion

Plus en détail

Exercices : nombres réels et fonctions numériques

Exercices : nombres réels et fonctions numériques ECS 1 Dupuy de Lôme Semaine du 15 octobre 2004 Exercices : nombres réels et fonctions numériques Exercice 1 : Démontrez que pour tout (x, y, z) R 3 Propriétés des nombres réels x + y + z x + y + z et x

Plus en détail

Estimation économétrique des fonctions d importation de produits agricoles de l Afrique de L Ouest

Estimation économétrique des fonctions d importation de produits agricoles de l Afrique de L Ouest Esmaon économérque des foncons d mporaon de produs agrcoles de l Afrque de L Oues Par Mourad Ayouz CIRAD ECOPOL CNRS CIRED UMR 8568 Ths repor was prepared by Mourad Ayouz as a background paper o he Susanably

Plus en détail

UNE POLITIQUE DE MAINTENANCE PREVENTIVE ASSOCIEE A UNE DEGRADATION ACCUMULATIVE BIVARIEE OBSERVEE CONTINUMENT

UNE POLITIQUE DE MAINTENANCE PREVENTIVE ASSOCIEE A UNE DEGRADATION ACCUMULATIVE BIVARIEE OBSERVEE CONTINUMENT UNE POITIQUE DE AINTENANE PREVENTIVE ASSOIEE A UNE DEGRADATION AUUATIVE BIVARIEE OBSERVEE ONTINUENT A PREVENTIVE AINTENANE POIY ASSOIATED WITH A ONTINUOUSY OBSERVED UUATIVE BIVARIATE DETERIORATION Ha Ha

Plus en détail

Exercices sur les équations diérentielles : corrigé

Exercices sur les équations diérentielles : corrigé Eercices sur les équaions diérenielles : corrigé PCSI Lycée Paseur ocobre 7 Eercice. On résou l'équaion sur R. L'équaion homogène associée y y = a pour soluions les foncions de le forme y h () = Ke, avec

Plus en détail

EC 4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire

EC 4 Circuits linéaires du second ordre en régime transitoire 4 ircuis linéaires du second ordre en régime ransioire PSI 016 017 I Réponse d un circui RL série à un échelon de ension 1. ircui R L i() u G () +q ¹ 1 u R () u L () u () On ferme l inerrupeur K à = 0,

Plus en détail

KF.book Page 29 Vendredi, 1. août :21 12 Chapitre 1 Mécanique 1

KF.book Page 29 Vendredi, 1. août :21 12 Chapitre 1 Mécanique 1 Chapire Mécanique Exercice 0 0 Risque de collision au freinage. Une voiure roule à une viesse consane en ligne droie. Au emps = 0, le conduceur aperçoi un obsacle, mais il ne commence à freiner (avec une

Plus en détail

Accompagnement niveau 1

Accompagnement niveau 1 GUITRE acoustque ccompagnement nveau 1 Une gutare n est pas l autre Les gutares peuvent être de dfférentes formes et couleurs, mas on en dstngue généralement tros genres prncpaux : la gutare «classque»

Plus en détail

TP11: Redressement d un signal alternatif sinusoïdal 2013

TP11: Redressement d un signal alternatif sinusoïdal 2013 P11: edressemen d n sgnal alernaf snsoïdal 013 De nombrex apparels élecrqes : HI-FI, éléphone, élecroménager... son des apparels à coran conn fonconnan sos selemen qelqes ols. Or l élecrcé dsponble a nea

Plus en détail

1 Quelques rappels sur les polynômes.

1 Quelques rappels sur les polynômes. Polynômes et fractions rationelles Dans ce chapitre, on ne considère que des polynômes à coefficients réels ou complexes. On notera R[X] l ensemble des polynômes à coefficients réels et C[X] l ensemble

Plus en détail

é d 3ème i o n Cuve 38 Millésimes de 1990 à 2009 Transmission Aérien Savoir-faire Grands Crus Blanc de Blancs Cuve 38 Collection numérotée

é d 3ème i o n Cuve 38 Millésimes de 1990 à 2009 Transmission Aérien Savoir-faire Grands Crus Blanc de Blancs Cuve 38 Collection numérotée Cuve 38 o n o n Mllésmes de 1990 à 2009 Transmsson Aéren Savor-fare Grands Crus Blanc de Blancs Cuve 38 Collecon numéroée LA RÉSERVE PERPÉTUELLE & EXCEPTIONNELLE DE CHAMPAGNE HENRIOT o n o n La mage d

Plus en détail

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité École Normale Supéreure 1ère année Année 2015-2016 Algèbre 1 TD6 : groupe lnéare, homographes, smplcté Exercces : à préparer à la mason avant le TD, seront corrgés en début de TD. Exercces : seront tratés

Plus en détail

2. Demi Additionneur. 1. Les Circuits combinatoires. Chapitre 4 : Les circuits combinatoires. Exemple de Circuits combinatoires

2. Demi Additionneur. 1. Les Circuits combinatoires. Chapitre 4 : Les circuits combinatoires. Exemple de Circuits combinatoires haptre : Les crcuts combnatores Object Les rcuts combnatores Un crcut combnatore est un crcut numérque dont les sortes dépendent unquement des entrées F(E F(E E E n pprendre la structure de quelques crcuts

Plus en détail

Fonction définie par une intégrale

Fonction définie par une intégrale [hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le juille 4 Enoncés Foncion définie par une inégrale Eude de foncions définies par une inégrale Exercice [ 53 ] [correcion] Soi f : x d + x 3 + 3 a) Monrer que f es définie

Plus en détail

La régression logistique PLS : Application à la détection de défaillance d entreprises

La régression logistique PLS : Application à la détection de défaillance d entreprises Busness Scool W O R K I N G P A P E R S E R I E S Workng Paper 04-38 La régresson logsque PLS : Applcaon à la déecon de défallance d enreprses BEN JABEUR Sam p://.pag.fr/fr/accuel/la-recerce/publcaons-wp.ml

Plus en détail

CHAPITRE II Oscillations libres amorties : Systèmes à un degré de liberté

CHAPITRE II Oscillations libres amorties : Systèmes à un degré de liberté CHAPITRE II Oscillaions libres amories Sysème à un degré de liberé 011-01 CHAPITRE II Oscillaions libres amories : Sysèmes à un degré de liberé Inroducion : Le pendule élasique comme le pendule pesan,

Plus en détail

Catherine Bruneau. Année Produit scalaire, orthogonalité et projection orthogonale. y! hx; yi est linéaire

Catherine Bruneau. Année Produit scalaire, orthogonalité et projection orthogonale. y! hx; yi est linéaire Cours de mahémaiques appliquées à la nance Produi scalaire, orhogonalié Séparaion des convexes e lemme de Farkas Applicaion: évaluaion par arbirage en déerminise Caherine Bruneau Année 2009-2010 1 Produi

Plus en détail

EXAMEN FINAL Économie Monétaire Internationale 27 janvier heures

EXAMEN FINAL Économie Monétaire Internationale 27 janvier heures niversié de Paris X Nanerre École Docorale MP DA conomie Inernaionale, Modélisaion e Analyse des Poliiques Économiques Année 2004-2005 XAMN FINAL Économie Monéaire Inernaionale 27 janvier 2005 2 heures

Plus en détail

Logique Séquentielle - fonction «Registre à décalage»

Logique Séquentielle - fonction «Registre à décalage» Logique Séquenielle - foncion «Regisre à décalage» 1. Inroducion Les bascules son rès uilisées comme élémens de mémorisaion de données ou d informaion. Le sockage des données a généralemen lieu dans des

Plus en détail

Irréversibilité de l Investissement, Sous-utilisation des Capacités de Production et Croissance de Long Terme

Irréversibilité de l Investissement, Sous-utilisation des Capacités de Production et Croissance de Long Terme Irréversblé de l Invesssemen, Sous-ulsaon des Capacés de Producon e Crossance de Long Terme Séphane Jame EUREQua, Unversé Pars I Résumé Ce arcle propose une rénerpréaon dans le cadre d un modèle d équlbre

Plus en détail

Méthodes d'intégration

Méthodes d'intégration Méhodes d'inégrion Méhodes élémenires Propriéés de se de l'inégrle Si F es une primiive sur un inervlle [,] de Á d'une foncion numérique f (une elle foncion F eise en priculier si f es coninue sur [,]),

Plus en détail

Jean-Louis CAYATTE

Jean-Louis CAYATTE Jean-Louis CAYATTE hp://jlcayae.free.fr/ jlcayae@free.fr Chapire 4 La durée du chômage Quand on parle de la durée du chômage, si l on n y prend pas garde, on confond facilemen la durée moyenne du chômage

Plus en détail

Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré

Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré Polynômes et fractions rationnelles Trinômes du second degré 1 Rappels 1. Carré d une somme : 2. Carré d une différence : 3. Différence de deux carrés : Pour tous réels a et b, a + b) 2 =........ Pour

Plus en détail

M1 Economie : "colle" d économie industrielle

M1 Economie : colle d économie industrielle M Economie : "colle" d économie indusrielle Armel JACQUES novembre 0 Les calcularices son auorisées ; en revanche les appareils permean de communiquer (éléphone porable ou aures) son inerdis. Concurrence

Plus en détail

Modélisation de l atomisation d un jet liquide

Modélisation de l atomisation d un jet liquide nversé de Rouen Modésaon de aomsaon d un e qude Appcaon au sprays Dese Par Perre-Arnaud Beau CoRIA Écoe Docorae de nversé de Rouen nversé de Rouen nversé de Rouen CoRIA Cee hèse nuée : Modésaon de aomsaon

Plus en détail

Chapitre 9 : Redressement

Chapitre 9 : Redressement Cors 9 M 2 Préamble 1. défnons 2. le hyrsor Chapre 9 : Redressemen pon de graez 4 Dodes 1. sr charge résse a. monage b. obseraon c. analyse de fonconnemen d. granders caracérsqes 2. monage sr charge RL

Plus en détail

CINEMATIQUE C2. 1. Vitesse. Vitesse et accélération. MM' t. d s ; T(M S/ %0 ) (S) O y (S) O y. Mécanique Cinématique Cinématique C2

CINEMATIQUE C2. 1. Vitesse. Vitesse et accélération. MM' t. d s ; T(M S/ %0 ) (S) O y (S) O y. Mécanique Cinématique Cinématique C2 Mécanique Cinémaique Cinémaique C bjecif : Définir, décrire e calculer la iesse ou l accéléraion d un poin d un solide. 1. Viesse CINEMATIQUE C Viesse e accéléraion 1.1. Noion de iesse Soi un solide en

Plus en détail

Les Développements Limités

Les Développements Limités Abderezak Ould Houcine, 003-004. Les Développements Limités Définition. Soit I un intervalle et f : I R une application. Soit x 0 un élément de I ou une extrémité de I (exemple : si I = ]a, b[ alors x

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel.

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel. NOMRES OMPLEXES RPPELS SUR LES ENSEMLES DE NOMRES Ensemble N : ensemble des enters naturels. L addton et la multplcaton de enters naturels donnent un enter naturel. La soustracton et la dvson de enters

Plus en détail

S5-4 périodes semaine Page 1 sur 12

S5-4 périodes semaine Page 1 sur 12 1. Rappel : Résoudre dans IR Chapitre 3 : Equation du second degré a) 3x x = 0 b) 7 x + 3 = 0 c) 4x 9 = 0 d) x 7 = 1 e) x² = 7 f) x² = 0 g) -4x² + 100 = 0 h) 3x² - 7x = 0 i) -5x² - 50 = 0 j) x² + 8x -6

Plus en détail

3.1 La définition des tâches

3.1 La définition des tâches TÂCHES Projec 2016 3.1 La définiion des âches A- Saisir les âches d'un proje Les âches représenen le ravail à accomplir pour aeindre l objecif du proje. Elles représenen, de ce fai, les élémens de base

Plus en détail