Chapitre 1 Entiers et décimaux.

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1 Chapitre 1 Entiers et décimaux. Voir 6 ème, chapitres 3, 5, 7, 11 et 12. I) Désignations A) Sous forme décimale On écrit les nombres à l aide des dix chiffres du système décimal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Définitions : Un nombre décimal peut s écrire à l aide d une écriture à virgule que l on appelle son écriture décimale. Elle se compose : D une partie entière à gauche de la virgule D une partie décimale (finie) à droite de la virgule. Tableau des «classes» : Partie entière Classe des millions Classe des mille Classe des unités Partie décimale Dixièmes Centièmes Millièmes Dixmillièmes Partie entière : unités de milliards, centaines de millions, dizaines de millions, unités de millions, centaines de mille, dizaines de mille, unités de mille, centaines, dizaines, unités. Partie décimale : Dixièmes, centièmes, millièmes, dix-millièmes, cent-millièmes, millionièmes, dixmillionièmes, cent-millionièmes, milliardièmes Numération de position : La valeur de chaque chiffre dépend de sa position. Elle est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre écrit immédiatement à sa droite. Le rang d un chiffre est la position qu il occupe par rapport à la virgule. Zéro : easymaths.free.fr Page 1 sur 5

2 Chiffre marquant l absence de certaines unités dans l écriture d un nombre. Décomposition : Un nombre décimal peut s écrire comme la somme de sa partie entière et de sa partie décimale. Propriété : (zéros inutiles) On peut écrire ou supprimer des zéros à droite de la partie décimale et à gauche de la partie entière d un nombre sans changer sa valeur. Un nombre décimal a donc plusieurs écritures décimales. Un nombre entier est donc un nombre décimal particulier : sa partie décimale est nulle. Un dixième s écrit 0,1 ; un centième s écrit 0,01 ; 2 583, 1 7 = (2 1000) + (5 100) + (8 10) + (3 1) + (1 0, 1) + (7 0,01) partie partie 2 milliers 5 centaines 8 dizaines 3 unités 1 dixième 7 centièmes entière décimale = , ,17 se lit : «Deux mille cinq cent quatre-vingt-trois virgule dix-sept» ou «Deux mille cinq cent quatre-vingt-trois unités et dix-sept centièmes» ,17 = ,17 = 2 583,170 = 2 583, = 62,0 = 62,00 Remarque : 1 billion = 1 million de millions ; 1 trillion = 1 million de billions ; 1 quadrillion = 1 million de trillions. Attention! Pour certains nombres la partie décimale ne «s arrête pas». Ils ressemblent à des nombres décimaux mais ce n en sont pas! B) Sous forme fractionnaire Définition : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1000, et dont le numérateur est un nombre entier. Décomposition : Un nombre décimal peut s écrire avec la somme d un entier et de fractions décimales ou avec une seule fraction décimale. Propriété : Un nombre décimal admet plusieurs écritures fractionnaires. Un dixième d une unité (10 fois plus petit que l unité) s écrit 1/10 ; un centième s écrit 1/100 ; easymaths.free.fr Page 2 sur 5

3 écriture écriture fractionnaire décimale , 04 2 = = = 23 + milliémes mille ( 0 10 ne s écrit pas) 23,042 m = 23 m + 4 cm + 2 mm = 23 m + 42 mm = 23 m + 0,042 m ,1 = = =... (10 centièmes de l unité c est 1 dixième de l unité) , 37 = = = =... 2 chifrres zéros Attention! Seuls les nombres pouvant s écrire sous la forme d une fraction décimale sont des nombres décimaux. II) Ordre A) Repérage sur une demi-droite (graduée) Définitions : Pour se repérer sur une demi-droite, on peut la graduer régulièrement. On choisit : Une origine (qui correspond au nombre zéro). Une unité de longueur que l on reporte régulièrement (la distance de 0 à 1). Un sens positif de parcours (de gauche à droite). Propriété et définition : Chaque point d'une demi-droite graduée (ou axe) peut être repéré par un nombre décimal, appelé l abscisse du point. Demi-droite graduée [O I) Choix de l'origine O I N M P 0 1 4,5 6 Sens positif Choix de la longueur unité Le point M a pour abscisse 4,5. On écrit M(4,5) ou x M = 4,5. Attention, «M = 4,5» ne s écrit pas! 6 est l abscisse du point P. L abscisse du point N est comprise entre 2,5 et 3. Remarques : En général, on place les lettres au-dessus de la demi-droite et les abscisses audessous. Parfois l origine n est pas représentée easymaths.free.fr Page 3 sur 5

4 On met une flèche au bout de l axe pour indiquer que les nombres sont classés dans l ordre croissant. Propriétés : Sur une demi-droite graduée : La distance d un point à l origine est proportionnelle à son abscisse. La distance entre deux points est proportionnelle à la différence entre leurs abscisses. B) Comparaison Comparer deux nombres, consiste à dire s ils sont égaux ou si l un est plus petit ou plus grand que l autre. Ranger des nombres dans l ordre croissant consiste à les ranger du plus petit au plus grand. Ranger des nombres dans l ordre décroissant consiste à les ranger du plus grand au plus petit. Notation : Le symbole «<» se lit «est inférieur à» ou «est plus petit que». Le symbole «>» se lit «est supérieur à»ou «est plus grand que». Méthodes : Pour comparer deux nombres, on compare d abord leurs parties entières. Si les parties entières sont égales, alors on peut : Comparer successivement les chiffres de même rang de la partie décimale. Ou, Compléter par des zéros «inutiles» les parties décimales pour avoir autant de chiffres, puis comparer les parties décimales. Comparer les nombres suivants. 245,78 et 256,4 245,78 est inférieur à 256,4 car 245 est plus petit que 256. On note, 245,78<256,4. 49,08 et 49,057 49,08>49,057 car les chiffres des centièmes 8 et 5 sont tels que 8>5. (8/100>5/100) 250 2,5 et 100 2,5 = Ranger la liste de nombres 2,64 ; 1 ; 2,635 et 0,8 par ordre décroissant. 2,64>2,635>1>0,8 C) Encadrement, valeur approchée Encadrer un nombre, c est donner une valeur inférieure et une valeur supérieure à ce nombre easymaths.free.fr Page 4 sur 5

5 Intercaler un nombre entre deux nombres a et b c est trouver un nombre compris entre a et b. Propriété : On peut toujours intercaler un nombre décimal entre deux nombres décimaux. On considère la portion de demi-droite graduée suivante. 35, ,4 35,5 Encadrer 35,46 par deux entiers consécutifs (qui se suivent). 35 < 35,46 < 36 35,46 est compris entre 35 et Une unité d écart. C est un encadrement à l unité près. 35 est la valeur approchée par défaut (plus petite, il en manque) à l unité près de 35, est la valeur approchée par excès (plus grande, il y en a trop) à 1 près de 35,46. 35, 4 < 35,46 < 35,5 approximation approximation par par défaut excès 35,46 est compris entre 35,4 et 35,4+0,1. C est un encadrement au dixième près. Encadrement à 0,01 près : 23,04 < 23,042 < 23,05 Intercaler un nombre entre 3,14 et 3,15. Une des réponses possibles est : 3,14 < 3,14159 < 3,15 Remarques : Les valeurs approchées par défaut sont aussi appelées des troncatures. Une troncature d un nombre est toujours inférieure à ce nombre. Celle des deux valeurs approchées décimales par excès ou par défaut qui est «la plus proche» de la valeur exacte est appelée un arrondi. Un arrondi d un nombre peut être inférieur ou supérieur à ce nombre. 35 est la troncature à 1 près de 35, est plus proche de 35,46 que 36 donc 35 est l arrondi à l unité de 35,46. 35,5 est plus proche de 35,46 que 35,4 donc 35,5 est l arrondi au dixième de 35, easymaths.free.fr Page 5 sur 5

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