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1 Licence Informatique Systèmes polynomiaux, que signifie : résoudre? Feuille de TD numéro 11 1 Comptage de solutions et escaliers Question 1. On considère le système suivant p1 := 2*x*y^2 + 3*x^2-5*y^3 - y - x + 2; p2 := x^2*y + x - y - 4; Voici trois bases de Gröbner réduites. Dessiner les escaliers. Commenter les résultats. > Basis ([p1,p2], plex(x,y)); [ y + 23 y - 7 y - 66 y y + 16 y + 25 y, y y y y y y y x] > Basis ([p1,p2], plex(y,x)); [ x - 33 x + 30 x - 17 x + 6 x - 7 x - x + 3 x, x + 77 x + 83 x + 28 x + 49 x - 43 x - 24 x y] > Basis ([p1,p2], grlex(y,x)); [x y + x - y - 4, 5 y x y - 3 x + y + x, x x y - x - 20 y + 8 x y - x - 2 y + 4 x] Question 2. Résoudre de tête le système S = 0. Confirmer en dessinant l escalier associé à la base de Gröbner réduite G et en utilisant un théorème étudié en cours. with (Groebner): S := [ x^2-1, y^2-1, (x-1)*(y-1) ]; 2 2 S := [x - 1, y - 1, (x - 1) (y - 1)] G := Basis (S, tdeg (x,y)); 2 2 G := [y - 1, x y - x - y + 1, x - 1] 1

2 Question 3. Même question pour le système suivant. P := (x-1)*(3*x+2)*(x^2-2); Q := (y-1)*(3*x-y); G := Basis ([P,Q], tdeg (x,y)); G := [3 x y - y - 3 x + y, 3 x - 8 x - x + 2 x + 4, y y - 23 y + 42 y + 90 y] Question 4. ordre? Le système S = {P, Q} précédent est déjà une base de Gröbner. Vis à vis de quel Question 5. Les courbes P = 0 et Q = 0 sont en fait deux droites parallèles. Prédire le résultat du calcul suivant. Vérifier en appliquant l algorithme de Buchberger. P := x+y-3; Q := x+y-5; G := Basis ([P,Q], plex(y,x)); Question 6. La courbe P = 0 est une droite qui passe à côté du cercle Q = 0. Prédire le résultat du calcul suivant. Vérifier en appliquant l algorithme de Buchberger. P := x+y-3; Q := x^2 + y^2-1; G := Basis ([P,Q], plex(y,x)); 2 Le sac à dos On suppose donnés un ensemble fini E d entiers naturels et un entier naturel s. On cherche s il existe un sous-ensemble F de E tel que la somme des éléments de F vaille s. Pour fixer les idées, on s intéresse à un exemple : E = {366, 385, 392, 401, 422, 437} et s = Le problème admet ici une unique solution : F = {392, 401, 422}. Ce problème peut se résoudre automatiquement en procédant à une certaine mise en équation (ce qui nous donne un certain système polynomial S) et en calculant une base de Gröbner G de l idéal I engendré par S. Dans la suite de l exercice, on ne vous demande aucun calcul de base de Gröbner. 2

3 Question 7. Expliquer comment mettre le problème en équation. Quel est le système S obtenu à partir de l exemple? Question 8. Comment déterminer à partir de G si le problème admet une solution? Question 9. Est ce que n importe quel ordre admissible convient pour le calcul de la base de Gröbner ou y a t il des restrictions? 3 Coloriage de carte On souhaite colorier une carte de telle sorte que deux pays ayant une frontière commune soient de couleur différente. On ne dispose que d un nombre borné de couleurs. Exemple. On suppose qu il y a trois pays A, B et C et deux couleurs. On suppose que A a une frontière commune avec B (ce qu on note A B) et que B C. On nomme a, b et c les couleurs respectives des trois pays. On numérote les couleurs (mettons 1 et 2). Question 10. Donner des équations imposant que a, b et c ne peuvent valoir que 1 ou 2 Question 11. Donner une ou plusieurs équations imposant que a b et b c. Question 12. Comment déterminer automatiquement si un coloriage est possible? Question 13. La méthode se généralise t elle à trois couleurs? à davantage de couleurs? 4 La cissoïde Vers 180 avant J.C. le mathématicien grec Dioclès s est intéressé à une courbe, connue aujourd hui sous le nom de «cissoïde», définie comme l ensemble (C) de tous les points Q qu on peut construire comme suit (r est une constante positive) : 1. tracer le cercle centré sur l origine de rayon r ; 2. considérer un réel r < x < r ; 3. considérer un point P d abscisse x appartenant au cercle (il y en a deux possibles) ; 4. tracer la droite (D) passant par A = (r, 0) et P ; 5. Q = (x, y) est le point de la droite d abscisse x. 3

4 (D) P (C) r Q A r x x r On cherche à montrer que la cissoïde satisfait l équation 4.1 Mise en équation y 2 (r + x) = (r x) 3. Pour mettre le problème géométrique en équation, on désigne par a le coefficient directeur et par b l ordonnée à l origine de la droite (D). Question 14. Donner une ou plusieurs équations polynomiales qui imposent que les points Q = (x, y) et A = (r, 0) soient sur la droite. Question 15. Donner une ou plusieurs équations polynomiales qui imposent que le point P d abscisse x soit sur le cercle. Question 16. Donner une ou plusieurs équations polynomiales qui imposent que x r. 4.2 Démonstration Notons S le système d équations que vous avez défini dans les trois questions précédentes et I l idéal qu il engendre. Ce système et cet idéal appartiennent à un anneau de polynômes en les indéterminées x, y, a, b, r (et d autres peut être encore). Pour tenter de démontrer la proposition, des étudiants proposent des approches différentes. 4

5 4.2.1 L étudiant A. Il propose de tester si l équation de la cissoïde appartient à I. Pour cela, il envisage de calculer une base de Gröbner G de I et de calculer la forme normale de l équation de la cissoïde par G. Question 17. appartient à I. Préciser comment cette méthode permet de décider si l équation de la cissoïde Question 18. Y a t il une restriction sur l ordre admissible? Si oui laquelle? Question 19. Supposons que l équation de la cissoïde n appartienne pas à I. Cela implique t il que l équation de la cissoïde n est pas conséquence des équations de S? L étudiant B. Il propose de décider si l équation de la cissoïde est conséquence des équations de S par un raisonnement par l absurde : en démontrant qu un certain système d équations S 2 n admet aucune solution. Question 20. Quelle(s) équation(s) peut on rajouter à S pour obtenir S 2? Question 21. Donner une ou plusieurs instructions MAPLE permettant d appliquer l algorithme de Buchberger à S 2 (système qu on suppose contenu dans la variable S2). Question 22. Comment exploiter le résultat produit par l algorithme de Buchberger pour procéder à la démonstration? Question 23. (raffinement de la question précédente). Dans un problème de géométrie, on s intéresse à l existence de solutions réelles et pas complexes. Discuter en quelques phrases la méthode proposée par l étudiant B en considérant les deux cas possibles : soit l application de l algorithme de Buchberger au système S 2 conclut à l absence de solutions soit elle conclut à l existence de solutions. Question 24. Y a t il des restrictions sur l ordre admissible fourni en paramètre à l algorithme de Buchberger? Si oui lesquelles? L étudiant C. Il souhaite calculer une base de Gröbner G de l idéal I des équations de I qui ne dépendent que des indéterminées x, y et r. Question 25. Comment utiliser l algorithme de Buchberger pour calculer G? 5

6 Question 26. Y a t il des restrictions sur l ordre admissible? Si oui lesquelles? 5 Déménagement On souhaite répartir huit personnes dans deux bureaux, à raison de quatre personnes par bureau et en tenant compte de certaines contraintes. On associe une indéterminée à chaque personne (l initiale de son prénom) : a, f, g, h, l, m, s, v. On associe un numéro à chaque bureau 0 ou 1. Question 27. Donner un système d équations qui exprime le fait que chaque personne est affectée dans l un des bureaux (en d autres termes, le fait que chaque indéterminée ne peut recevoir que la valeur 0 ou 1). Question 28. contraintes : Donner une ou plusieurs équations qu il suffit d ajouter au système pour coder les 1. g préfère ne pas se trouver dans le même bureau que h ; 2. personne ne souhaite que m et h soient dans un même bureau ; 3. m souhaite se trouver dans le même bureau que s ; 4. les bureaux doivent être équilibrés : il doit y avoir exactement quatre personnes par bureau. Question 29. Donner une méthode (utilisant des techniques vues en cours) permettant de déterminer si l aménagement des bureaux est possible (préciser et justifier mais sans dépasser dix lignes de texte). 6

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