I U. Exercices de 4 ème Chapitre 2 - Droites, cercles et triangles Énoncés. Exercice 1

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1 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles Énoncés xercice 1 ur le dessin ci-contre, on sait que (TH) // (). ontrer que T est le milieu du segment []. T H xercice n utilisant le codage du dessin ci-contre, montrer que () et (TH) sont parallèles. T H xercice 3 1. onstruire un triangle HN tel que H =,3 cm ; N = 3 cm et NH = 4 cm. onstruire le point symétrique du point par rapport à H et le point symétrique du point par rapport à N.. ontrer que les droites (HN) et () sont parallèles. 3. alculer. xercice 4 est un parallélogramme tel que = cm et = 1,8 cm. 1. Que peut-on dire des droites (U) et ()? Justifier.. ontrer que U est le milieu du segment []. 3. alculer U. U xercice 5 H est un trapèze de bases [H] et []. H 1. ontrer que (H) et (P) sont parallèles.. ontrer que (P) et () sont parallèles. P éducmat Page 1 sur 10

2 xercice 6 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles ntourer les réponses qui conviennent. Dans un triangle, une... passe forcément par un sommet. bissectrice hauteur médiane médiatrice Dans un triangle, une... passe forcément par le milieu d'un côté. bissectrice hauteur médiane médiatrice Les trois... d'un triangle se coupent en un seul point. bissectrices hauteurs médianes médiatrices L'intersection des... est le centre d'un cercle lié au triangle. bissectrices hauteurs médianes médiatrices Une... ne peut exister que dans un triangle. bissectrice hauteur médiane médiatrice L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est une... du triangle. bissectrice hauteur médiane médiatrice xercice 7 oit un triangle RT avec, J, K et L les milieux respectifs de [R], [RT], [R] et [RJ]. 1. ontrer que KL= 1 J. ontrer que J = 1 T 3. n déduire que KL= 1 4 T xercice 8 ur la figure ci-contre, on a = 6 cm. 1. Démontrer que les droites (D) et (F) sont parallèles.. Démontrer que F est le milieu de []. 3. n déduire les mesures de [], [F] et [F]. D G F xercice 9 1. onstruire un triangle U quelconque.. Placer L milieu de [U], N milieu de [] et milieu de [U]. est le point d'intersection de (L) et de (N). 3. La droite (L) est-elle forcément une médiane du triangle LN? Justifier la réponse. xercice 10 est un triangle quelconque. est le milieu de []. J est le milieu de []. est le symétrique de par rapport au point. La parallèle à () passant par J coupe () en K. J K 1. Faire le dessin.. Démontrer que K est le milieu de []. 3. Démontrer que les droites (K) et () sont parallèles. 4. Que représente le point d'intersection des droites () et (K) pour le triangle? 5. Quelle donnée de l'énoncé n'a pas été utile dans ce problème? éducmat Page sur 10

3 xercice 11 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles 1. Le point est situé à... cm de la droite (d '). La distance du point à la droite (d) vaut... cm. La distance du point à la droite (d) vaut... cm. Le point est situé à... cm de la droite (d ').. La distance du point à la droite (d') est... cm. Le point K est situé à... cm de la droite (d'). Parmi les points, J et K, le point le plus proche de (d) est cm ( d ) 1 cm ( d ) ( d' ) ( d' ) J K xercice 1 RT est un triangle rectangle en R et K est le pied de la hauteur issue de R. La distance du point R à la droite (T) est la longueur RK. De la même façon, quelle est la distance K a] du point à la droite (RT)? b] du point à la droite (RK)? c] du point T à la droite (R)? d] du point T à la droite (RK)? R T xercice 13 ur la figure ci-contre, K est le pied de la perpendiculaire à la droite (d) passant par. ( d ) 1. onstruire en vert l'ensemble des points situés à 1 cm de la droite (d).. onstruire en bleu l'ensemble des points situés à cm du point. 1,5 cm K 3. xiste-t-il des points situés à la fois à 1 cm de la droite (d) et à cm du point? i oui, indiquer combien et les marquer en rouge sur la figure. xercice 14 Les droites (d) et (d') sont deux tangentes au cercle. onstruire le centre de ce cercle. ( d' ) ( d ) éducmat Page 3 sur 10

4 xercice 15 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles oient une droite (d), un point appartenant à (d) et un point n'appartenant pas à (d). Le but de cet exercice est de construire un cercle () qui passe par et tel que la droite (d) soit tangente à () au point. n appellera le centre du cercle (). 1. n imaginant le résultat final, compléter le schéma ci-contre à main levée.. Que dire du point relativement à []? Justifier. 3. Que dire des droites (d) et ()? Justifier. 4. n déduire la construction du cercle. (d) xercice 16 onstruire le triangle R tel que R = 5 cm ; ÔR=40 et ÔR =5. 1. ur cette figure, construire le triangle R tel que soit le centre du cercle inscrit dans ce triangle.. Quelle est la nature du triangle R? Justifier. 3. Démontrer que = R. xercice Démontrer que les points, P et Q sont alignés.. achant que DP = 3,6 cm, combien mesure le segment [Q]? Justifier. D P Q (d ) xercice 18 ur le dessin ci-contre, deux triangles isocèles gris de sommets principaux et U recouvrent presque entièrement le quadrilatère RTU. Le point U appartient-il à la bissectrice de RT? Justifier. R P U T xercice Tracer un cercle de centre. oit un point du cercle et un autre point du cercle tel que =.. onstruire le point N symétrique de par rapport à. 3. Peut-on affirmer avec certitude que la droite (N) est tangente au cercle en? Justifier. éducmat Page 4 sur 10

5 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles xercice 0 oit le centre du cercle inscrit dans un triangle isocèle en. n note x la mesure en degrés de l'angle. 1. ontrer que le triangle est isocèle en. x. xprimer la mesure de l'angle ^ en fonction de x. 3. xprimer la mesure de l'angle ^ en fonction de x. 4. xprimer la mesure de l'angle ^ en fonction de x. éducmat Page 5 sur 10

6 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles orrigés xercice 1 Dans le triangle, comme (TH) est parallèle au côté [] et qu'elle passe par le milieu H du côté [], alors (TH) passe par le milieu de []. Donc T est le milieu du segment []. xercice Dans le triangle, comme (TH) passe par le milieu H du côté [] et par le milieu T du côté [], alors (TH) est parallèle au troisième côté donc (TH) est parallèle à (). xercice 3 1. Voir ci-contre.. omme et sont les symétriques de par rapport à respectivement N et H alors N et H sont les milieux respectifs de [] et []. Dans le triangle : comme (HN) passe par les milieux des côtés [] et [] alors (HN) // (). N 3. Dans le triangle, comme [HN] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [] alors on a = NH donc = 8 cm. H xercice 4 1. omme est un parallélogramme, alors ()//() donc (U) // ().. Dans, comme (U) passe par le milieu du côté [] et est parallèle au côté [] alors (U) coupe [] en son milieu. Donc U est le milieu de []. 3. Dans le triangle, comme [U] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [] alors on a = U donc U = 1 cm. xercice 5 1. Dans le triangle H : comme (P) passe par les milieux des côtés [] et [H] alors (P) // (H).. omme [H] et [] sont les bases du trapèze alors [H] et [] sont parallèles. omme (P) et () sont toutes deux parallèles à une même droite (H) alors (P) // (). xercice 6 Dans un triangle, une... passe forcément par un sommet. bissectrice hauteur médiane Dans un triangle, une... passe forcément par le milieu d'un côté. médiane médiatrice Les trois... d'un triangle se coupent en un seul point. bissectrices hauteurs médianes médiatrices L'intersection des... est le centre d'un cercle lié au triangle. bissectrices médiatrices Une... ne peut exister que dans un triangle. hauteur médiane L'axe de symétrie d'un triangle isocèle est une... du triangle. bissectrice hauteur médiane médiatrice éducmat Page 6 sur 10

7 xercice 7 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles 1. Dans RJ, comme [KL] a pour extrémités les milieux des côtés [R] et [RJ] alors KL= 1 J. R. Dans RT, comme [J] a pour extrémités les milieux des côtés [R] et [RT] alors J = 1 T. J 3. omme KL= 1 J et J =1 T alors KL= 1 1 T donc KL=1 4 T. T xercice 8 1. Dans le triangle F, comme (D) passe par les milieux des côtés [] et [F] alors (D) est parallèle au troisième côté. D'où (D) (F).. Dans D, comme (GF) passe par le milieu du côté [D] et est parallèle au côté [D] alors (GF) coupe [] en son milieu. Donc F est le milieu de []. 3. omme et F sont les milieux respectifs de [F] et [] alors = F et F = F. Par conséquent, [], [F] et [F] mesurent chacun 1 = cm. 3 xercice Voir ci-contre. 3. Dans le triangle L, comme (N) passe par le milieu N de [] en étant parallèle au côté [L] alors elle coupe le troisième côté [L] en son milieu. Donc est le milieu de [L]. omme le segment [N] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [L] alors on a N L U N= 1 L. De même, dans le triangle LU, on démontre que = 1 UL. omme L = LU avec N = 1 L et = 1 UL alors N =, d'où est le milieu de [N]. (L) est donc bien une médiane du triangle LN. xercice Voir ci-contre.. Dans le triangle, comme (JK) passe par le milieu J de [] en étant parallèle à [] alors elle coupe [] en son milieu. Donc K est le milieu de []. 3. omme est le symétrique de par rapport à alors est le milieu de []. Dans le triangle, comme (K) passe par les milieux des côtés [] et [] alors (K) est parallèle à (). J K 4. omme et K sont les milieux respectifs des côtés [] et [] alors () et (K) sont des médianes du triangle. Le point d'intersection des droites () et (K) est le centre de gravité du triangle. 5. La donnée de l'énoncé qui n'était pas nécessaire était le fait que est le milieu de []. e problème aurait été traité de la même façon si avait été placé n'importe où sur []. éducmat Page 7 sur 10

8 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles xercice Le point est situé à cm de la droite (d'). La distance du point à la droite (d) vaut cm. La distance du point à la droite (d) vaut 0,5 cm. Le point est situé à 1,5 cm de la droite (d').. La distance du point à la droite (d') est 0 cm. Le point K est situé à 1 cm de la droite (d'). Parmi les points, J et K, le point le plus proche de (d) est. xercice 1 a] La distance du point à la droite (RT) est R. b] La distance du point à la droite (RK) est K. c] La distance du point T à la droite (R) est RT. d] La distance du point T à la droite (RK) est KT. xercice n a construit en vert l'ensemble des points situés à 1 cm de la droite (d).. n a construit en bleu l'ensemble des points situés à cm du point. 3. Les points situés à la fois à 1 cm de la droite (d) et à cm du point existent et se situent à l'intersection du cercle bleu avec la droite verte. xercice 14 ( d' ) ( d ) xercice n veut obtenir un dessin qui ressemble à ça :. omme est équidistant de et alors appartient à la médiatrice de []. (d) 3. omme (d) est tangente en au cercle de centre alors (d) (). 4. Pour construire le cercle, on trace la perpendiculaire à (d) passant par, puis on trace la médiatrice de [] ; ces deux droites se coupent en. n peut alors tracer le cercle de centre et de rayon. éducmat Page 8 sur 10

9 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles xercice Voir ci-contre. R. omme est le centre du cercle inscrit au triangle alors () et (R) sont les bissectrices respectives des angles R et R alors on a R=80 et R=50. omme la somme des angles du triangle R vaut 180 alors R mesure = 50. omme R =50 et R =50 alors le triangle R est isocèle de base [R]. 3. omme R est isocèle en alors la bissectrice de R est confondue avec la médiatrice de [R] donc () est la médiatrice de [R]. omme appartient à la médiatrice de [R] alors = R. xercice omme P et Q sont tous les deux équidistants des droites (d 1 ) et (d ) alors P et Q appartiennent à la bissectrice de l'angle formé par ces droites. omme appartient également à cette bissectrice alors, P et Q sont alignés.. omme les droites (DP) et (Q) sont perpendiculaires à la droite () alors (DP) est parallèle à (Q). Dans le triangle Q, comme [DP] est parallèle au côté [Q] et passe par le milieu D de [] alors P est le milieu de [Q]. Dans le triangle Q, comme [DP] a pour extrémités les milieux des côtés [] et [Q] alors Q = DP donc Q = 7, cm. xercice RT omme la somme des angles du triangle isocèle RP vaut 180 alors PR mesure omme PR et PRU sont complémentaires alors PRU = RT. =90 RT. omme la somme des angles du quadrilatère RTU vaut 360 alors RUT = 180 RT. omme la somme des angles du triangle isocèle UT vaut 180 alors TU mesure 180 RUT n en déduit que TU = 180 (180 RT ) d'où TU= RT. omme les angles TU et PRU sont égaux alors les droites (RP) et (T) sont parallèles et comme les deux triangles gris ne recouvrent pas complètement le quadrilatère RTU alors le point est distinct du point R. n a donc UT différent de UR. omme (UR) ( R ) et (UT ) (T ) alors UR est la distance de U à (R) et UT est la distance de U à (T). omme la distance de U à (R) est différente de la distance de U à (T) alors U n'appartient pas à la bissectrice de RT. éducmat Page 9 sur 10

10 xercices de 4 ème hapitre - Droites, cercles et triangles xercice Voir ci-contre. 3. omme et appartiennent au cercle de centre alors =. omme, en plus, = alors est équilatéral donc ^=60. N omme N est le symétrique de par rapport à alors = N. omme  et ÂN sont supplémentaires alors ^N mesure = omme N est isocèle en alors N mesure =30. omme ÔN =Ô + N alors ^N mesure = 90. omme () est perpendiculaire à (N) en alors (N) est la tangente au cercle en. xercice 0 1. omme est le centre du cercle inscrit dans le triangle alors () est la bissectrice de ^. Donc ^= x. x omme est un triangle isocèle en alors ^=^. Par conséquent ^= x. omme () est la bissectrice de ^ alors ^ =x. omme ^=^ alors le triangle est isocèle en.. omme la somme des angles du triangle vaut 180 alors ^=180 x x donc ^=180 x 3. omme la somme des angles du triangle vaut 180 alors ^=180 x x donc ^=180 4 x. omme () est la bissectrice de ^ alors ^= 1 ^ donc ^ =90 x. 4. omme la somme des angles du triangle vaut 180 alors : ^=180 x (90 x) ^=180 x 90+ x ^ =90+x éducmat Page 10 sur 10

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