RAPPELS DE GÉOMETRIE

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1 RPPELS DE GÉOMETRIE Sommaire de ce document : Remarques préalables page 2 I Formules pour calculer des aires page 2 II Quelques propriétés utiles pour bâtir une démonstration page 3 III Formules permettant de calculer des volumes de solides : page 5 IV Définitions et propriétés concernant les angles page 9 VI Quelques théorèmes page 10 VII utres définitions et propriétés page 12 VII Propriétés concernant le triangle page 13 VIII ompléments divers page 15 IX Transformations géométriques page 17 Page 1

2 Remarques préalables : 1 ) Il a trois types d objets géométriques : les lignes, les surfaces et les solides (certains termes comme «triangle», «carré», «polygone», etc. sont ambigus et désignent parfois des lignes et parfois des surfaces) 2 ) Il faut faire très attention aux notations : [] désigne le segment (fermé) d'extrémités et (c'est un ensemble de points) () désigne la droite passant par les points et (c'est un ensemble de points) [x) désigne une demi-droite (fermée) d'origine le point (c'est un ensemble de points) désigne une longueur (ce n'est pas un ensemble de points). On peut également noter cette longueur d(,). I Formules pour calculer des aires : ire du triangle : = H 2 H ire du disque : = 2 R (ne pas confondre avec L=2 R, longueur d'un cercle) ire du parallélogramme : D h = h J h ire du trapèze : = D h IJ h (avec I milieu I 2 D de [D] et J milieu de [] ire du rectangle : = D ire du losange : = D D 2 ire du carré : c c = c² c c ire de la sphère : = 4 R² (ne pas confondre avec V = 4 R 3 pour le volume) 3 Page 2

3 II Quelques propriétés utiles pour bâtir une démonstration géométrique (très important) 1 ) Principe onsidérons les affirmations suivantes : P1 : () (D) et (D) () P2 : () (D) et = D P3 : = D et D = P4 : [] et [D] ont même milieu D On démontre que chacune de ces affirmations, prise isolément, est équivalente à l affirmation P suivante : le quadrilatère D est un parallélogramme. ien comprendre ce que ceci signifie : dire que l affirmation P3 est équivalente à l affirmation «le quadrilatère D est un parallélogramme» c est, non seulement, dire, que, pour tout parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur deux à deux mais c est aussi dire que tout quadrilatère qui a des côtés opposés de même longueur deux à deux est un parallélogramme. âtir une démonstration va consister à enchaîner des propriétés : si, à un certain moment, on sait, par exemple, que P3 est vérifiée (autrement dit si on sait que = D et D = ), on pourra en déduire que D est un parallélogramme. l étape suivante, on pourra en déduire que P1, par exemple, est vérifiée, autrement dit que () (D) et (D) (). La démonstration aura donc consisté à enchaîner deux théorèmes : Premier théorème (P3 P) : si un quadrilatère a des côtés opposés de même longueur deux à deux, alors c est un parallélogramme. Deuxième théorème (P P1) : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Il est donc important de connaître pour diverses figures élémentaires une liste de propositions équivalentes 2 ) Listes de propositions équivalentes a) Liste de propositions équivalentes à la proposition TI : «Le triangle est isocèle de sommet» TI1 : = TI2 : = b) Liste de propositions équivalentes à la proposition TE : «Le triangle est équilatéral» TE1 : = = TE2 : = = TE3 : = =60 Page 3

4 c) Liste de propositions équivalentes à la proposition TR : «Le triangle est un triangle rectangle en» TR1 : = 90 TR2 : 2 = I TR3 : I est le milieu de [] et I = I = I Remarques : Le théorème «TR TR2» est le théorème de Pythagore. Le théorème «TR2 TR» est le théorème réciproque du théorème de Pythagore Le théorème «TR TR3» exprime le fait que si un triangle est rectangle en alors le cercle de diamètre [] passe par. Le théorème «TR3 TR» exprime le fait que si [] est un diamètre d un cercle et un point de ce cercle alors le triangle est rectangle en d) Proposition équivalente à la proposition T : «Le quadrilatère D est un trapèze» T1 : () (D) D e) Liste de propositions équivalentes à la proposition P : «Le quadrilatère D est un parallélogramme» P1 : () (D) et (D) () P2 : () (D) et = D P3 : = D et D = P4 : [] et [D] ont même milieu D f) Liste de propositions équivalentes à la proposition R : «Le quadrilatère D est un rectangle» R1 : Les angles de D sont des angles droits R1 : D est un parallélogramme et D = 90 R2 : D est un parallélogramme et = D g) Liste de propositions équivalentes à la proposition L : «Le quadrilatère D est un losange» L1 : = = D = D D L2 : D est un parallélogramme et () (D) h) Liste de propositions équivalentes à la proposition : «Le quadrilatère D est un carré» D 1 : D est un rectangle et D est un losange 2 : = = D = D et D = 90 D i) Liste de propositions équivalentes à la proposition PR : «Le polygône P est un polygône régulier» Page 4

5 PR1 : Tous les côtés de P ont même longueur et tous ses angles sont égaux PR2 : P est inscriptible dans un cercle et tous les angles au centre déterminés par les segments joignant le centre du cercle à deux sommets succesifs sont égaux. III Formules permettant de calculer des volumes de solides : ône circulaire ône cylindrique droit (ou cône de révolution) ône circulaire droit (ou cône de révolution) Page 5

6 ylindre circulaire ylindre circulaire droit (ou cylindre de révolution) Page 6

7 Pyramide Pyramide régulière (attention : ce n est un polyèdre régulier que dans le cas où c est in tétraèdre régulier) Remarque : le tétraèdre est un cas particulier de pyramide Page 7

8 Prisme Page 8

9 Volume d une boule : V = 4 πr 3 3 IV Définitions et propriétés concernant les angles ngle rentrant ngle saillant ngle nul : 0 ngle aigu : 0 ngle droit : ngle obtus : 0 0 Propriétés des droites parallèles : De plus + = 180 (remarque ; c est un cas particulier d angles supplémentaires) Remarque : D 1 Si est égal à, alors D 1 et D 2 sont parallèles. D 2 ngles d un triangle rectangle : + = 90 (remarque : c est un cas particulier d angles complémentaires) Page 9

10 V Quelques théorèmes 1 ) a) Théorème de Pythagore : Si le triangle est rectangle en, alors ² = ² + ² b) Théorème réciproque du théorème de Pythagore : Si ² = ² + ², alors le triangle est rectangle en. 2 ) a) utre théorème concernant les triangles rectangles : Si le triangle est rectangle en alors le cercle de diamètre [] passe par. b) Théorème réciproque de cet autre théorème : Si [] est un diamètre d'un cercle et un point de ce cercle, alors le triangle est rectangle en. 3 ) Propriété des angles "inscrits dans un cercle" Page 10

11 4 ) Théorème de Thalès et théorème réciproque du théorème de Thalès : as général as particulier as particulier Théorème de Thalès Théorème réciproque du théorème de Thalès Hypothèses : (') // (') et (' )// (') onclusions : '' '' ou ou etc. '' '' Hypothèses : (') // (') et '' '' onclusion : (') // (') Hypothèse : (') // (') onclusions : ' '' ou ou etc. ' ' Remarque : le rapport (et pas un autre) est encore égal à ' ' ou ou Hypothèses : ' ' onclusion : (') // (') I Hypothèses : (IJ) // () et I est le milieu de [] onclusion : J est le milieu de [] e cas particulier du théorème de Thalès est en général appelé théorème réciproque du théorème des milieux I Hypothèses : I est le milieu de [] et J est le milieu de [] J J onclusion : (IJ) // () e cas particulier du théorème réciproque du théorème de Thalès est en général appelé théorème des milieux Page 11

12 VI utres définitions et propriétés : Médiatrice d un segment : La médiatrice D d un segment [] est la droite perpendiculaire à ce segment [] en son milieu : D Propriétés : - Si M appartient à D, alors : M = M - Si Ma = M, alors M appartient à D onséquence : la médiatrice de [] est l ensemble des points équidistants de et issectrice d un angle : La bissectrice d un angle xoy est la droite D qui partage cet angle en deux angles égaux : H x O M Propriété : Si M appartient à D alors MH = MK (où H et K sont les projetés orthogonaux de M sur (Ox) et (Oy). H y Page 12

13 VII Propriétés concernant le triangle : Les médianes du triangle (droites passant par un sommet et le milieu du côté opposé) sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle. Propriété : Les médiatrices du triangle (droites médiatrices des côtés du triangle) sont concourantes en un point 0 qui est le centre du cercle passant par, et (cercle circonscrit au triangle ) 2 G ' 3 2 G ' 3 2 G ' 3 Page 13

14 Les hauteurs du triangle (droites passant par un sommet et perpendiculaires au côté opposé) sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle. Les bissectrices des angles sont concourantes en un point I qui est le centre du cercle tangent aux trois côtés (cercle inscrit dans le triangle) 180 Pas indispensable pour le RPE ;-) Page 14

15 VIII ompléments divers 1 ) erf-volant Première définition possible : on appelle cerf-volant un quadrilatère qui admet une de ses diagonales pour axe de symétrie Deuxième définition possible (équivalente à la première) : on appelle cerf-volant un quadrilatère ayant deux côtés consécutifs de même longueur et dont les 2 autres côtés sont aussi de même longueur. erf-volant convexe erf-volant concave 2 ) La famille des triangles TRINGLES NI ISOÈLES NI RETNGLES TRINGLES RETNGLES MIS PS ISOÈLES TRINGLES TRINGLES ISOÈLES MIS PS RETNGLES TRINGLES PS ÉQUILTERUX TRINGLES ÉQUILTERUX TRINGLES ISOÈLES ET RETNGLES 3 ) La famille des quadrilatères QUDRILTÈRES ROISÉS QUDRILTÈRES NON ROISES ONVES QUDRILTÈRES PS TRPÈZES QUDRILTÈRES NON ROISÉS ONVEXES TRPEZES PS PRLLÉLOGRMMES PRLLÉLOGRMMES La sous-famille des parallélogrammes LOSNGES PS RETNGLES RETNGLES PS LOSNGES PRLLÉLOGRMMES RETNGLES ET LOSNGES = RRÉS NI RETNGLES NI LOSNGES Page 15

16 4 ) Patron d un cône circulaire droit (ou cône de révolution) dont on connaît le rayon de base r et la hauteur h alcul de d : D'après le théorème de Pythagore, d h r donc d h r alcul de a La longueur d'un arc d'un cercle est proportionnelle à l'angle au centre qui correspond à cet arc. ngle au centre 180 a Longueur de l'arc d 2r 180 2r a d r r Donc : a d 2 2 h r Voir aussi : (calculs en ligne) Page 16

17 IX Transformations géométriques 1 ) Généralités Page 17

18 2 ) ompléments concernant l homothétie Deux figures sont homothétiques quand l'une est l'image de l'autre dans une homothétie. a) Définition de la notion d'homothétie : Dans l'homothétie de centre I et de rapport k Si k est positif, M est transformé en M' tel que : - I, M et M' sont alignés - M' est sur la demi-droite [IM) d'origine I - IM' = k IM Exemple avec k = 2 Si k est négatif, M est transformé en M' tel que : - I, M et M' sont alignés - M' n'est pas sur la demi-droite [IM) d'origine I - IM' = k IM (c'est-à-dire que si k = - 3 alors IM' = 3 IM) Exemple avec k = -1,5 b) Propriétés : Première propriété : Page 18

19 Deuxième propriété : Page 19

20 c) Triangles homothétiques Page 20

21 3 ) Triangles isométriques et triangles semblables a) Triangles isométriques (rappels : deux triangles sont isométriques quand l un est l image de l autre dans une isométrie ; des triangles isométriques sont des triangles superposables) Propriété 1 : Deux triangles ayant respectivement leurs trois côtés de même longueur sont isométriques. Propriété 2 : Deux triangles ayant un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement égaux sont isométriques. Propriété 3 : Deux triangles ayant un angle égal compris entre deux côtés de même longueur sont isométriques. b) Triangles semblables (rappel : deux triangles sont semblables quand l un est l image de l autre dans une similitude c est-à dire quand l un est l image de l autre quand on effectue une isométrie suivie d une homothétie ; les longueurs des côtés de l un des triangles sont proportionnelles aux longueurs des côté de l autre triangle ; les angles des deux triangles sont égaux deux à deux ). Page 21

22 Propriété 1 : Deux triangles ayant leurs angles respectivement égaux sont semblables. Propriété 2 : Deux triangles ayant un angle égal compris entre des côtés dont les longueurs sont proportionnelles sont semblables. '' '' Propriété 3 : Deux triangles dont les longueurs des trois côtés sont proportionnelles sont semblables. '' '' '' Page 22