Applications affines Homothéties, translations et groupe affine, Symétries et projections

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1 Applications affines Homothéties, translations et groupe affine, Symétries et projections Activité 3 - Projection et symétries :, Etudier les extraits de cours ci-après (source : Géométrie, Term C et E, M. Gourion, Fernand Nathan 1978) 2) Symétries affines 1

2 Exercice : Déterminer une application affine dont l'application linéaire associée est une symétrie vectorielle mais qui n'est pas une symétrie affine. 2

3 Exercices d'application Soit R, le sous espace affine d'équation 2 3 et le sous espace affine d'équations 1 et 2 4- Soit la symétrie de par rapport à de direction et la symétrie de par rapport à de direction. Déterminer les coordonnées de ( ) et de ( ) pour un point quelconque de. 3

4 Activité 4- Projections - Théorème de Thalès I- Applications des projections. On se situe dans un plan affine. Thalès faible ou théorème de la droite des milieux Proposition 1. Dans tout triangle, la parallèle à un côté menée du milieu d un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Proposition 2. Dans tout triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté. Proposition 3. Dans tout triangle, la longueur du segment qui joint les milieux de deux côtés d un triangle est égale à la moitié du troisième côté. 1) Faire les schémas 2) Démontrer la proposition 1 en utilisant les projections. 3) Démontrer les propositions 2 et 3. 4) Démontrer les propriétés 1-2 et 3 avec les outils de la classe de 4 ième. Autre point de vue : parallélogramme à partir de la droite des milieux Définition : ABCD est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales et ont même milieu. 5) En partant de cette définition, démontrer que: Les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. Tout quadrilatère non aplati qui a ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme Médianes d un triangle Définition : Soit ABC un triangle. La médiane issue de A est la droite joignant le sommet A au milieu I du côté opposé. Théorème : Les trois médianes d un triangle sont concourantes, en un point G appelé centre de gravité du triangle. Il est situé aux deux-tiers de la médiane en partant du sommet. 6) Démontrer ce théorème en utilisant le théorème des milieux II- Théorème de Thalès Théorème direct : Soient A, B et C, 3 points d une droite D et A, B, C leurs images par la projection sur une droite D dans une direction d (avec D d, D d et A ). Alors (c est-à-dire : les projections conservent les rapports de mesures algébriques). 4

5 7) Démontrer ce théorème en utilisant les projections Réciproque : Soient A, B, C (respectivement A,B, C ) trois point d une droite D (respectivement D ) tels que (AA ) est parallèle à (BB ). Si alors (AA ) est parallèle à (CC ). 8) démontrer la réciproque Application au triangle : Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC). - Si (MN) // (BC) alors - Si alors (MN) // (BC) 9) Démontrer cette application III- D autres démonstrations du théorème de Thalès Propriété : Dans un triangle la droite qui passe par le milieu d un côté, parallèlement au deuxième côté, coupe le troisième en son milieu. 10) Démonstration par les aires : 1) ABC un triangle. M le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en I. Montrer l aire du triangle MBC est la moitié de l aire du triangle ABC. 2) En déduire que I est le milieu [AC] 11) Démonstration du Th de Thalès par les aires dans une configuration triangulaire. OAB est un triangle. A appartient à [OA] La parallèle à (AB) passant par A coupe [OB] en B. 1) 3) Montrer que k. 2) Posons k. Montrer que Montrer que Aire ( AA B) Aire (ABB ) 4) Soit A le projeté de A sur (AB) dans la direction (OB). Montrer que IV- ( ( ) ) k Démonstration du théorème de Pappus en utilisant les homothéties ou translation Soient Δ et Δ deux droites distinctes d un plan affine,,, trois points de Δ et de l éventuel point Δ Δ. Si ( )//( ) et ( )//( ) alors ( )//( ),, trois points de Δ, distincts 5

6 Activité 5 - Exercices Exercice 1 Soit un triangle non applati du plan. Quel est le groupe des transformations affines du plan qui préservent l'ensemble {,, }? Exercice 2 Soit un tétraèdre non applati de R. Quel est le groupe des transformations affines du plan qui préservent l'ensemble {,,, }? Exercice 3 Soit un espace affine et, deux sous espaces affines supplémentaires de. Soit la symétrie par rapport à de direction et Soit la symétrie par rapport à de direction. Démontrer que l'application admet un unique point fixe Quelle est la nature de cette application? Exercice 4 Soit un tétraèdre non plan. En utilisant une projection, démontrer que la droite passant par les isobarycentres des faces et est parallèle à la droite ( ). Exercice 5 Soit un parallélogramme non plat. Etudier le groupe G des applications affines conservant. Exercice 6 Soit un parallélépipède non aplati de R. L objectif de cet exercice est d étudier le groupe des transformations affines de R^3 qui laissent globalement invariant. 1- Montrer que agit sur l ensemble des six faces de. 2- Quelle est l orbite d une face sous cette action? 3- Montrer que le stabilisateur d une face est un groupe qui agit transitivement sur les quatre sommets de cette face. Quel est le stabilisateur d un sommet de sous cette action? En déduire le cardinal du stabilisateur de. 4- Quel est le cardinal de? 5- Retrouvez ce résultat en listant les images possibles de la base affine (,,, ) Exercice 7 Soit une application affine de dans (de dimension finie) et soit l application linéaire associée à. Alors, l application admet un unique point fixe si et seulement si 1 n est pas valeur propre de. Exercice 8 Soit,, R. Montrer que h(, ) h(, ) Exercice 9 Soit une translation et f une application affine bijective de partie linéaire d un espace affine. Montrer que l on a o o ( ) Si, désigne l homothétie de centre O et de rapport k, montrer que,, 6

7 Exercice 10 Les homothéties de rapport non nul et les translations transforment une droite affine en une droite parallèle. La réciproque est-elle vraie? (Les applications affines qui transforment toute droite en une droite parallèle sont-elles des homothéties ou translations?) Exercice 11 Dans un plan affine, on donne les milieux des côtés d un pentagone plan inconnu. Déterminer une construction géométrique permettant de retrouver ce pentagone. Exercice 12 : démontrer qu une dilatation transforme une droite en une autre droite qui lui est parallèle. Activité 3 application à la construction Exercice 13 : On considère trois directions de droites distinctes, d 1, d 2, d 3. Soient A, B et C trois points d une droite D de direction d 1 et Δ, Δ, Δ, Δ trois droites de la direction d 2 passant respectivement par A, B et C. Deux droites D 1 et D 2 de la direction d 3 passant par B et C coupent Δ en M et Δ en N. La parallèle à (AN) passant par B coupe Δ 3 en P 1) Soit h A l homothétie de centre A qui transforme B en C. Construire les images M et N de M et N par h A 2) Déterminer les images de M et N par o h A. Exercice 14 : Soit ABC un triangle quelconque et ( ) une droite qui coupe (BC) en D, (AC) en E et (AB) en F, les points D, E et F sont deux à deux distincts. Soit I le milieu de [AD] et J le milieu de [BE] et K le milieu de [CF]. On veut démontrer que I, J et K sont alignés. 1) Soient G le point tel que CEGB soit un parallélogramme et H le point tel que CAHD soit un parallélogramme. Expliquez pourquoi il suffit d établir que F, G et H sont alignés. 2) Soit h l homothétie de centre F qui envoie A en B et soit h l homothétie de centre F qui envoie D en E. Déterminer l image, par h o h de la droite (AH), puis l image par h o h de la droite (DH). 3) Conclure. Exercice 15 : Soit [AB] un segment de longueur 6 cm. Pour chaque point M du segment [AB], on construit les triangles équilatéraux AMP et MMQ du même côté de la droite (AB) et N le milieu de [PQ]. Quel est le lieu des points N lorsque M décrit le segment [AB]? Exercice 16 : Le trapèze complet On considère un trapèze, non croisé, ABCD de grande base [CD] et de petite base [AB]. I est le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. O est le point d intersection des droites (AD) et (BC). 1) Démontrer que O, I et J sont alignés. 2) Soit O l intersection des diagonales du trapèze. Montrer que O I et J sont alignés. 3) En déduire que la droite (OO ) passe par I et J. Exercice 17. Soit un triangle quelconque. Construite un carré à l intérieur du triangle : deux sommets du carré étant sur un côté, le troisième sommet du carré étant sur un autre côté du triangle et le quatrième sommet du carré sur le troisième côté du triangle. 7

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