Exercices : Fonctions continues

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Exercices : Fonctions continues"

Transcription

1 Eercices : Fonctions continues Eercice 1 Sur quels ensembles les fonctions suivantes sont elles continues? sin() si 0 1) f : 2) f : E() 2 si = 0 3) f : sin(π)e() 4) f : sin() sin( 1 ) si 0 0 si = 0 Eercice 2 Peut on prolonger les fonctions suivantes par continuité au points proposés? Si oui, donner l epression du prolongement. 1) f : sin() en 0 2) f : 3 sin( 1 ) en 0 3)f : tan() 2 en 0 4) f : sin2 (π) 2 en 0 Eercice 3 Soit f une fonction de [a, b] dans [a, b] telle que (, y) [a, b] 2, f() f(y) < y. 1. Montrer que f est continue sur [a, b]. 2. Montrer que l équation f() = possède une solution, et une seule, dans [a, b]. Eercice 4 Soit f : R + R croissante, et telle que la fonction f() Montrer que f est continue sur R +. est décroissante. Eercice 5 (Un peu difficile) 1. Donner un eemple de fonction f : R R non constante telle que R, f() = f( 2 ) 1

2 2. On considere maintenant f : R R qui vérifie R, f() = f( 2 ). On suppose de plus que f est continue en 0 et en 1. Montrer que f est constante. Eercice 6 Soient f et g continues sur [0; 1] telle que [0; 1], f() < g(). Montrer qu il eiste m > 0 tel que [0; 1], f() + m < g(). 2

3 Indications pour l eercice 1 Il s agit d un simple calcul de limite: Indications pour l eercice 2 il suffit d appliquer la définition du cours! f continue en 0 lim 0 f() = f( 0 ) Indications pour l eercice 3 1. Fiez 0 [a, b] et prouvez que f() 0 f( 0 ) en utilisant l inégalité vérifiée par f 2. f() = g() = 0, où on a posé g() = f(). Prouver que g est continue, que g prend des valeurs négatives et positives: que peut on en déduire? Indications pour l eercice 4 Fiez 0 R et prouvez que f() f( 0 ) à l aide du théorème des gendarmes 0 (il faudra donc trouver des inégalités! grâce à quelles hypothèses va t-on le faire?) Indications pour l eercice 5 1. prendre une fonction constante, sauf en un point ( à choisir judicieusement!) 2. Soit [1, + [. Considerer la suite (u n ) définie par u 0 = u n+1 = u n : quelle est sa limite? utiliser le fait que f soit continue pour prouver que f() = f(1). Faire un travail similaire pour / [1, + [. Indications pour l eercice 6 Considerer la fonction h() = g() f(): montrer qu elle est continue et strictement positive. Quel théorème va t-on utiliser comme théorème pour prouver qu il eiste m > 0 tq h() > m? 3

4 Correction de l eercice 1 1. Ainsi définie, f est continue sur R comme quotient de deu fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. Reste le pb en 0: on sait que sin() 0 1; Or f(0) = 2 1. Donc f n est pas continue en 0: f est donc continue sur R 2. La fonction E est continue, sauf au points de Z. Donc f est continue sur R\Z. (comme produit de deu fonctions continues) Qu en est il sur Z? Sur Z f n est pas continue, car si elle l était, on aurait E() = f() comme quotient de deu fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. qui serait continue Et en 0? Au voisinage de 0, on a E() 1 ( en 0 +, E() = 0 et en 0, E() = 1). Donc au voisinage de 0, f() : donc f() 0 0. Or f(0) = 0. Donc f est continue en 0. Conclusion: f est continue sur R, sauf au points de Z 3. Comme précedemment, f est continue sur R\Z. Qu en est il sur Z? Soit p Z. Calculons lim p f(). Au voisinage de p, on a E() p + 1. Donc si est proche de p, f() ( p + 1) sin(π). Comme sin(π) p 0, on a: f() p 0 (théorème des gendarmes). Or f(p) = 0. Donc f est continue en p : ainsi f est continue sur R 4. f est continue sur R, comme produit et composée de fonctions continues. f est elle continue en 0? Calculons lim 0 f(). R, sin( 1 ) 1 ; donc R, 0 f() sin() Ainsi d après le th des gendarmes, f() 0 0. Comme f(0) = 0, f est continue en 0. Donc f est continue sur R Correction de l eercice 2 1. On sait que sin() 0 1 (tau de variation). Ainsi f possède une limite finie en 0: on peut donc prolonger f par continuité en 0. Le prolongement s écrit: f : sin() si 0 1 si = 0 4

5 2. On a: R, 0 f() 3 Donc f() 0 (théorème des gendarmes). Ainsi f possède une limite finie en 0: on peut donc prolonger 0 f par continuité en 0. Le prolongement s écrit: f : 3 sin( 1 ) si 0 0 si = 0 3. On sait que tan() 0 1 (tau de variation). Donc tan() 2 = tan() Donc f ne possède pas de limite finie en 0: f n est pas prolongeable par continuité. Remarque: f pourrait cependant être prolongeable par continuité à gauche; mais ce n est pas le cas, car lim f() = 0 et n est donc pas finie. 4. On a simplement ici sin 2 (π) 2 Donc f admet un prolongement par continuité en 1. Celui ci s écrit: f : sin 2 (π) 2 si 0 π 2 si = 0 = sin2 (π) (π) 2 π2 π 2 0 Correction de l eercice 3 1. Soit 0 [a, b]. Montrons que lim 0 f() = f( 0 ). On a: 0 f() f( 0 ) < 0 Or les termes de droite et de gauche tendent vers 0 quand 0 : d après le théorème des gendarmes, f() f( 0 ) 0 lim f() = f( 0 ) f est continue en Or 0 est choisi quelconque, f est donc continue sur [a, b]. 2. eistence de la solution : On pose g() = f(). Cette fonction est continue, comme différence de fonctions continues. De plus g(a) 0, car l ensemble d arrivée de f est [a, b]. De même, g(b) 0. Donc g est continue et prend des valeurs positives et négatives : d après le TVI, g s annule en un point y: ce point est solution de l équation f() =. unicité de la solution : supposons qu il en eiste deu, 1 et 2. On a par ailleurs f( 1 ) f( 2 ) < 1 2. Mais comme f( 1 ) = 1 et f( 2 ) = 2, cette inégalité se réécrit 1 2 < 1 2, ce qui est absurde. La solution est donc unique. 5

6 Correction de l eercice 4 Soit 0 R +. Montrons que lim 0 f() = f( 0 ), en calculant les limites en + 0 et en 0 Calculons lim f(). + 0 On a, comme f est croissante, de plus, comme f() Ainsi, est décroissante, 0, f() f( 0 ) 0, f() f( 0) 0 0, f() f( 0 ) 0 (car > 0) 0, f( 0 ) f() f( 0 ) 0 Donc d après le théorème des gendarmes, lim f() = f( 0 ). + 0 Calculons lim f(). + 0 Le raisonnement est le même, et on trouve lim f() = f( 0 ) 0 Donc lim 0 f() = lim + 0 f() = f( 0 ) f est continue en 0. Or 0 est choisi quelconque, f est donc continue sur R + Correction de l eercice 5 1. Il suffit de prendre la fonction f : R R suivante: f : 1 si = 1 0 sinon 2. On va d abord travailler sur R + : On va montrer que f est constante sur ]0, + [, puis sur [0, + [: enfin on montrera que f est constante sur R. f est constante sur ]0, + [ Soit [1, + [. Comme f() = f( 2 ), on peut écrire que f() = f( ); en itérant ce processus, on peut ecrire que f() = f( ) =... = f(... ) Or... sera proche de 1 s il y a beaucoup de racines... si f est continue, on aura donc forcément f() = f(1). D où l idée de considérer la suite (u n ) définie par Cette suite peut s écrire aussi u n = (u 0 ) ( 1 2) n u 0 = u n+1 = u n. Comme f() = f( 2 ), on a: n N, f(u n ) = f(u 0 ) = f(). Or u n n + 1 6

7 En effet, u n = (u 0 ) ( 1 2) n = e ( 1 2) n ln(u 0 ) et ( 1 2) n ln(u0 ) n + 0 Comme f est continue en 1, (c est essentiel!) f(u n ) n + f(1). Or f(u n ) = f(); donc f() = f(1). On a donc bien: f constante sur ]0, + [ f est constante sur [0, + [ On utilise encore la continuité, mais cette fois en 0. Comme f est continue en 0, on a égale à f(1) sur ]0, + [. lim f() = f(0). Mais lim 0 + D où f(0) = f(1), et ainsi f est constante sur [0, + [ f() = f(1), puisque f est constante 0 + f est constante sur R Soit R. On a f() = f( 2 ), or 2 [0, + [. Donc f( 2 ) = f(1) d après ce qui précède, donc f() = f(1). D où le résultat. Correction de l eercice 6 On pose h() = g() f(). Cette fonction est continue, comme différence de deu fonctions continues. De plus d après l énoncé, [0, 1], h() > 0 (1) Or [0, 1] est un segment: On applique alors le théorème des applications continues sur un segment, qui affirme que h est bornée, et que h atteint ses bornes. Autrement dit, 0 [0, 1], 1 [0, 1] tq [0, 1], h( 0 ) h() h( 1 ). On pose m = h( 0 ); on a bien h( 0 ) > 0 d après 1). D où le résultat. 7

(croissances comparées) x + x 1 x x 1. 1 x 1 x 1 x = 2 = 1

(croissances comparées) x + x 1 x x 1. 1 x 1 x 1 x = 2 = 1 Eercice.. 2. 3. e 2 ln = e 2 ( 2 ) /2 } ln {{ / } (ln ) 3 2 2 = (ln ) 3 / 2 / /(2) 2 }{{} sin 0 car sin est bornée et 0. 0 4. e (aucune difficulté!) 5. Il faut distinguer 0 et 0. 6. (croissances comparées)

Plus en détail

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des exercices

Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des exercices Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et continuité - Correction des eercices Tatiana Labopin-Richard 28 janvier 205 Problèmes de limites Eercice : Trouver les limites suivantes

Plus en détail

Exercices : Limites de fonctions

Exercices : Limites de fonctions Eercices : Limites de fonctions Eercice Calculez les ites suivantes: ) 2 E( ) tan(2) 3) 0 ln( + ) ( ) 5) + 2 + 2 2) 0 + 2 ln() 4) 2 +( 2)2 ln( 3 8) ( ) 6) + 2 Eercice 2 Répondre par vrai ou fau au affirmations

Plus en détail

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis

Exercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Eercices corrigés Théorème de Rolle, accroissements finis Enoncés Eercice Démonstration du théorème des accroissements finis Soit f : [a, b] R, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ En appliquant le

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Terminale S Exercices limites et continuité Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x) = x.

Terminale S Exercices limites et continuité Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x) = x. Terminale S Eercices limites et continuité 0-0 Eercice : limite finie en l'infini Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f() = +. ) Soit r un réel strictement positif et I = ] r; + r[. Montrer que, si

Plus en détail

1. Soit l un nombre réel. On dit que f tend vers l en + si f est aussi proche que l on veut de l dès que x est suffisamment

1. Soit l un nombre réel. On dit que f tend vers l en + si f est aussi proche que l on veut de l dès que x est suffisamment Limites s Soit f une fonction définie sur un intervalle I et 0 un point de I ou une etrémité de I.. Limite réelle en un point Soit l un nombre réel. On dit que f admet l pour limite en 0 si f() est aussi

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions Bibliothèque d eercices Énoncés L Feuille n Limites de fonctions Théorie Eercice Démontrer que 0 Soient m, n des entiers positifs + Étudier 0 3 Démontrer que 0 ( + + ) = Eercice = + m m n Montrer que toute

Plus en détail

Les fonctions logarithmes

Les fonctions logarithmes DOCUMENT 34 Les fonctions logarithmes. Eistence des fonctions logarithmes.. L aspect algébrique. L idée de transformer les produits de nombres réels en sommes, afin de simplifier les calculs numériques,

Plus en détail

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone.

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. LEÇON N 6 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. Pré-requis : I est un intervalle si a,b I a b, [a,b] I ; Toute partie non

Plus en détail

Limites, continuité et dérivabilité

Limites, continuité et dérivabilité Correction de la Feuille de TD - Analyse 8 9 Limites, continuité et dérivabilité Eercice. Montrer que a = et ( ) =.. Démontrer maintenant ces résultats en utilisant la définition (avec le ε) de la ite.

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité TD3 Limites et continuité Limites de fonctions Eercice Déterminer les limites suivantes (si elles eistent) : a) lim + ( ln(+ + )) e 3 + + 7 b) lim + e + e c) lim d) lim + + 3 + 7 3 [ ] e) lim + (e + e

Plus en détail

Etude théorique d équation d ordre 2

Etude théorique d équation d ordre 2 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Etude théorique d équation d ordre 2 Eercice 1 [ 01555 ] [Correction] Soit q : R R + une fonction continue non nulle. On se propose de

Plus en détail

TS Limites de fonctions Cours

TS Limites de fonctions Cours TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour

Plus en détail

variations de f y 5 f(x + 1) 5 f(x + 1) 3 = y 5 y 3 5 4y + 10

variations de f y 5 f(x + 1) 5 f(x + 1) 3 = y 5 y 3 5 4y + 10 CPI - ANALYSE CORRECTION Eercices Chapitre 3 - Limites et fonctions continues Eercice 3 Correction : { Soit E 3 + 75 }, R et + 36 3 On a + 36 3 9 3 On pose f 3 + 75 Comme f est impaire, il suffit de l

Plus en détail

est et si a < 0 alors c est +. On échange les deux côtés de 0 lorsque b < 0. . Donc la limite est = ln(1+x) )

est et si a < 0 alors c est +. On échange les deux côtés de 0 lorsque b < 0. . Donc la limite est = ln(1+x) ) P.C.S.I. Éléments de correction. Eercice. Fau: sur R + prendre et.. Vrai c est du cours.. Fau: prendre +cos. 4. Vrai: Supposons f T périodique et croissante. Soient < y réels et n N tel que + nt > y; alors

Plus en détail

Limites et asymptotes

Limites et asymptotes Chapitre 3 Limites et asymptotes Sommaire 3. Définitions, propriétés........................... 87 3.. Limite finie en un point........................... 87 3..2 Limite infinie en un point..........................

Plus en détail

Devoir maison sur les suites - Exemples d application

Devoir maison sur les suites - Exemples d application 9- HKBL suites récurrentes u n+ = f(u n ) / 9 Devoir maison sur les suites - Eemples d application Voici la liste des eercices corrigés : Eercice : (niveau ) Étudier la suite (u n ) définie par u R et

Plus en détail

Exercices : Fonctions Dérivables

Exercices : Fonctions Dérivables Exercices : Fonctions Dérivables Exercice Déterminez l ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur dérivée. ) f : x x 2 + x 2 2) f : x x + cos( x ) 3) f : x arctan( xe x ) 4) f :

Plus en détail

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année 009-00 Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme.

Plus en détail

sont continues en a. g Si f est positive sur I et continue en a alors f est continue en a. Exercice : x 1 cos

sont continues en a. g Si f est positive sur I et continue en a alors f est continue en a. Exercice : x 1 cos Pro : Hadj Salem Habib 4 Maths et 4 Sc ep A-I / Continuité et ites en un réel : Théorème 1 : Toute onction polynôme est continue en tout réel de Toute onction rationnelle est continue en tout réel de son

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

Exos corrigés sur limites, continuité...classe : TS. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire

Exos corrigés sur limites, continuité...classe : TS. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire Eos corrigés sur ites, continuité...classe : TS Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire 04-05 Je suis un ancien élève du lycée Victor Hugo de Marrakech Bac C 986. Je donne des cours en maths et physique-chimie

Plus en détail

Fonction logarithme - Correction

Fonction logarithme - Correction Eercice 1 Fonction logarithme - Correction Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. f() = ln + ln(2 ) On sait, d après le cours que la fonction ln est définie sur R +. Autrement

Plus en détail

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, et sauf mention contraire : I est un intervalle de non vide et non réduite à un point ; est un domaine

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale

Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Devoir non surveillé Équation différentielle, fonction définie par une intégrale Pelletier Sylvain, BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: pour le 0 juin Eercice Résoudre l équation différentielle : E y y + 5y cos

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 5 [ ] [correction] Soient u 0 ]0, 1[ et pour tout n N,

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 5 [ ] [correction] Soient u 0 ]0, 1[ et pour tout n N, [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Enoncés Suites récurrentes Exercice [ 0038 ] [correction] Etudier la suite définie par u 0 > 0 et pour tout n N, Exercice [ 00330 ] [correction] Soient

Plus en détail

Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues

Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues Math I Analyse Feuille 4 : Fonctions, fonctions continues 1 Quelques calculs élémentaires 11 Limites On rappelle les limites suivantes : lim ep = + et lim ep = 0 lim ln = + et lim ln = 0 Eercice 1 Soit

Plus en détail

Chapitre 8 : Limites de fonctions, continuité et applications

Chapitre 8 : Limites de fonctions, continuité et applications Chapitre 8 : Limites de fonctions, continuité et applications 1. Introduction On introduit d abord de manière rigoureuse les notion de limites de fonctions définies sur un intervalle de R et de continuité

Plus en détail

Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition.

Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition. LSMarsa Elriadh Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition (5 ² 1) f ( ) = 3 ² + 5 + 1 ; f ( ) = ;

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a..........................................

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

TD : Fonctions. Université Pierre et Marie Curie Le 29 novembre 2012 http ://www.eleves.ens.fr/home/waldspur/lm110.html.

TD : Fonctions. Université Pierre et Marie Curie Le 29 novembre 2012 http ://www.eleves.ens.fr/home/waldspur/lm110.html. Université Pierre et Marie Curie Le 9 novembre 0 LM0 ttp ://www.eleves.ens.fr/ome/waldspur/lm0.tml TD : Fonctions Corrigé Eercice :. Réécrivons f () en fonction de y : f () ey + y/ f () ey + y y ( + y

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. CORRIGE. x 2. g x

La calculatrice est autorisée. CORRIGE. x 2. g x Mathématiques TS7 04-05 Continuité et TVI IE Lundi 0 novembre «C est justement pour préserver ce qui est neuf et révolutionnaire dans chaque enfant que l éducation doit être conservatrice, c'est-à-dire

Plus en détail

Continuité des fonctions réelles

Continuité des fonctions réelles Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles 2.1 Généralités Définition 2.1.1. Une fonction réelle f est une application d une partie D de R dans R. La partie D est appelée ensemble (ou domaine) de définition

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité Chapitre 5 Limites et continuité Les buts de ce chapitre sont : connaître les définitions des ites et de la continuité d une fonction en un point, savoir démontrer qu une fonction admet une ite comme on

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

Limites d une fonction Continuité ponctuelle

Limites d une fonction Continuité ponctuelle Limites d une fonction Continuité ponctuelle Bcpst 1 3 janvier 2017 I Parties de et ordre I.1 Intervalles Definition 1.1 Intervalle de Un intervalle de est un ensemble d une des formes suivantes (a, b)

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 014 Enoncés 1 Fonctions numériques Limites d une fonction numérique Généralités sur les fonctions numériques Eercice 7 [ 01784 ] [correction] Déterminer

Plus en détail

Limites et fonctions continues

Limites et fonctions continues Limites et fonctions continues Vidéo partie. Notions de fonction Vidéo partie 2. Limites Vidéo partie 3. Continuité en un point Vidéo partie 4. Continuité sur un intervalle Vidéo partie 5. Fonctions monotones

Plus en détail

Dérivabilité. Chapitre 9. Dérivée en un point, sur un intervalle

Dérivabilité. Chapitre 9. Dérivée en un point, sur un intervalle Chapitre 9 Dérivabilité Connaître les définitions de la dérivée en un point, Connaître les dérivées usuelles, Savoir utiliser le théorème de Rolle et des accroissements finis, Utiliser la dérivée d une

Plus en détail

Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme :

Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites. Extrait du programme : Chapitre I : Raisonnement par récurrence et comportement des suites Extrait du programme : 1 I Rappels sur les suites Il existe deux façons de définir une suite : 1 Formule explicite Il existe une fonction

Plus en détail

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure

Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Aix-Marseille Université 2012-2013 Analyse I PLANCHE 1 : LIMITES, CONTINUITÉ Parties majorées, minorées - borne supérieure, borne inférieure Exercice 1 Soit a, b R. Montrer les implications suivantes :

Plus en détail

TD 1: optimisation des fonctions d une variable réelle

TD 1: optimisation des fonctions d une variable réelle TD 1: optimisation des fonctions d une variable réelle 1 Sans économie Eercice 1. Pour chacun des eemples suivants, calculer supf et inff. De plus, indiquer si ces bornes sont I I atteintes, et en quel(s)

Plus en détail

1.2. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME 15. Passons à la fonction tangente, dont on rappelle la définition : tan(x) =

1.2. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME 15. Passons à la fonction tangente, dont on rappelle la définition : tan(x) = .. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME 5 seront démontrées dans le chapitre approprié en eercice : cos() sin() lim = 0, et lim =. 0 0 Passons à la fonction tangente, dont on rappelle la définition : tan() = sin()

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Fonctions Remise à Niveau Mathématiques Deuième partie : Fonctions Corrigés des eercices Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03 Mathématiques RAN - Fonctions DÉFINITIONS

Plus en détail

Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles Limite et continuité de fonctions réelles Denis Vekemans Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d une variable réelle à valeurs réelles. 1 Limite finie 1.1 Définitions 1.1.1 Définition

Plus en détail

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit f : R R dénie par. 1 x arccos x. Montrer que f est totalement discontinue. dénie sur R +.

Exercice 8 [ ] [Correction] Soit f : R R dénie par. 1 x arccos x. Montrer que f est totalement discontinue. dénie sur R +. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 avril 017 Enoncés 1 Limite et continuité Généralités sur les fonctions Eercice 1 [ 00501 ] [Correction] Soit f une fonction croissante de [0 ; 1] dans [0 ; 1].

Plus en détail

CORRECTION DU DEVOIR DU 21/11/2016. Partie I. 1 cos (2t) 2

CORRECTION DU DEVOIR DU 21/11/2016. Partie I. 1 cos (2t) 2 Lycée Thiers CORRECTION DU DEVOIR DU //06 Partie I Rappelons d une part que : et d autre part que : t R, sin (t cos (t ( t [, ], cos (arcsin (t t ( La formule de linéarisation ( est bien connue. La formule

Plus en détail

Continuité d une fonction

Continuité d une fonction Continuité d une fonction Sur un intervalle Pour démontrer qu une fonction est continue sur un intervalle, il suffit de dire qu elle est composée de fonctions continues sur cet intervalle. Les fonctions

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 10. Suites Bibliothèque d exercices Énoncés L Feuille n 0 Suites Convergence Exercice Soit (u n ) n N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : Si (u n ) n converge vers un réel l alors (u n )

Plus en détail

Fonction exponentielle 1

Fonction exponentielle 1 Fonction eponentielle 1 Unicité de la solution de l équation différentielle Conséquences 1. Si f est une solution de l équation différentielle y = y, y(0) = 1, alors, pour tout réel, f( )f() = 1 et f()

Plus en détail

Limites de fonctions

Limites de fonctions Aix-Marseille Université 013-014 Analyse I PLANCHE : LIMITES, CONTINUITÉ Les exercices marqués du symbole sont les exercices qui seront traités prioritairement en TD. Le site internet EXO7 (http ://exo7.emath.fr)

Plus en détail

Dérivabilité 10 décembre 2016

Dérivabilité 10 décembre 2016 Dérivabilité 10 décembre 2016 1 Dans tout ce capitre f désigne une fonction définie sur un intervalle I et a 2 I. 1. Définitions et premiers résultats 1.1 Définitions On connait depuis le lycée la définition

Plus en détail

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014

Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique. 25 août 2014 Mise à niveau en mathématiques Licences de mathématiques et d informatique 25 août 2014 1 1 Calculs dans R 1.1 Fractions Eercice 1 Pour a = 4/9 et b = 5/12, calculer a + b, a b, ab et a/b. On donnera le

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

Exercices : Suites réelles

Exercices : Suites réelles Exercices : Suites réelles Exercice : Démontrer par récurrence les résultats suivants : n+. n N, k k = n n+ + n. n N, (k +) = n. Soit a R + fixé, n N, (+a) n +na 4. n, n! n Analyse : Chapitre Exercices

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité Limites et continuité Eercice 1 Étudier les limites fonctions suivantes : sin a a sin 1 a en a, a R e 2 i e i a a en a, a R e 3 i +[] en + 2 1 4 1 1 2 sinπ en 1 Eercice 2 Étudier les limites à droite en

Plus en détail

( ) Corrigé variations de la fonction logarithme népérien. Exercice 1. ; f (x) = = = x ; f (x) = 4 ( ln x) 3. ; f (x) = x x 1 = = ; f (x) = x x = 1 ln

( ) Corrigé variations de la fonction logarithme népérien. Exercice 1. ; f (x) = = = x ; f (x) = 4 ( ln x) 3. ; f (x) = x x 1 = = ; f (x) = x x = 1 ln Eercice ) f ( ) = ln ; f () = ln + ) ln ln ln f ( ) = ; f () = = ² ² ) f ( ) = ( ln ) 4 ; f () = 4 ( ln ) 4) f ( ) = ; f () = = ln ln ² ln ² ) ( ln + ) ( ln ) ln f ( ) = ; f () = = ln + (ln + )² ( ln +

Plus en détail

LEÇON N 56 : 56.1 Monotonie de la suite

LEÇON N 56 : 56.1 Monotonie de la suite LEÇON N 56 : Étude de suites de nombres réels définies par une relation de récurrence u n+1 = f(u n ) et une condition initiale. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l utilisation

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

Chapitre 2 : Suites numériques

Chapitre 2 : Suites numériques Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 013-014 Chapitre : Suites numériques Dans tout ce qui suit on considère des suites (u n ) n N à valeurs réelles, c est à dire des applications de N

Plus en détail

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point,

Plus en détail

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence.

LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. LEÇON N 46 : Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence. Pré-requis : Suites numériques : monotonie, convergence, divergence ; Théorème des valeurs intermédiaires ; R est complet :

Plus en détail

1 ère S 2004/2005. Ch.12. Applications de la dérivation. A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N.

1 ère S 2004/2005. Ch.12. Applications de la dérivation. A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N. 1 ère S 4/5 Ch1 Applications de la dérivation J TAUZIEDE A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N I- DERIVEE ET SENS DE VARIATION D UNE FONCTION 1 ) Sens de variation et dérivées Théorème liant

Plus en détail

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé. Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée.

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé. Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Terminales S BAC BLANC Mathématiques Corrigé Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Eercice (commun) A. Etude de f en ) On a : lim = et lim e = e =. Par composition, il vient alors :

Plus en détail

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d une fonction : - / Définition : Soit f : A B une fonction. On appelle ensemble de définition D f

Plus en détail

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : Déterminer les

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS CHAPITRE 9 DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dans ce chapitre, I désignera systématiquement un intervalle de R non réduit à un point. 1 Développement limité d une fonction au voisinage d un point Définition 9.1 Soient

Plus en détail

Recherche des extremums d une fonction

Recherche des extremums d une fonction DOCUMENT 32 Recherche des etremums d une fonction 1. Introduction De nombreuses situations issues des mathématiques, des sciences epérimentales ou de la vie économique et sociale conduisent à la recherche

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Fonction logarithme népérien

Fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Introduction La fonction eponentielle est continue strictement croissante de R à valeurs dans ]0; + [. Le théorème des valeurs intermédiaires permet donc d affirmer que : Pour

Plus en détail

Chapitre I : LES SUITES

Chapitre I : LES SUITES Chapitre I : LES SUITES I- Généralités sur les suites 1) Définition et notations Définition 1 : 1) Définir une suite par une formule explicite, c est donner une relation entre le terme et l entier, pour

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES CHAPITRE 2 SUITES NUMÉRIQUES Définition 2.0. Une suite réelle est une application u : N R qui à tout n de N associe un élément u n de R, appelé terme général de la suite. On notera donc la suite (u n ),

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES LIMITES EXERIES ORRIGES Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) 4 ) Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : 4) 5) 5 6) Déterminez les

Plus en détail

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive

Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Suites récurrentes et méthode de Newton approche progressive Ce document vient en complément du chapitre 6 du livre Informatique, programmation et calcul scientifique en Python et Scilab, publié chez ellipses.

Plus en détail

Représenter graphiquement (sur un même schéma) ces trois ensembles.

Représenter graphiquement (sur un même schéma) ces trois ensembles. PCSI DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES n 4 07/1/001 Durée : 4 heures EXERCICE 1 : Calculatrices interdites Dans le plan complee rapporté au repère orthonormal (O; e 1, e, on définit une transformation

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion 20 juin 2016

Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion 20 juin 2016 Corrigé du baccalauréat S Métropole La Réunion juin 6 A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats 6 POINTS Partie A. Utilisons un arbre pondéré :.8 S : A S Les hypothèses s écrivent : ( ) P(A)=,4

Plus en détail

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression

Plus en détail

2 Fonctions : limites et continuité

2 Fonctions : limites et continuité capitre Fonctions : ites et continuité Activités (page ) ACTIVITÉ Dans le cas, f est continue sur [ ; ] puisqu elle est d un seul morceau. Dans le cas, f est discontinue en, donc n est pas continue sur

Plus en détail

CH X : Limites et continuité des fonctions réelles d une variable réelle

CH X : Limites et continuité des fonctions réelles d une variable réelle CH X : Limites et continuité des fonctions réelles d une variable réelle Notations et définitions utiles Définition (notion d intervalle) Formellement, un intervalle I de R est une partie de R (I R) telle

Plus en détail

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives Amerinsa - Ecole d été Limites : Eercices Eercice : Notions intuitives Dans la figure ci-contre, vers quoi tend f() lorsque tend vers : a) - b) + c) 0 d) -4 e) 4 Eercice : Notions intuitives Vers quelle

Plus en détail

soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P

soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P Limite d une fonction Approche intuitive de la notion de limite Dans ce chapitre, nous avons besoin d un outil mathématique appelé «Limite» qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la

Plus en détail

1 Notions de logique mathématique.

1 Notions de logique mathématique. Université de Provence 2012 2013 Introduction à l Analyse Chapitre 3 - Logique et Suites. 1 Notions de logique mathématique. 1.1 Assertions, propositions logiques, tables de vérité. On rappelle la notion

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M "pour x assez grand"

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M pour x assez grand Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page I) Limites ) Limites à l infini a) Limite finie Définition : Etant donnée une fonction f et un réel α, on dira quelle tend vers α

Plus en détail

Etude de suites définies par différents types de récurrence

Etude de suites définies par différents types de récurrence Etude de suites définies par différents types de récurrence F.Gaudon 22 juillet 2005 Table des matières 1 Suites arithmétiques 2 2 Suites géométriques 2 3 Suites arithmético-géométriques 3 4 Suites récurrentes

Plus en détail

Exercices : Étude de fonctions

Exercices : Étude de fonctions Eercices : Étude de fonctions Eercice : Calculer les limites suivantes : (. lim 3 2 +(ln) 3 ) 0 + 2. lim 3. lim ln(e +) ln 3 2 + 4. lim 5. lim 6. lim 7. lim e 2 3 2 e 3+ (ln) (e 4 3 ) + e2 ln+ ln+e 8.

Plus en détail

Limites de suites. Révisions

Limites de suites. Révisions Limites de suites Révisions Soit ( ) une suite définie pour tout n N par = n 2 + n Exprimer en fonction de n : a b + c + 2 La suite ( ) est-elle arithmétique? 3 Quel est le sens de variation de ( )? 2

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Eo7 Etude de fonctions Eercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

TD1 Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles

TD1 Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Polytech Paris - UPMC Agral 3, 206-207 TD Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles Exercice. Étudier la continuité des fonctions suivantes : { { x 2 y 2 (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 g(x, y) =

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail