Fraction égyptienne. Comment décomposer tout entier en fraction égyptienne? Décomposition de 2 en fraction égyptienne à partir de 1/3

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1 Fractio égyptiee Commet décomposer tout etier e fractio égyptiee? Décompositio de 2 e fractio égyptiee à partir de /3 Elèves : Alexis DEBORDE, termiale S, Staislas BERTRAND, Aurélie GANNE, Thibaud GILBERT, Pierre SOULARD, première S. Eseigats : Marie-Hélèe BERTAUD, Célie HERAULT, Gilles MARECHAL Chercheur : Camille LAURENT-GENGOUX, Uiversité de Poitiers Lycée Sait Joseph, 4 rue du Docteur Brillaud, BRESSUIRE , lycée.stjoseph@ac-poitiers.fr, Aée scolaire 2005/2006 Lycée Sait Joseph BRESSUIRE

2 Aée Math.e.JEANS 2005/006 : Fractio égyptiee L aée a commecé e septembre 2005 avec ue présetatio de ce que sera l atelier Mathématiques pour cette troisième aée après ue aée récompesée sur le thème «Codage de source» qui ous avait emmeé jusqu'au colloque iteratioal «Sciece o stage» à Geève. L objectif est de réfléchir sur ue problématique proposée par otre chercheur das le but de découvrir les maths autremet que par des exercices ordiaires. O ous appred aussi que ous travailleros e collaboratio étroite avec 3 autres lycées de la régio Poitou-Charetes. La coférece de présetatio e septembre a mobilisé ue vigtaie de lycées de la secode à la termiale. Camille Lauret-Gegoux de l académie de Poitiers ous expose le problème «fractio égyptiee» ; le public est coquis par cette coférece de présetatio très attrayate ; beaucoup de persoes rejoiget le groupe. Esuite ous avos rapidemet commecé à ous retrouver le ludi ou le mardi e foctio des emplois du temps très variés de chacu. Plusieurs pistes de recherche ot été émises, de ombreuses questios se poset, des résultats sot obteus e ce qui cocere la méthode de Fiboacci, la recherche historique progresse. Malgré ue recotre itéressate des 4 lycées jumelés à Poitiers e ovembre, quelques désistemets sot à relever jusqu e javier où les recherches ot u peu bloqué ; de la lassitude commece à se faire ressetir, chacu se demade où il doit aboutir. L équipe, désormais composée de 6 lycées de première et termiale scietifique, traverse ue courte période de creux. Le moi d avril approche à grad pas. La présetatio au colloque à La Villette à Paris motive le groupe et des résultats sot obteus cocerat la décompositio de avec déomiateurs cosécutifs. O démotre aussi que la somme de fractios uitaires dépassera forcémet si le ombre de fractios est suffisammet grad. Plusieurs présetatios à Paris e aimatio ou e amphi ot covaicu. Le groupe a bie réussi sa démarche scietifique. Durat ce week-ed à Paris, ous avos profité d ue magifique balade das le cetre ville parisie, ous avos subi des repas quotidies das u fast-food aux abords de la Villette, et ous avos passé quelques uits mouvemetées. Malheureusemet ous avos été codamés à retourer e provice et à retrouver otre dure vie de lycée. Remis de ces émotios, ous commeços à préparer «Exposcieces 2006» de Poitiers qui se déroule du 7 au 9 mai Les préparatifs s accélèret. «Exposcieces 2006» se déroule à la Maiso des Scieces Medès Frace das le cetre ville où ous présetos les résultats de os recherches à de ombreux itéressés. Chaque visiteur est «stupéfait» de l origialité de otre étrage projet mathématique (oyé parmi des scieces physiques et biologiques). Le jury ous a attribué le secod prix de la qualité de la démarche scietifique, le LISA d Agoulême (lycée jumelé) a aussi été primé das la même catégorie. Mais comme u si bo projet e s arrête pas e si boe route c est ecore à Poitiers que ous avos été classés das la catégorie «Aveir» das le cadre du cocours «Faites de la sciece» orgaisé par les Scieces Fodametales et Appliquées de l Uiversité de Poitiers Les pages qui suivet doet ue idée de la démarche de recherche et du coteu de otre travail Nous teos à apporter os remerciemets à Camille Lauret-Gegoux qui ous a fait découvrir les mathématiques et doé le goût de la recherche. Pierre Trois méthodes pour décomposer ue fractio e fractio égyptiee. Das ue première partie de l aée, jusqu au mois de javier, ous avos cherché tout comme les trois autres lycées jumelés la meilleure faço de décomposer ue fractio o uitaire e somme de fractios uitaires, c est à dire e fractio égyptiee. La méthode de Fiboacci : Nous avos rapidemet retrouvé cette méthode, e parcourat différetes ecyclopédies, imagiée par Fiboacci au 3 ème siècle. L idée de cette méthode est d elever à la fractio o uitaire, la plus grade fractio

3 uitaire qu elle cotiet et de découper petit à petit cette fractio jusqu'à aboutir à ue fractio uitaire. Le mieux est de préseter u exemple pour la fractio 3/20 par exemple. ère étape : o divise le umérateur par le déomiateur, puis o pred la partie etière plus : 20/3,5 o coserve et o ajoute (car /2 < 3/20 < /) 2 ème étape : o soustrait l iverse du ombre obteu à la fractio o uitaire : 3/20 /2 = 3/20 3 ème étape : 3/20 = /2 + 3/20, o refait les deux étapes avec la fractio 3/20. 20/3 6.6 o coserve 6 et o ajoute 4 ème étape : 3/20 /7 = 2/40 20/40 = /40 3/20 = /2 + /7 + /40 Cette méthode est très pratique ; u autre groupe jumelé a démotré qu elle avait ue fi. Elle est facile à mettre e œuvre : ous avos réalisé différets programmes de décompositios pour calculatrice et ordiateur. Cepedat elle est pas très performate puisqu o obtiet das certais cas rapidemet de très grads ombres e tat que déomiateurs ce qui bloque les programmes et e facilite pas la lecture, par exemple La méthode de Fiboacci doe : 5 = et pourtat : = La méthode égyptiee : Nous avos retrouvé cette méthode lors de recherche d ordre historique (das u livre de Tato au CDI) puisque c est la méthode qu utilisaiet les égypties 2000 as avat JC. Le pricipe est d utiliser les puissaces de deux. Pour mieux compredre le foctioemet de cette méthode ous preos u exemple : 7/8. ère étape : O décompose le umérateur e somme de puissaces de deux : 7 = ème étape : O divise par 8 (cette puissace de deux doit être supérieure au umérateur) : 7/8 = 4/8 + 2/8 + /8 7/8 = /2 + /4 + /8 Cette méthode est très limitée, puisque le déomiateur doit être ue puissace de 2 et le déomiateur doit être iférieur au umérateur. «Matchig Pair» : C est le chercheur, Mr Camille Lauret-Gegoux qui ous a orietés sur la piste de cette méthode toute récete découverte au cours du 20 ème siècle. Le pricipe est basé sur l associatio de paires de fractios uitaires puis sur l utilisatio de la formule suivate (lorsque m est impair) : 2/m = 2/ (m+) + 2/ (m (m+)) Sur u exemple : = = + +, = ( + ) + ( + ) + = = + + = Cette méthode présete ue difficulté lorsqu o obtiet plusieurs fois. Coclusio : Nos recherches ous ot ouvert les portes de différetes méthodes qui utiliset trois techiques mais qui aboutisset souvet à des décompositios différetes, plus ou mois performates mais toutes sous la forme d ue fractio égyptiee. Pierre A propos de la décompositio de e «fractio égyptiee». Par la suite ous avos essayé de décomposer e «fractio égyptiee» et de compter le ombre de termes de la décompositio. Par exemple, e partat de o obtiet L ( 2) = 3 car = Nous avos cherché commet décomposer e utilisat le mois de fractios possibles, e partat par exemple de / comme plus grade fractio de départ. Malgré la méthode «Matchig pair», l'étude de cette somme c'est vite avérée fastidieuse à la mai.

4 Par la suite ous avos pesé à étudier les caractéristiques d'ue autre somme k Nous ous sommes posé plusieurs questios, e particulier: - Peut-o «tomber sur», c'est-à-dire pour doé, peut-o trouver k tel que = k? 2 - Est-ce que cette somme peut dépasser e partat de 'importe quel? 3 E effet e partat de = 2, o voit que la somme dépasse dès k = 2 car + + = > Mais qu e est-il si l'o part de = ? Das ce cas, y a-t-il u rapport etre le de départ et le k pour dépasser? 3 - Peut-o obteir e imposat la plus grade fractio, sas avoir des déomiateurs cosécutifs? Alexis Peut-o décomposer avec des déomiateurs cosécutifs? Le chercheur ous avait posé la questio «peut-o décomposer tout etier e fractio égyptiee?» Nous avos doc d abord cherché à décomposer sous la forme de sommes de termes cosécutifs du type /. Nous ous sommes demadés si cette décompositio était uique, et si il était possible de décomposer e fractios de ce type mais e imposat la première fractio (par exemple ) et que toutes les fractios aiet des etiers cosécutifs au déomiateur (ex : ) Ce qui suit va motrer, par u exemple puis ue gééralisatio, que c est impossible. er exemple : O suppose que = (o sait que c est faux, mais ça va ous aider à compredre et à gééraliser) O met tout au même déomiateur : soit O multiplie par le déomiateur, et o e s occupe que des umérateurs : O traspose : O factorise par 5 : O obtiet alors u ombre multiple de 5 égal à u ombre o multiple de 5, c est impossible! 2 ème exemple : Peut-o avoir = + + +? Supposos que l o ait = E procédat de même qu au dessus, o arriverait e factorisat par 6 à 6 A = divise 3 4 doc, ici, il y pas cotradictio, o e peut pas dire si la décompositio est vraie ou fausse.

5 E factorisat par 5 o arriverait à 5 B = : 5 e divise pas le produit 3 4 6, l égalité est doc impossible, la décompositio de est doc pas possible. O a remarqué que 5 était u ombre premier, o s est doc demadé si o pouvait procéder de même avec u autre ombre premier. E factorisat par 3 o aurait 3 C = 4 5 6, mais 3 divise 6, o e peut doc pas coclure à l impossibilité. Pour gééraliser o s est dit qu il suffisait de factoriser par u ombre premier suffisammet grad. ère gééralisatio : Peut-o avoir = ? O peut faire la même chose e allat jusqu à au déomiateur, toujours e partat de et doc e allat jusqu à : E repreat la même méthode, e trasposat et e factorisat, o arrive à : Si est premier, il e peut diviser 3, 4, 5 (-), ce qui motre que l écriture est impossible, Sio, o recommece e factorisat par (-), puis si besoi par (-2), ou (-3) O peut descedre jusqu à u ombre N égal à la partie etière de la moitié de augmetée de (quad est impair, la moitié de est pas u etier, d où cette écriture) 2 ème gééralisatio : Peut-o écrire = ? p p + p + 2 O souhaite écrire sous la forme O met tout au même déomiateur : O fait abstractio du déomiateur, puisqu il est commu cela e chage rie aux calculs. O a doc : Ce qui, e trasposat, équivaut à : Si est premier, o factorise par : O a doc u multiple de égal à u o multiple de, les deux ombres sot doc différets, il y a doc impossibilité, Si est pas premier, o essaye avec (-), (-2), ou (-3)

6 O motre aisi qu il est impossible de décomposer sous la forme. Justificatio : Pour être certais que la coditio foctioe, ous devos factoriser par u ombre premier suffisammet grad pour qu il e puisse pas diviser l u des termes à droite de l égalité. Il faut doc qu il soit au miimum égal à la moitié du plus grad terme à droite. Mais est-o sûrs de trouver u ombre premier etre le plus grad des termes de droite, et sa moitié? Oui ous a dit le chercheur, cela a été cojecturé par Bertrad e 845 et démotré e 850 par Tchebychev. Le postulat de Bertrad affirme que si est u etier aturel et > 3, il y a toujours au mois u ombre premier p tel que < p < 2. Thibaud A partir d u iverse doé, est-o certai e additioat suffisammet d iverses de ombres cosécutifs d obteir ue somme supérieure à? Pour fixé, o ote S( p) la somme e partat de 'importe quel? Est-ce que cette somme peut dépasser p 3 E effet e partat de = 2, o voit que la somme dépasse dès k = 2 car + + = >, mais qu e est-il si l'o part de = ? E cours ous avios vu les logarithmes, ce qui a doé ue idée de résolutio. est l aire d u rectagle de base (etre et + ) Cette aire est plus grade que l aire sous la courbe de la foctio iverse De même pour, jusqu à p D Doc S ( p) est plus grad que l aire sous la courbe de la foctio iverse etre et p +. Cette p aire est égale à + p dx et vaut [ x] p + + l = l( p + ) l( ) = l. x p + Pour obteir S ( p) >, il suffit doc, état fixé, de chercher p pour que l >, ce qui est vérifié p + pour > e c'est-à-dire pour p > e. E preat p = 3 o est certai que p = 3 > e, car p + ( 3 e) >, puis, que l >, doc que > p+ dx, doc que S ( p) >. O peut le démotrer x directemet car > = [ l ] = l( 3 + ) l( ) = l > l 3 > dx x. x Aisi, même e partat de o est certai de «dépasser» e ajoutat les iverses des etiers cosécutifs de à Le chercheur ous a doé ue autre méthode plus simple das ce cas et utilisat que des iégalités. Alexis

7 Décompositio de e imposat le plus petit déomiateur Nous avos voulu décomposer e utilisat «Matchig pair», par exemple comme =/5+/5+/5+/5+/5, e regroupat les deux premiers /5 ous obteios /3+/5. Mais comme e plus ous e voulios pas de déomiateurs plus petits que 5, ous e pouvios procéder aisi. Erreur das le programme C est aisi que ous avos eu l idée d utiliser «Matchig pair» d ue faço particulière : e utilisat la formule = + à partir de = + + o obtiet = puis + ( + ) = ( + ) + ( + ). Nous obteos aisi 7 termes. Comme avec ous avos obteu termes car = + +, e partat de ous avos pesé que ous aurios termes Mais lors de la créatio e lagage C++ du programme ous avos remarqué qu avec 4 et plus comme premier déomiateur ous obteios u ombre de fractios sas relatio particulière. E ous pechat de plus près sur ces résultats ous avos observé des erreurs. Pour corriger ces erreurs ous avos repris et corrigé le programme, alors les décompositios doaiet bie termes. C est aisi que ous avos eu l idée de disposer les résultats e foctio de sous forme de pyramide pour corriger les erreurs : E écrivat que les déomiateurs o obtiet : Chaque lige représete /. Pour avoir ue ouvelle décompositio de / il faut multiplier par 2 le ombre de termes de la lige précédete car ous utilisos la formule = +. Nous obteos + ( + ) = 2 termes. Collisio Avec cette ouvelle versio ous avos eu l idée de décomposer l etier 2 et 3. E décomposat 3 à partir de o obtiet 3 = + + = , la décompositio doait 7 termes ce que e correspodait pas aux termes attedus. Pourquoi doc?? Nous avos doc repris la décompositio : Lors de la 5 ème décompositio de ous retrouvos 6 (o dit qu il y a collisio) qui est déjà apparu das la ère décompositio, doc le programme décompose à ouveau 6 e 7 et 42, mais eux aussi sot déjà présets doc il décompose 7 e 8 et 56, puis 42 e 43 et 806 et aisi de suite jusqu'à ce que la décompositio soit termiée. La recherche suivate a doc été de trouver les coditios pour que la décompositio soit valide.

8 64748 fois 4 Nous voulos décomposer e partat de : = , ce qui doe : Il faut que le premier terme de la derière décompositio soit iférieur au deuxième terme de la première décompositio. Décompositio de Pour faire, il ous faut fois, o aura besoi de - décompositios de car le premier est coservé. Comme à chaque décompositio de le premier terme augmete de, si il y a - décompositios le derier terme sera doc +- soit 2-. La résolutio est la suivate pour qu il y ait pas de collisio : ; il suffit doc de predre pour e pas avoir de collisio. Or doc pour décomposer tous les déomiateurs sot disticts, il y a pas de collisio. Décompositio de 3 Pour faire 3, à partir de, il ous faut 3 = + + = , o aura fois fois décompositios. Le derier terme sera doc +3- soit 4-. La résolutio est la suivate, pour qu il y ait pas de collisio : ; il suffit doc de predre 3 pour e pas avoir de collisio. Doc pour décomposer 3 seuls les déomiateurs supérieurs ou égaux a 3 sot possibles (ce qui est e cohérece avec le fait que =2 etraîait ue collisio). Décompositio de p Pour faire p il ous faut p = = , o aura p- p fois fois fois p fois décompositios. Le derier terme sera doc +p- soit (p+)-. La résolutio est la suivate, pour qu il y ait pas de collisio: 3 fois il suffit doc de predre p pour e pas avoir de collisio. Doc pour décomposer p seul les déomiateurs supérieurs ou égaux à p sot possibles. Cojecture L étude précédete e permet que d assurer qu il y a pas de collisio etre le premier terme de la derière lige et le secod terme de la première lige. Il resterait à vérifier qu il y a pas de collisio ailleurs. Le programme précédet permet de vérifier que, e décomposat aisi, le ombre de termes est bie le ombre attedu. Ceci ous a ameé à cojecturer que cette méthode permet de décomposer tout etier e «fractio égyptiee» e imposat le plus petit déomiateur (à coditio de le predre au mois aussi grad que le ombre). Par exemple pour décomposer 0, il suffit de partir de la fractio 0 : le ombre de termes est das ce cas Staislas

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