EXAMEN DE MECANIQUE DES FLUIDES. CP 2 ème Année 20 JANVIER 2011

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1 EXAMEN DE MECANIQUE DES FLUIDES CP 2 ème Année 20 JANVIER 2011 Professeurs : G. PENELON, P. MEGANGE ET F. MURZYN Durée de l'épreuve 2h00 Aucun document autorisé Calculatrice ESTACA autorisée Nom : Prénom :. Promo (A ou B pour Levallois) : L'épreuve se compose de deux exercices indépendants. Utiliser les notations indiquées dans le texte et justifier toutes les réponses. Lire attentivement toutes les questions avant d y répondre. Tout résultat incorrectement exprimé et/ou non justifié ne sera pas pris en compte. En outre, nous apprécierons une écriture lisible. NE PAS DEGRAFER LE SUJET. Note : 20 1

2 NOTATIONS On note ; ; le vecteur vitesse de composantes, et et une fonction scalaire quelconque. Equations de Navier Stokes en coordonnées cartésiennes : 2

3 Diagramme de Moody : On rappelle les différentes expressions pour le calcul des coefficients de pertes de charges : Loi de Hagen Poiseuille (régime laminaire), / Loi de Blasius (régime turbulent hydrauliquement lisse, ), Loi de Karman Prandtl (régime turbulent hydrauliquement lisse, ), 2nd loi de Karman Prandtl (régime turbulent hydrauliquement rugueux) 3

4 Exercice 1 : Ceinture mobile (8 points) Une ceinture mobile large traverse un récipient rempli d un fluide visqueux et incompressible. La ceinture se déplace verticalement vers le haut avec une vitesse constante (figure ci-dessous). En raison des forces visqueuses, la ceinture emporte un film fluide d épaisseur vers le haut. La pesanteur tend à faire s écouler le fluide vers le bas de la ceinture. On note ; ; le vecteur vitesse du fluide, ; ; le champ de pression dans le fluide et la viscosité dynamique du fluide. L écoulement sera supposé laminaire et stationnaire. A l extérieur du film fluide, règne la pression atmosphérique ( ). On considèrera une profondeur de film unitaire dans la direction. On travaillera dans le repère ; ;, ces 3 vecteurs unitaires formant un trièdre direct. Ceinture fluide 1. Que peut-on dire des composantes horizontale et transversale et du vecteur vitesse? (1 point). 2. Justifier le fait que. (1 point). 4

5 3. Ecrire l équation de Navier Stokes sous forme vectorielle et projeter cette équation dans les 3 directions de l espace. Que peut-on en déduire pour les termes et? En déduire la pression dans tout le film fluide. (2 points). 5

6 4. A partir des résultats de la question précédente, déterminer l expression de en fonction de et des données du problème. En déduire une expression pour la vitesse débitante du film fluide quand il est traîné vers le haut de la ceinture. On supposera que l écoulement est laminaire, invariable dans le temps et que la contrainte de cisaillement à l interface entre le film fluide et l air est nulle. On montrera que. Ce résultat vous semble-t-il cohérent? Pourquoi? (4 points). 6

7 Exercice 2 : Etude et dimensionnement de conduite de transport pétrolier (12 points) L exploitation d un gisement pétrolier permet de récupérer du pétrole sous pression provenant d un puits naturel de grande dimension au moyen d une canalisation dont la section d entrée est notée et la section de sortie est notée (on pourra ici supposer ). Le pétrole ainsi récupéré se déverse dans un réservoir de récupération en formant un jet (la section de sortie de ce jet est identique à celle de la conduite). L étude sera réalisée dans des conditions adiabatiques (on néglige l influence de la température extérieure) et isothermes. Le fluide sera considéré monophasique (on néglige les changements de phases et la présence de gaz dans le fluide). L écoulement est stationnaire et le fluide visqueux (newtonien) est supposé incompressible. Le profil des vitesses est identique dans les deux sections ( et ) et les pressions dans les sections d entrée et de sortie seront supposées uniformes. Enfin, les fluctuations générées par d éventuelles turbulences sont négligeables. Données : - Masse volumique du pétrole : 875 / ; - Viscosité cinématique du pétrole : 6, / ; - Pression à l entrée de la conduite : ; - Pression à la sortie de la conduite : 10 ; - Débit volumique moyen de l écoulement imposé dans le cahier des charges : / sachant qu un baril contient 159 ; - Diamètre de la conduite : 0,128 ; - Accélération de la pesanteur : 10 /. Remarque : les calculs numériques devront tous être précédés par une relation théorique justifiée et les résultats suivis d une unité. 1 ère partie de l étude : Dans cette première partie on se situe dans une configuration très simple (voir schéma N 1) où la conduite est un pipeline horizontal d une longueur totale qui puise le pétrole brut directement d un puits et le reverse dans un réservoir. La différence de hauteur entre le centre de surface à l entrée et à la sortie est ici négligeable. Sortie : S S, P S Entrée : S E, P E z 1. Donner l expression générale du théorème de Bernoulli généralisé. Après avoir pris en considération les hypothèses de l énoncé, donner son expression simplifiée. (1 point). 7

8 2. Déterminer la puissance totale dissipée par viscosité le long de la conduite. (2 points). 8

9 2 ème partie de l étude : Dans cette partie on se situe dans une configuration plus réaliste (voir schéma N 2). La conduite, d indice de rugosité 0,3, se présente sous la forme de 4 tuyaux cylindriques de même diamètre montés en série et dans lesquels l écoulement demeure stationnaire: - Premier tuyau vertical de hauteur (800 ) ; - Premier tuyau horizontal de longueur (50000 ) ; - Deuxième tuyau vertical de hauteur (1000 ) ; - Deuxième tuyau horizontal de longueur (200 ). La conduite présente 3 coudes droits à 90 de coefficient de perte de charge singulière 0,5. Afin de préserver le débit constant une pompe est installée sur le deuxième tuyau vertical. L 2 Sortie : S S, P S z L 1 H 2 H 1 Entrée : S E, P E 3. Déterminer la vitesse débitante de l écoulement. (1 point). 4. Calculer le nombre de Reynolds et en déduire le régime d écoulement (laminaire, turbulent lisse ou rugueux). (1 point). 9

10 5. Calculer le coefficient de perte de charge régulière de 2 manières différentes : en utilisant d une part, une méthode graphique et d autre part, la formule vue en cours. Vous discuterez des différences entre les deux méthodes et conserverez pour les applications numériques qui suivront, la valeur de la plus élevée (2 points). 6. Déduire de ce qui précède la perte de charge régulière totale mesurée le long de la conduite. (1 point). 7. Calculer la perte de charge singulière totale sur toute la conduite. (1 point). 10

11 8. Déterminer la puissance que la pompe devra fournir au fluide pour conserver le débit. (2 points). 11

12 9. Quelle sera la valeur du moteur électrique d entraînement de la pompe pour un rendement de 0,7. (1 point). 12

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