Chapitre G1 : Triangles

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1 Chapitre G1 : Triangles 1/ L'inégalité triangulaire a/ Exemple préliminaire b/ Existence d un triangle c/ Inégalité triangulaire d/ Caractérisation métrique d'un alignement 2/ Construction d un triangle à partir d angle(s) et de longueur(s) a/ A partir des longueurs de deux côtés et de l angle défini par ces côtés b/ A partir de la longueur d un côté et des deux angles qui lui sont adjacents 3/ Somme des angles d un triangle a/ Propriété (justifiée plus tard) b/ Application 4/ Triangles particuliers a/ Triangle isocèle * Définition * Propriété angulaire b/ Triangle équilatéral * Définition * Propriété angulaire 1/ L'inégalité triangulaire a/ Exemple préliminaire Construire un triangle DEF tel que : DE = 6,5 cm, DF = 6 cm et EF = 5,5 cm. Etapes de la construction : 1- On trace [DE] tel que DE = 6,5 cm. 2- Dire que DF = 6 cm équivaut à dire que F appartient au cercle C de centre D et de rayon 6 cm. On trace ce cercle C. 3- Dire que EF = 5,5 cm équivaut à dire que F appartient au cercle C de centre E et de rayon 5,5 cm. On trace ce cercle C. 4- F est donc l un des points d intersection (s il existe) des cercles C et C. b/ Existence d un triangle Propriété : On peut construire un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés à condition que la plus grande longueur soit inférieure ou égale à la somme des deux autres. 1 P a g e

2 Exemples : Que dire du triangle ABC dans chacun des cas suivants? AB = 3 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm. AB = 4 cm, AC = 2 cm et BC = 7 cm. AB = 2 cm, AC = 3 cm et BC = 5 cm. c/ Inégalité triangulaire Activité : Etant donnés trois points A, B et C, on peut distinguer deux cas : 1er cas : C [AB] A On remarque alors que : AB = AC + CB. 2ème cas : C [AB] C B A C B A B C On remarque alors que : AB < AC + CB Propriété (admise): Dans un triangle, la longueur d'un côté est inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. d/ Caractérisation métrique d un alignement Propriété : Si C [AB], alors AB = AC + CB. Réciproquement, si AB = AC + CB, alors C [AB]. A C B Exemples : Les points suivants sont-ils alignés? Si oui, dans quel ordre? A, B et C tels que AB = 4 cm, AC = 6,5 cm et BC = 10,5 cm ; D, E et F tels que DE = 6 cm, DF = 5 cm et EF = 10 cm 2 P a g e

3 2/ Construction d un triangle à partir d angle(s) et de longueur(s) a/ A partir des longueurs de deux côtés et de l angle défini par ces côtés b/ A partir de la longueur d un côté et des deux angles qui lui sont adjacents 3 P a g e

4 3/ Somme des angles d un triangle a/ Propriété (justifiée plus tard) La somme des angles d un triangle est égale à 180. b/ Application 4/ Triangles particuliers a/ Triangle isocèle Définition : On appelle triangle isocèle un triangle qui a deux côtés de la même longueur. Caractérisation angulaire : b/ Triangle équilatéral Les angles à la base d un triangle isocèle sont égaux. Réciproquement : Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. Définition : On appelle triangle équilatéral un triangle qui a ses trois côtés de la même longueur. Caractérisation angulaire : Les angles d un triangle équilatéral sont égaux à 60. Réciproquement : Si un triangle a ses trois angles égaux, alors il est équilatéral. 4 P a g e

5 Chapitre G2 : La symétrie centrale 1/ A la découverte d une nouvelle symétrie a/ En tant que composée de deux symétries axiales d axes perpendiculaires b/ En tant que demi-tour 2/ Propriétés de conservation d une symétrie centrale a/ Conservation des longueurs et des angles géométriques b/ Conservation de l alignement et des milieux 3/ Symétrique d un point, points symétriques a/ Définition b/ Construction de l image d un point 4/ Construction de l image d une figure a/ Point par point b/ Image d une droite par une symétrie centrale c/ Image d un cercle par une symétrie centrale 5/ Centre de symétrie d une figure a/ Définition b/ Quelques exemples 1/ A la découverte d une nouvelle symétrie a/ En tant que composée de deux symétries axiales d axes perpendiculaires Confer activité 1 b/ En tant que demi-tour Confer activité 2 F + O demi-tour F F et F sont symétriques par rapport au point O. F est l image de la figure F par la symétrie centrale de centre O. 5 P a g e

6 2/ Propriétés de conservation d une symétrie centrale a/ Conservation des longueurs et des angles géométriques Propriété : Deux figures symétriques par rapport à un point sont superposables. On dit qu une symétrie centrale conserve les longueurs et les angles géométriques. b/ Conservation de l alignement On déduit de la propriété précédente ce qui suit. Propriété : Une symétrie centrale conserve l'alignement ainsi que l'ordre d'alignement. 3/ Symétrique d un point, points symétriques a/ Définition (Confer activité 4) Par la symétrie de centre O : Le symétrique d un point M distinct de O est l unique point M tel que O soit le milieu de [MM ]. Le symétrique de O est le point O lui-même. Par conséquent, si M est le symétrique de M par rapport à O, M est le symétrique de M par rapport à O. On dit que les points M et M sont symétriques par rapport à O. b/ Construction de l image d un point M + O M On trace la demi-droite [MO) ; On reporte la longueur MO à partir du point O pour obtenir M sur [MO). 6 P a g e

7 4/ Construction de l image d une figure a/ Point par point On construit les images des sommets. A B F O C D D C F B A b/ Image d une droite par une symétrie centrale On considère deux points distincts A et B sur la droite, puis on en construit les images A et B. L image de est alors la droite passant par A et B. B A O A B L image d une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle à. 7 P a g e

8 c/ Image d un cercle par une symétrie centrale On construit l image A du centre A du cercle C. L image du cercle C est le cercle C de centre A de même rayon que C. C A + O C + A 5/ Centre de symétrie d une figure a/ Définition Une figure F admet un centre de symétrie O si l image de F par la symétrie centrale de centre O est la figure F elle-même. b/ Quelques exemples Pas de centre de symétrie 8 P a g e

9 Chapitre G3 : Angles et parallélisme 1/ Vocabulaire 2/ Angles et parallélisme 3/ Rappel : somme des angles d un triangle 1/ Vocabulaire a/ Angles opposés par le sommet b/ Angles alternes-internes 2/ Angles et parallélisme a/ Conséquences angulaires d un parallélisme Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes formés sont égaux. 9 P a g e

10 b/ Reconnaître des droites parallèles Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles. 3/ Rappel : Somme des angles d un triangle A Parallèle à (BC) passant par A B C La somme des angles d un triangle est égale à P a g e

11 Chapitre G4 : Les parallélogrammes 1/ Définition 2/ Propriétés d un parallélogramme a/ Propriété des diagonales b/ Propriété des côtés opposés c/ Propriété des angles opposés d/ Propriété des angles consécutifs 3/ Des moyens de reconnaître un parallélogramme 4/ Aire d un parallélogramme, aire d un triangle Rappels concernant les quadrilatères : Différentes façons de nommer un quadrilatère ; Côtés (angles) consécutifs, côtés (angles) opposés ; 1/ Définition Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. A B D C 2/ Propriétés d un parallélogramme a/ Propriété des diagonales A O B D C Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d intersection de ses diagonales. Autrement dit : Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. 11 P a g e

12 b/ Propriété des côtés opposés A B D C Des côtés opposés d un parallélogramme ont la même longueur. c/ Propriété des angles opposés A B D C Des angles opposés d un parallélogramme sont égaux. d/ Propriété des angles consécutifs A B D C Des angles consécutifs d un parallélogramme sont supplémentaires. 3/ Des moyens de reconnaître un parallélogramme Moyen 1 : Moyen 2 : Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme. 12 P a g e

13 Cours de 5ème M. ARDHUIN Collège Fénelon à Cambrai 4/ Aire d un parallélogramme, aire d uu triangle a/ Aire d un parallélogramme Hauteur Côté Aire d un parallélogramme = côté x hauteur relative Remarque : Pour chaque parallélogramme, il y a deux façons d en calculer l aire (selon le côté choisi). Par exemple : Aire de ABCD = CD x AK = 4 x 3 = 12 cm². Aire de EFGH = EH x FL = 3 x 5 = 15 cm². b/ Aire d un triangle Définition d une hauteur La hauteur issue d un sommet d un triangle est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé (hauteur relative à ce côté). Exemple : 13 P a g e

14 C Hauteur issue de B A B Hauteur issue de C Aire d un triangle C A A symétrique de A par rapport au milieu de [BC] A B Aire du triangle ABC = Moitié de l aire du parallélogramme ABA C D où la formule : Aire d un triangle = côté hauteurrelative 2 Remarque Pour chaque triangle, il y a trois façons d en calculer l aire (selon le côté choisi). Par exemple : Aire de ABC = AB CC 2 AC BB BC AA = = P a g e

15 Chapitre G5 : Des parallélogrammes particuliers 1/ Rectangles a/ Définition b/ Propriétés c/ Des moyens de reconnaître un rectangle d/ Aire d un rectangle 2/ Losanges a/ Définition b/ Propriétés c/ Des moyens de reconnaître un losange d/ Aire d un losange 3/ Carrés a/ Définition b/ Propriétés c/ Des moyens de reconnaître un carré d/ Aire d un carré 1/ Rectangles a/ Définition Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. b/ Propriétés Propriété 1 : Un rectangle est un parallélogramme particulier. Par conséquent : - Des côtés opposés d un rectangle sont parallèles et de même longueur. - Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu. Propriété 2 : Les diagonales d un rectangle ont la même longueur. 15 P a g e

16 c/ Des moyens de reconnaître un rectangle Moyen 1: Moyen 2 : Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c est un rectangle. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et ont la même longueur, alors c est un rectangle. d/ Aire d un rectangle Aire d un rectangle = Longueur x largeur 2/ Losanges a/ Définition Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur. b/ Propriétés Propriété 1 : Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Propriété 2 : Un losange est un parallélogramme particulier. Par conséquent : Des côtés opposés d un losange sont parallèles c/ Des moyens de reconnaître un losange Moyen 1: Moyen 2 : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de la même longueur, alors c est un losange. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires, alors c est un losange. 16 P a g e

17 d/ Aire d un losange Aire d un losange = Grande diagonale petite 2 diagonale Petite diagonale Grande diagonale 3/ Carrés a/ Définition Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits et ses quatre côtés de la même longueur. Remarque : Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange. b/ Propriétés Un carré a les mêmes propriétés qu un rectangle et un losange. On retiendra notamment : Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires. 17 P a g e

18 c/ Des moyens de reconnaître un carré Moyen 1: Moyen 2 : Si un quadrilatère a ses quatre côtés de la même longueur et trois angles droits, alors c est un losange. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires, alors c est un losange. d/ Aire d un carré Aire d un carré = côté x côté 18 P a g e

19 Chapitre G6 : Solides 1/ Description et représentation de quelques solides a/ Les prismes droits b/ Les pyramides 2/ Volumes des solides usuels a/ Unités de volume et de capacité b/ Formulaire 1/ Description et représentation de quelques solides a/ Les prismes droits Un prisme droit est un solide constitué : de deux polygones superposables, les bases, contenus dans des plans parallèles ; de faces latérales rectangulaires qui sont perpendiculaires aux bases. BASE Une arête latérale Une face latérale BASE 19 P a g e

20 Exemples de prismes droits représentés en perspective cavalière Prisme droit de base un quadrilatère Pavé droit Prisme droit à base triangulaire b/ Les pyramides Une pyramide est un solide : - dont une face est un polygone, appelé la base ; - dont les autres faces (faces latérales) sont des triangles ayant un sommet commun, appelé le sommet de la pyramide. Le sommet BASE Une pyramide à base rectangulaire La hauteur BAS Un tétraèdre Cas particuliers : pyramides régulières Une pyramide est dite régulière lorsque : - sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré ) ; - toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables. 20 P a g e

21 Le sommet La hauteur 2/ Volumes des solides usuels Une pyramide régulière à base carrée a/ Unités de volume et de capacité On retiendra : 1 dm 3 = 1 L et 1 m 3 = L b/ Formulaire Pour utiliser correctement ce formulaire, toutes les longueurs intervenant dans une formule doivent être exprimées dans la même unité de longueur. 21 P a g e

22 Chapitre GM1 : Calculer avec des durées 1/ Unités de temps 2/ Calculer avec des durées 3/ Ecriture décimale d une durée 1/ Unités de temps Abréviations : heure : h minute : min seconde : s 1 h = 60 min 1 min = 60 s 2/ Calculer avec des durées a/ Addition de durées On traite séparément les heures et les minutes. 2 h 50 min + 3 h 18 min = 5 h 68 min soit 6 h 08 min b/ Soustraction de durées On traite séparément les heures et les minutes. Ex 1 : 4 h 50 min Ex 2 : 3 h 20 min - 2 h 26 min - 1 h 45 min = 2 h 24 min = 2 h -25 min soit 1 h 35 min 3/ Ecriture décimale d une durée Exemple 1 : 5 h 18 min = 5 h + (18 : 60) h = 5 h + 0,3 h = 5,3 h On dit que 5,3 h est une heure décimale. Exemple 2 : 5,4 min = 5 min + 0,4 x 60 s = 5 min 24 s 22 P a g e

23 Chapitre N1 : Organisation de calculs 1/ Enchaînements de calculs sans parenthèses a/ Priorités opératoires b/ Organisation en l absence de priorités 2/ Enchaînements de calculs avec parenthèses a/ Calculs prioritaires b/ Exemples clés * Parenthèses indépendantes * Parenthèses «imbriquées» 1/ Enchaînements de calculs sans parenthèses a/ Priorités opératoires Règle n 1 : priorités opératoires Dans une suite de calculs sans parenthèses, il faut effectuer les multiplications et les divisions AVANT les additions et les soustractions. On dit que les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. Exemples : x 3 15 : 5 = = : b/ Organisation en l absence de priorités Règle n 2 : en l absence de priorités Dans une suite de calculs sans parenthèses ne comportant pas de priorité, on effectue les calculs dans l ordre où ils se présentent, c est à dire dans le sens de la lecture. Exemples : = = : 5 x 2 Exemples de synthèse : 28 4 x : : / Enchaînements de calculs avec parenthèses a/ Calculs prioritaires Règle n 3 Dans une suite de calculs, il faut d abord effectuer les calculs entre parenthèses. b/ Exemples clés Parenthèses indépendantes : (7 4) x (3 + 2) = 3 x 5 = 15 Parenthèses «imbriquées» : 75 (50 ( x 8)) 23 P a g e

24 Chapitre N2 : Apprendre le langage littéral 1/ Définition d'une expression littérale 2/ Utiliser le langage littéral a/ Omission du signe de multiplication b/ Valeurs prises par une expression littérale c/ Tester une égalité 3/ Utilisation d'un tableur 1/ Définition d'une expression littérale Une expression littérale est une expression mathématique dans laquelle figurent des lettres. Au collège, la plupart du temps, ces lettres désignent des nombres. Exemple : Aire d un rectangle = L x l, L et l désignant respectivement la longueur et la largeur du rectangle 2/ Utiliser le langage littéral a/ Omission du signe de multiplication Il est convenu que : On peut supprimer le signe de multiplication devant une parenthèse ou devant une lettre sans modifier le sens du calcul. Exemples : Expression Expression simplifiée 2 x a 2a 3 x (7 + 5) 3(7 + 5) y x 3 3y a x b x c abc 5 x 3 x a 5 x 3a = 15a 7 x 2 - b/ Valeurs prises par une expression littérale Calculer la valeur d une expression littérale pour certaines valeurs affectées aux lettres, c est calculer cette expression en remplaçant les lettres par les valeurs qui leur ont été affectées. Valeur de l expression littérale E = 2a + 3b lorsque a = 5 et b = 9 E = 2 x a + 3 x b = 2 x x 9 = = 37 Tableau de valeurs : a 2 6 8,5 4a + 1 4x2+1=9 11(a 1) 24 P a g e

25 c/ Tester une égalité Une égalité est constituée de deux membres séparés par le signe «=», le membre de gauche et le membre de droite. Pour tester une égalité pour des valeurs numériques affectées aux lettres : On calcule la valeur du membre de gauche ; On calcule la valeur du membre de droite ; On constate l égalité ou non des deux valeurs calculées. 3/ Utilisation d'un tableur Exemple: L égalité 3x 5 = x +3 est-elle vraie pour x = 4? Lorsque x = 4, 3x 5 = 3 x 4 5 = 7. x + 3 = = 7. Réponse : OUI. a/ Description et vocabulaire Barre de formule Une cellule (Ici A5) Une plage de cellules (Ici C3:F6) b/ Saisie d'une formule La saisie d'une formule dans la barre de formules respecte, entre autres, les règles suivantes : Une formule est précédée de " = "; Le signe x est remplacé par le signe ; Le signe est remplacé par le signe /. 25 P a g e

26 Exemple : calcul de la valeur prise par l'expression E = 3x+1 lorsque x = 5. E = 3x+1 c/ Etirement d'une formule On peut généraliser une formule à une plage de cellules par étirement. Exemple : Etape 1 E = 3x+1 Etape 2 E = 3x+1 d/ Un exemple d'exercice On a utilisé un tableur pour calculer des valeurs prises par deux expressions E et F fonctions de x. Une copie de l'écran obtenu est donnée ci-dessous : F = 2x - 2 Quelle est la valeur prise par l'expression E lorsque x = 1? Exprimer E en fonction de x. Quel nombre manque-t-il dans la cellule H2? On sait que F = 2x - 2. Une formule a été saisie dans la cellule B3 et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules C3:H3. Quelle est cette formule? Donner une valeur de x pour laquelle E = F. 26 P a g e

27 Chapitre N3 : Généralités sur les nombres décimaux relatifs 1/ Les nombres décimaux relatifs a/ Définitions b/ Nombres opposés 2/ Repérage sur une droite graduée a/ Définition d une droite graduée b/ Abscisse d un point 3/ Comparaison de deux nombres relatifs 4/ Repérage dans le plan a/ Définitions b/ Coordonnées d un point 1/ Les nombres décimaux relatifs a/ Définitions L écriture d un nombre relatif comporte deux informations : son signe + ou - ; une partie «numérique», sa distance à zéro. Les nombres négatifs sont notés avec le signe «moins» ; par exemple : -6 ; -5 ; -109,3. Les nombres positifs sont notés avec le signe «plus» ; par exemple : +3 ; +18 ; +5,36. Le seul nombre qui soit à la fois positif et négatif est le nombre zéro. Les nombres positifs et négatifs réunis constituent l ensemble des nombres relatifs. Remarque : Le signe + d un nombre positif n est généralement pas écrit : +5 s écrit 5 +23,45 s écrit 23,45 b/ Nombres relatifs opposés Définition : Deux nombres relatifs sont dits opposés s ils ont des signes contraires et la même distance à zéro. Par exemple : les nombres 3 et -3 ainsi que les nombres -4,8 et 4,8 sont opposés. Notation : L opposé d un nombre x se note - x. Par exemple : L opposé de 3 est -3. L opposé de -5 se note -(-5) et ainsi -(-5) = 5. 2/ Repérage sur une droite graduée a/ Définition d une droite graduée Définition : Une droite graduée (ou un axe) est définie par : un sens ; une origine ; une unité de longueur. 27 P a g e

28 D C Origine I Choix d une unité B Sens positif b/ Abscisse d'un point 0 1 Propriété : A tout point d une droite graduée donnée, on peut associer un et un seul nombre relatif appelé l abscisse de ce point. Exemples : I a pour abscisse 1. On note I(1). B a pour abscisse 4. On note B(4). C a pour abscisse -3. On note C(-3). D a pour abscisse -4,5. On note D(-4,5). 3/ Comparaison de deux nombres relatifs Trois cas se présentent : 1 er cas : les deux nombres à comparer sont positifs : on sait déjà le faire. 2 ème cas : les deux nombres à comparer sont négatifs : Le plus petit nombre est celui qui a la plus grande distance à zéro. 3 ème cas : les deux nombres à comparer ont des signes contraires : Un nombre positif est toujours plus grand qu un nombre négatif. Exemples : - 2 < > > < 0,1 4/ Repérage dans un plan a/ Définitions Deux axes perpendiculaires de même origine constituent un repère orthogonal du plan. L origine commune aux deux axes s appelle l origine du repère. Généralement : L axe horizontal est l axe des abscisses et l axe vertical est l axe des ordonnées. b/ Coordonnées d un point Un point du plan est repéré par deux nombres relatifs qu on appelle ses coordonnées: - la première coordonnée d un point est son abscisse ; elle est lue sur l axe des abscisses ; - la deuxième coordonnée d un point est son ordonnée ; elle est lue sur l axe des ordonnées. 28 P a g e

29 c/ Illustration 5 29 P a g e

30 Chapitre N4 : Addition et soustraction des nombres décimaux relatifs 1/ Addition des nombres décimaux relatifs a/ Règle d addition de deux nombres relatifs b/ Propriétés de l addition c/ Somme de plusieurs nombres relatifs 2/ Soustraction d un nombre relatif 3/ Sommes algébriques a/ Définition b/ Une méthode de calcul 1/ Addition des nombres décimaux relatifs a/ Règle d addition de deux nombres relatifs Deux cas se présentent : 1 er cas : les nombres à additionner sont de même signe * On conserve le signe commun ; * On additionne les distances à zéro des deux nombres. Exemples : = (- 5) = ème cas : les nombres à additionner sont de signes contraires * On prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ; * On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande. Exemples : 2 + (- 5) = (- 2) = = - 2 Cas particulier : la somme de deux nombres opposés est égale à zéro. ( 5 + (-5) = 0 ou encore = 0 ) b/ Propriétés de l addition a, b et c étant des nombres relatifs quelconques : Commutativité : Associativité : a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c c/ Somme de plusieurs nombres relatifs Pour le calcul d une somme de plusieurs nombres relatifs, l ordre dans lequel on effectue les additions ainsi que l ordre des termes n ont pas d importance. 30 P a g e

31 Par conséquent, pour le calcul d une somme de plusieurs nombres relatifs, il est parfois conseillé de faire des regroupements judicieux. On notera notamment la méthode suivante : On regroupe éventuellement les nombres opposés (de façon à les «éliminer») ; on regroupe les nombres de même signe. Exemple : S = 2 + (-5) + (-4) + (-8) (-11) + 7 = (-4) + (-8) = 9 + (-12) = - 3 2/ Soustraction d un nombre relatif Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé. 3/ Sommes algébriques a/ Définition Exemples : 2 (+5) = 2 + (-5) = -3 4 (-8) = = 12-3 (+1) = -3 + (-1) = -4-7 (-2) = = = 10 + (-18) = = -3 + (-9) = -12 Une somme algébrique est un enchaînement d additions et de soustractions de nombres relatifs. b/ Une méthode de calcul On transforme chaque soustraction en l addition de l opposé ; on regroupe éventuellement les nombres opposés (de façon à les «éliminer») ; on regroupe les nombres de même signe. Exemple : S = -4 + (-8) (-9) = -4 + (-8) (-6) + 10 = -4 + (-8) + (-6) = = 1 31 P a g e

32 Chapitre N5 : Nombres rationnels 1/ Discriminer les nombres a/ Nombres rationnels b/ Nombres décimaux c/ Un nombre rationnel est-il décimal? 2/ Proportion, fréquence (exemple) 3/ Quotients égaux a/ Propriété b/ Une application pratique c/ Simplification d'une fraction d/ Proportions égales e/ Quotients de deux nombres décimaux 1/ Discriminer les nombres a/ Nombres rationnels a et b étant deux nombres (b non nul), le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. On le note a : b ou encore b a. Lorsque a et b sont entiers, le nombre b a s appelle un nombre rationnel. a s'appelle le numérateur et b s'appelle le dénominateur. b/ Nombres décimaux Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. Un nombre décimal est donc un nombre rationnel particulier. Exemples : 6 = 6 1 5,2 = On rappelle qu'un nombre entier est décimal. 7,56 = ,789 = c/ Un nombre rationnel est-il décimal? Si la division de a par b s'arrête, alors b a est décimal. Si la division de a par b ne s'arrête pas, alors b a n'est pas décimal. Exemples : 15 2 = 15:2 = 7,5 (la division tombe juste) 15 est décimal = 2:3 0,66 (la division ne tombe pas juste) 2 n'est pas décimal P a g e

33 2/ Proportion, fréquence (exemple) Dans un collège comptant 640 élèves, 450 élèves sont demi-pensionnaires. On dit que la proportion (ou la fréquence) d élèves DP dans le collège est. On peut, si possible, écrire cette proportion en écriture décimale :. 3/ Quotients égaux a/ Propriété On ne change pas un quotient lorsque l on multiplie ou lorsque l on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. b/ Une application pratique Cinq élèves ont obtenu les notes suivantes à un devoir de mathématiques : Paul : 1 Pierre : 3 Françoise : 6 Jacques : 2 Michèle : Mettre ces notes sur Quel est l élève qui a obtenu la meilleure note? c/ Simplification d une fraction Simplifier une fraction consiste à réduire le numérateur et le dénominateur. Exemple : d/ Proportions égales Exemple : En 5 ème A, il y a 30 élèves dont 18 filles. En 5 ème B, il y a 25 élèves dont 15 filles. Les filles sont-elles dans la même proportion dans ces deux classes? Proportion de filles en 5 ème A : Proportion de filles en 5 ème B : Les filles sont dans la même proportion dans les deux classes. e/ Quotient de deux nombres décimaux Tout quotient de deux nombres décimaux est un nombre rationnel. Exemple : 2,51 2, ,6 1, P a g e

34 Chapitre GD1 : La proportionnalité 1/ Définition et exemple a/ Définition b/ Exemple c/ Contre-exemple 2/ Modélisation d une situation de proportionnalité 3/ Reconnaître une situation de proportionnalité 4/ Résolution d un problème relevant de la proportionnalité a/ Le retour à l unité b/ En utilisant des propriétés c/ Cas particulier 1/ Définition et exemple a/ Définition Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie que lorsqu on multiplie (ou divise) l une par un nombre, l autre est multipliée (ou divisée) par ce même nombre. b/ Exemple 30 morceaux de sucre pèsent 240 grammes. Combien pèsent 60 morceaux de sucre? Combien pèsent 15 morceaux de sucre? Combien faut-il réunir de morceaux de sucre pour obtenir 720 grammes de sucre? La masse de sucre est ici proportionnelle au nombre de morceaux. c/ Contre-exemple Kévin a 5 ans et mesure 1,15 m. Combien mesurera-t-il à l âge de 20 ans? Ce problème ne relève pas de la proportionnalité. 2/ Modélisation d une situation de proportionnalité Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on peut dresser un tableau de nombres appelé un tableau de proportionnalité. On peut alors illustrer la proportionnalité de la façon suivante : x 2 : 4 Nombre de morceaux de sucre Masse de sucre en grammes x 3 34 P a g e

35 Propriété : Un tableau de proportionnalité est un tableau tel que les nombres d une ligne s obtiennent en multipliant ceux de l autre ligne par un même nombre appelé un coefficient de proportionnalité. Nombre de morceaux de sucre Masse de sucre en grammes x 8 : 8 3/ Reconnaître une situation de proportionnalité Exemple 1 : 5 8 1,5 12,5 20 3,75 est-il de proportionnalité? 12,5 2,5 ; 20 3,75 2, 5 ; 2, ,,5 Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Exemple 2 : ,8 3,96 0,712 est-il de proportionnalité? 1,8 0,36 ; 3,96 0,712 0, 36 ; 0, Ce tableau n est pas un tableau de proportionnalité. Exemple 3 : 11 5,5 2,2 7 3,5 1,4 est-il de proportionnalité? 7 3,5 7 n est pas décimal ; ; 11 5,5 11 Ce tableau est un tableau de proportionnalité. 1,4 2, / Résolution d un problème relevant de la proportionnalité a/ Le retour à l unité Calcul de la masse d un morceau de sucre (masse unitaire) : g 60 morceaux pèsent : 60 x 8 = 480 g. 15 morceaux pèsent : 15 x 8 = 120 g. Il faut : morceaux de sucre. Cette méthode revient à calculer un coefficient de proportionnalité : 35 P a g e

36 Nombre de morceaux de sucre Masse de sucre en grammes b/ En utilisant des propriétés La linéarité : Nombre de morceaux de sucre Masse de sucre en grammes x 2 : x 8 : 8 Par "addition" ou "soustraction": x 3 + Nombre de morceaux de sucre Masse de sucre en grammes c/ Cas particulier : calcul d une quatrième proportionnelle (ou «règle de trois») 30 morceaux de sucre pèsent 240 g. Combien pèsent 18 morceaux? Nombre de morceaux de sucre Masse de sucre en grammes x 0, ? X 0,6 x : 30 = 8? = 18 x 8 = 144 ou 18 : 30 = 0,6? = 240 x 0,6 = P a g e

37 Chapitre GD2 : Des situations de proportionnalité particulières 1/ Pourcentages a/ Définition et exemples b/ Application d un pourcentage c/ Calcul d un pourcentage 2/ Représentations à l échelle a/ Définition b/ Exemples 1/ Pourcentages a/ Définition, notation et exemples Un pourcentage est un nombre en écriture fractionnaire dont le dénominateur est 100. Un pourcentage de la forme se note p %. Exemples : 14, est un pourcentage et peut se noter 14,5% = 25% ; = 50% ; = 70% ; = 40% ,35 = 35% ; 0,6 = 60% ; 0,196 = 19,6% ; 1,5 = 150% b/ Application d un pourcentage Exemple : 65% des 700 élèves d un collège sont demi-pensionnaires. Combien d élèves de ce collège sont-ils demi-pensionnaires? Méthode 1 : On se ramène au calcul d une quatrième proportionnelle : Méthode 2 : 65? soit : 65? On calcule de 700 soit c/ Calcul d un pourcentage Exemple : 260 des 650 élèves d un collège sont externes. Quel pourcentage des élèves de ce collège les élèves externes représentent-ils? Méthode 1 : On se ramène au calcul d une quatrième proportionnelle : 260? soit : 260? P a g e

38 2/ Représentations à l échelle a/ Définitions Méthode 2 : On calcule la proportion d'externes : 260 0, 4 soit 40% 650 Lorsque sur un plan, une carte, une maquette, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs qu elles représentent dans la réalité, on dit que ce plan, cette carte, cette maquette sont des représentations à l échelle. On appelle échelle le coefficient de proportionnalité défini par : Longueur sur le plan = échelle x longueur réelle, les longueurs sur le plan et dans la réalité étant exprimées dans une même unité. Lorsque l échelle est strictement inférieure à 1, la représentation est une réduction de la réalité. Lorsque l échelle est strictement supérieure à 1, la représentation est un agrandissement de la réalité. Lorsque l échelle est égale à 1, on parle de représentation en grandeur nature. b/ Exemples Savoir représenter à l échelle : Représenter à l échelle 3 1 puis à l échelle 2 le rectangle suivant : 4,5 cm 3 cm A l échelle 3 1 : 1,5 cm 1 cm A l échelle 2 : 9 cm 6 cm 38 P a g e

39 Savoir lire un plan à l échelle : Voici l extrait d un plan d une maison réalisé à l échelle 1/50 : 3,6 cm 4 cm x 50 Longueurs réelles (cm) Longueurs sur le plan (cm) 3,6 4 hauteur réelle = 4 x 50 = 200 cm largeur réelle = 3,6 x 50 = 180 cm Savoir calculer une échelle : Calculer l échelle de cette maquette : x 1/50 2,4 m Longueur de la maquette = échelle x longueur réelle Sur la maquette, 2,4 m sont représentés par 6 cm. 2,4 m = 240 cm. Donc : 6 cm = échelle x 240 cm 6 1 échelle = P a g e

40 Chapitre GD3 : Gérer des données 1/ Fréquence a/ Définition b/ Exemple 1 : Liste de données c/ Exemple 2 : Tableau de données 2/ Regroupement de données en classes 3/ Histogramme 4/ Utilisation d un tableur (fonctions «SOMME», «MIN», «MAX», insertion graphique et $) 1/ Fréquence a/ Définition Fréquence d une valeur = Effectifde cettevaleur Effectiftotal Remarques : La fréquence d'une valeur est un nombre compris entre 0 et 1. Une fréquence peut s'exprimer sous la forme d'un pourcentage compris entre 0% et 100%. b/ Exemple 1 : Liste de données Un amateur de jeu a lancé 60 fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. A chaque lancer, il a noté le nombre de points obtenus : Chiffre Chiffre Chiffre Chiffre Chiffre Chiffre Total Effectif Fréquence 9/60 12/60 8/60 10/60 11/60 10/60 1 Remarque : 12/60 = 0,2 = 20% c/ Exemple 2 : Tableau de données Nombre de frères et sœurs des élèves d'une classe de collège Trois valeurs Nombre de Effectif total frères et soeurs Effectif Fréquence 0,32 soit 32% 0,56 soit 56% 0,12 soit 12% 1 soit 100% 40 P a g e

41 2/ Regroupement de données en classes Exemple : On a demandé aux 20 salariés d'une entreprise quel avait été leur salaire mensuel moyen perçu au cours de la dernière année. Voici leurs réponses : On regroupe ces données en classes. Trois classes Salaire S ( ) 1100 S S S Total Effectif / Histogramme Exemple : Poissons Remarque : Lorsque les classes ont la même amplitude, les hauteurs des barres d un histogramme sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) de chaque classe.. Taille (cm) 4/ Utilisation d un tableur (fonctions «SOMME», «MIN», «MAX», insertion graphique et $) (document séparé) 41 P a g e

42 Chapitre GD4 : Expériences aléatoires 1/ Expérience aléatoire et issues a/ Définition d une expérience aléatoire b/ Exemples 2/ Probabilité d une issue a/ Notion de probabilité b/ Vocabulaire c/ Propriété 1/ Expérience aléatoire et issues a/ Définition d une expérience aléatoire Une expérience dont on connaît toutes les issues possibles mais dont on ne peut prévoir l issue est appelée une expérience aléatoire. b/ Exemples Expérience 1 Expérience 2 On tire dans un sac contenant des boules numérotées une boule et on note le numéro. On tire dans un sac contenant des boules numérotées une boule et on note le numéro. Contenu du sac : Contenu du sac : Déterminons les issues possibles de ces expériences et le nombre total de cas : Expérience 1 Expérience 2 3 issues possibles : 3 issues possibles : «tirer le numéro 1» «tirer le numéro 1» «tirer le numéro 2» «tirer le numéro 2» «tirer le numéro 3» «tirer le numéro 3» Nombre total de cas : 3 Nombre total de cas : 4 2/ Probabilité d une issue a/ Notion de probabilité Une expérience aléatoire étant définie, on va essayer de traduire par un nombre la "possibilité" de réalisation de chacune des issues. Cela revient à affecter une mesure de "croyance" à chaque issue. Ainsi, on définit la probabilité d'une issue comme un nombre compris entre 0 et 1, pour pouvoir se convertir en un pourcentage de "chances" de réalisation. 42 P a g e

43 Exemples : Expérience 1 Expérience 2 Il y a 1 chance sur 3 de tirer le numéro 1. Probabilité de l issue «tirer le numéro 1» = Il y a 1 chance sur 3 de tirer le numéro 2. Probabilité de l issue «tirer le numéro 2» = Il y a 1 chance sur 3 de tirer le numéro 3. Probabilité de l issue «tirer le numéro 3» = b/ Vocabulaire Il y a 1 chance sur 4 de tirer le numéro 1. Probabilité de l issue «tirer le numéro 1» = Il y a 1 chance sur 4 de tirer le numéro 2. Probabilité de l issue «tirer le numéro 2» = Il y a 2 chances sur 4 de tirer le numéro 3. Probabilité de l issue «tirer le numéro 3» = = Lorsque toutes les issues possibles ont la même probabilité on parle d une situation d équiprobabilité. c/ Propriété Exemple : L expérience est une situation d équiprobabilité. La somme des probabilités des issues d une expérience aléatoire est égale à. Par conséquent : dans une situation d'équiprobabilité comportant n issues possibles, la probabilité d'une issue est égale à 1 n. Exemple : L expérience est une situation d équiprobabilité à issues. La probabilité de chaque issue est égale à P a g e