ETUDE D'UN MONTAGE DE ROULEMENT

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1 Sciences Indusielles Sujet : Enoncé INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS ETUDE D'UN MONTGE DE OULEMENT Sciences industielles Page Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

2 Sciences Indusielles Sujet : Enoncé INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS. emaques péliminaies Le sujet compote 5 pages de texte. La pemièe patie est indépendante des deux autes, pa conte, les deux denièes ne sont pas indépendantes. etaines questions peuvent néanmoins ête taitées sépaément. Une attention toute paticulièe sea appotée à la pésentation du tavail et à la claté des explications.. Intoduction Les oulements constituent une famille tès impotante des éléments technologiques de base. Ils pemettent de éalise (généalement) des liaisons pivots où le couple ésistant est tès faible. Ils sont, sauf exception, montés pa paie et éalisent chacun, une liaison otule ou une liaison linéaie annulaie. Entetoise Bâti ig. : Montage de oulements pou abe tounant Dans le montage epésenté figue., la bague extéieue du oulement () est montée libe en tanslation pa appot au bâti. Le oulement () éalise alos une liaison linéaie annulaie ente l'abe et le bâti. Les deux bagues du oulement () sont bloquées en tanslation, le oulement () éalise alos une liaison otule ente l'abe et le bâti. be fixe ig. : Montage de oulements pou abe fixe Dans le montage epésenté figue., la bague intéieue du oulement () est montée libe en tanslation pa appot à l'abe fixe. Le oulement () éalise alos une liaison linéaie annulaie ente le logement tounant et le bâti. Les deux bagues du oulement () sont bloquées en tanslation, le oulement () éalise alos une liaison otule ente l'abe et le bâti. Page Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

3 Sciences Indusielles Sujet : Enoncé INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS.3 Statique La figue (3) suivante epésente le schéma cinématique du montage de oulement de la ig. (). L'abe () est en liaison linéaie annulaie de cente et de diection x et en liaison otule de cente B avec le bâti (). Il est muni à l'une de ses extémités d'un pignon conique. ) Détemine la liaison éalisée ente le bâti () et l'abe () pa la somme en paallèle de la liaison linéaie annulaie et de la liaison otule. Ecie les caactéistiques géométiques de cette liaison et les toseus cinématiques admissibles et d'action mécanique tansmissible. Vue suivant z D u E α D u L L E x B 45 ig. 3 L'abe () est aussi soumis à deux actions mécaniques extéieues, un couple {} de diection x et un glisseu {}. e glisseu modélise l'action mécanique tansmise pa un engenage conique. L'axe de ce glisseu dépend des caactéistiques géométiques de l'engenage conique et est défini pa la figue (3). Le poids est négligé devant l'intensité des actions mécaniques tansmises. ) Expime en fonction de et de α les coodonnées du vecteu en pojection dans la base B:( x,, z). Les toseus d'action mécanique tansmissible pa les liaisons ente le bâti et l'abe sont les suivants : T / 0 0 B B : 0 et T/: B z 0 B (; B) 3) aie l'inventaie des actions mécaniques appliquées à l'abe (). Le solide () étant considéé en équilibe, applique le pincipe fondamental de la statique (écie les équations scalaies). 4) Le couple {} étant connu, calcule et les toseus d'action mécanique tansmis pa les liaisons ente l'abe et le bâti. x z (B; B) Page 3 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

4 Sciences Indusielles Sujet : Enoncé INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS.4 inématique Dans le montage de oulement de la figue, l'abe est considéé comme fixe. Les bagues extéieues sont animées d'un mouvement de otation d'axe fixe pa appot aux bagues intéieues et les pièces sont en mouvement plan. Le vecteu unitaie u est défini comme étant colinéaie au vecteu et sa otation est epéée pa l'angle α. Le mouvement de otation de la bague extéieue pa appot à la bague intéieue est paamété pa un angle θ non epésenté su le schéma, tel que θ 0 losque u est égale à x. v θ z Ω & / e e B u α x O 3 ig. 4 : géométie et paamétage ) alcule la V ( B / ) en fonction de θ &. ) Sachant qu'il a oulement sans glissement en B ente le solide (3) et le solide (), en déduie V ( B 3/ ). Sachant, qu'il a aussi oulement sans glissement en ente le solide (3) et le solide (), calcule Ω 3 / en fonction de θ & et des caactéistiques géométiques. 3) Ecie les éléments de éduction du toseu cinématique du mouvement de 3/ 4) alcule V ( 3/ ) en fonction θ & et des caactéistiques géométiques d'une pat et en fonction de α & d'aute pat. En déduie la elation ente α et θ. 5) Soit la base B :( 4 u, v, z ) et le epèe :( O, 4 u, v, z ), on pose Ω i / j ω i / j. z. alcule ω 4 /. ω4 / Développe les vitesses de otation pa appot à et en déduie α & en fonction de θ & Page 4 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

5 Sciences Indusielles Sujet : Enoncé INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS.5 inétique Los de vitesses de otation tès impotantes, il est intéessant d'étudie d'un point de vue dnamique un oulement à bille. Il faut péalablement calcule le toseu cinétique..5. ETUDE PLNE Le oulement étudié ici est un oulement à ouleaux (f. pemièe page) et il est dans un pemie temps considéé comme plan. Sa géométie est définie pa la figue 4 de la patie. Les pièces sont considéées d'épaisseu nulle et de masse sufacique µ. Le mouvement est un mouvement plan. ) alcule la matice d'inetie d'un disque de aon en un point qui vous simplifie le plus les calculs et la stuctue de la matice et dans une base tel que z est pependiculaie au plan du disque. Mette la masse m du disque en facteu. ) En déduie la matice d'inetie de la bague intéieue et celle de la bague extéieue du oulement en fonction des caactéistiques géométiques et en pojection su la base B:( x,, z) de la figue 4. actoise pa la masse M et la masse M' de la bague extéieue et de la bague intéieue. 3) alcule le toseu cinétique de la bague () pa appot au solide () en fonction de θ & et des caactéistiques géométiques du oulement. 4) alcule le toseu cinétique d'une ouleau (plan) pa appot à () en fonction de θ & et des caactéistiques géométiques du oulement. 5) alcule enfin le toseu cinétique du oulement (plan) composé des deux bagues et de n ouleaux pa appot à l'abe fixe en fonction de θ & et des caactéistiques géométiques du oulement..5. ETUDE VOLUMIQUE Le oulement étudié ici est un oulement à billes, sa géométie est aussi définie pa la figue 4 de la patie pécédente. Les bagues sont modélisées en pemièe appoximation pa des tubes clindique de évolution d'épaisseu e et de longueu l. Le matéiau constituant des pièces est de masse volumique ρ. ) alcule la matice d'inetie au point d'une bille de aon en pojection su la base B 4. ) alcule le toseu cinétique du oulement à billes composé des deux bagues et de n billes pa appot à l'abe fixe. Page 5 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

6 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS 3. Statique ) Liaison éalisée ente le bâti () et l'abe () Les toseus d'action mécaniques tansmissibles en et B sont les suivants : T / 0 0 B B : 0 et T/: B z 0 B (; B) Los d'une sommation de liaison en paallèle, le toseu d'action mécanique tansmissibles de la liaison équivalente est la somme des toseus d'action mécanique tansmissibles. Le moment de T / est tanspoté en, et l'on obtient : M ( B, / ) M (, / ) + B / L x + z L L z z ( z ) On obtient donc : T / x z Bx 0 : + B L z z + Bz L (B; B) 0 0 soit : T/: L z z L Le toseu obtenu est celui d'une liaison pivot d'axe ( B, x ). Les toseus d'action mécanique et cinématique sont donc: T / X 0 0 u : Y M et V/: 0 0 Z N 0 0 (B; B) (B; B) (B; B) em : La liaison pivot suppime 5 d.d.l., la liaison otule 3 d.d.l. et la liaison linéaie annulaie d.l.l. Le montage des deux liaisons est donc isostatique (53+). ) oodonnées du vecteu dans la base B:( x,, z). Pa pojection su u et z on obtient : sinα et cosα. u z (B; B) La pojection de u u su x et donne enfin : : x z sinα sin45 sinα cos45 cosα 3) Inventaie des actions mécaniques appliquées à l'abe (). Isolement le solide () et pincipe fondamental de la statique applique à (). Page Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

7 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS 0 0 Bx 0 0 x B D T/: L z T/: B 0 Text/: 0 0 Text/: z L Bz (B; B (B; B z (B; B) ) ) (D; B) D Il suffit de tanspote le moment de T ext/ en B, soit : D D D M ( B,ext/ ) M ( D,ext/ ) + BD ext / ( L x ) ( x x z z) soit : T D ext/ x z : L z z L x (B; B) Le pincipe fondamental pemet d'écie : B T + T + T D + T e qui donne le sstème d'équations scalaies : () Bx + x () + B + (3) z + Bz + z (4) + z (5) L z L z (6) L + L x 4).alcul de et des toseus d'action mécanique. / / ext / ext / 0 avec : tgα sin45 cosα x z tgαsin45 ( L ) L z L L (7) x sinα sin45 (8) sinα cos45 (9) z cosα tgα sin45 tgαsin45 + Bx B ( L + L ) Bz L L L L Page Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

8 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS ) alcul de V ( B / ) 4 inématique La pièce () est animée d'un mouvement de otation de cente 0, le toseu distibuteu des vitesses est le suivant : v & Ω z v / θ V / : on obtient donc : V( B / ) V( O / ) + BO Ω / V( O / ) v ( ) u & + θ z V ( ) & + θ v ( B / ) ) Déduction de V ( B 3/ ) et calcul de Ω 3 / Il a oulement sans glissement en B ente () et (3), donc : V, de plus, V V + V V ( B 3 / ) ( B 3 / ) ( B 3 / ) ( B / ) ( B / ) Pou les mêmes aisons, on déduit : mouvement plan. On obtient : ( + ) θ & v 3 0, de plus v ω z, ca les pièces sont en V ( / ) Ω 3 / 3 / v V V + B Ω soit : ( + ) θ & v + ( ) u ω z ( B 3 / ) ( 3 / ) 3 / 3 / o, u z v ( + ) θ & ω ) & 3 / ( + ω3 / θ 3) ésultante et moment du toseu cinématique du mouvement de 3/ 3 / v (+ ) & Ω 3 / θ z : V( 3 / ) Page 3 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

9 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS 4) alcul de V ( / ) 3 et déduction de la elation ente α et θ. v ( + ) V V u & ( 3/) ( 3/) + Ω3/ θ z ( + ) V & ( 3/) θ v On en déduit alos la elation suivante : de plus, le point est fixe pa appot à (3) du O ( + ) u V( 3/) ( + ) dt V ( + ) α& v ( 3/) (+ ) θ & ( + ) α & Soit encoe, en tenant compte des conditions initiales : (+ ) θ ( + ) α 5) alcul de ω 4 / et déduction α & en fonction de θ ω & 4 / On se place dans la base B 4 ω ω 4 / 4 / ω / ω4 / ω + ω + ω ω + + / 4 / / 4 / ce qui donne : soit encoe : & θ + α& + ( + ) θ& ( + ) α& Page 4 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

10 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS 5. inétique i. ETUDE PLNE ) alcul de la matice d'inetie d'un disque Pa aison de smétie, la matice d'inetie dans la base B:( x,, z) de la figue 4 d'un disque calculée au cente possède la stuctue suivante : I 0 0 : ou est le cente du disque. en passant en codonnées polaies, on obtient : x ρ cosθ ρsinθ B avec : ds ( x ) ds, + µ d'ou, S π 3 π π ds ρ dρ dθ ρ µ dθ dρ µ et soit, en factoisant pa la masse du disque : m S m µ µπ et m 4 S 4 4 ) Matice d'inetie de la bague intéieue et de la bague extéieue. La bague intéieue a pou aon intéieu -e et pou aon extéieu. es moments d'inetie sont donc les suivants : ( e) ( e) πµ et πµ avec : M µπ e 4 On obtient alos : M + ( e ) M + ( et e ) 4 De même, pou la bague extéieue on obtient : ( ) ( ( ) ) ( M + + e ) + ( + ) ( M + + e ) + ( + ' ' ) et 4 avec : M' µπ ( + + e) ( + ) µ 3) Toseu cinétique de la bague extéieue O est le cente d'inetie de la bague extéieue du oulement. Page 5 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

11 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS / ( / ) M' V( O / ) I M e : ( O, / ) O / ' ( ) ( ) & z σ Ω θ 4) alcul du toseu cinétique d'un ouleau (plan). 3/ mv m & + ( 3/) θ v : v ( ) I m & + σ(, 3/) Ω3/ θ z 4 5) alcul du toseu cinétique du oulement (plan) Le toseu cinétique du oulement est égale à la somme des toseus cinétique des solides qui le compose. On pose u i et v i les vecteus tounants associés à chaque bille, tel que le vecteu u i est colinéaie à O i ou/ / + 3 / avec n i i 3i / : m & + θ vi mθ& (( + )( + 3) ) z 4 on obtient alos (dans le cas où n > ) : ou/ : n m & + θ vi i ( ) ( ) n m (( )( ) ) M' e θ & z 4 Page 6 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

12 Sciences Indusielles Sujet : oection INETIQUE DES SYSTEMES MTEIELS ii. ETUDE VOLUMIQUE ) alcul de la matice d'inetie d'une bille. Pou des aisons de smétie, la matice d'inetie d'une bille possède la stuctue suivante. I 0 0 : 0 0 avec : 3 ( x + + z ) ρ dv S 0 0 en passant en coodonnées sphéiques ( λθϕ,, ), on obtient : B x λ cosϕ cosθ π π λcosϕsinθ dv λ sinϕdρ dϕ dθ λ sinϕdρ dϕ dθ πρ z λsinϕ soit, en factoisant pa la masse de la bille : 4π m m ρ 3 5 en appliquant le théoème de Hughens généalisé, on obtient : I 0 0 : 0 + m m ) alcul du toseu cinétique du oulement à billes. ou/ : n m & + θ vi i ( )( ) ( ) ( ) nm M' e θ& z 5 B4 Page 7 Jacques ÏHE Jean-Mac HÉEU EduKlub S.. Tous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites.

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