(unité graphique 1 cm). 1. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation suivante :

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1 B BLN () orrecto page 8 THEME : OMPLEXES Exercce Le pla est rapporté à repère orthoormal drect O ; ; (té graphqe cm) Résodre, das l'esemble des ombres complexes, l'éqato sate : 8 6 O cosdère les pots et B q ot por affxes respectes les ombres complexes a = et b = a Écrre a et b sos forme expoetelle b alcler les dstaces O, OB, B E dédre la atre d tragle OB O désge par le pot d'affxe c =, par D le pot d affxe et par G le pot d affxe g 6 a Placer les pots, B,, D et G sr e fgre b Motrer qe les pots, D et G sot algés c Démotrer qe le qadrlatère OBGD est parallélogramme Das cette qesto, tote trace de recherche, même o abote, sera alorsée Qelle est la atre d tragle G? Exercce O cosdère das l'éqato sate (E) : 6 Motrer qe est solto de (E), ps qe (E) pet s'écrre a b c où a, b et c sot tros réels qe l'o détermera E dédre les soltos de (E) sos forme algébrqe ps sos forme expoetelle Placer les pots, B et D d'affxes respectes,, B D alcler l'affxe d pot tel qe BD sot parallélogramme Placer 5 Sot E d affxe 6 et F tel qe le tragle DF sot tragle rectagle socèle drect e D a Das cette qesto, tote trace de recherche, même o abote, sera alorsée Motrer qe l affxe de F est b Placer les pots E et F F b Vérfer qe E dédre la atre d tragle EF E

2 Exercce Das le pla complexe (P) m d repère orthoormal drect d té cm, o cosdère les pots, B, et D d affxes respectes : = ; B = ; = + et D = + Placer sr e fgre les pots, B, et D a Iterpréter géométrqemet le modle et l argmet d complexe b alcler le complexe c Qe poe-os coclre cocerat les segmets [] et [BD]? a Qelle est la atre d qadrlatère BD? Jstfer b alcler l are d qadrlatère BD a Placer sr la fgre précédete les pots, tels qe = où les pots et apparteet à [D], le qadrlatère état carré sté à l extérer d qadrlatère BD b Tracer le carré et détermer so are 5 a O cote par le même procédé : carré état détermé, o cosdère les pots, tels qe = où les pots et apparteet à [ ], le qadrlatère état carré sté à l extérer d carré Tracer le carré b Sot l are d carré Exprmer e focto de, ps e focto de c Détermer, e focto de, l are de la fgre obtee par la jxtaposto d qadrlatère BD et des carrés d La ste ( ) est-elle coergete? Précser sa lmte s elle exste

3 FONTION EXPONENTIELLE Exercce Sot f la focto défe sr ; par x g x f ( x) x e et g la focto égalemet défe sr ; par ( x) x e O ote la corbe représetate de f das le repère orthoormal ( O ; ; j), té graphqe cm Ses de arato de g a alcler la dérée g' de g ; érfer qe g'(x) est tojors strctemet postf b alcler la lmte de g qad x ted ers c Dédre de ce q précède l'exstece et l'cté d' ombre réel > tel qe g( ) = et motrer qe,,5 d Étder le sge de g(x) sr ; e Motrer qe f '( x) = g(x) ; e dédre le ses de arato de f omportemet asymptotqe de f e a Détermer la lmte de f e b Détermer le sge de f ( x) ( x ) et sa lmte e Iterpréter graphqemet ce résltat ; o ote P la corbe d'éqato y x a Dresser le tablea de arato de f b Proer qe l'éqato f(x) = admet e solto o lle a et e sele apparteat à l'teralle ; et motrer qe,8 < a <,9 c Étder le sge de f(x) sr ; orbe : Tracer das le repère orthoormal ( O ; ; j) les corbes P et O précsera la tagete à a pot d'abscsse

4 SUITES Exercce O déft la ste 8 9 Sot f la focto défe sr ;,5 x f'(x) (x-8)/(x-9) par so premer terme et par la relato de récrrece : x 8 par f ( x) dot o doe le tablea de x 9 aratos sat : Jstfer les formatos doées par le tablea (aratos ; lmte e ; mage de ) f ( x) ; E dédre qe s ; x, alors Démotrer qe la ste est majorée par et par coséqet est défe por tot Démotrer qe la ste est crossate E dédre la lmte de la ste Exercce - O cosdère les stes ) et ( défes por tot eter atrel par : et alcler, et d'e part et, et d'atre part O,, j (té graphqe : 5 cm) tracer les drotes D et Das repère orthoormal d'éqatos respectes y x et y = x Utlser D et por costrre sr l'axe des abscsses les pots, et d'abscsses respectes, et as qe les pots B, B et B d'abscsses respectes, et O cosdère la ste ( s ) défe por tot eter atrel par : s a alcler s, s et s À partr de ces résltats, qe pet-o cojectrer por la ste ( s )? b À l'ade d' rasoemet par récrrece, motrer qe la ste ( s ) est e ste costate O cosdère la ste ( d ) défe por tot eter atrel par : d a Motrer qe la ste ( d ) est e ste géométrqe 9

5 b Doer l'expresso de d e focto de 5 E tlsat les résltats des qestos b et b, doer l'expresso de et e focto de ( ) et coerget Précser lers lmtes 6 Motrer qe les stes

6 PROBBILITES ONDITIONNELLES Exercce U sodage effecté récemmet das e régo motagese à propos de la costrcto d barrage doe les résltats sats : 65% des persoes terrogées sot cotre la costrcto de ce barrage parm les persoes q sot cotre cette costrcto, 7% sot des écologstes parm les persoes faorables à la costrcto, % sot des écologstes O ote l ééemet «la persoe terrogée est cotre la costrcto» et l ééemet cotrare O ote E l ééemet «la persoe terrogée est écologste» O ote F l ééemet «la persoe terrogée est cotre la costrcto et est pas écologste» alcle les probabltés p(), p (E) et p (E) a alcle la probablté q e persoe terrogée sot cotre la costrcto d barrage et sot écologste b alcle la probablté q e persoe terrogée sot por cette costrcto et sot écologste E dédre la probablté q e persoe terrogée sot écologste a Motre qe la probablté de F est égale à,95 b O chost a hasard 5 persoes parm celle q ot été terrogées (o sppose qe les chox des 5 persoes sot dépedats les s des atres) Qelle est la probablté q a mos e de ces persoes sot cotre la costrcto et e sot pas écologste? Exercce Ue se est dotée d' système d'alarme q se décleche e prcpe lorsq cdet se prodt sr e chaîe de prodcto Il pet arrer totefos qe le système sot ms e défat E effet, des étdes statstqes ot motré qe, sr e jorée : la probablté qe l'alarme se décleche par errer, c'est-à-dre sas q'l y at e cdet, est égale à 5 la probablté q' cdet sree sas qe l'alarme se décleche est égale à ; 5 la probablté q' cdet se prodse est égale à O porra oter : l'ééemet «l'alarme se décleche» ; I l ééemet «cdet se prodt» ; et I lers ééemets cotrares respectfs s, par exemple, cdet» I représete l'ééemet «l'alarme se décleche sas q l y at Parte alcler la probablté qe, das e jorée, cdet sree et qe l alarme se décleche E dédre la probablté qe l'alarme se décleche Qelle est la probablté qe, sr e jorée, le système d'alarme sot ms e défat?

7 L'alarme et de se déclecher Qelle est la probablté q'l y at réellemet cdet? Parte B Les assrers estmet q'e moyee, por l'etreprse, le coût des aomales est le sat : por cdet lorsqe l'alarme foctoe ; por cdet lorsqe l'alarme e se décleche pas ; lorsqe l'alarme se décleche par errer O cosdère q'l se prodt a pls e aomale par jor Sot X la arable représetat le coût joraler des aomales por l'etreprse Doer la lo de probablté de X Qel est le coût joraler moye des aomales? Exercce Ue épree cosste à jeter e fléchette sr e cble partagée e tros cases otées,, Dex cocrrets et B sot e présece O admet q'à chaqe lacer, chac d'ex attet e case et e sele et qe les lacers sot dépedats Por le cocrret, les probabltés d'attedre les cases,, sot respectemet : / ; / ; 7/ Por le cocrret B, les tros éetaltés sot éqprobables NB : Les résltats demadés serot doés sos forme de fractos rrédctbles Le cocrret lace la fléchette tros fos Les résltats des tros lacers sot dépedats a Qelle est la probablté por q'l attege chaqe fos la case? b Qelle est la probablté por q'l attege les cases,, das cet ordre? c Qelle est la probablté por q'l attege les cases,,? O chost des dex cocrrets La probablté de chosr est égale à dex fos la probablté de chosr B a U sel lacer est effecté Qelle est la probablté por qe la case sot attete? b U sel lacer a été effecté, et la case a été attete Qelle est la probablté por qe ce sot le cocrret q at lacé la fléchette?

8 orrecto de la préparato B BLN OMPLEXES Exercce Le pla est rapporté à repère orthoormal drect O ; ; (té graphqe cm) O cosdère les pots et B q ot por affxes respectes les ombres complexes a = et b = a a cos 8 6 s 8 6 Doc a 8e 6 b est le cojgé de a doc b 8e b O = a 8 OB = b 8 Im( b) B 8 Doc B 8 8 Doc le tragle OB est éqlatéral O désge par le pot d'affxe c =, par D le pot d affxe et par G le pot d affxe a g 6

9 b Z D D Z G G Doc D G Z Z 5 Sot G= 5D Les ecters sot coléares doc les pots, G et D sot algés d Z B G BG 6 Z D O D OD Doc BG= ODsot BGDO est parallélogramme 5 Por détermer la atre d tragle G, o pet calcler le qotet : 5 5 ) 5 5 ( G e Doc et arg G G Doc = G et ( G ; )= Le tragle G est doc éqlatéral

10 Exercce (E) Doc est be solto de (E) a b c a ( b a) ( c b) c Par detfcato, a, b a, c b, - c 6 Sot a, b, c 8 O a doc e ; o résot 8 : d'où les soltos : et S ;, est tel qe D =B ( ) ( ) D B 5 a S le tragle DF est rectagle socèle drect alors D = DF et ( ) [ ] Doc le qotet sot :

11 F D D F 6 F 6 b O calcle : E F F E; doc arg E doc F E F E F doc EF est socèle et rectagle e Exercce Das le pla complexe (P) m d repère orthoormal drect d té cm, o cosdère les pots, B, et D d affxes respectes : = ; B = ; = + et D = + a

12 ( ) ( )[ ] b c doc sot ( ) [ ] doc ( ) [ ] Les segmets [] et [BD] sot perpedclares et de même loger a O motre qe BD est parallélogramme Doc sot et par ste, BD est parallélogramme De pls, ses dagoales [] et [BD] sot perpedclares doc BD est losage Elles sot même de même loger doc BD est rectagle BD est à la fos rectagle et losage doc BD est carré b alcler l are d qadrlatère BD ( ) L té est de cm sr chaqe axe doc l té d are est de cm² O e dédt qe a Vor fgre b Sot l are d carré Le segmet [D] a été copé e tros partes égales doc Doc ( ) cm² 5 a Vor fgre b Sot l are d carré chaqe étape, le côté d oea carré at d côté d carré précédet Do l are d oea carré at de l are d carré précédet La ste ( est géométrqe de raso et de premer terme Doc ( )

13 c est l are de la fgre obtee par la jxtaposto d qadrlatère BD et des carrés Doc ( ) [ ( ) ] (Formle de la somme des termes d e ste géométrqe) Doc [ ( ) ] d ( ) car (résltat co sr la lmte de stes géométrqes) Doc ( ) est coergete et sa lmte est 5 cm² EXPONENTIELLES Exercce x g a '( x) e q est doc tojors poste b lm x x x Doc lm X e lm e x Et par ste x X lm g( x) lm x x c g est cote, mootoe strctemet crossate et a de ; ers ; (g() = -) est doc e aler termédare doc d après le théorème des alers termédares por les foctos mootoes, l éqato ( x) ; O calcle g(,),7 g(,5),5 Doc,, 5 g admet e qe solto das d omme g est crossate, s x< alors g(x) < g( ) = doc g est égate sr ; g est poste sr ;

14 e x f '( x) x e = g (x) Doc f ' est d sge de g Sr ;, f est strctemet décrossate Sr ;, f est strctemet crossate a ; Même rasoemet qe por g lm x x x lm e x Doc x lm f ( x) x f e b ( x) x q est be sûr postf doc est a-desss de P ; x par allers lm e x doc et P sot asymptotes e + a Tablea : x alpha + f'x + x²exp/x f(alpha) b omme o le ot sr le tablea de alers, f( ) < f est cote et strctemet crossate sr ; Por tot x ;, f ( x) f ( ) ; aec f( ) < Doc est e aler termédare D après le TVI, l éqato ( x) f (,8),6 et f (,9), Doc,8 a, 9 f admet e qe solto a das ; c Sge de f x a f(x) - + d orbe et tagete e :

15 f '() g() et f () Doc la tagete e a por éqato : y x SUITES Exercce O déft la ste Sot f la focto défe sr ;,5 aratos sat : x f'(x) - par so premer terme et par la relato de récrrece : 9 par x 8 f ( x) dot o doe le tablea de x 9 (x-8)/(x-9)

16 Por détermer les aratos, o calcle la dérée : x 9 x 8 7 f '( x) x 9 x 9 Sr ;,5, 7 et x 9 doc f '( x) Doc f est be strctemet crossate sr ;,5 x lm f ( x) lm lm x x x x 7 f ( ) 7 x S ; alors f ( x) ; ; 6 Italsato : Hérédté : O cosdère eter k tel qe O et motrer qe f ( ) k k S x ; alors f ( x) ; Or ; par hypothèse doc k k ; La proprété est hérédtare oclso : por tot eter, Por tot, doc, 5 doc la ste est tojors défe k k x x 8 O étde le sge de sr x 9 x x 6 et x 6 9 x 8 : ( ) ( 8) 6 x - ; 9 8 car por tot, ; x^x x x^x/x O e dédt qe, por tot, La ste est crossate

17 7 La ste est crossate et majorée par doc coergete l 8 La lmte l est solto de l l 8 l 9l l l 8 l o l l 9 La sele possblté est l La ste coerge ers Exercce O cosdère les stes ) et et 7 ( défes por tot eter atrel par : 7 7 ; ;

18 O cosdère la ste ( s ) défe por tot eter atrel par : s a 8 7 s s s O pet spposer qe la ste est costate telle qe, por tot eter atrel, s b Démostrato par récrrece : Sot P() la proprété : por tot eter atrel, s Italsato : P(), P(), P() et P() sot raes (or qesto a) Hérédté : O sppose qe por eter postf k, P(k) est rae sot k s = O et motrer qe k s = 8 k k k k k k k k s s Doc P(k+) est rae La proprété est hérédtare oclso : por tot eter atrel, s O cosdère la ste ( d ) défe por tot eter atrel par : d a Por tot eter atrel d d Doc la ste ( d ) est géométrqe de raso et de premer terme d

19 b Por tot eter atrel, d 5 s d = = Par addto, Par sostracto, 6 La ste est géométrqe de raso comprse etre - et doc lm et par ste, lm lm Les dex stes coerget ers

20 PROBBILITES ONDITIONNELLES Exercce U sodage effecté récemmet das e régo motagese à propos de la costrcto d barrage doe les résltats sats : 65% des persoes terrogées sot cotre la costrcto de ce barrage parm les persoes q sot cotre cette costrcto, 7% sot des écologstes parm les persoes faorables à la costrcto, % sot des écologstes O ote l ééemet «la persoe terrogée est cotre la costrcto» et l ééemet cotrare O ote E l ééemet «la persoe terrogée est écologste» O ote F l ééemet «la persoe terrogée est cotre la costrcto et est pas écologste»,7 E,65,,5, E,8 E p ( ), 65 ; p ( E),7 ; p ( E), (e sot des doées de l éocé) a O cherche p( E) p( ) p ( E),65,7, 55 b O cherche p( E) p( ) p ( E),5,, 7 et formet e partto de l ers (esemble des persoes sodées) aec E et E compatbles Doc E E E D où p ( E) p( E ) p( E ),55,7,55 a p( F) p( E) p( ) p ( ),65,,95 E b O chost a hasard 5 persoes parm celle q ot été terrogées (o sppose qe les chox des 5 persoes sot dépedats les s des atres) O ote F la -ème persoe est cotre la costrcto et o écologste

21 p F F F F F (,95), 5 O cherche 8 5 p(a mos e de ces persoes est cotre la costrcto et est pas écologste) -,8 =,66 Exercce Ue se est dotée d' système d'alarme q se décleche e prcpe lorsq cdet se prodt sr e chaîe de prodcto Il pet arrer totefos qe le système sot ms e défat E effet, des étdes statstqes ot motré qe, sr e jorée : la probablté qe l'alarme se décleche par errer, c'est-à-dre sas q'l y at e cdet, est égale à, ce q se tradt par p ( I ) 5 5 la probablté q' cdet sree sas qe l'alarme se décleche est égale à ; ce 5 q se tradt par p ( I ) 5 la probablté q' cdet se prodse est égale à, ce q se tradt par p ( I) I 5 Parte O cherche p( I ) et formet e partto de l ers et I et I sot compatbles p ( I) pi p( I ) p( I ) 5 5 = I I I et I formet e partto de l ers et I et I sot compatbles p ( ) p I p I Doc

22 p ( ),8 Le système d'alarme est ms e défat s l alarme se décleche sas q l y at d cdet o s l alarme e se décleche pas qad l y a cdet p p I p I p, O cherche p ( I),86 p p( I) ( I) 5 p( ) 5 7 Parte B Les assrers estmet q'e moyee, por l'etreprse, le coût des aomales est le sat : por cdet lorsqe l'alarme foctoe ; por cdet lorsqe l'alarme e se décleche pas ; lorsqe l'alarme se décleche par errer O cosdère q'l se prodt a pls e aomale par jor Sot X la arable représetat le coût joraler des aomales por l'etreprse Lo de probablté de X X pet predre les alers,, et p(x=) = p I p(x=)= p I = 5 p(x=)= p I = 5 p(x =)= p I 5 O érfe asémet qe la somme at x p X x ) ( 85 reste oût joraler moye des aomales= Les aomales coûtet 8 par jor 5 5

23 Exercce Ue épree cosste à jeter e fléchette sr e cble partagée e tros cases otées,, Dex cocrrets et B sot e présece O admet q'à chaqe lacer, chac d'ex attet e case et e sele et qe les lacers sot dépedats Por le cocrret, les probabltés d'attedre les cases,, sot respectemet : / ; / ; 7/ Por le cocrret B, les tros éetaltés sot éqprobables NB : Les résltats demadés serot doés sos forme de fractos rrédctbles Le cocrret lace la fléchette tros fos Les résltats des tros lacers sot dépedats doc o porra tlser le prcpe mltplcatf por calcler les probabltés a O cherche (;;) 7 p b O cherche p ( ;; c Il attet les cases,, sot ( ; ;) o ( ; ;) o ( ; ;) o ( ; ;) o ( ; ;) o ( ; ;) 7 7 D où p 6 (Le «6» correspod a 6 cas possbles) 7 O chost des dex cocrrets La probablté de chosr est égale à dex fos la probablté de chosr B Doc p ( ) p( B) aec p( ) p( B) p( B) et p( ) a U sel lacer est effecté O fat arbre (O ote «la case a été attete») Por le cocrret B, l attet les tros cases aec la même probablté doc B O cherche p et B formet e partto de l ers (esemble des trs)

24 Doc les compatb et aec B B D où ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p B p p p B p p p B ( ) p ) ( p b U sel lacer a été effecté, et la case a été attete O cherche ) ( ) ( ) ( p p p S la case est attete, l y a 7 chaces sr 9 por qe ce sot q at lacé la fléchette