Généralités sur les fonctions numériques.

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1 Chapitre 2 Généralités sur les fonctions numériques. I Introduction sur des exemples. 1 Le nombre de chômeurs en France. Le graphique ci-dessous donne le nombre de chômeurs en France métropolitaine (au sens du Bureau International du Travail, le BIT) La source de ce document est l INSEE, (Institut National de la Statistique et des Études Économiques) : Une date étant choisie, on peut constater que l on peut lui associer un nombre de chômeurs et un seul. Ce graphique exprime l évolution en fonction du temps du nombre de chômeurs en France. Quel axe de coordonnées représente le temps? Quel axe de coordonnées représente le nombre de chômeurs? Il en sera ainsi pour toutes les fonctions que nous allons étudier, ce qui est écrit en fonction de est représenté par l axe des ordonnées et la variable (ici c est le temps) est représenté par l axe des abscisses. 13

2 14 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES. 1. Le premier janvier 2002, quel est le nombre de chômeurs en France? On dit dans ce cas que est l image du premier janvier Quand le nombre de chômeurs en France est-il égal à ? On dit dans ce cas que sont les antécédents de Remplir le tableau suivant : date (au 1 er janvier) nombre de chômeurs (en milliers) Ainsi, nous avons associé, pour chaque premier janvier, le nombre de de chômeurs en France à cette date. 2 Comparaison du taux de chômage suivant les sexes. Les deux tableaux ci-dessous donnent, suivant le sexe l évolution du taux de chômage (en pourcentage) ces vingt dernières années. année (1 er trimestre) taux de chômage des femmes 10,2 10,9 11,3 12,4 11,9 12,1 12,3 11, ,5 année (1 er trimestre) taux de chômage des femmes 9,5 9 9,4 10,1 9,4 10,2 9,2 7,6 9 9,7 année (1 er trimestre) taux de chomôge des hommes année (1 er trimestre) taux de chômage des hommes ,3 6,9 8,2 9,4 8,7 8,9 9,6 9,1 9 7, ,6 6,9 7,4 7,9 8 8,2 7,8 6,8 8,4 9,3 1. Placer ces points sur un repère donné ci-dessous. Relier ensuite ces points par une courbe (la plus régulière possible). 2. Comment, sur le graphique, voit-on que le chômage des femmes en France est plus élevé que celui des hommes?

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4 II. DÉFINITIONS. 15 Exercice sur le livre : exercice n 80 page 46. II Définitions. 1 Ensemble des nombres réels et intervalles. a. L ensemble des nombres réels. Définition Les nombres que l on utilise en seconde sont appelés nombres réels. L ensemble de tous les nombres réels est noté R. b. La représentation graphique de l ensemble des réels. On représente graphiquement l ensemble de réels par une droite graduée orientée de gauche à droite. oo oo c. Les intervalles. Les intervalles dersont des parties der. Exemple

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6 16 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES. L ensemble des réels supérieurs ou égaux à 2 est l intervalle[2;+ [. C est l ensemble des réels qui vérifient l inéquation 2 x. oo oo L ensemble des réels inférieurs strictement à -1 est l intervalle ] ; 1[. C est l ensemble des réels qui vérifient l inéquation x < 1. oo oo L ensemble des réels qui sont supérieurs ou égaux à -3 et inférieurs strictement à 5 est l intervalle [ 3;5[. Ils vérifient 3 x < 5. oo oo Définition si a etbsont des réels, ils sont les bornes des intervalles [a;b],]a;b[,etc... + est aussi une borne pour l intervalle [3;+ [... Pareil avec. Définition Si le crochet est tourné vers l intérieur de l intervalle, on dit que l intervalle est fermé en cette borne. La borne appartient à l intervalle. Si le crochet est tourné vers l extérieur de l intervalle, on dit que l intervalle est ouvert en cette borne. La borne n appartient pas à l intervalle. En+ et, les crochets sont toujours ouverts. Exercice sur le livre : faire l exercice n 2 page 27. Une nouvelle notation : pour indiquer qu un nombre réel est dans l ensemble R ou dans un intervalle, on utilise le symbole. Par exemple on peut écrire : π R ; 5 R ; 5,5 ]3;+ [ pour indiquer qu un nombre réel n est pas dans un intervalle, on utilise le symbole /. Exemple on peut écrire : π / ] ; 1[ ; ; 3,7 / ]3;+ [ Exercices du livre : faire les exercices n 1, n 3 et n 4 page La notion de fonction numérique. Définition On appelle fonction numérique toute relation qui à tout nombre réel associe au plus un nombre réel. On note : f : x f(x). En pratique, nous étudierons les fonctions numériques qui sont données par une formule algébrique. Exemple f : x 3x+5 est une fonction numérique. g : x 1 est une fonction numérique. x 2 3 Domaine de définition. Définition f est une fonction numérique définie par une formule algébrique. Le domaine de définition de f est le domaine de validité de la formule algébrique. On le note souvent D f.

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10 III. IMAGE. 17 Exemple f : x 3x+5 a pour domaine de définition R tout entier car l expression 3x+5 est définie quel que soit le réel x. D f = R. g : x 1 x 2 a pour domaine de définition R {2} tout entier car l expression 1 n est pas définie x 2 pour x = 2, mais est définie si x 2. D g = R {2}. On peut aussi le noter ] ;2[ ]2;+ [. III Image. Définition f est une fonction numérique définie par une formule algébrique. L image d un nombre réel de D f est obtenue en remplaçant dans la formule x par ce nombre réel.f(x) désigne l image du réelx. Exemple f : x 3x+5. L image de2parf est = 11. On dit que 11 est l image de 2 parf. On peut écrire :f(2) = 11. L image de 4 est 3 ( 4)+5 = 7. On dit que 7 est l image de -4 parf. On peut écrire : f( 4) = 7. D une manière générale, si x est un réel quelconque (car D f = R),f(x) = 3x+5. g : x 1 x 2. L image de 4 parg est = 1 6. On dit que 1 6 est l image de -4 parg. On peut écrire :g( 4) = 1 6. L image de2parg n existe pas car2n est pas dans le domaine de définition deg. D une manière générale, si x est un réel différent de 2 (car D f = R {2}),g(x) = 1 x 2. Exercices sur le livre : calculs d images à la main, Lire l exercice résolu C page 29, faire les exercices n 9, n 10 et n 11. faire l exercice n 59 page 43. Pour déterminer l image d un nombre avec une calculatrice : 1. Faire l exercice n 51 page 42, ne faites que la première question de l exercice. 2. On considère les fonctions f,g et h définies par : f(x) = x 2 2 ; g(x) = 10x 5 x 2 +1 (a) On veut remplir à l aide de la calculatrice le tableau suivant : ; h(x) = 3 x 1+x x f(x) g(x) h(x) Pour cela : Mettre dans l éditeur de fonctions les trois fonctions f,g eth. allez dans l écran de réglage de la table avec les touches 2nd quatrième ligne, allez sur ASK (ou demande) avant de valider. TblSet (ou def table ), et, à la

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14 18 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES. allez ensuite à la table des fonctions, il suffit de taper -2 (et de valider), puis -1 (et de valider), ainsi de suite. Notez ensuite les résultats sur le tableau. parf? (b) Quelle est l image de2 parg? parh? (c) Complétez les égalités suivantes : f( 1) = ; f(0) = ; g( 1) = ; g(0) = ; h( 2) = ; h(0) = (d) Que lit-on sur la table de la calculatrice quand x = 1 pour la fonction h? Pourquoi? Utilisation : faire les exercices n 60 et n 61 page 43. IV Représentation graphique d une fonction. Définition f est une fonction numérique. La courbe représentative de f, qu on note souvent C f, est l ensemble des points M dont les coordonnées sont M(x;f(x)) pour x D f. La courbe représentative def : x 1 2 x2 x 1

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17 V. ANTÉCÉDENT. 19 Exemple g : x 5 x 2 +2x+2. On commence par remplir une table de valeurs : x f(x) On trace ensuite la représentation graphique : f Utilisation de la calculatrice page 42, les questions 2. Exercice 1. Afficher à l écran de votre calculatrice les représentations graphiques des fonctions f, g et h définies par : f(x) = x 2 +x 1 ; g(x) = x+ 10 x 2 +1 ; h(x) = x+1 x 2 V Antécédent. Définition f est une fonction numérique. h est un nombre réel. Si le réel a vérifie f(a) = m, alors a est un antécédent demparf. Exemple Considérons la fonction définie sur R parf(x) = 1 2 x2 x 1.

18 20 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES. On voit sur le dessin, approximativement, deux antécédents de 5,1 parf, qui sont environ -2,63 et 4,63. Exemple Prenons cette première fonction donnée par sa représentation graphique : 5 4 y = 3 A B 3 C Sur le dessin, on peut lire les trois antécédents de 3 : ce sont les abscisses des points A, B et C, qui sont les points d ordonnée 63 de la courbe. Les antécédents de 3 sont donc (environ) -1,6, -0,4 et 1,8. Chercher de même le (ou les) antécédent(s) de -2, de 0. Prenons un second exemple.

19 V. ANTÉCÉDENT. 21 Sur le dessin, on peut lire les trois antécédents de 3 : ce sont les abscisses des points A, B et C, qui sont les points d ordonnée 63 de la courbe. Les antécédents de 3 sont donc (environ) -1,6, -0,4 et 1,8. Chercher de même le (ou les) antécédent(s) de -2, de 0. Remarque Lire les antécédents d un nombre h sur une représentation graphique, c est en fait résoudre graphiquement l équation f(x) = h. Exercices sur le livre. Lire l exercice résolu D page 30 puis faire les exercice 14, 15, 18 et 19 page 31. Lire l exercice résolu E puis faire les exercice 20 et 21 page 32. Faire les exercice n 74 à n 80 page 45 et 46. Exercice 2. La fonction f définie sur l intervalle [ 6;2] est donnée par la courbe ci-contre. On répond quand il le faut avec des valeurs approchées avec un chiffre après la virgule Quels sont le ou les antécédents de 0? Quels sont le ou les antécédents de 3? Donner un nombre qui a exactement deux antécédents Donner un nombre qui n a aucun antécédent

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