LES METHODES D'ALLOCATION : PRINCIPES MATHEMATIQUES. Marc BOUISSOU *

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1 LES METHODES D'ALLOCATION : PRINCIPES MATHEMATIQUES Marc BOUISSOU * RESUME Les méthodes d'allocaton en sûreté de fonctonnement sont nombreuses dans la lttérature, mas elles s'appuent sur un très pett nombre de prncpes. Les calculs mathématques qu leur sont assocés peuvent être relatvement complexes lorsqu'ls vsent à donner des formulatons explctes. Mas ce type de résoluton n'a plus grand ntérêt, car les ordnateurs sont aujourd'hu assez pussants pour remplacer ces calculs par des procédures d'optmsaton, pussantes et ben plus générales. INTRODUCTION Cet artcle a pour but de fournr une courte synthèse des méthodes mathématques utlsées pour résoudre des problèmes d'allocaton. Il ne s'agt pas évdemment d'entrer dans le détal de calculs, mas smplement de donner quelques prncpes smples que l'on retrouve comme fondements de toutes les méthodes de résoluton. Nous allons commencer par donner une défnton très générale de ce que nous entendons par allocaton. Nous allons ensute montrer comment dvers cas partculers, notamment (mas pas unquement) ceux que l'on peut rencontrer en sûreté de fonctonnement entrent dans ce cadre. Nous donnerons ensute les quelques prncpes de résoluton auxquels on peut ramener la totalté des méthodes proposées à ce jour dans le domane de la sûreté de fonctonnement (et probablement dans d'autres domanes). Pour fnr, nous drons quelques mots d'outls exstants qu fonctonnent suvant les prncpes décrts pour fare de l'allocaton de dsponblté et/ou de fablté en s'appuyant sur des modèles de type arbre de défallances. 1. DÉFINITION DE L'ALLOCATION Le concept d'allocaton, qu mplquat ntalement une dée de répartton entre pluseurs acteurs ou objets d'une grandeur addtve (telle que de l'argent) est devenu quelque chose de ben plus général. On peut mantenant consdérer que tout problème "nverse" dont la résoluton mplque la mnmsaton d'une foncton de coût (ce mot est c prs dans une accepton très générale : ce n'est pas forcément une quantté de monnae) est un problème d'allocaton. Un problème nverse est la recherche d'une nconnue x telle que f(x) = y, avec y donné, et une foncton f facle à calculer pour toute valeur de x, mas dont on ne peut détermner la foncton nverse, ne serat ce que parce qu'l y a de nombreuses solutons possbles à l'équaton f(x) = y. 2. ILLUSTRATIONS DE CETTE DÉFINITION EN SDF Commençons par un bref retour à la préhstore de l'allocaton : supposons que l'on at un objectf donné y pour l'ndsponblté (supposée pette) d'un système de composants en sére. En premère approxmaton, on dot avor y =, expresson dans laquelle q représente l'ndsponblté du ème composant. Nous volà ramenés à la défnton "ntale" de l'allocaton (répartton d'une grandeur addtve). C'est ben un problème nverse, avec une nfnté de solutons. On peut complquer très vte les choses en s'ntéressant à des systèmes pour lesquels la relaton entre les paramètres à allouer (des taux de défallance et de réparaton de composants, q

2 des ntervalles entre tests...) et la grandeur sur laquelle un objectf est fxé (l'ndsponblté, la productvté, la fablté, ou la mantenablté globale du système) est décrte par un modèle fablste plus complexe, telle qu'un arbre de défallances, un graphe de Markov, un réseau de Petr... Très vte, on arrve à des modèles pour lesquels la foncton f de l'équaton f(x) = y n'est plus connue explctement. Tout au plus peut on la calculer de manère très rapde avec un ordnateur pour toute valeur de x. On francht encore un degré dans la complexté du problème lorsqu'on s'autorse à fare varer, outre des paramètres de composants dans une archtecture de système fxée, l'archtecture ellemême, ou au mons les dmensons de stocks de pèces de rechange, la poltque de mantenance... On ntrodut alors des dmensons supplémentares dans l'espace des solutons au sen duquel on cherche x. Ces dmensons sont nécessarement dscrètes : on a le chox entre un nombre fn d'archtectures ou solutons (le caractère fn est mposé par une lmtaton ncontournable sur le coût du système). Pour ce qu est de l'espace des solutons dans son ensemble, l peut, suvant les cas, être dscret, contnu, ou mxte (avec certanes dmensons dscrètes, et d'autres contnues). Par exemple, en ce qu concerne les taux de défallance, le caractère dscret est naturellement assocé à la noton de chox entre pluseurs solutons standard. Mas lorsqu'l n'exste pas de chox de composants sur catalogue (la recherche des caractérstques des composants exstants n'a pas encore été fate, ou ceux-c sont encore en développement) l est plus naturel, faute de connassances précses, de fare varer les taux de défallance sur des échelles contnues. Pour les taux de réparaton, un domane de varaton contnu paraît généralement plus plausble, car l possble de "régler" comme on veut (dans certanes lmtes) le déla d'nterventon pour réparaton. Quel que sot le problème d'allocaton à résoudre, l va fallor chosr parm toutes les solutons acceptables, et pour cela se donner une règle ou contrante supplémentare. La plus satsfasante est ben sûr la mnmsaton du coût du système. L'déal est de prendre en compte le coût global de possesson, ncluant le coût de concepton, de constructon, d'explotaton, les pertes d'explotaton dues aux défallances du système... L'expérence prouve qu'l est très dffcle d'obtenr des nformatons sur les coûts, et a fortor de détermner des fonctons de coût en foncton des varables de décson ; par alleurs, en supposant connue la foncton de coût et la foncton f(x) ctée plus haut, la résoluton du problème d'optmsaton sous contrantes (décrt plus en détal c-après) que suppose l'allocaton peut s'avérer ardue. Ces deux rasons ont poussé nombre d'auteurs à proposer des voes alternatves, dont l'objectf est de mnmser le coût du système (toujours sous la contrante f(x) = y) de manère plus heurstque.

3 3. LE PROBLEME THEORIQUE A RESOUDRE x est le vecteur des varables de décson. Ses composantes sont des enters ou des réels. n p Les valeurs de x varent dans un domane D (un pavé de R N ). C(x) est la foncton de coût à mnmser. La soluton x 0 recherchée est défne par : x0 = Arg mn( C( x)) x A A = { x D / f ( x) = y} Il faut noter que l'équaton f(x) = y peut résumer (s y est un vecteur) un ensemble d'équatons et néquatons ( l'néquaton z < a peut s'écrre 1z< a = 1). On peut donc chercher la soluton sous dfférentes contrantes (par exemple lées au volume, au pods... du système). La résoluton d'un problème auss général n'est possble que de manère numérque, par un programme de recherche d'un mnmum sous contrantes. Toute partcularté du problème (lnéarté des fonctons et contrantes, par exemple) dot évdemment être mse à proft pour chosr une méthode d'optmsaton performante. En partculer, on peut avor ntérêt à se ramener, au prx de quelques approxmatons, en espace entèrement contnu, ou entèrement dscret, car l n'exste pas de méthode très performante pour un espace mxte. 4. SOLUTIONS APPROCHEES REPOSANT SUR DES HEURISTIQUES Dans les cas où l est mpossble de détermner une foncton de coût, on se rabat sur des méthodes heurstques qu sont censées fournr des allocatons "rasonnables", à défaut d'être optmales. Ces heurstques reposent sur des formules de calcul smples, applcables unquement dans l'hypothèse de varables de décson contnues. Les détals dffèrent beaucoup selon les auteurs, mas le prncpe général de toutes ces heurstques est de calculer des coeffcents pour les composants, qu tennent compte de caractérstques telles que : - degré de nouveauté, - sévérté de l'envronnement, - taux de défallance de composants semblables, - avs d'experts etc. Ces coeffcents c peuvent être consdérés comme des estmateurs de taux de défallance ou d'ndsponblté, lorsque ce sont ces grandeurs que l'on veut allouer. Le prncpe de leur calcul à partr des dfférents crtères prs en compte s'apparente à des moyennes pondérées. Ensute, ces coeffcents sont utlsés dans des formules calculant une deuxème sére de coeffcents que l'on peut qualfer de "coeffcents d'allocaton". Là encore, une grande varété de formules est possble, mas le prncpe général est que le coeffcent d'allocaton w dot être d'autant plus grand que le coeffcent c est grand, mas d'autant plus pett que le composant joue un rôle plus mportant dans le système. En effet, toutes choses égales par alleurs, l paraît naturel d'allouer une ndsponblté plus fable à un composant capable à lu seul de

4 mettre le système en panne, qu'à un composant redondé. Une llustraton partculèrement smple de ce type de méthode est l'allocaton d'ndsponblté à des composants d'un système sére (vor les notatons données au 2). Comme tous les composants y jouent des rôles symétrques, le système déal d'un pont de vue de la sûreté de fonctonnement seule est celu dans lequel tous les composants ont la même ndsponblté. Mas en fat, l faut tenr compte de la fasablté technque : un composant très smple tel qu'un tuyau sera toujours, quoqu'on fasse, beaucoup plus fable et dsponble qu'un composant complexe tel qu'un moteur ou une pompe. Il est donc logque, en l'absence de données sur la relaton ndsponblté/coûts, d'allouer aux composants des ndsponbltés proportonnelles aux coeffcents c (qu, rappelons le, mesurent la propenson des composants c à tomber en panne), par la formule q c Q =. Dans ce cas très smple, on peut avor une soluton explcte pour les q. Mas, dès que la foncton de structure du système est représentée par un arbre de défallances, fût l smple, son ndsponblté globale devent une foncton polynomale des q, et l est mpossble de donner une soluton explcte. Tout au plus peut on résoudre quelques cas partculers, au prx de formules complquées. Mas ce type de résoluton explcte n'a plus d'ntérêt de nos jours, étant donné la pussance des ordnateurs. Il est ben préférable de se ramener à la résoluton de l'équaton f(x) = y, en prenant pour x une foncton des coeffcents w et d'une unque varable réelle, un facteur d'échelle E. Typquement, chaque composante x de x est exprmée comme le produt E w. Le problème à résoudre se smplfe alors beaucoup, pusqu'l sufft de trouver la valeur de E telle que f(x(e)) = y. Une méthode de ce type, paramétrable par l'utlsateur grâce au chox d'une constante, qu permet de chosr entre dvers comproms donnant plus de pods aux coeffcents c, ou aux mportances des composants (mesurées par un facteur d'mportance, défn formellement) est décrte en détal dans [BB96]. Cette méthode réalse la synthèse des dées contenues dans un grand nombre de méthodes de la lttérature. 5. LE PROJET ALOES Pluseurs socétés se sont assocées à l'unversté de Bordeaux pour lancer le développement d'un outl d'allocaton d'ndsponblté utlsant les acqus de deux projets développés précédemment à EDF (logcel ARPO : cf. [BB95], [BB96]) et lors d'une collaboraton entre Techncatome et l'unversté de Bordeaux (logcel Sherloc-Algc : cf. [DMRT98a], [DMRT98b]). Cette collaboraton a donné nassance au logcel ALOES, dsponble depus septembre Cet outl permet de fare de l'allocaton d'ndsponblté à partr de modèles de type arbre de défallances, par mnmsaton de coût sur des espaces de solutons sot entèrement dscrets, sot entèrement contnus. ALOES content actuellement tros algorthmes de mnmsaton : deux pour les modèles dscrets (branch and bound, gradent stochastque) et un pour les modèles contnus (Smplex de Nelder et Mead). Il est encore possble de s'assocer à ce projet, ce qu permettra d'ntrodure de nouvelles méthodes de résoluton et/ou d'amélorer la convvalté du logcel.

5 6. REFERENCES [BB95] M. Boussou, C. Brzec, "Synthèse des méthodes d'allocaton de dsponblté" Note EDF HT-52/94/025B Janver [BB96] M. Boussou et C. Brzec Applcaton of Two Generc Avalablty Allocaton Methods to a Real Lfe Example. In Proceedngs of ESREL 96. [DMRT98a] H. Deslle, F. Meuner, A. Rauzy et P. Thomas Sherloc : a Desk Calculator for Avalablty Allocaton n Fault Trees n Proceedngs of the European Safety and Relablty Assocaton Conference, ESREL'98. [DMRT98b] H. Deslle, F. Meuner, A. Rauzy et P. Thomas. Concepton Optmzaton Based on the Defnton of Avalablty Allocaton Takng nto Account Cost Constrant. In A. Mosleh and R.A. Bar, edtors, Proceedngs of the Internatonal Conference of Probablstc Safety Assessment and Management, PSAM'4, volume 2, pages , New-York, Sprnger Verlag. [MLR92] A.-A. Mohamed, L.M. Lews et A. Ravndran. Optmzaton Technques for System Relablty: a Revew. Relablty Engneerng and System Safety, 35: , [Ree95] C.R. Reeves. Modern Heurstc Technques for Combnatoral Problems. McGraw Hll ISBN [AnPa97] John Andrews et Rachel Pattson. Optmal Safety System Performance In Proceedngs of the Annual Relablty and Mantanablty Symposum, RAMS'97, pages 76-83, 1997.